S6 CHUYÊN đề 6 CHỦ đề 1 số CHÍNH PHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ĐS6 CHUYÊN ĐỀ – SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA: Số phương bình phương số nguyên = 22 ; 16 = Ví dụ : hai số phương II CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG: 0; 1; 4;5;6;9 2;3;7;8 Số phương có chữ số tận , khơng thể có chữ số tận ⇒ 2;3;7;8 Để chứng minh số số phương ta số có hàng đơn vị Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với mũ chẵn, không chứa TSNT với mũ lẻ Từ tính chất ta có hệ quả: a b c d e ⇒ f Số phương chia hết cho Số phương chia hết cho phải chia hết cho phải chia hết cho 25 Số phương chia hết cho phải chia hết cho 16 Số phương chia hết cho phải chia hết cho Tích số phương số phương A = a.b A Với số phương , a số phương b số phương Để chứng minh số SCP ta số phân tích TSNT có số mũ lẻ 2 3n 3n + a ≡ (mod 3) a ≡ 1(mod 3) Số phương có hai dạng ( , ), khơng có SCP có dạng 3n + ( n ∈ ¥ ) Số phương có hai dạng có SCP có dang 4n + 4n 2 4n + a ≡ 0(mod 4) a ≡ 1(mod 4) ( , ) không 4n + ( n ∈ ¥ ) TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Số ước số số phương số lẻ, ngược lại số có số lượng ước lẻ số phương Nếu A p A p p2 A số số phương, chia hết cho số nguyên tố chia hết cho p p p a a Nếu chia hết cho số nguyên tố chia hết cho ( a + 1) a2 Hai số phương gọi hai số phương liên tiếp Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương n < A < ( n + 1) Nghĩa là: Nếu tích a.b A khơng số phương ( a, b) = a số phương b hai số số phương + = 22 ; + + = 32 ; + + + = 10 Số phương biểu diễn thành tổng số lẻ : Chứng minh: A = + + + + ( 2k + 1) Giả sử: với Ta có từ đến 2k + có k ∈¥ (2k + 1) − +1 ⇒ A = + + + + ( 2k + 1) = = k +1 số hạng ( 2k + + 1) ( k + 1) = ( k + 1) (đpcm) PHẦN II CÁC DẠNG BÀI   n∈ 11; 101; 1001; 10001; 100 01 14 43   k chữsố0   Bài 1: Cho số Lời giải: 112 = 121 Ta có: 1012 = 10201 Hãy tìm số phương n2 10012 = 1002001 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 100012 = 100020001 100 01 = 100 0200 01 { { { k chữsố0 k chữsố0 k chữsố0 Tổng quát: Bài 2: Các biểu thức số sau có phải số phương hay khơng? A = + 32 + 33 + + 320 a) B = 11 + 112 + 113 b) C = 1010 + c) D = 100!+ d) E = 1010 + e) F = 10100 + 1050 + f) G = 2004000 g) H = 20012001 h) Lời giải a Ta có: Suy Vì b A Ta có: n≥2 3n M9 (3 với nên A = + + + + 320 chia hết cho + 33 + + 320 ) M9 chia cho dư không chia hết cho nên A số phương B = 11 + 112 + 113 B = 11(1 + 11 + 112 ) B = 11.133 B = ⇒B có chữ số tận nên B TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC khơng phải số phương Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1010 + c Ta có có chữ số tận 100! + d Ta có có chữ số tận nên khơng phải số phương nên khơng phải số phương 10 + 05 25 Ta có có cặp chữ số tận chia hết cho không chia hết khơng phải số phương 10100 + 1050 + 3 Ta có có tổng chữ số chia hết cho không chia hết khơng phải số phương 2004000 Ta có số có tận chữ số ⇒G không tận chẵn lần chữ số ⇒G khơng số phương 10 e f g H = 2001 2001 h Ta có: = 2001 1000 2001 = ( 2001 ) 2001 2000 ( 2001 ) 1000 2001 số phương, ta xét số : 2001 2001 Vì có tổng chữ số nên số chia hết cho mà không chia hết cho 2001 ⇒ số không số phương H Vậy khơng số phương Bài 3: Chứng minh rằng: a) Một số phương chia cho b) Một số phương chia cho có số dư có số dư c) Một số phương chia cho có số dư hoặc d) Một số phương lẻ chia cho có số dư Lời giải: n a) Ta xét trường hợp chia cho : TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG + Nếu + Nếu n = 3k ⇒ n = 9k M3 n = 3k + n = 3k + ⇒ n = 9{k + 6{k + ⇒n chia dư ⇒ n = 9k + 12k + = 91k +33 + 4+2124k M M ⇒n chia dư Vậy số phương chia cho có số dư n b) Ta xét trường hợp chia cho : n = 2k ⇒ n = 4k M4 ⇒ n + Nếu chia dư ⇒ n = 4k + 4k + = 414 k 22+443k + n = 2k + ⇒n M 4 + Nếu chia dư Vậy số phương chia cho có số dư hoặc n c) Ta xét trường hợp chia cho : n = 5k ⇒ n = 25k M5 ⇒ n + Nếu chia dư 25 10k + 1 4k 2±43 2 n = 5k ± ⇒ n = 25k ± 10k + ⇒n M + Nếu chia dư ⇒ n = 25k ± 20k + = 25 k 22±43 20k + 14 n = 5k ± ⇒n M + Nếu chia dư n = 2k + ⇒ n = (2k + 1) = 4k + 4k + = 4k (k + 1) + d) Ta có: k (k + 1) k (k + 1) Vì tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho ⇒ 4k (k + 1) chia hết cho ⇒ 4k (k + 1) + chia dư Vậy số phương lẻ chia cho có số dư + Nếu TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC M Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 4: a) Cho A = 22 + 23 + 24 + + 220 B = + 32 + 33 + + 3100 b) Cho A+4 Chứng minh Chứng minh 2B + khơng số phương khơng số phương Lời giải: a) Ta có: (1) A = 22 + 23 + 24 + + 220 ⇒ A = 23 + 24 + 25 + + 21 (2) Lấy (1) trừ ta được: (2) A − A = 221 − 22 ⇒ A = 221 − ⇒ A + = 21 − + = 21 20 10 ⇒ A + = 2 = ( ) 2 (2 ) 10 2 Mà tích ⇒ A+4 b) Ta có: ta có số khơng số phương khơng số phương B = + 32 + 33 + + 3100 (3) ⇒ 3.B = 32 + 33 + 34 + 3101 (4) (4) Lấy (3) trừ ta được: 3.B − B = 3101 − ⇒ B = 3101 − ⇒ B + = 3101 − + TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ⇒ B + = 3101 ( ) 100 50 ⇒ B + = 3 = (3 ) 50 2 3 Ta có khơng số phương khơng số phương 2B + Vậy khơng số phương B + = 3101 A + = 221 • Lưu ý: kết luận chúng khơng số phương ( Chứ , thừa số nguyên tố với số mũ lẻ ) Bài 5: Cho hai số phương có tổng số chia hết cho phương chia hết cho Lời giải Gọi hai số phương là: Ta xét trường hợp: ⇒ + Giả sử thuẫn giả thiết) a M9 ⇒ b M9 , mà chia dư a + b M3 (theo tính chất ) a + b M3 a M3  a M3 ⇒ ⇒ b M3 b M3 Theo đầu ta có: a M3, b M3 ⇒ a + b mâu thuẫn giả thiết Chứng minh hai số a , b2 + Giả sử a2 b2 ⇒ a + b M3 không chia hết cho 3, số lại chia hết cho (mâu số nguyên tố (đpcm) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 6: Cho A số phương gồm bốn chữ số, ta thêm vào chữ số số B A B ta số phương Tìm Lời giải A = a ; B = b (a < b;32 ≤ a < b < 100) Đặt A B B − A = 1111 Vì thêm vào chữ số số đơn vị ta số nên dễ thấy: 1111 = 1.1111 = 11.101 ≤ b − a < b + a < 200 Mà: 2 ⇒ 1111 = b − a = (b − a)(b + a ) A đơn vị b − a = 11 ⇒ b + a = 101 a = 45 ⇒ b = 56  A = a = 2025 ⇒  B = b = 3136 2025;3136 Vậy hai số cần tìm ab ( a > b > 0) Bài 7: Tìm số nguyên tố , cho ab − ba số phương Lời giải ab − ba = 10a + b − (10b + a ) = 9a − 9b = 9( a − b) Ta có: số phương; ab − ba Mà số phương ⇒ a −b số phương a − b = ⇒ a − b = TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG a − b = ⇒ ab ∈ { 21,32, 43,54, 65, 76,87,98} +) Với a − b = ⇒ ab ∈ { 51, 62, 73,84,95} +) Với Vậy số nguyên tố ab ab ∈ { 43; 73} thỏa yêu cầu đề là: Bài 8: Tìm số phương có bốn chữ số, biết hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Lời giải Gọi số phương cần tìm : aabb = n (a, b ∈ ¥ ,1 ≤ a ≤ 9, ≤ b ≤ 9) aabb = 1000a + 100a + 10b + b Ta có : ⇔ n = 1100a + 11b ⇔ n = 11(100a + b) (1) Lại có : aabb M 11 ⇒ 100a + b M 11 ⇒ (99a + a + b)M 11 99a M11 mà ⇒ a + bM 11 Mà : ≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ ⇒ ≤ a + b ≤ 18 ⇒ a + b = 11 a + b = 11 Thay ⇒ 9a + n = 11(99a + 11) = 11(9.11 a + 11) = 1112 (9 a + 1) (1) vào , ta : phải số phương (do Ta có bảng sau: 1112 số phương) TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Ta có : 7744 = 112.82 = 882 Vậy số cần tìm : Cách 2: 7744 Gọi số phương cần tìm : aabb = n ( a, b ∈ N ,1 ≤ a ≤ 9, ≤ b ≤ 9) n = aabb = 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11.a0b Ta có: = a 0b = 11k (k ∈ ¥ ) Do đó: 100 ≤ 11k ≤ 909 Ta có: ⇒ ≤ k ≤ 82 11 11 ⇒4≤k ≤9 Ta có bảng: a 0b = 11k ⇒ a0b = 704 Mà k =8 ⇒ chọn ⇒ n = aabb = 11.11k = 11.11.82 = 882 = 7744 Bài 9: Tìm số tự nhiên n để 28 + 211 + 2n số phương Lời giải 28 + 211 + 2n = a ( a > 0, a ∈ N ) ⇒ 482 + 2n = a ⇒ 2n = ( a − 48)( a + 48) Đặt +) Với +) Với n = ⇒ (a − 48) (a + 48) = ⇒ vơ lí n>0 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG a + 48 = x ⇒ ( x + y = n; x > y ) y a − 48 = ⇒ 96 = x − y x− y ⇒ 2y (2 12− 31) = leû y 2 = ⇔  x− y 2 = x = ⇔ ⇒ n = 12 y = A = 1.2.3 1112 12 Bài 10: Viết liên tiếp từ đến số A Hỏi: số có 81 ước khơng? Lời giải 81 A Giả sử có ước 81 A A Vì số lượng ước (là số lẻ) nên số phương (1) A + + + + 12 = 51 Mặt khác, tổng chữ số 51 M3 A A A Vì nên chia hết cho khơng chia hết cho , khơng số phương mâu thuẫn với (1) 81 A Vậy khơng thể có ước Bài 11: Tìm số có hai chữ số, biết nhân với Lời giải n ( n ∈ ¥ , 10 < n < 99 ) Gọi số phải tìm 45.n = a ( a ∈ ¥ ) ⇒ 32.5.n = a Ta có: hay TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 45 ta số phương Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG n = 5.k ( k ∈ ¥ *) Vì số phương có thừa số nguyên tố với mũ chẵn nên k = ⇒ n = 5.12 = +) Với (không thỏa mãn) k = ⇒ n = 5.2 = 20 +) Với k = ⇒ n = 5.32 = 45 +) Với k = ⇒ n = 5.42 = 80 +) Với k ≥ ⇒ n ≥ 5.52 ≥ 125 +) Với (loại n có nhiều hai chữ số) 20; 45;80 Vậy số cần tìm Bài 12: Chứng minh rằng: số tự nhiên viết tồn chữ số khơng phải số phương Lời giải Gọi A Ta có: ⇒A ⇒A số tự nhiên ghi n chữ số n>2 ( ) A = 222 222 = 222 200 + 22 ⇒ A M4 số tự nhiên chia hết cho không chia hết cho khơng số phương Bài 13: Một số tự nhiên có tổng chữ số 2008 số phương khơng? Vì sao? Lời giải Gọi n Ta có: số tự nhiên có tổng chữ số 2018 = 672.3 + 2008 (n ∈ ¥ ) 3 n n 2 Vì tổng chữ số chia dư nên số chia cho có số dư n = 3k + (k ∈ ¥ ) ⇒n có dạng TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 3k + Mà số phương khơng có dạng nên số tự nhiên n khơng số phương Vậy số tự nhiên có tổng chữ số Bài 14: Cho A = + + 22 + 23 + + 233 Hỏi 2008 A khơng số phương có số phương khơng? Vì sao? Lời giải Ta có: A = + + (2 + 23 + + 25 ) + + (230 + 231 + 232 + 233 ) A = + 2(2 + 2 + 23 + ) + + 29 (2 + 2 + 23 + 24 ) A = + 2.30 + + 29.30 A = + 30.(2 + 22 + + 229 ) A = 3.(2 + 22 + + 229 )  10 + ⇒A ⇒A có chữ số tận khơng số phương PHẦN III CÁC BÀI TRONG ĐỀ THI Bài 1: Chứng minh n nguyên dương A = 20124 n + 20134 n + 20144 n + 20154 n khơng phải số phương với số (Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 – 2016) Lời giải Ta có 20124 n M4, ∀n ∈ ¥ * 20144 n M4, ∀n ∈ ¥ * 20134 n = ( 20134 n − 1) + chia cho dư TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 20154 n = ( 20154 n − 1) + chia cho dư A = 20124 n + 20134n + 20144 n + 20154 n Do AM2 Ta có Vậy A A không chia hết cho 22 chia cho , mà dư số nguyên tố nên A khơng số phương khơng số phương n5 + 1999n + 2017 ( n ∈ ¥ ) Bài 2: Chứng minh khơng phải số phương (Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi 2017 - 2018) Lời giải Ta có A = n5 + 1999n + 2017 = n5 − n + 2000n + 2015 + A = n(n − 1)(n + 1)(n − 2)(n + 2) + 5n(n − 1)(n + 2) + 2000n + 2015 + Ta thấy n(n − 1)(n + 1)(n − 2)(n + 2) M5 5n(n − 1)(n + 2)M5 2000.n M5 2015 M5 Nên A chia dư , mà khơng có số phương chia dư n5 + 1999n + 2017 ( n ∈ ¥ ) Vậy khơng số phương Bài 3: Chứng minh tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng số phương (Trích đề thi HSG lớp THCS Nguyễn Huy Tưởng năm học 2004-2005) Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG a, a + 1, a + 2, a + 3(a ∈ ¥ *) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp S = a + (a + 1) + (a + 2) + ( a + 3) = 4a + Ta xét Vì 4aM2 Mặt khác Vậy S 6M2 4aM4 nên S M2 không chia hết S không chia hết cho chia hết cho không chia hết S khơng số phương B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n − 1)(n − 2) Bài 4: Cho phương với n∈¥ * Chứng minh B khơng số (Trích đề thi HSG Bắc Ninh 2018-2019) Lời giải Ta có B = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 − 1) + 3.4.5.(6 − 2) + + n( n − 1)( n − 2).[ ( n + 3) − (n − 1) ] B = n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) = n + 6n + 11n + 6n n + 6n + 11n + 6n < n + 6n + 11n + 6n + = ( n + 3n + 1) Ta có: n + 6n3 + 11n + 6n > n + 6n3 + 9n = ( n + 3n ) (n + 3n ) < n4 + 6n3 + 11n + 6n < ( n2 + 3n + 1) 2 Suy Vậy B khơng số phương Bài 5: Chứng tỏ tổng sau khơng số phương S = abc + bca + cab khơng số phương (Trích đề thi Olympic lớp THCS Cầu Giấy năm học 2011-2012) Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG S = abc + bca + cab = 111a + 111b + 111c Ta có: = 111(a + b + c) = 3.37.( a + b + c) Để S a + b + c = 3.37.k (k ∈ ¥ ) số phương a + b + c ≤ 27 < 37 Điều vơ lí Vậy S khơng số phương Bài 6: Cho M = + 52 + 53 + + 580 M a) Chứng minh M b) Chứng minh chia hết cho khơng số phương (Trích đề thi HSG lớp Đa Phúc 2010-2011) Lời giải M = + 52 + 53 + + 580 a) Ta có: M = + 52 + 53 + + 580 M = ( + 52 ) + ( 53 + 54 ) + + ( 579 + 580 ) M = 5.(1 + 5) + 53 ( + ) + + 579 ( + ) M = ( + 53 + + 579 ) ⇒ M M6 b) Ta có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 5M5 52 M5 53 M5 580 M5 ⇒ M = + 52 + 53 + + 580 M5 Mặt khác: 25 không chia hết cho 52 M25 53 M25 580 M25 ⇒ M = + 52 + 53 + + 580 Ta có M M5 M khơng chia hết cho 25 không chia hết cho ( E = 125 + + 62 + + 62021 Bài 7: Cho 52 ) nên M khơng số phương Chứng minh E + 25 số phương (Trích đề thi Olympic lớp Nghĩa Đô 2010-2011) Lời giải a + a1 + a + + a n = a n +1 − a a −1 Ta có: Nên 62022 − 1 + + + + = 2022 2 −1 ⇒ E + 25 = 125 + 25 = 25 ( 2022 − 1) + 25 = 25.62022 = 52 ( 61011 ) = ( 5.61011 ) 2021 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Nên E + 25 số phương A = 10 2012 + 102011 + 102010 + 102009 + Bài 8: Cho A a) Chứng minh A b) Chứng minh chia hết cho 24 khơng số phương (Trích đề thi HSG lớp huyện Anh Sơn 2011-2012) Lời giải a) Ta có: A = 102012 + 102011 + 102010 + 102009 + A = 103 ( 102009 + 102008 + 102007 + 10 2006 ) + A = 8.125 ( 102009 + 102008 + 102007 + 102006 ) + A = 125 ( 102009 + 102008 + 102007 + 102006 ) + 1 ⇒ AM 102012 ,102011 ,102010 ,102009 Ta lại có dư Ta có A Vậy có tổng chữ số nên chia chia chia 102012 ,102011 ,102010 ,102009 3 dư cho (1 + + + + 2) có số dư dư phép chia Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) ⇒ AM3 Vì hai số nguyên tố nguyên nhau, AM3 AM AM24 , nên 102012 ,102011 ,102010 ,102009 b) Ta có có chữ số tận nên: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG A = 102012 + 102011 + 102010 + 102009 + Vậy A có chữ số tận 1; 4; 5; 6; khơng số phương số phương có tận 3; 6; 6; Bài 9: Tìm số phương có bốn chữ số, viết chữ số: (Trích đề thi HSG lớp THCS Sơn Đơng 2011-2012) Lời giải n2 Gọi số phương phải tìm - Vì số phương khơng có chữ số tận 3; phải có tận - Số có tận 86 chia hết cho khơng chia hết khơng số phương ⇒ n2 có tận 36 8836 = 942 Vậy số phương 8836 (với ) Bài 10: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết nhân với 135 ta số phương? (Trích đề thi HSG lớp THCS Sơn Đơng 2013-2014) Lời giải n n ∈ ¥ , 10 < n < 99 Gọi số phải tìm ( ) 135.n = a (a ∈ ¥ ) ⇒ 5.n = a Ta có: hay ⇒ n = 3.5.k (k ∈ ¥ ) Vì số phương có thừa số ngun tố với mũ chẵn nên k = ⇒ n = 3.5.12 = 15 +) Với k = ⇒ n = 3.5.22 = 60 +) Với k ≥ ⇒ n ≥ 3.5.32 ≥ 135 +) Với (loại n có nhiều hai chữ số) 15; 60 Vậy số cần tìm TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 11: Cho tổng S = + + + + 2009 + 2011 Chứng tỏ S số phương (Trích đề HSG tốn THCS Hồng Hà năm 2013 – 2014) Lời giải  2011 +   2011 −   2011 +  2011 +  = + 1÷ =  ÷ ÷ ÷ = 1006 2 2      S = + + + + 2009 + 2011  Ta có: S Vậy số phương M = + + + + (2n − 1) n ∈ ¥, n ≠ Bài 12: Cho tổng (với M Chứng tỏ số phương (Trích đề thi HSG huyện Lương Tài năm học 2015 – 2016) ) Lời giải 2n − − +1 =n 2n − đến có (2n − + 1).n = = n2 ⇒ M = + + + + (2n − 1) Xét dãy số tổng Vì M = n2 nên M M , từ (số số hạng) số phương Bài 13: Chứng minh rằng: với số tự nhiên khác có số lượng ước tự nhiên số lẻ số tự nhiên số phương (Trích đề thi HSG lớp huyện Vũ Thư, năm học 2018 – 2019) Lời giải P ( P ≠ 0) Gọi số tự nhiên P = ⇒ 12 = ⇒ P Nếu số phương P>1 P P = a x b y c z a, b, c Nếu Phân tích thừa số nguyên tố ta có: (với số nguyên tố) P ( x + 1)( y + 1) ( z + 1) Khi số lượng ước TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ( x + 1)( y + 1) ( z + 1) Theo đề ta có: ⇒ ( x + 1); ( y + 1); ;( z + 1) số lẻ đề số lẻ ⇒ x, y, , z số chẵn x = 2m; y = 2n; z = 2t Đặt P = a x b y c z = a m b2 n c 2t = ( a m b n c t ) Ta P Vậy số phương n + 2006 n Bài 14: Tìm để số phương (Trích đề thi HSG lớp trường THCS Sơn Tây, năm học 2015 – 2016) Lời giải n + 2006 Giả sử số phương 2 a = n + 2006 ( a ∈ ¢ ) Đặt ⇒ a − n = 2006 ⇒ (a − n)(a + n) = 2006 (*) (*) a, n +) Nếu a, n khác tính chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên khơng thỏa mãn +) Nếu tính chẵn lẻ a − n M2 ⇒ a + n M2 ⇒ ( a − n ) ( a + n ) M4 (*) Mà vế phải ⇒ (*) vô lý 2006 khơng chia hết cho TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vậy khơng tồn n để n + 2006 số phương Bài 15: Tìm số phương có chữ số biết số gồm số đầu lớn số gồm số sau đơn vị (Trích đề thi HSG lớp trường THCS Liên Hòa năm học 2008 – 2009) Lời giải Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm Theo đề ta có: abcd abcd = k k ∈ ¥ 32 ≤ k < 100 , , ab − cd = ( ) abcd = 100ab + cd = 100 cd + + cd = 101cd + 100 Ta có: ⇒ 101cd = k − 100 = ( k − 10 ) ( k + 10 ) ⇒ k + 10M 101 Mà Mà 32 ≤ k < 100 ⇒ ( k − 10;101) = nên k − 10M 101 k + 10M 101 32 ≤ k < 100 Vậy số cần tìm abcd = 912 = 8281  HẾT  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 ... DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG A = 102012 + 102011 + 102010 + 102009 + Vậy A có chữ số tận 1; 4; 5; 6; khơng số phương số phương có tận 3; 6; 6; Bài 9: Tìm số phương có bốn chữ số,... 3.4.5. (6 − 2) + + n( n − 1)( n − 2).[ ( n + 3) − (n − 1) ] B = n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) = n + 6n + 11n + 6n n + 6n + 11n + 6n < n + 6n + 11n + 6n + = ( n + 3n + 1) Ta có: n + 6n3 + 11n + 6n >... Ta có: số phương; ab − ba Mà số phương ⇒ a −b số phương a − b = ⇒ a − b = TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG a − b = ⇒ ab ∈ { 21,32, 43,54, 65 , 76, 87,98} +)