Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP KẸP TRONG BÀI TỐN SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Khơng tồn số phương nằm hai số phương liên tiếp 2 Cụ thể: Nếu có q k (q 1) (k ; q ¥ ) k khơng số phương PHẦN II CÁC DẠNG BÀI: Dạng 1: Chứng minh số, biểu thức số khơng số phương I Phương pháp giải: Để chứng tỏ số k (k ¥ ) khơng số phương ta tiến hành theo bước: Bước 1: Chứng tỏ k q (q ¥ ) Bước 2: Chứng tỏ k (q 1) ( q ¥ ) 2 Bước 3: Từ bước suy q k (q 1) (q ¥ ) k khơng số phương Sử dụng đẳng thức để biến đổi biểu thức số: (a b) a 2ab b (a b) a 2ab b II Bài tốn: Bài 1: Chứng minh số 10224 khơng số phương Lời giải: Nhận thấy: 1012 10201 10224 1012 1022 10404 10224 102 Suy 1012 10224 1022 Vậy 10224 khơng số phương Bài 2: Chứng minh số 40725 khơng số phương TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải: Nhận thấy: 2012 40401 40725 2012 2022 40804 40725 2022 2012 40725 2022 Suy Vậy 40725 khơng số phương Bài 3: Chứng minh số 4014025 khơng số phương Lời giải: 2 Ta có 2003 4012009 4014025 2003 20042 4016016 4014025 20042 2 Suy 2003 4014025 2004 Chứng tỏ 4014025 không số phương Bài 4: Chứng minh số 4025025 khơng số phương Lời giải: 2 Ta có 2006 4024036 4025025 2006 20072 4028049 4025025 2007 2 Suy 2006 4025025 2007 Chứng tỏ 4025025 không số phương Bài 5: Chứng minh rằng: a) b) S 20162016 20161000 2016999 20162 2016 khơng số phương A 20182018 20181000 2018999 20182 2018 khơng số phương Lời giải: 2016 1000 999 a) Ta có S 2016 2016 2016 2016 2016 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG S 20162016 (20161008 ) (1) 1008 2016 1008 Ta chứng minh S (2016 1) 2016 2.2016 Thật : 20161000 2016999 20162 2016 20161000 20161000 20161000 ( 1000 số 20161000 ) 20161000 2016999 20162 2016 1000.20161000 1000 Mà 1000.2016 20161001 2.20161008 S 20162016 2.20161008 (20161008 1) S (20161008 1) (2) 1008 1008 Từ (1), (2) (2016 ) S (2016 1) Suy S khơng số phương (ĐPCM) 2018 1000 999 b) Ta có : A 2018 2018 2018 2018 2018 A 20182018 (20181009 ) (1) Lại có: 20182018 20181000 20182 (2018 5) 20182018 20181000 20181000 (1000 số 20181000 ) A 20182018 1000.20181000 20182018 20181001 20182018 2.20181009 A (20181009 1) (2) 1009 1009 Từ (1), (2) (2018 ) A (2018 1) Suy A khơng số phương (ĐPCM) Bài 6: Chứng minh rằng: M 20212020 2021100 202199 20212 20211 20210 khơng số phương Lời giải: Ta có : M 20212020 2021100 202199 20212 20211 20210 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG M 20212020 (20211010 ) (1) Lại có: 2021100 202199 20212 (20211 20210 ) 2021100 2021100 (100 số 2021100 ) 2021100 202199 20212 (20211 20210 ) 100.2021100 M 20212020 100.2021100 20212020 2021101 20212020 2.20211010 M (20211010 1)2 (2) 1010 1010 Từ (1), (2) (2021 ) M (2021 1) Suy M khơng số phương (ĐPCM) Dạng 2: Chứng minh biểu thức A(n) khơng số phương I Phương pháp giải: - Để chứng tỏ biểu thức A(n) n ¥ Bước 1: Chứng tỏ A(n) > B(n) Bước 2: Chứng tỏ A(n) < B(n)+1 Bước 3: Từ bước suy khơng số phương ta tiến hành theo bước: 2 B(n) A(n) < B(n)+1 A(n) khơng số phương - Sử dụng đẳng thức sau để biến đổi biểu thức: (a b) a 2ab b (a b) a 2ab b a b (a b)(a b ) a b3 (a b)(a ab b) a b3 (a b)(a ab b) II Bài toán: Bài 1: Chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp khác khơng số phương TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp khác Tích số Ta có n n 1 n n 1 n n n n ¥ * Mặt khác Từ n ; n 1 n ¥ * n n n 2n (n 1) (1) (2) (1), (2) n n n (n 1)2 n n(n 1) ( n 1) n ¥ * n n 1 khơng số phương Vậy tích hai số tự nhiên liên tiếp khác khơng số phương (ĐPCM) Bài 2: Chứng minh tích bốn số ngun dương liên tiếp khơng số phương Lời giải: n ¥ * Gọi số nguyên dương liên tiếp n ;(n 1); (n 2); (n 3) Đặt S n(n 1)(n 2)(n 3) S n(n 3) (n 1)(n 2) S (n 3n)(n 3n 2) Đặt (n 3n) x x ¥ * S x ( x 2) x x 2 2 2 Nhận thấy x x x x x x x x ( x 1) x ¥ * Suy S khơng số phương Suy S khơng số phương n ¥ * Vậy tích bốn số ngun dương liên tiếp khơng số phương Bài 3: Chứng minh tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp khơng số phương TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp n ; (n 1); (n 2); (n 3) n ¥ 2 2 Đặt A n (n 1) (n 2) (n 3) A n (n 2n 1) ( n 4n 4) ( n 6n 9) A 4n 12n 14 A (4n 12n 9) A (2n) 2.2n.3 32 A (2n 3) A (2n 3) A (2n 3) (1) Mặt khác ta có: (2n 4) 4n 16n 16 (4n 12n 9) 4n (2n 3) 4n (2n 3) n ¥ A (2n 4) (2) 2 Từ (1), (2) (2n 3) A (2n 4) A khơng số phương Bài 4: Chứng minh n ¥ số sau khơng số phương a) n n 10 b) 4n 5n Lời giải: 2 n ¥ a) Nhận thấy : ( n 3) n n 2 Mà n n 10 n 6n 2 nên n 7n 10 ( n 3) (1) 2 n ¥ Cũng có ( n 4) n 8n 16 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2 Mà n n 10 n 8n 16 2 nên n n 10 (n 4) n ¥ (2) Từ (1) , (2) n ¥ n 7n 10 khơng số phương b) Nhận thấy n ¥ ta có: (2n 1) n n (2n 2) 4n 8n 4n 4n 4n 5n 4n 8n (2n 1) 4n 5n (2n 2) n ¥ n ¥ 4n 5n khơng số phương Bài Chứng minh với n số tự nhiên số sau khơng phải số phương a) A n 2n b) B 9n 8n 10 Lời giải: a) Ta có: ( n 1) n 2n (n 2) n 4n 2 Mà n 2n n 2n n 4n 2 nên (n 1) n 2n ( n 2) A n 2n không số phương b) 2 Ta có: (3n 1) 9n 6n (3n 2) 9n 12n 2 Mà 9n 6n 9n 8n 10 9n 12n 2 nên (3n 1) 9n 8n 10 (3n 2) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG B 9n 8n 10 khơng số phương ¥ ; n khơng số Bài 6: Chứng minh số có dạng n n 2n 2n n phương Lời giải: Đặt B n n 2n 2n B n2 n4 n 2n n ( n4 n2 ) (2n 2) B n n (n 1) 2( n 1) n n n 1 n 1 n 1 B n n 1 n n 1 2 n n 1 n3 n B n n 1 n3 1 n 1 n n 1 n 1 n2 n 1 n 1 n 1 B n n 1 n 1 n n 1 n 1 n n 1 n 2n n 2n n 2n n 1 n 1 n ¥ , n Với B n 1 2 (1) n 2n n 2n n n 1 n Mặt khác với n ¥ , n ta có B n2 (2) n 1 B n B số phương Từ (1) , (2) suy ¥ ; n khơng số phương (ĐPCM) Vậy số có dạng n n 2n 2n n Bài 6: Cho n số nguyên dương m ước nguyên dương 2n CMR: n m khơng số phương Lời giải: Giả sử: n m số phương TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Đặt: n2 m k k ¥ (1) p¥ Theo ta có: 2n mp m Thay m 2n p 2n 2n n2 k2 p vào (1) ta được: p n p pn p k n p p pk Do n , pk 2 số phương nên p p số phương p p p p 1 p p Mặt khác: khơng số phương (Mâu thuẫn với giả sử) Vậy n m khơng số phương Dạng 3: Tìm giá trị n để biểu thức A(n) số phương I Phương pháp giải: 2 Xét trường hợp xảy n Dùng tính chất “Nếu q k (q 1) (k ; q ¥ ) k khơng số phương” đề loại giá trị khơng phù hợp n từ chọn giá trị phù hợp n II Bài tốn: Bài 1: Tìm số tự nhiên n để n n 1 số phương Lời giải: Vì n số tự nhiên nên ta xét trường hợp sau: +) n n n 1 n n 1 +) n 1: Ta có số phương n n 1 n n n n ¥ * Mặt khác n n n 2n (n 1) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC (1) (2) Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Từ (1), (2) n n n (n 1)2 n n(n 1) ( n 1) n ¥ * n n 1 khơng số phương n n 1 Vậy n số phương Bài 2: Tìm số tự nhiên n để S n( n 1)(n 2)(n 3) số phương Lời giải: Vì n số tự nhiên nên ta xét trường hợp sau: +) n S n(n 1)(n 2)(n 3) S số phương +) n 1: Ta có S n(n 3) (n 1)(n 2) (n 3n)(n 3n 2) Đặt (n 3n) x x 4 S x( x 2) x x 2 2 2 Nhận thấy x x x x x x x x ( x 1) x Suy S khơng số phương Suy S khơng số phương với n Vậy n S n(n 1)(n 2)(n 3) số phương Bài 3: Tìm số tự nhiên n để n 3n số phương Lời giải: Vì n số tự nhiên nên ta xét trường hợp sau: 2 +) n n 3n n 3n số phương 2 +) n n 3n n 3n số phương +) n 1: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2 2 Ta có n 3n n 2n n n 2n (n 1) 2 2 Cũng có n 3n n 2n n n 4n (n 2) ( n 1) n 3n (n 2) n 3n khơng số phương Vậy với n 0;1 n 3n số phương Bài 4: Tìm số tự nhiên n để n 3n số phương Lời giải: Vì n số tự nhiên nên ta xét trường hợp sau: 4 +) n n 3n n 3n khơng số phương 4 +) n n 3n n 3n số phương 4 +) n n 3n 16 n 3n số phương +) n 2: 4 4 2 Ta có n 3n n (3n 6) n 3(n 2) n (n ) (1) 2 Mặt khác ta có: (n 1) n 2n Xét hiệu: n 3n (n 1) n 3n (n 2n 1) 2n 3n 2n 4n n 2n(n 2) n n n 3n ( n 1) n 3n (n 1) (2) 2 2 Từ (1) , (2) (n 1) n 3n (n ) n 3n khơng số phương TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vậy với n 1; n 3n số phương Bài 5: Tìm tất các số nguyên n để : n 2n 2n n số phương Lời giải: y n 2n3 2n n n n 1 n n Đặt 1 y n n n 2 y n n n n 1 2 2 Khi n n 1 y khơng phải số phương Với n 0, 1 n n n 1 n 1 n n Ta có : 3 n n 1 n y n n y n n 1 2 n n2 n n 3 Lúc : Bài 6: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n 3n số phương Lời giải: Ta có số tự nhiên n có chữ số nên 10 n 99 21 2n 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 2n 25; 49;81;121;169 Tương ứng với số n 12; 24; 40;60;84 Tương ứng 3n 37; 73; 121; 181; 253 Trong có 121 số phương Vậy số tự nhiên n có chữ số cần tìm n 40 Bài 7: Tìm số tự nhiên n để n n số phương Lời giải: Vì n số tự nhiên nên ta xét trường hợp sau: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 4 +) n n 3n n 3n không số phương +) n ta xét: n n n 1 n n n 2n 1 2n2 n n n n 1 n 2 (1) 1 n n n 2n 1 n n 2n2 n n 1 n n (2) n 1 n n n 1 Từ (1) (2) n4 n 2 n4 n n2 Vậy n n n số phương Dạng 4: Tìm số phương thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số B số phương Tìm hai số A B Lời giải: Gọi A abcd k , đó: B a 1 b 1 c 1 d 1 m k , m ¥ ,32 k m 100 Ta có : 2 m k a 1 b 1 c 1 d 1 abcd 2 m k 1000 a 1 100 b 1 10 c 1 d 1 1000a 100b 10c d 2 m k 1000a 1000 100b 100 10c 10 d 1000a 100b 10c d m k 1111 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG m k m k 11.101 (1) m k , m k Nhận xét thấy tích với k , m ¥ ,32 k m 100 hai số nguyên dương m k m k 200 (2) m k 11 m 56 m k 101 k 45 Từ (1), (2) Vậy hai số A 2025, B 3136 Bài 2: Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm hai chữ số sau đơn vị Lời giải: Gọi số phương có chữ số Đặt abcd abcd k k ¥ ,32 k 100 100ab cd k 1 Mặt khác theo ta có : ab cd 100 ab cd 100ab 100cd 100 2 1 , suy 100ab cd 100ab 100cd k Từ 100 2 101cd k 10 k 10 k 10 k 10M 101 k 10M 101 k 1;101 k 10M101 Mà k ¥ ,32 k 100 nên Do 32 k 100 42 k 10 110 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG k 10 101 k 91 abcd 912 8281 Vậy số phương có chữ số cần tìm 8281 Bài 3: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Lời giải: Gọi số phương phải tìm : aabb n , a, b ¥ ,1 a 9, b Ta có : n aabb 100aa bb 11.100a 11b n 11 100a b 11 99a a b (1) n2 M 11 112 Mà 11 số nguyên tố n M (2) 11 Từ (1),(2) ta suy a b M Mà a 9, b a b 18 a b 11 n 112 9a 1 9a Thay a b 11 vào (1) ta : số phương Bằng phép thử a từ đến ta thấy có a thỏa mãn b Vậy số cần tìm 7744 Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương Lời giải: Gọi số phương là: abcd TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Theo ta có abcd x y x, y ¥ Vì y x y số phương Mặt khác ta có : 1000 abcd 9999 1000 y 9999 103 y 213 10 y 21 Mà y số phương nên y 16 abcd 163 abcd 4096 Vậy số có chữ số vừa số phương vừa lập phương 4096 Bài 5: Tìm số có hai chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số Lời giải: Gọi số phải tìm ab a, b ¥ ,1 a 9, b Theo ta có: ab a b 10a b a b 3 Khi ab lập phương a b số phương Đặt ab t t ¥ , a b m m ¥ Vì 10 ab 99 10 t 99 t 27 t 64 ab 27 ab 64 TH1 : ab 27 a b số phương TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG TH2 : ab 64 a b 10 khơng số phương ( loại) Vậy số có hai chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số 27 Bài 6: Tìm ba số phương lẻ liên tiếp mà tổng chúng số có chữ số giống Lời giải: Gọi ba số lẻ liên tiếp là: 2n 1, 2n 1, 2n n ¥ A 2n 1 2n 1 2n 3 Ta xét: 2 A 4n 4n 1 4n2 4n 1 4n 12n A 12n 12n 11 Theo ta có A 12n 12n 11 aaaa 1111.a ( a lẻ a ) 12n 12n 1111.a 11 12n n 1 11 101a 1 (*) 101a 1M 99a 2a 1M3 2a 1M3 Vì a 2a 17 2a 1 1;3;9;15 a 1; 2;5;8 Mà 2a lẻ nên Vì a lẻ nên a 1;5 + Thay a vào (*) ta 12n n 1 1100 n n 1 275 Mà n n 1 + Thay tích số tự nhiên liên tiếp nên có tận 0; 2;6 (loại) a vào(*) ta 12n n 1 5544 n n 1 462 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG n n 1 21.22 n 21 2n 1 1681 2n 41 2n 43 2n 1 1849 2n 45 2n 3 2025 Vậy ba số phương lẻ liên tiếp cần tìm 1681;1849; 2025 Bài 7: Tìm số phương mà bình phương số có hai chữ số lập phương tổng hai chữ số số có hai chữ số Lời giải: Gọi số phương cần tìm n ab Theo ta có Đặt n a b nên a b số phương a b x x ab x3 ab x3 100 x 3; 4 mà ab 100 Nếu x ab 27 (thỏa mãn) Nếu x ab 64 (loại) n ab 27 729 Vậy số phương cần tìm 729 Bài 8: Tìm số phương biết tổng số có hai chữ số với số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại Lời giải: n (n ¥ ) Gọi số phương có dạng TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Theo ta có : n ab ba a , b ¥ ;0 a , b n 10a b 10b a 11(a b) n M 11 112 Mà 11 số nguyên tố nên n M 11(a b)M 112 (a b) M 11 Mà a , b ¥ ;0 a , b (a b) 18 (a b) 11 n 11.11 121 Vậy số phương cần tìm 121 Bài 9: Tìm số phương biết bình phương số có hai chữ số trừ bình phương số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại Lời giải: n (n ¥ ) Gọi số phương có dạng n ab ba a , b ¥ ;0 a , b Theo ta có : n 10a b 10b a 100a 20ab b 100b 20ab a 2 n 99a 99b 99 a b 11.9 a b n 11.9 a b a b n2 M 11 112 Mà 11 số nguyên tố nên n M 11.9.(a b)(a b) M 112 Vì a , b ¥ ;0 a , b (a b) 8, ( a b) 18 (a b) 11 n 112.32 a b suy a b số phương a b 1; Mà (a b) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG a b Mặt khác ( a b) , ( a b) tính chẵn lẻ nên n 112.32.1 1089 Vậy số phương cần tìm 1089 Bài 10: Tìm số phương có dạng abcd , biết : ab cd Lời giải: Đặt abcd n n 100 ab cd 2 Mà ab cd nên n 100(cd 1) cd 101cd 100 n 102 101cd 101cd (n 10)(n 10) n 10 n 10 M 101 101 n 10M 101 n 10M Vì 101 số nguyên tố Ta có : 1000 n 10000 31 n 100 n 10M 101 n 91 abcd 912 8281 Bài 11: Tìm số phương có chữ số số lập phương số tự nhiên Lời giải: Gọi số phương : abcd x2 y3 x, y N Vì y x y số phương Ta có : 1000 abcd 9999 1000 y 9999 10 y 21 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Mà y số phương nên y 16 abcd 163 4096 Vậy số phương cần tìm 4096 Bài 12: Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố số bình phương số có tổng chữ số số phương Lời giải: Gọi số phải tìm : abcd với a,b,c, d N,1 a 9,0 b,c, d d 0;1;4;5;6;9 Vì abcd số phương nên mà d số nguyên tố nên d 2 Đặt abcd k 1000 32 k 100 với k số có hai chữ số mà k có tận k có tận tổng chữ số k số phương k 45 Vậy abcd 2025 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 ... CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG TH2 : ab 64 a b 10 không số phương ( loại) Vậy số có hai chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số 27 Bài 6: Tìm ba số phương lẻ liên tiếp mà tổng chúng số. .. 16 abcd 163 4096 Vậy số phương cần tìm 4096 Bài 12: Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số ngun tố số bình phương số có tổng chữ số số phương Lời giải: Gọi số phải tìm : abcd với a,b,c,... 3 2025 Vậy ba số phương lẻ liên tiếp cần tìm 1681;1849; 2025 Bài 7: Tìm số phương mà bình phương số có hai chữ số lập phương tổng hai chữ số số có hai chữ số Lời giải: Gọi số phương cần tìm
Ngày đăng: 15/08/2022, 20:19
Xem thêm:
