CHUYÊN đề 1 số tự NHIÊN

CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN A Kiến thức cần nhớ *) Nhận xét: Đối với “Bài toán đếm số” khơng có phương pháp chung cho toán dạng Mà gặp tốn có liên quan tới việc đếm số, đếm chữ số địi hỏi tư duy, tố chất thơng minh kết hợp với kiến thức học tập hợp số tự nhiên để giải toán Qua tốn cụ thể, học sinh tích lũy phương pháp giải, giúp hỗ trợ cho việc giải toán khác dạng tốt *) Đếm số tự nhiên lập từ m số cho trước lấy từ tập hợp số { 0;1; ;9} ta làm sau: + Chọn m số làm chữ số hàng cao nhất, lập sơ đồ hình cây, sau đếm số lập + Ví dụ: Từ số 3, 6, lập số có chữ số Bước 1: Chọn chữ số làm hàng trăm, ta có số 369 396 Bước 2: Từ sơ đồ, ta thấy từ chữ số cho ta lập số có chữ số khác mà chữ số hàng trăm Tương tự ta lập số có chữ số khác mà chữ số hàng trăm 6, lập số có chữ số khác mà có chữ số hàng trăm Bước 3: Vậy từ chữ số cho ta lậ 3.2 = số *) Để tìm số tự nhiên chưa biết, ta vận dụng hai phương pháp sau - Phân tích cấu tạo số số tự nhiên Ta có: ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c = 10ab + c = 100a + bc abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 10abc + d = 100ab + cd = 1000a + 10bc + d - Từ đặc điểm số cần tìm kiện tốn ta lập luận, nhận xét để lựa chọn chữ số (thường nhận xét để chữ số hàng đơn vị chữ số hàng cao nhất) B Bài tập dạng toán Dạng 1: Phương pháp giải toán đếm số Cách giải: - Liệt kê: Các phần tử thỏa mãn điều kiện cho trước ⇒ dùng phương pháp đếm (ít phần tử) - Dựa vào quy luật hình thành phần tử để đếm (chia hết cho 2, 3, … thỏa mãn điều kiện đó) Bài 1: Học sinh giỏi Hà Nội, năm 2015 a Có số tự nhiên gồm ba chữ số có chứa số 4? b Có số tự nhiên gồm ba chữ số có chứa chữ số 4? (các chữ số không thiết phải khác nhau) Lời giải a) Số có chữ số chứa số có dạng: Số có chữ số thỏa mãn là: Dạng: - Dạng - Dạng a 4b , có 4ab b) Gợi ý: , có 8.9 = 72 9.9 = 81 ab4 , có ab4, a 4b, 4ab(0 ≤ a ≤ 9; a, b ≠ 4) 8.9 = 72 số thỏa mãn số số a 44(0 < a ≤ 9); 4a 4; 44a(0 ≤ a ≤ 9), a ≠ , có + + = 26 số thỏa mãn Bài 2: Có số tự nhiên chia hết cho gồm bốn chữ số, chữ số tận 2? Lời giải *) Phân tích: Đây bào tốn đếm số tự nhiên có liên quan tới dấu hiệu chia hết cho Trước hết ta cần viết số tự nhiên cần tìm dạng abc , sau đếm số cách chọn chữ số tập { 0,1, , 9} hợp Việc thực số cách chọn chữ số a, b, c d có dang buộc lẫn Do chữ số a có m cách chọn, chữ số b có n cách chọn, chữ số c có k cách chọn ta có m.n.k số có bốn chữ số thỏa mãn toán Việc chọn chữ số c phải thỏa mãn điều kiện chi chia hết cho c 2M4 *) Lời giải Các số phải đếm có dạng: Chữ số a có abc cách chọn a Với cách chọn , chữ số b a, b Với cách chọn chữ số có c 10 có cách chọn (1,3,5,7,9) cách chọn để tạo với chữ số tận làm thành số chia hết cho Tất có: 9.10.5 = 450 số Bài 3: Có số tự nhiên có ba chữ số có chữ số ? Lời giải *) Phân tích: Số tự nhiên có ba chữ số có chữ số 5, ta cần hiểu chữ số chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng chục, chữ số hàng trăm nên ta cần chia ba loại số có 5ab; a5b; ab5 chữ số thỏa mãn là: Ở loại số ta thực đếm số cách chọn chữ số từ { 0,1, 2,3, 4, 6, 7,8,9} tập hợp giống *) Lời giải Ta chia loại số: - Số đếm có dạng có: 9.9 = 81 5ab có: a có cách chọn, chữ số b có cách chọn số thuộc loại số a5b - Số điểm có dạng 8.9 = 72 : chữ số : chữ số a có cách chọn, chữ số b số - Số đếm có dạng ab5 : số thuộc loại có: 8.9 = 72 số có cách chọn, số thuộc loại Vậy số tự nhiên có ba chữ số có chữ số 81 + 72 + 72 = 225 số Bài 4: Để đánh số trang sách, người ta viết dãy số tự nhiên dùng tất 1998 phải chữ số a) Hỏi sách có trang? b) Chữ số thứ 1010 chữ số nào? Lời giải *) Phân tích: Để đếm số trang sách ta cần phân số trang sách theo loại Loại 1: Số trang sách mà số có chữ số Loại 2: Số trang sách mà số có chữ số Loại 3: Số trang sách mà số có chữ số Từ tính số chữ cịn lại để đánh dấu trang có chữ số, tính số trang sách b) Nhận thấy số 100 số thứ có chữ số Bằng việc dùng phép chia dư ta cần tìm xem chữ số thứ 1000 thuộc số thứ có chữ số *) Lời giải a) Hỏi sách có trang? Ta có: Từ trang Từ trang 10 đến trang đến trang 99 phải dùng phải dùng chữ số (viết tắt chữ số) (99 - 10) +1 = 90 số có chữ số = 180 chữ số Vì cịn trang gồm số có chữ số Þ Þ Þ Cịn lại: Có: 1998 - (180 + 9) = 1809 1809 : = 603 số có chữ số Cuốn sách có: Cuốn sách có b) Vì 702 chữ số đánh dấu trang có chữ số 603 + 99 = 702 (vì trang ® 99 có 99 trang) trang 1010 >180 + nên chữ số thứ 1010 nằm số có chữ số 1010 - ( 180 + 9) = 821 Ta có chữ số đánh dấu trang có chữ số tính từ trang 100 (số thứ có chữ số) nên có Þ chữ số thứ Số thứ Þ 274 1010 821: nằm số thứ chữ số thứ 274 có chữ số 374 có chữ số 1010 273 dư chữ số 374 Bài 5: Trong số tự nhiên có ba chữ số, có số: 4 a) Chứa chữ số ? b) Chứa hai chữ số ? 5 c) Chia hết cho , có chứa chữ số ? Lời giải a) Chứa chữ số ? Các số phải đếm có 4bc a 4c ab có có có 9.9 = 81 8.9 = 72 8.9 = 72 Tất có: dạng: số số số 81 + 72 + 72 = 225 số b) Chứa hai chữ số ? Các số phải đếm gồm dạng: 44c, a 44, 4b d) Chia hết cho , không chứa chữ số ? , có 26 c) Chia hết cho , có chứa chữ số ? số Số có ba chữ số, chia hết cho có cách chọn, Vậy có b có 180 - 72 =108 gồm cách chọn, c 180 có số, số không chứa chữ số cách chọn (là ) gồm 8.9 = 72 có dạng abc a , số số phải đếm 3 d) Chia hết cho , khơng chứa chữ số ? Số phải tìm có dạng a + b = 3k Nếu abc c = 0;3;6;9 a + b = 3k + , a , c = 1; 4;7 có cách chọn, a + b = 3k +1 , có 8.9.3 = 216 b có c = 2;5;8 cách chọn, c có cách chọn (nếu số Bài 6: Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho có tận 5? Lời giải *) Phân tích: Những số có tận ln cách 10 đơn vị, nhiên tốn địi hỏi số tự nhiên có chữ số chia hết cho Do ta cần xác định: Số nhỏ có chữ số chia hết cho có tận Khoảng cách dãy 30 Từ vận dụng cơng thức “Số số hạng = (số cuối – số đầu) : Khoảng cách” *) Lời giải Số lớn có chữ số chia hết cho có tận 9975 Số nhỏ có chữ số chia hết cho có tận 1005 Ta có dãy số: 1005 ; 1035; 1065; ; 9975 Khoảng cách dãy 30 ⇒ Số số tự nhiên có chữ số chia hết cho có tận là: ( 9975 − 1005 ) : 30 + = 300 Vậy có 300 số thỏa mãn yêu cầu toán Bài 7: Viết dãy số tự nhiên từ a) Số A đến 999 ta số tự nhiên có chữ số? A b) Tính tổng chữ số số A ? c) Chữ số viết lần? d) Chữ số viết lần? Lời giải *) Phân tích: a) Cần đếm số chữ số dãy số sau: Dãy số tự nhiên có chữ số, dãy số tự nhiên có chữu số, dãy số tự nhiên có chữ số Sau cộng kết lại với b) Viết số B số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số viết chữ số), tổng chữ số B tổng chữ số A Số B có: 3.1000 = 3000 chữ số mà chữ số từ đến có mặt 300 lần *) Lời giải A a) Số Từ Từ Từ Số đến 10 đến 100 A có chữ số? có 99 đến có: số gồm: v chữ số 90 số có 999 có 900 số gồm: số gồm: +180 + 2700 = 2889 b) Tính tổng chữ số số Giả sử ta viết số B số từ đến B B chữ số chữ số A ? 000 đến 3000 :100 = 300 (cũng A (lần) ): (0 +1 + + + 9).300 = 45.300 =13500 c) Chữ số 999 tổng chữ số có mặt: Tổng chữ số chữ số 900.3 = 2700 số tự nhiên từ tổng chữ số 90.2 = 180 viết lần? (mỗi số viết A.B có: 3.1000 = 3000 chữ số), chữ số, chữ Cần đếm số chữ số 1, 2,3, ,999 dãy: (1) 000, 001, 002, ,999 Ta xét dãy: (2) Số chữ số lượng chữ số từ đến 3.1000 :10 = 300 Vậy (1) chữ số d) Chữ số 1000 hai dãy Ở dãy (2) có Mỗi chữ số (từ số, số gồm đến ) có mặt (lần) viết 300 lần viết lần? Ở dãy (2) chữ số có mặt 300 lần So với dãy (1) dãy (2) ta viết thêm chữ số : - Vào hàng trăm - Vào hàng chục 100 10 - Vào hàng đơn vị Vậy chữ số lần (chữ số hàng trăm số từ lần (chữ số hàng chục số từ lần (chữ số hàng đơn vị dãy (1) viết là: 000 300 - 111 = 189 000 000 ) (lần) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Trong số tự nhiên từ đến 100, có số: a) Chia hết cho mà không chia hết cho 3? b) Chia hết cho hai số 3? c) Không chia hết cho không chia hết cho 3? Lời giải đến đến 099 009 ); ); chữ số, số a) Chia hết cho mà không chia hết cho 3? 2; 4; 6; ;100 Các số chia hết cho là: ( 100 − ) + = 50 số số chia hết cho là: số 6;12;18; 24; ;96 Các số chia hết cho 3: ( 96 − ) + = 16 số số chia hết cho là: Vậy từ đến 100 có 50 − 16 = 34 số số chia hết cho mà không chia hết cho b) Chia hết cho hai số 3? 3;6;9;12;15; ;99 Các số chia hết cho là: ( 99 − 3) + = 33 số số chia hết cho là: số Vậy số chia cho hai số là: 50 + 33 − 16 = 67 số c) Không chia hết cho không chia hết cho 3? Các số không chia hết cho cho là: 100 − 67 = 33 số Bài 2: Trong số tự nhiên từ đến 1000, có số: a) Chia hết cho số 2, 3, 5? b) Không chia hết cho tất số tự nhiên từ đến 5? Lời giải a) Chia hết cho số 2, 3, 5? Gọi A, B, C, D, E, G, H tập hợp số từ đến 1000 mà theo thứ tự chia hết cho 2, chia hết cho 3, chia hết cho 5, chia hết cho 3, chia hết cho 5, chia hết cho 5, chia hết cho số số phần tử tập hợp theo thứ tự S1 , S , S3 , S , S5 , S6 , S7 Ta có: S1 = 1000 : = 500; S = [ 1000 : 3] = 333; S3 = 1000 : = 200; S = [ 1000 : ] = 166 S5 = 1000 :10 = 100; S6 = [ 1000 :15] = 66; S7 = [ 1000 : 30 ] = 33 Các số phải tìm gồm: S1 + S + S3 − S − S5 − S + S7 = 734 số b) Không chia hết cho tất số tự nhiên từ đến 5? Còn lại 1000 − 734 = 266 số Bài 3: Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích học Tốn, 60 học sinh thích Văn a) Nếu có học sinh khơng thích Tốn lẫn Văn có học sinh thích hai mơn Văn Tốn? b) Có nhiều học sinh thích hai mơn Văn Tốn? c) Có học sinh khơng thích hai mơn Văn Tốn? Lời giải Gọi số học sinh thích hai mơn Văn Tốn x, số học sinh thích Tốn mà k thích Văn 750 − x a) Nếu có học sinh khơng thích Tốn lẫn Văn có học sinh thích hai mơn Văn Tốn? Ta có: 75 − x + 60 + = 100 ⇔ x = 40 có 40 học sinh thích hai mơn a) Có nhiều học sinh thích hai mơn Văn Tốn? 60 học sinh (nếu tất số thích văn thích tốn) b) Có học sinh khơng thích hai mơn Văn Tốn? 75 − x + 60 ≤ 100 ⇒ x ≥ 35 Có 35 học sinh thích hai mơn Văn Tốn Bài 4: Có số tự nhiên chia hết cho gồm bốn chữ số, chữ số tận 2? Lời giải Các số phải đếm có dạng abc 10 Theo ta có: abcd = 91ab Þ 1000a + b +10( ab - 1) = 91ab Þ 1100a +11b - 10 = 910 a + 91b Þ 190a - 80b - 10 = Þ 19a - 8b - = Thử b từ đến ta a = 3, b = Þ a= + 8b 19 thoả mãn Bài 24: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số viết theo thứ tự ngược lại nhân với số phải tìm 3154; số nhỏ hai số lớn tổng chữ số 27 Lời giải Giả sử ab < ba Số có dạng Thế Thế 3b 3b.b3 = 3154 « (30 + b)(10b + 3) = 3154 Theo Thế , theo b =1 ; b số tự nhiên: < b b; a, b Ỵ N ) thương 18 dư Þ ab = 18(a - b) + Þ 10a + b =18a - 18b + Þ 8a - 19b + = Þ 8a + = 19b 8a hai số chẵn Þ b chẵn 32 Chỉ có b = 4; a = Þ ab = 94 Bài 26: Cho hai số có chữ số chữ số mà tổng hai số 2750 Nếu hai số viết theo thứ tự ngược lại tổng hai số 8888 Tìm hai số cho Lời giải Gọi số cần tìm abcd xy abcd + xy = 2750 Ta có: dcba + yx = 888 (1) (2) Cả phép cộng khơng nhớ sang hàng nghìn nên từ (1) ta có Cùng từ (1) ta có Từ (2) ta có Từ (1) ta có Từ (2) ta có Vậy số a+x d+y có tận x + c +1 b+y 2688 có tận =8 mà có tận có tận 62 =8 =0 mà , mà a =2 mà d =8 nên x =6 y =2 nên , (2) d =8 y =2 x =6 nên nên a =2 c =8 b =6 Bài 27: Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết viết thêm chữ số vào hàng nghìn hàng trăm số gấp lần số phải tìm Lời giải Gọi số cần tìm Ta có Hay Hay abcd Số a 0bcd a0bcd = abcd *9 a 0bcd = abcd *10 - abcd a 0bcd + abcd = abcd 33 Vì d +b d =5 * Nếu - Nếu - Nếu - Nếu - Nếu c =2 b =8 - Nếu +a c Vậy số cần tìm d =0 b =1 a nên có tận , có tận khác nên a =7 mà c =2 có tận b nên a =1 (loại a khác b (loại) (loại c +c nên +a nên a c khác ) có tận nên c =5 Khi b + b +1 có tận có tận + a +1 suy nên + a +1 = suy b=2 b =7 +a = d =0 b =2 b + b +1 c + c +1 = b +b = b =3 nên - Nếu ta có c =7 * Nếu có tận 6750 có tận nên nên a =2 (loại) a =6 Bài 28: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số với ta số gồm bốn chữ số viết theo thứ tự ngược lại Lời giải abcd = dcba Ta có abcd Nên ta có: * Xét ⇒ ⇒ abcd số có chữ số a.103.4 = d 103 Þ a =1 Þ d = với để có với dcba d =4 a =1 abcd a = 2, d = d = 4 = dcba d = 4.4 = 16 d.4 trước hết phải có chữ số tận a có chữ số tận 34 ≠ a =1 (loại) * Xét abcd với a = d = Do abcd +) d.4 có chữ số lận a = +) Vì - Với - Với - Với a = ⇒ b.4 < số có hai chữ số = dcba ta thấy: (1) ⇒ b ∈ { 0;1; 2} a = 2, d = 8, b = ⇒ 20c8.4 = 8c02 ⇒ 60c = 30 (không thỏa mãn) a = 2, d = 8, b = ⇒ 20c8.4 = 8c12 ⇒ 60c = 420 ⇒ c = ⇒ a = 2, d = 8, b = ⇒ 20c8.4 = 8c 22 ⇒ 60c = 810 ⇒ có số 2178 (khơng thỏa mãn) * Vậy số cần tìm 2178 Bài 29: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số với ta số gồm bốn chữ số viết theo thứ tự ngược lại Lời giải abcd = dcba Ta có abcd Nên ta có: Xét Với Vì abcd a = Þ b.9 < b =0 chữ số số có chữ số Þ b =1 b =0 11c9.9 = 9c11 b = Þ 11c9.9 Với số có a.103.9 = d 103 Þ a =1 Þ d = : b =1 dcba có c.9 số bé lớn chữ số Þ c =1 c =0 Þ Vơ lý 10c9.9 = 9c01 Þ c = Þ 1089.9 = 9801 Bài 30: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, cho nhân số với ta số gồm năm chữ số viết theo thứ tự ngược lại Lời giải 35 Ta gọi số chữ số ABCDE A ( khác ) ABCDE x _ EDCBA A =1 (vì A >1 tích có chữ số) Þ E =9 1BCD9 x _ 9 DCB1 B =0 chục nghìn B =1 Þ E (vì B >1 khơng thể *) Xét trường hợp phép nhân hàng nghìn 9.B nhớ được) B =0 10CD9 x _ 9 DC 01 Þ 9.D + có tận Þ D =8 (vì 9.8 + = 80 , tận ) 10C 89 x _ 98C 01 Số 98C 01 phải chia hết cho Þ + + C + +1 = 18 + C 36 chia hết cho Þ C =9 sang hàng 10989 x _ 98901 Đúng Vậy ta *) Xét trường hợp đáp số B =1 10989 (sau biết A = 1, D = ) 11CD9 x _ 9 DC11 Þ 9.D + Þ D =7 có tận (vì 9.7 + = 71 1 , có tận ) 11C 79 x _ 97C11 Số 97C11 phải chia hết cho Thử lại với C =0 Þ + + C +1 +1 = 18 + C ; 11079 x _ 97011 Thử lại với KHÔNG ĐÚNG C =9 11979 37 chia hết cho Þ C =0 C =9 x _ 97911 Vậy có KHƠNG ĐÚNG đáp số là: 10989 x _ 98901 Bài 31: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết xoá chữ số hàng trăm số giảm lần Lời giải Số cần tìm Ta có: Vì bc abc , xóa chữ số hàng trăm ta có số bc abc = 9bc ⇒ 100a + bc = 9bc ⇒ 8bc = 100a M 8⇒ a = có hai chữ số a =8 ⇒ a = 4; bc = 50 Vậy số cần tìm 450 Bài 32: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết xố chữ số hàng nghìn số giảm lần Lời giải Số cần tìm Ta có: Vì bcd abcd , xóa chữ số hàng trăm ta có số bcd abcd = 9bcd ⇒ 1000a + bcd = 9bcd ⇒ 8bcd = 1000a M 8⇒ a = có chữ số Þ a =4 a =8 bcd = 500 Vậy số cần tìm 4500 Bài 33: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết chữ số hàng trăm xoá chữ số số giảm lần 38 Lời giải a 0cd Số cần tìm , xóa chữ số hàng trăm ta có số ( acd ) a0cd = 9acd ⇒ 1000a + cd = 100a + cd ⇒ 100a = 8cd M 8⇒a = Ta có: Vì cd có chữ số ⇒a=4 a =8 cd = 50 Vậy số cần tìm 4050 Bài 34: Một số tự nhiên có hai chữ số tăng gấp lần viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị Tìm số Lời giải Số cần tìm số ab , viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị ta có a 0b a 0b = 9ab Þ 100a + b = ( 10a + b ) Þ 10a = 8b M 8Þ a =4 Ta có: Vì a =8 < b £ Þ a = 4; b = Vậy số cần tìm 45 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Gọi S(n) tổng chữ số số tự nhiên n Tìm số tự nhiên n cho S ( n ) + n = 2015 Lời giải *) Chú ý: Có thể thay đầu số khác +) Nếu n có khơng có chữ số = 1026 < 2015 n ≤ 999 suy S ( n ) ≤ 27 suy S ( n ) + n ≤ 999 + 27 (loại) +) Nếu n có nhiều bốn chữ số: Suy n > 10000 39 suy S ( n ) + n > 2015 (loại ) Vậy n có bốn chữ số: Đặt n = abcd ( < a ≤ 9;0 ≤ b, c, d ≤ ) ⇒ S (n) + n = abcd + a + b + c + d = 2015 Nhận thấy: < a + b + c + d ≤ 36 ⇒ 2015 − 36 ≤ abcd ≤ 2015 ⇔ 1979 ≤ abcd ≤ 2015  ab = 19 1993 ⇒ ⇒  ab = 20  2011 Bài 2: Chứng minh không tồn số tự nhiên có bốn chữ số abcd cho abcd − dcba = 1008 Lời giải < a, d ≤ 9;0 ≤ b, c ≤ 9; a > d Ta có: abcd − dcba = 1008 ⇔ (1000a + 100b + 10c + d ) − (1000d + 100c + 10b + a) = 1008 ⇔ 999( a − d ) + 90(b − c) = 1008 ⇔ 111( a − d ) + 10(b − c) = 112 = 111 + ⇔ 111( a − d − 1) = + 10(c − b)(*) - Nếu - Nếu a − d − = ⇒ VT = 0; VP số lẻ ⇒ vô lý a − d − ≥ ⇒ VT ≥ 111;VP ≤ + 10.9 = 91 ⇒ vô lý (đpcm) Bài 3: Cho 17 số tự nhiên, biết tổng bốn số tự nhiên 17 STN cho lớn 20 Chứng minh tổng 17 STN cho lớn 85 Lời giải Cách 1: Gọi Giả sử a1 ; a2 ; ; a17 số tự nhiên cho ≤ a1 ; a2 ; a3 ; a4 ≤ ⇒ a1 + a2 + a3 + a4 ≤ 20 ⇒ vô lý ⇒ tồn số tự nhiên lớn Giả sử số a1 ⇒ S = a1 + ( a2 + a3 + a4 + a5 ) + ( a6 + a7 + a8 + a9 ) + + ( a14 + a15 + a16 + a17 ) ≥ 85 40 (đpcm_ = a1 + ( a2 + a3 + a4 + a5 ) + ( a6 + a7 + a8 + a9 )+…….+ (a14 +a15+ a16 + a17) > 85 ( đpcm) Cách 2: S = (a1 + a2 + a3 + a4 ) + (a 13 + a14 + a15 + a16 ) + (a17 + a1 + a + a3 ) + + ( a16 + a17 + a1 + a2 ) + + ( a14 + a15 + a16 + a17 ) > 17.20 ⇒ S > 5.17 = 85( dpcm) Bài 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết viết thêm chữ số vào bên phải số tăng thêm 4106 đơn vị Lời giải Gọi số cần tìm abc ( a ≠ 0; a, b c nhỏ 10) Viết thêm chữ số vào bên phải số đó, ta được: abc = abc + 4106 Theo đề ta có: abc.10 + = abc + 4106 Ta có: abc (phân tích abc theo cấu tạo số) abc.10 − abc = 4106 − ⇔ abc ( 10 − 1) = 4106 ⇔ 9abc = 4104 ⇔ abc = 456 Thử lại: 4562 – 456 = 4106 (đúng) Bài 5: Tìm số tự nhiên có chữ số Biết ta xóa chữ số hàng chục hàng đơn vị số giảm 4455 đơn vị Lời giải Gọi số cần tìm abcd ( a ≠ 0; ; a , b, c d nhỏ 10) Xóa chữ số hàng chục hàng đơn vị số đó, ta Theo đề ta có: ab 100 + cd − ab abcd - ab = 4455 = 4455 (phân tích abcd theo cấu tạo số) 41 ab ⇔ cd + ab.100 − ab = 4455 ⇔ cd + ab.(100 − 1) = 4455 ⇔ cd + ab.99 = 45.99(4455 = 45.99) ⇔ cd = 99.(45 − ab) Ta nhận thấy tích 99 STN STN bé 100 nên +) Nếu +) 45 − ab = 45 = ab 45 − ab phải cd = 00 45 − ab = ⇒ ab = 44; cd = 99 Vậy Số cần tìm 4500 4499 9abc = 26.abc ⇔ 9000 + abc = 26abc ⇔ 9000 = 25abc ⇔ abc = 360 Bài 6: Chia số tự nhiên có ba chữ số cho STN có ba chữ số ta thương có dư Nếu xóa bớt số số bị chia xóa bớt số số chia thương số dư giảm 100 Tìm số bị chia số chia lúc đầu Lời giải Ta có:  r > 100(1) 111a = 222b + r aaa = 2.bbb + r ( r ≠ 0)  ⇒ ⇒ ⇒ rM 111(3)  11 a = 22 b + r − 100(*) r − 100 < bb ≤ 99(2)  aa = bb + r − 100     Từ (1)(2)(3) suy - b = ⇒ a = ⇒ 333 r = 111 111 , thay vào (*) ta a = 2b + (loại) b=2⇒ a=5 b =3⇒ a = b=4⇒ a=9 Bài 7: Tìm số nguyên dương a, b, c biết a − b − c = 3abc Lời giải Ta có a − b3 − c3 = 3abc ( a, b ∈ N * ) ⇒ a > b; a > c 42 a2 = ( b + c ) Do a = ( b + c ) < 4a Thửu lại (do a = 2; b = c = 1, b + c < 2a ⇒ a < ⇒ a ∈ { 1; 2;3} ) thay vào điều kiện toán a − b3 − c = 3abc  a = 2(b + c ) (thỏa mãn) Bài 8: Tìm STN có chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số lớn gấp lần số có cách viết thêm chữ số vào đằng trước số Lời giải Cách 1: Đặt abcde = x, có: abcde2 = 3.abcde ⇔ 10 x + = 3.(200000 + x) = 600000 + x ⇔ x = 85714 Cách 2: Gọi số cần tìm là: abcde , ta có phép nhân: abcde.3 = abcde +) 3e có tận suy +) +) +) +) +) 3.4 = 12 3d + 3c nhớ sang hang chục tận suy tận suy 3b + 3a + d =1 c = 7;3.7 = 21 tận suy tận suy nhớ sang hàng nghìn b = 5;3.5 = 15 a = 8;3.8 = 24 nhớ sang hàng chục nghìn nhớ sang hàng trăm nghìn 3.2 + = , 285714.3 = 857142 Bài 9: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số lớn gấp ba lần số có viết thêm chữ số vào đằng trước số Lời giải Gọi số cần tìm abcde ( a ≠ ) ⇒ 10.abcde + = 3.200000 + 3.abcde ⇒ abcde = 599998 ⇒ abcde = 85714 Thử lại: 857142 = 285714 43 Vậy số cần tìm 857142 Bài 10: Tìm số tự nhiên có tận 3, biết xóa chữ số hàng đơn vị số giảm 1992 đơn vị Lời giải Vì xóa chữ số hàng đơn vị số giảm 1992 đơn vị nên số tự nhiên cần tìm có chữ số abc3 ( a ≠ ) Gọi số tự nhiên cần tìm Theo ta có: abc3 − 1992 = abc ⇒ 10.abc + − 1992 = abc ⇒ 9abc = 1989 ⇒ abc = 221 Vậy số cần tìm là: 2213 Bài 11: Tìm ba chữ số khác khác 0, biết dùng ba chữ số lập thành số tự nhiên có ba chữ số hai số lớn có tổng 1444 Lời giải Gọi ba chữ số cần tìm là: Theo ta có: a , b, c ( a > b > c > ) abc + acb = 1444 ⇔ 100a + 10b + 11c = 1444 ⇔ 20a + 11( b + c ) = 1400 + 11.4 ⇒ a = 7; b = 3; c = Vậy số cần tìm 1; 3; Bài 12: Hiệu hai số Nếu tăng số gấp ba lần, giữ nguyên số hiệu chúng 60 Tìm hai số Lời giải Gọi số a, b ( a > b ) Theo ta có: a − b = ⇒ b = a − ( 1) Nếu tăng số gấp ba lần, giữ nguyên số hiệu chúng 60 44 ⇒ 3a − b = 60 ( ) Thay (1) vào (2) ta có 3a − ( a − ) = 60 ⇒ 3a − a + = 60 ⇒ 2a = 56 ⇒ a = 28 ⇒ b = 24 Vậy số cần tìm 28; 24 Bài 14: Tích hai số 6210 Nếu giảm thừa số đơn vị tích 5265 Tìm thừa số tích Lời giải Gọi thừa số giảm a, thừa số lại b theo đề ta có: ab = 6210; ( a − ) b = 5265 ⇒ ab − 7b = 5265 ⇒ 6210 − 7b = 5265 ⇒ 7b = 6210 − 5265 ⇒ 7b = 945 ⇒ b = 135 ⇒ a = 46 Vậy hai thừa số cần tìm 46; 135 45 46 ... 43 21 Lời giải a) Ta có abc = 11 (a + b + c) ⇔ 10 0a + 10 b + c = 11 a + 11 b + 11 c ⇔ b + 10 c = 89a ≤ 99 ⇒ a = ⇒ b = 9; c = 8(do : b + 10 c ≤ 99) 22 b) Ta có 11 1a + 11 1b + 11 1c + d = 43 21 ⇒ 43 21 > 11 11a... abcd − dcba = 10 08 ⇔ (10 00a + 10 0b + 10 c + d ) − (10 00d + 10 0c + 10 b + a) = 10 08 ⇔ 999( a − d ) + 90(b − c) = 10 08 ⇔ 11 1( a − d ) + 10 (b − c) = 11 2 = 11 1 + ⇔ 11 1( a − d − 1) = + 10 (c − b)(*) -... chữ số số có chữ số Þ b =1 b =0 11 c9.9 = 9c 11 b = Þ 11 c9.9 Với số có a .10 3.9 = d 10 3 Þ a =1 Þ d = : b =1 dcba có c.9 số bé lớn chữ số Þ c =1 c =0 Þ Vơ lý 10 c9.9 = 9c 01 Þ c = Þ 10 89.9 = 98 01 Bài