Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 1 z I
oAN Cam
NANG CAO PHAT TRIEN & BOI DUONG HSG THEO CHUYEN DE MON TOAN LOP 6 THEO CHUONG TRINH MOI
(Liên tục khai giảng các khóa học bồi dưỡng Toán trực tuyến khối 6, 7, 8, 9 dành cho các em HS trên toàn quốc)
I
CHUYEN DE: SO CHINH PHUONG TOAN LOP 6
>, s Giáo viên biên soạn: Thầy Thích Tel: 0919.281.916 (Zalo) Email: doanthich@gqmail.com Website: www.toanlop6.com $% $% `, >, s ss* LY THUYET 1 Dinh nghia:
Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên Nếu A là số chính phương thì A = k? (k EN) 2 Tính chất: a b C Số chính phương chỉ có thê có chữ số tận củng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; khong thé co chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 Một số chính phương khi chia cho 4 luôn có số dư là 1 hoặc 0 Chứng minh: Một số n khi chia cho 2 có dạng là: 2k hoặc 2k + 1 +) Vớin = 2k => nˆ= (2k) = 4k? :4 +) Vớin = 2k + 1 => n? = (2k + 1)? = 4k? + 4k + Ichia cho 4 du 1 Hoac: Chimg minh: Mot s6 chinh phuong n?, n khi chia cho 4 c6 dang: 4k; 4k + 1; 4k + 2; 4k + 3 +) Néun=4k => n? = (4k) = 16k? 4 +) Nếu n = 4k + 1 => n?= (4k + 1)? = (4k + 1)(4k + 1) = 16k? + 8k + 1 chia 4 dư 1 +) Nếu n = 4k + 2 => n? = (4k + 2)? = (4k + 2)(4k + 2) = 16k? + 16k +4: 4 +) Nếu n = 4k + 3 => n2 = (4k + 3)? = (4k + 3)(4k + 3) = 16k? + 24k + 9 chia 4 du 1 Một số chính phương khi chia cho § ln có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4
Tuyển tập các bài tốn ơn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án va Tuyén 1
Trang 2Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN Q com d Nếu một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục phải là chữ số 2 e Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chăn Ta có: a = ñ? = (x*.y z°)? = x”*.y?°, z? => Mỗi thừa số nguyên tố đều có số mũ là số chăn f Số các ước của một số chính phương (khác 0) là số lẻ Ngược lại, một số có số các ước lẻ thì số đó là số chính phương
Một số A khi phân tích ra các thừa số nguyên tố có dạng:
A =a*bY c?, A là số chính phương => x,y, z là số chăn
=> Số lượng các ước của A là: (x + 1)(y + 1) (z + 1) là một số lẻ
Ví dụ: 120 = 2.3.5 => Số lượng các ước của 120 là: (3 + 1).(1 + 1).(1 + 1)=
4.2.2 = 16 ước là số chăn => 120 không phải là số chính phương
ø Nếu số A năm giữa bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp thì A không là số
chính phương (n2) < A = a<(n+ 1
h Nếu n chia hết cho p là số nguyên tổ thì n? : p”
¡ Hai đăng thức thường dùng: a’ + 2ab + b = (a + b) a’ - 2ab + b? =(a- by’ Ta c6: (4k + 12 = (4k? + 2.4k.1 + 12 = 16k? + 8k + 1 Vi du: (x + 2) =x?+2.x.2+2?= x + 4x +4 Vi du: x? + 6x +9=x?+2.x.3 +37 =(x+3) Cách 2: x” + 6x +9 =x? + 3x + 3x +9 =(x* + 3x) + (3x + 9) = x(x + 3) + 3(x + 3) =(x + 3)(x + 3) =(x +3)
Trang 3Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN Q com Il MOT SO DANG TOAN THUONG GAP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOAN LOP 6 ¢ DANG 1: Kiểm tra một số có phải là số chính phương hay không Phương pháp giải: Để chứng minh mội số A không phải là số chính phương ta có thể chứng mình qua một số cách như sau:
Cách 1: Chứng minh chữ số tận cùng của A là một trong các SỐ: 2; 3; 7; 8
Cách 2: Chứng minh A : p (với p là số nguyên tố) nhưng A p# Cách 3: Chứng minh nˆ < A < (n + 1 Cách 4: Chứng minh A chia 4 dư 2, 3 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Các số sau đây có phải là số chính phương hay không? Vì sao? a A=3+3 2+33+ +32 GIải: Ta có: (32+33+ + 322) chia hết cho 9,
3 chia hết cho 3, không chia hết cho 9 nên suy ra:
A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên: A không phải là số chính phương b B=10!°+8 Gia: B = 10 08 (Có 9 chữ số 0) Vì B có chữ số tận cùng là § nên suy ra: B không phải là số chính phương c C=100!+7 Gia: C = 1.2.3 100 +7 => C có chữ số tận cùng là 7 nên B không phải là số chính phương d D=10!9+5
Trang 4Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN Q com Giải: C = 100 05 (Có 9 chữ số 0) Vì D chia hết cho 5 nhưng D không chia hết cho 25 nên D không phải là số chính phương e E=10!9+10°9°+] Giai: E=100 01000 01 , 98 chữ số 0 | „ „
E có tông các chữ sô băng 3 nên suy ra: E chia het cho 3 nhưng không chia hết cho 9 Nên suy ra: E không phải là số chính phương Bài 2: Cho A = 3 + 3? + 33 + + 3! , Chứng minh răng: 2A + 3 không phải là số chính phương Giai: Ta có: A=3+32+33+ +3! => 3A=32+3}3+3f1+ +3!9! => 3A —A=(32+33+3*+ + 319) (3 + 32+ 33+ + 3100 >2A=3!_—3 > 2A +3 =3'0 3 +3 =3!l => 2A +3 có số lượng ước là: 101 +1=102 1a sé
chăn nên 2A + 3 không phải là số chính phương
Bài 3: Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số H = 1234 1112 Số H có thể có 81 ước được không? Giải: Giả sử H có 81 ước, vì số ước của H là số lẻ nên H là số chính phương (1) Ta có: Tổng các chữ số của H: I +2+3+ +(1+0)+(1+1)+(1+2)=5I (Hoặc H có chữ số tận cùng bằng 2 nên H không phải là số chính phương)
=> H chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên H không phải là số chính phương (2)
Trang 5
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I
oAN com
Từ (1) va (2) suy ra: Điều này là mâu thuẫn, H không thê có 81 ước được
Bài 4: Chứng minh răng một số chính phương khi chia cho 4 luôn có số dư là 1 hoặc 0 Giải:
Cách 1: Giả sử a = nŸ là số chính phương Vì n là số tự nhiên nên suy ra: n = 4k; 4k +
1;4k+2; 4k +3
+) Với n= 4k => a=n? = (4k) = 16k” : 4 => Dư 0
+) Với n= 4k + l =>a= (4k + 1)?= 16k? + 8k + 1 chia dư 4 dư 1 Hoặc a = (4k + 1Ÿ =(4k + 1)(4k + 1) = 16k? + 8k + 1 chia dư 4 dư 1 +) Với n= 4k + 2 => a= (4k + 2)? = 16k? + 1ók+ 4: 4=> dư 0 +) Với n= 4k + 3 => a= (4k + 3)? = 16k? + 24k + 9 = chia 4 dư 1 Cách 2: Giả sử a = n° là số chính phương Vì n là số tự nhiên nên suy ra: n = 2k hoặc n = 2k + l (K€N) +) Với n= 2k => a= nˆ= (2k) = 4k”: 4 (1) +) Với n=2k+ 1 =>a=nˆ=(2k+ 1} = 4k? + 4k + 1= 4.(kˆ+k)+ 1
=> a chia cho 4 dư 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: một số chính phương khi chia cho 4 luôn có số dư là I hoặc 0 (đpcm) Bài 5: Chứng minh răng: Không tồn tại hai số tự nhiên x và y khác 0 sao cho x? + y và x + y? là số chính phương Giải: Nhận xét: Vai trò của x va y tương đương nhau Giả sử: x < y nên suy ra: y<x+y<y+V =y(y+l)<(+1)(qw+1)=(y+ HÝ oy <xty<(y+1p Tuong tu voi TH x” + y
Trang 6Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN Q com Suy ra: Không tồn tại hai số tự nhiên x và y khác 0 sao cho x? + y và x + y? là số chính phương Bài 6: Chứng minh rằng: Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng | la một số chính phương GIải: Giả sử bốn số tự nhiên liên tiếp la:n,n+1,n+2,n+3 Vay tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là: n.(n+ 1).(n + 2).(n +3) + 1 =(n°+3n).(n° + 3n +2) + I = (n? + 3n)? + 2 (n? +3n)+1 =(n? + 3n)? + (n? + 3n) + (n + 3n) + 1 = (n’ + 3n)[ (n? + 3n)+ 1] + (mn? + 3n) +1 =[(n? + 3n)+ 1] [(n? + 3n)+ 1] = [(n? + 3n) + 1]? 1a mét sé chinh phuong v6i moi n thuộc N Hoac: Ta có: n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) + 1= (ắ + 3n).(n + 3n + 2) + 1 Đặt a = n + 3n => n.(n+ 1).(n+2).(n+3)+1=a.(a+2)+ 1 =a?+2a+1=(a)})+2.a.1 + 1?= (a + Lƒ =(nˆ+3n + 1 là số chính phương Bài 7: Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thê là một số chính phương không? Giải:
Có ba trường hợp xảy ra như sau:
THỊ: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng là: 60: Không phải là số chính phương Vì: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng là 60 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25,
TH2: Số tự nhiên có hai chữ tận cùng là: 06: Không phải là số chính phương
Trang 7
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I
oAN Q com
Vì: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng là 06 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 TH3: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng là: 66: Không phải là số chính phương Vì: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng là 66 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4
Vậy: Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 không thể là một số chính phương Bài 8: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2 Chứng minh rằng: A — B là một số chính phương Giai: P= TAT mamiel.l.L Bee vee oe 100 chữ số 1 50 chữ số 2 Dat: C=111 111 => B=2C 50 chữ số 1 > A-—B=111 111 - 222 222 100 chữ số 1 50 chữ số 2 > A—-B=111 111.10° + 111 111 -2 111 111 50 chữ số 1 50 chữ số 1 50 chữ số 1 => A-B=C.109+C-2C => A-B=10°C-—C => A-B=C((109 - 1) => A—B=C.999 999 = C.(9.C) = 9C? = (3C 50 chữ số => A— B là một số chính phương Bài 9: Có hay không có một số chính phương mà số đó gồm 1995 chữ số I và các chữ số còn lại là chữ số 0? Giải: Ta có: Tổng các chữ số là: I + 1+ 1+ +1+0+0+ +0= 1995, 1995 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên: Số theo yêu cầu đề bài không phả là số chính phương
Trang 8Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I oAN com Bai 10: Cho A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n.(n + 1).(n + 2) Chứng minh răng: 4A + 1 là một số chính phương Giải: Ta có: A=1.23+2.3.4+3.4.5+ +n.(n + 1).(n+ 2) 4A = 1.2.3.4+ 2.3.4.4 + 3.4.5.4+ + n.(n + 1).(n + 2).4 4A = 1.2.3.(4-0)+2.3.4.(S - 1) +3.4.5.(6-2)+ +n.(n+ 1).(n + 2).[(n + 3) —(n -1)] 4A = 1.2.3.4-0.1.2.3+2.3.4.5—-123.443.456—-23.45+ +n.(n+1)(n+2)(n+ 3)-(@- Int 1+ 2) 4A = n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) 4A+1=n.(n+ 1).(n+2).(n+3)+ 1 Ta có: n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) + 1 = (n? +3n).(n + 3n+ 2) + 1 Đặt a = n + 3n => n.(n + I).(n+2).(n+3)+1=a.(a+2) + 1
=a?+2a+1=(a))+2.a.1 + 1?=(a + L#= (n? + 3n + 1) là số chính phương Bài 11: Chứng minh số : n = 44 + 444 + 444444 + 444444 + 15 khong là số chính phuong
GIải:
Ta có: n= 41 + 44'4 + 44444 + 444444 + 15
n=41+ 4424 + 44444 + 4444424 +12 +3
Ma 44+ 44 + 444 + 44442 + 12 chia hết cho 4 nên suy ra: n chia cho 4 dư 3
=> n không phải là số chính phương
Bài 12: Cho A là số có 1000 chữ số trong đó có 999 chữ số 5 và một số duy nhất khác 5 Chứng minh răng A không phải là số chính phương
Giải:
Trang 9
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I
oAN com
Gọi chữ số khác 5 trong A là a Xét các khả năng:
+) a không thuộc hàng chục va hang don vi: A = 55 a 55
Ta có: A chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên suy ra: A không phải là số chính phương
+) a thuộc hàng đơn vị => A = 55 5œ
Xét a € {0; 1; 4; 6; 9}, ta co:
- Néua=0=>A=55 50 khong phai la s6 chinh phuong vi A chia cho 4 dư 2 - Néua=1=>A=55 51 khong phai la s6 chinh phuong vi A chia cho 4 du 3 - Néua=4=>A=55 54 khong phai la s6 chinh phuong vi A chia hết cho 2 nhưng
không chia hết cho 4
-_ Nếua=6=> A =55 56 không phải là số chính phương vì A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
-_ Nếua=9 => A =55 59 không phải là số chính phương vì A chia cho 4 dư 3
+) Xét a thuộc hàng chục, vì các chữ số còn lại là 5 cả nên a = 2
=> A=55 525 không phải là số chính phương vì A chia cho 8 dư 5 KL: A không phải là số chính phương (đpem)
Bài 13: Chứng minh số : n = 2004? + 2003? + 2002? - 2001? không phải là số chính phương
Giải:
Ta có: n= 20042 + 2003? + 20022 - 20012 =( 6) + ( 9) +( 4)— ( 1)
> n=( 8)
=> n không phải là số chính phương
Bài 14: Chứng minh số : n = 2004 + 20043 + 20042 + 23 không là số chính phương Giải:
n = 2004 + 20043 + 2004? + 23
=> n= 2004 + 20043 + 20042 + 20 + 3
Trang 10
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I
oAN Q com
Mà 2004 + 2004? + 2004? + 20 chia hết cho 4 nên suy ra: n chia cho 4 dư 3
=> n không phải là số chính phương
Bài 15: Chứng minh rằng số: A = 111 1 555 5 6 là số chính phương n n-1 Giai: Taco: A=111 LOSS cx on 56= 111 1555 os ie 5a + I n n-1 n n > A=111 1111 1+444 4+1 n n n > A=111 1+4 111 1+1 ee ee 2n n 2n_ n_ > A= +4 +1 > A= eos > A= ee > A= 1027+4+4,10"+4 SA (10")2+2.10".2+27 32 > A= (10"+2)? 32 n.2x2 — (10+2 > A={ 3 ) => A là số chính phương (đpem) * DẠNG 2: Tìm số chính phương Bai 1: Cho bon chữ sô: 0, 2, 3, 4 Tìm sô chính phương có bôn chữ sô gôm cả bôn chữ sô trên Giải:
Gọi sô có bôn chữ sô là: abcd
Vi là số chính phương nên chữ số hàng đơn vị d chỉ có thể là 0, 4 Nếu chữ số tận cùng d là 0, thì abc0 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 Nên không phải là số chính phương Vậy chữ số tận cùng d là 4
Trang 11
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I
oAN com
= Sô có bôn chữ sô có dạng: abc4
Số chính phương abc4 chia hết cho 2 nên phải chia hết cho 4 Vậy chữ số hàng chục c
có thê là 0 hoặc 2
Nếu chữ số hàng chục c là 0 thì số tìm được: 2304 = 48? (là số chính phương), 3204 (không phải là số chính phương)
Nếu chữ số hàng chục c là 2 thì số tìm được là: 3024 (không phải là số chính phương) Vậy số cần tìm theo yêu cầu đề bài là: 2304 = 48”
Bài 2: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 101 thành một số A a A có là hợp số hay không?
b _A có là số chính phương hay không?
c A có thê có 35 ước hay không? Giải: Ta có A = 1234 99100101 Tính tổng các chữ số của A: 1+2+3+ +(1+0)+(1+1)+ +(1+0+0)+(1+0+1) =(I1+2+3+ +9)+đ40(1%2+3+ +9)+7.(1+2+3+ +9)+3 = 20.45 + 3
a Tổng các chữ số của A chia hết cho 3 nên A là hợp số
b A không phải là số chính phương vì: A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 c Giả sử A có 35 ước, vì số ước là lẻ nên A là số chính phương
Theo câu b, A không phải là số chính phương Vậy A không thể có 35 ước được
Bài 3: Từ năm chữ sô 1, 2, 3,4, 5 Hãy lập tât cả các sô có năm chữ sô gôm cả năm chữ sô trên Trong các sô lập được, có sô nào là sô chính phương hay không?
GIải:
Trang 12
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I
oAN com
- C6 tat ca: 5! = 1.2.3.4.5 = 120 số có năm chữ số gồm cả năm chữ số trên
- _ Ta có: Tổng các chữ số có năm chữ số: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 5 Nên tất cả các số trên, không có số nào là số chính phương
Bài 4: Tìm số tự nhiên n có hai chữ SỐ, biết rang: 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương Giải: Vì n là số tự nhiên có hai chữ số nên: 10 <n < 99 > 21<2n+1< 199 Các số chính phương lẻ nằm trong khoảng trên là: 25; 49; 81; 121; 169 Lập bảng sau: 2n+ 1 235 49 81 121 169 n 12 24 40 60 84 3n+1 37 73 121 181 253
Vậy chỉ có: n = 40 là thỏa mãn đề bài
Bài 5: Tìm số tự nhiên ab (a > b > 0) sao cho ab — ba là số chính phương
Giải:
Ta có: ab — ba = 10a +b— (10b + a) = 9.(a - b) =3” (a - b)
Vi ab — ba là số chính phương nên: a—b =k? (k € N*) Via, b là là số nguyên, a > b > 0 nên suy ra:
+)a—b = I1: Có các cặp giá trị như sau: (a, b) = {(9, 8); (8, 7); Ứ, 6); (6, 5); 6, 4); (4,3); (3, 2); (2, 1)) Vậy, ab € {21; 32; 43: 54; 65; 76; 87; 98} +)a—b= 4: Có các cặp giá trị như sau: (a, b) = {(9, 5); (8, 4); (6,2); 5, D}
Trang 13Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN Q com Vay , ab € {95; 84; 62; 51} D/s: ab € {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98; 95: 84; 62; 51}
Bài 6: Tìm sô tự nhiên có hai chữ sô, sao cho nêu cộng nó với sô có hai chữ sô ây việt
theo chiêu ngược lại thì ta được một sô chính phương Giải: Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: øb Theo đề bài ta có: ab + ba=k? > 10a+b+10b+a=k? > 11 (a+b)=k > at+b=11 (a, b) € {(2, 9); (9, 2), (8, 3); (3, 8); 7, Ds 4, 7) G, 6); (6, 5)7 Vay, ab € {29; 92; 83: 38: 74; 47; 56; 65}
Bài 7: Tìm số chính phương có bốn chữ só, biết rằng chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị và số chính phương đó viết được dưới dạng (5n + 4), với n thuộc số tự nhiên
Giải:
Nhận xét:
Giá trị (5n + 4) luôn có chữ số tận cùng bằng 4 hoặc băng 9
= (5n + 4} luôn có chữ số tận cùng bằng 6 hoặc băng 1
Suy ra: Xét hai trường hợp: Chữ số tận cùng bằng 6 và I THI: 5n + 4 tận cùng bằng 4 => (5n + 4)? tận cùng bằng 6 Cần tìm số có dạng: 6 x+ 6 là bình phương của một số có tận cùng bằng 4 Ta có: 74? = 5476 < 6 ** 6 < 7056 = 84 => Không có giá trị nào thỏa mãn TH2: 5n + 4 tận cùng bằng 9 => (5n + 4)? tận cùng băng 1 Cần tìm số có dạng: 1 +* 1 là bình phương của một số tận củng bằng 9
Trang 14Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN Q com Ta c6: 29? = 841 <1 ** 1 < 2401 = 49? => Co 1 *«« 1 = 397 = 1521 là thỏa mãn D/s: 1521 Bài 8: Tìm số tự nhiên n sao cho tổng sau là một số chính phương: S=1!+2!+3!+ +n! GIải: Với n= 1: Ta có: S = 1! = 1 là số chính phương Với n=2: Ta có: § = 1! +2! = 1 +2 =3 không phải là số chính phương Với n=3: Ta có: S = 1! + 2! + 3! = 9 là số chính phương
Với n=4: Ta có: S = 1! +2! + 3! + 4! = 33 không phải là số chính phương
Bắt đầu từ 5!, 6!, , n! đều có chữ số tận cùng là 0 Nên suy ra:
S=1!+2!+3!+ +n! có chữ số tận cùng là 3 nên không phải là số chính phương
Vậy với n > 4 thì S không phải là số chính phương KL:n€ {1;3}
Trang 15
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I
oAN com
CHUYEN DE: SO CHINH PHUONG
>, s Giáo viên biên soạn: Thầy Thích Tel: 0919.281.916 (Zalo) Email: doanthich@gqmail.com Website: www.toanlop6.com C BAI TAP TU LUYEN $% $% ‹, `, s s
Bài 1: Chứng minh răng một số chính phương khi chia cho 8 có số dư là 0, 1, hoặc 4 Bài 2: Chứng minh rằng: Tông của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương Bài 3: Chứng minh rằng: Các số sau không là số chính phương:
a abab b abcabc
Bài 4: Cho A = 2? + 23 + 21+ + 2” Chứng minh rằng: A + 4 không phải là số chính
phương
Bài 5: Chứng minh răng: Tổng sau không phải là số chính phương: S =abc + bca + cab
Bài 6: Cho A = 1 +3 + 5+ + (2n - 1) (với n thuộc N*) Hỏi A có là số chính phương hay không? Vì sao?
Bài 7: Cho A =2 + 4+ 6+ +2n ( với n thuộc N*) Hỏi C có phải là số chính phương hay không? Vì sao?
Bài 8: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương
Bài 9: Chứng minh rằng nếu một số có tông các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương
Bài 10: Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương Bài 11: Chứng minh rằng các tổng sau không thê là số chính phương :
a) M= 19*+ 5*+ 1995* + 1996 (với k chăn, k € N*)
b)N =200429% + 2003 (k € N)
Trang 16
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I oAN com Bài 12: Tìm số chính phương có bốn chữ số là: 3, 6, 8, 8 Bài 13: Tìm số có hai chữ SỐ, biết rằng: Nếu nhân nó với 135 thì được một số chính phương
Bài 14: Tìm sô chính phương có bôn chữ sô sao cho hai chữ sô đâu giông nhau, hai chữ so cudi gidng nhau
Bài 1Š: Tìm sô tự nhiên n có hai chữ sô, biệt răng nêu nhân nó với 45 thì ta được một
sô chính phương
Bài 16: Tìm số chính phương có bốn chữ só, biết rằng: Các chữ số hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị theo thứ tự đó làm thành bốn số tự nhiên liên tiếp tăng dần
Bài 17: Tìm số chính phương có dạng 22ab
Bài 18: Tìm một số tự nhiên sao cho:
a) Nếu thêm 64 hoặc bớt đi 35 ta đều được một số chính phương b) Nếu thêm 51 hoặc bớt đi 38 ta đều được một số chính phương
Bài 19: Chứng minh số 4014025 không là số chính phương
Bài 20: Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho n là số chính phương và là bội của 147
r A
Bài 21: Tìm các sô có ba chữ sô, sao cho hiệu của sô ây và sô gôm ba chữ sô ây việt theo thứ tự ngược lại là một sô chính phương
Trang 17
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I
oAN com
NANG CAO PHAT TRIEN & BOI DUONG HSG THEO CHUYEN DE
MON TOAN LOP 6
(Tài liệu lưu hành nội bộ)
CHUYỀN ĐÈ: SÓ CHÍNH PHƯƠNG TOÁN LỚP 6 HUONG DAN BÀI TAP TU LUYEN
Bài 1: Chứng minh răng một số chính phương khi chia cho 8 có số dư là 0, 1, hoặc 4 Giải:
Gọi a? là số chính phương => a khi chia cho 4 được biểu diễn: 4k; 4k + 1; 4k + 2; 4k + 3
- Với a= 4k => a”= 16k” chia 8 dư 0
-_ Vớia=4k+ 1l =>a?=(4k + I)= 16k? + 8k + 1 chia § dư 1
-_ Vớia=4k+2=>aˆ= (4k+ 2)= 16k? + 16k + 4 chia 8 dư 4 -_ Vớila=4k+3 =>a^= (4k + 3) = 16k? + 24k + § chia 8 dư 1
Vậy một số chính phương khi chia cho § có số dư là 0, 1, hoặc 4
Bài 2: Chứng minh răng: Tông của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương
Giải:
Xét 4 số tự nhiên liên tiếp la:n—1;n;n+1;n+2
Suy ra: Tổng của 4 sé la: n—-1 +n+n+1+n+2=4n+2 chia hét cho 2 nhung không chia hết cho 4 nên suy ra: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương
Bài 3: Chứng minh rằng: Các số sau không là số chính phương:
a) abab
Trang 18Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I oAN com b) abcabc Giải: a) Ta có: abab = 101ab; Mà ab < 100, 101 là số nguyên tố nên abab không là số chính phương
b) Ta có: abcabc = 1001abc; 1001 = 7.11.13 là tích của 3 số nguyên tó
Mà abc < 1000 nên suy ra: abcabc không là số chính phương
Bài 4: Cho A = 2? + 23 + 2+ + 2” Chứng minh rằng: A + 4 không phải là số chính
phương
GIải: Ta có: A=2?+23+2?+ +22=2?!_4
=> A+4=2?!—4+4= 2”! không phải là số chính phương Bài 5: Chứng minh răng: Tổng sau không phải là số chính phương:
S = abc + bca + cab
Giải:
Ta có: S = abc + bca + cab = 111(a +b+c)= 3.37.(a+b+ c)
Mà a +b + e< 27; 37 là số nguyên tổ nên suy ra: S không phải là số chính phương Bài 6: Cho A = 1+3 + 5+ + (2n - 1) (với n thuộc N*) Hỏi A có là số chính
phương hay không? Vì sao?
Giải:
(1+2n—1).n
Ta có: A=1+3+5+ +(2n-I)= = Ÿ là số chính phương Bài 7: Cho A =2 +4+6+ +2n ( với n thuộc N*) Hỏi A có phải là số chính phương hay không? Vì sao?
Giải:
_— (2+2n).n
Ta có: A=2+4+6+ +2n= = n{n + 1) không phải là số chính phương
Trang 19
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I oAN com Bài 8: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương Giải:
Ta có: 1234567890 là số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên suy ra: 1234567890 không phải là số chính phương
Bài 9: Chứng minh rằng nếu một số có tông các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương
Giải:
Một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên suy ra: Số đó không phải là số chính phương
Bài 10: Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương
Giải:
Một số có tổng các chữ số là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2, một số là số chính phương khi chia cho 3 có số dư có thể là: 0 hoặc 1 Nên suy ra: Số đó không phải là số chính phương Bài 11: Chứng minh rằng các tổng sau không thê là số chính phương : a) M= 19*+ 5*+ 1995 + 1996 (với k chăn, k € N*) b)N =200479%% + 2003 (k€N) Giai: a) Ta cé: M = 19% + 5k + 1995* + 1996*
Vì k là số chăn thì: M =( 1) + ( 5) +( 5) +( 6) =( 2) nên suy ra: M có chữ số tận cùng bằng 2 không phải là số chính phương
b) N= 200474 + 2003 = 20042%9% + 2000 + 3 chia cho 4 dư 3
Mà số chính phương khi chia cho 4 có số dư có số dư là 0 hoặc 1 nên suy ra: Đ khơng phải là số chính phương
Bài 12: Tìm số chính phương có bốn chữ số là: 3, 6, 8, 8
Trang 20
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I
oAN Q com
Giai:
- _ Số chính phương không tận cùng là 3 hoặc § nên suy ra: Chữ số tận cùng là: 6
- _ Mà số này chia hết cho 2 nên phải chia hết cho 4 => Hai chữ số tận cùng là 36 Suy ra: Số có thê là: 8836 = 94? là số chính phương
Bài 13: Tìm số có hai chữ SỐ, biết rằng: Nếu nhân nó với 135 thì được một số chính phương Giai: Gọi số có 2 chữ số cần tìm là: ab Theo đề bài suy ra: 135 ab = 3Ÿ.5 ab = 32.15 ab Để là số chính phương thì: ab = 15 là thỏa mãn
Bài 14: Tìm sô chính phương có bôn chữ sô sao cho hai chữ sô đâu giông nhau, hai chữ SỐ cuôi g1ông nhau
Giải:
Gọi số chính phương cần tìm là: aabb = 1100a + 11b = 11.(100a + b) Dé 1a sé chinh phuong thi: 100a + b = 11.m?
Ma 100a + b > 100 => Ta co bang sau: 100at+b | 11.47 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 aabb 1936 3025 4356 5929 7744 9801 Trong các sô trên thì chỉ có 7744 là thỏa mãn Bai 15: Tim so tu nhiên n có hai chữ sô, biệt răng nêu nhân nó với 45 thì ta được một sô chính phương Giai:
Gọi s6 n= ab Theo dé bai ta c6: 45 ab = 32.5 ab
Dé 1a so chinh phuong thi: ab = 5.m? (m> 1) Taco bang sau:
Trang 21
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN Q com ab 5? 5.3? 5.4 ab 20 45 90
Bài 16: Tìm số chính phương có bốn chữ só, biết rằng: Các chữ số hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị theo thứ tự đó làm thành bốn số tự nhiên liên tiếp tăng dần
Giải:
+) Nếu là số chính phương thì chữ số tận cùng chỉ có thé là: 0; 1; 4; 5; 6; 9
+) Chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng nghìn là trăm là 3 đơn vị Vậy ta xét các số sau: - _ Xét số: 2134 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không phải là số chính phương - _ Xét số: 3245 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không phải là số chính phương - _ Xét số: 4356 = 66” là số chính phương - _ Xét số: 7689 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không phải là số chính phương Bài 17: Tìm số chính phương có dạng 22ab Giải: Ta có: 2116 = 46? < 22ab < 482 = 2304
Suy ra: 22ab = 472 = 2209 thỏa mãn
Bài 18: Tìm một số tự nhiên sao cho:
a) Nếu thêm 64 hoặc bớt đi 35 ta đều được một số chính phương b) Nếu thêm 51 hoặc bớt đi 38 ta đều được một số chính phương
Giải:
a) Gọi a là sô cân tìm
Trang 22
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN Cam ` = 2 Theo đề bài ta có: {° +e — ”, —> mẺ — nẺ — 99 <—> (m - n)(m +n) =99 99 là sô lẻ nên suy ra: m— n và m + n là hai sô cùng lẻ sô,m +n>m-n jmtn=99 _ fm= 50 _— „aa _ TH ee fee gg 7 a= 50? — 64 = 2436 .(Wm+mr= 33 (mn=18_—_ „_ ge gy TH: {DU Da [epg a= 18? 64 = 260 TH3: {™ FP = UE => [M= 10 <> a= 10? 64 = 36 m-n=9 n=1 b) Goi a là sô cân tim ` = 2
Theo dé bai ta có: one => m?— n? = 90 <=> (m-n)(m +n) = 90
90 là sô chăn nên suy ra: m — n và m + n là hai sô cùng số chăn
Suy ra: (m - n)(m + n) : 4, mà 90 không chia hết cho 4 nên suy ra: Không tồn tại giá trị
m, n nào thỏa mãn => Không tôn tại số tự nhiên a nào thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 19: Chứng minh số 4014025 không là số chính phương
Giải:
Nhận xét : Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1 Thế là tât cả các cách làm trước đêu không vận dụng được Các em có thê thây lời giải theo một hướng khác
Lời giải : Ta có 2003” = 4012009 ; 2004 = 4016016 nên 2003? < 4014025 < 2004
Chứng tỏ 4014025 không là sô chính phương
Trang 23Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Suy Ta: k 12 27 48 n 1764 3964 7056 ToAN TOD scot r A
Bài 21: Tìm các sô có ba chữ sô, sao cho hiệu của sô ây và sô gôm ba chữ sô ay việt theo
thứ tự ngược lại là một số chính phương
Giải:
Goi sé can tim la: abc Theo dé bai suy ra: abc — cha = 99a — 99c = 9.11.(a—c) là
một số chính phương thì: a— b = 0 là thỏa mãn => a = c Vậy số cần tìm có dang la: aba
Chữ số a có 9 cách chọn, chữ số b có 10 cách chọn => Có 9.10 = 90 số thỏa mãn
tập 16 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 | Thầy Thích — 0919.281.916 (Zalo)