chuyen de 3 cac bai toan ve luy thua so tu nhien

15 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA S T NHIấN A Lí THUYT CN NH: a Ô an = a a.a.a.a a n a * Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: ( thừa số với ) Qui ước: a0 = 1(a ≠ 0) a1 = a * Các phép tính luỹ thừa: - Nhân hai luỹ thưa số: - Chia hai luỹ thừa số : - Luỹ thừa thương: n - Luỹ thừa tầng: am :an = am−n (a ≠ 0; m ≥ n) (a.b)n = an bn - Luỹ thừa tích: - Luỹ thừa luỹ thừa: am an = am+ n (a: b)n = an : bn (b ≠ 0) (am )n = am.n n) am = a(m Ví dụ: 32 = 38 a− n = - Luỹ thừa với số mũ âm: 10−3 = Ví dụ: 103 (a ≠ 0) an B/ CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH LŨY THỪA I/ Phương pháp 1: Cơ sở phương pháp: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa so sánh hai luỹ thừa số số mũ - Nếu luỹ thừa số ( lớn 1) luỹ thừa có số mũ lớn lớn a m > a n (a >1)  m > n - Nếu luỹ thừa số mũ (lớn 0) lũy thừa có số lớn lớn a n > b n (n > 0)  a > b Ví dụ minh họa: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com Thí dụ So sánh lũy thừa sau: a) 1287 424 b) 818 2711 Phân tích: Nhận thấy, câu a) số , câu b) 81 27 128 số liên quan tới lũy thừa liên quan tới lũy thừa số Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số, dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với Hướng dẫn giải a) Có : b) Có 1287 = (27 )7 = 49  ⇒ 1287 > 424 24 24 48  = (2 ) =  818 = 332  ⇒ 818 < 2711 11 33  27 =  Thí dụ So sánh lũy thừa sau: a) 536 1124 b) 3260 8150 c) 3500 7300 Phân tích: Nhận thấy, câu a) lũy thừa đưa số mũ 12 , câu b) c) lũy thừa đưa số mũ 100 Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số mũ, dựa vào so sánh số để so sánh chúng với Hướng dẫn giải a) Có b) Có c) Có 536 = 12512  ⇒ 536 > 1124 24 12  11 = 121  3260 = 2300 = 8100  ⇒ 3260 < 8150 50 200 100  81 = =  3500 = 243100  ⇒ 3500 < 7300 300 100  = 343  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com Thí dụ So sánh lũy thừa: a) 32n 23n ( n∈ N* ) b) 2100 3200 c) 5100 3500 Hướng dẫn giải ( ) 32n = 32 a) n Vì b) ( ) = 9n ;23n = 23 ( ) 5300 = 53 c) = 8n > ⇒ 32 > 23 => (32 )n > (23)n 2100 = (23 )100 = 8100 Vì n 3200 = (32 )100 = 9100 8100 < 9100 ⇒ 2300 < 3200 100 = 125100 ( ) 3500 = 33 Vì 100 125100 < 243100 ⇒ 5300 < 3500 = 243100  Lời bình: Qua ba ví dụ ta thấy rằng, trước so sánh hai lũy thừa với trước hết ta cần làm hai việc sau: + Kiểm tra số xem số có biến đổi số khơng + Kiểm tra số mũ lũy thừa xem có ước chung lớn không Việc làm giúp lựa chọn phương pháp so sánh II/ Phương pháp 2: Cơ sở phương pháp: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân A > B B > C A > C A.C < B.C (với C > 0)  A < B C/ Các dạng toán thường gặp Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa Thí dụ Hãy so sánh: a) 10750 7375 b) 291 535 Phân tích: Trong câu a) số mũ hai lũy thừa có ước chung 25, nhiên số 733 1072 , số tính lớn, việc đưa so sánh hai lũy thừa số mũ khơng khả quan Cịn câu b) số mũ số ước chung nên khơng thể áp dụng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com phương pháp ví dụ Như cách lựa chọn dùng tính chất bắc cầu (so sánh qua lũy thừa trung gian) Hướng dẫn giải a) Ta có: 10750 < 10850 = ( 27) 50 = 2100 3150 7375 > 7275 = ( 9) 75 = 2225 3150 2100 < 2225 ⇒ 2100.3150 < 2225.3150 ⇒ 10750 < 7375 Vì ( ) 291 > 290 = 25 b) Ta có: 18 = 3218 ( ) 535 < 536 = 52 18 3218 > 2518 ⇒   291 > 535 Vì = 2518 Thí dụ Hãy so sánh: a) c) 10750 544 và 7375 b) 2112 d) 291 98 và 535 89 Hướng dẫn giải a) Ta có : 10750 < 10850 = 2100.3150 291 = ( ) 13 b) Ta có : 54 = ( 2.27 ) = 12 < 10 = 100 = 100.1003 d) Ta có : 535 = ( ) = 8192 4 c) Ta có : 7375 > 7275 = 2225.3150 nên = 31257 2112 = 312.712 nên nên 10750 < 7375 291 > 535 544 < 2112 89 = 5123 > 5003 = 53.1003 = 125.1003 98 < 89 Và nên  Lời bình: Việc phân tích lũy thừa thành tích lũy thừa giúp ta nhìn thừa số chung lũy thừa, từ việc so sánh hai lũy thừa dựa vào việc so sánh thừa số riêng Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với số (so sánh hai biểu thức lũy thừa) * Thu gọn biểu thức lũy thừa cách vận dụng phép tính lũy thừa, cộng trừ số theo quy luật * Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa phần B Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com * Nếu biểu thức lũy thừa dạng phân thức: Đối với trường hợp bậc luỹ thừa tử lớn hay bé bậc luỹ thừa mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên so sánh phần tương ứng Với a, n, m, K∈ N* Ta có: a a a a - Nếu m > n K - m > K - n K + m < K + n a a a a - Nếu m < n K - m < K - n K + m > K + n (còn gọi phương pháp so sánh phần bù) * Với biểu thức tổng số a (với a ∈ N*) ta có vận dụng so sánh sau: 1 1 − − a a + < a < a −1 a Thí dụ Cho S = 1+ + 22 + 23 + + 29 So sánh Phân tích: Trước so sánh biểu thức S với 5.28 S với 5.28 ta cần dùng phương pháp tính tổng theo quy luật để tính S Để làm việc ta cần nhân vào hai vế biểu thức S, sau tính hiệu 2S − S triệt tiêu số hạng giống tính S Hướng dẫn giải Ta có: S = 1+ + 22 + 23 + + 29 2.S = + 22 + 23 + 24 + + 29 + 210 ⇒ 2.S − S = S = 210 − Mà 210 − 1< 210 = 28.22 = 4.28 ⇒ S < 5.28  Lời bình: Để tính tổng S ta cần dùng phương pháp tính tổng biểu thức tổng quát sau: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu S = 1+ a + a2 + a3 + + an (a∈ N * ) word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com Thí dụ So sánh biểu thức A B trường hợp: 1015 + 1016 + A= a) C= b) B= 22008 − 22007 − 1016 + 1017 + D= 22007 − 22006 − Phân tích: - Ở câu a, biểu thức A B có chứa luỹ thừa số 10B , nên ta so sánh 10A - Ở câu b, biểu thức C D có chứa luỹ thừa số D 10 nên ta so sánh C Hướng dẫn giải a) Ta có: A= 1015 + 1016 +  1015 + 1 ⇒ 10A = 10. ÷ 16  10 + 1 = 1016 + 10 1016 + = 1016 + 1+ 9 = + 1016 + 1016 + 1016 + B = 17 10 +  1016 + 1 ⇒ 10B = 10. 17 ÷  10 + 1 10 + 1< 10 + 16 Vì ⇒ 1+ Liên hệ tài 039.373.2038 17 = 1017 + 10 1017 + = 1017 + 1+ 9 = 1+ 17 17 10 + 10 + 9 > 17 10 + 10 + 16 nên 9 > 1+ 17 10 + 10 + 16 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com ⇒ 10A > 10B hay A > B b) Ta có: 22008 − C = 2007 −1 ⇒ 1  22008 −  22008 − 22008 − − C =  2007 = ÷= 2  −  22008 − 22008 − D= ⇒ 2008 Vì 1− = −2 2008 22007 − 22006 − 1  22007 −  22007 − 22007 − − D =  2006 = ÷= 2  −  22007 − 22007 − – 2 >  2 2007 ⇒ 1− –2 −2 = −2 2007 1 < 2007 −2 −2 2008 nên 1− 2008 1 C> D ⇒2 1− > −2 2007 hay C > D Lời bình: Đơi để so sánh hai biểu thức với nhau, ta cần biến đổi hai biểu thức dạng tổng hai số hạng, có số hạng chung ta cần so sánh số hạng riêng Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm số (số mũ) chưa biết m, x, p a * Với số tự nhiên số dương + Nếu a> thì: am < ax < ap ⇒ m < x < p + Nếu a< thì: am < ax < ap ⇒ m > x > p * Với số dương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu a,b word số tự nhiên tốn zalo: m , ta có: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com am < bm ⇒ a < b 364 <  n48 < 572 Thí dụ Tìm số ngun n thỗ mãn: Hướng dẫn giải 364 <  n48 Ta giải bất đẳng thức ( )  >  ( ) n48 > 364 ⇒ n3 Ta có: ⇒n>4 n ∈¢ (với 16 16 Mặt khác (với  >  8116 ⇒ n3  >  81 (1) ( ) Từ (1) (2)  ⇒ n3 ) n48 < 572  ⇒   n2 ⇒ −11≤ n ≤ 11 ( ) 16 n48 < 572 n ∈¢ 24  < (5 ) 24 ) ⇒ < n ≤ 11 ( ) ⇒ n2 24  < 12524 ⇒  n2  < 125 (2) Vậy n nhận giá trị nguyên là: 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 Lời bình: Từ tốn thay đổi câu hỏi để toán sau: 364 <  n48 < 572 Bài số 1: Tìm tổng số nguyên n thoã mãn: Giải tương tự ta có số ngun n thỗ mãn là: 5+ + + + + 10 + 11 = 56 Bài số 2: Tìm tất số nguyên có chữ số cho: 364 <  n48 < 572 Giải tương tự ta có số ngun n thỗ mãn là: 5; 6; 7; 8; Bài số 3: Tìm tất số nguyên có chữ số cho 364 <  n48 < 572 Giải tương tự ta có số ngun n thỗ mãn là: 10; 11 Thí dụ Tìm x thuộc N Biết: a) 16x < 1284 18 5x.5x+1.5x+ ≤ 100 0:2 44 43 18 chu so b) Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com 16x < 1284 ⇒ ( ) < ( ) x a) ⇒ x ∈ { 0,1,2,3,4,5,6} ⇒ < ⇒ 4x < 28 ⇒ x < 4x 28 18 5x.5x+1.5x+ ≤ 100 0:2 44 43 18 chu so b) 3x+ ≤ 1018 :218 ⇒ 53x+ ≤ 518 ⇒ 3x + ≤ 18 ⇒ x ≤ ⇒5 ⇒ x ∈ { 0,1,2,3,4,5} Dạng 4: Một số tốn khác Thí dụ Hãy viết số lớn cách dùng ba chữ số ; ; với điều kiện chữ số dùng lần lần ? Hướng dẫn giải Bài toán xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: Khơng dùng luỹ thừa số lớn viết 321 Trường hợp 2: Dùng luỹ thừa để viết: (Bỏ qua trường hợp số số mũ luỹ thừa tầng giá trị nhỏ so với 321) * Xét luỹ thưa có số mũ chữ số cho ta số tự nhiên có chữ số là: 132 ,312 ,123 ,213 , số số lớn 213 * Xét luỹ thưa mà số mũ có hai chữ số cho ta số tự nhiên có chữ số là: 213 ,231 ,312 ,321 , nhận xét số sau: 321 = 3.320 = 3.(32 )10 = 3.910 231 = 2.230 = 2(23)10 = 2.810 , , số số lớn So sánh 321 213 321 : 321 > 39 = (33 )3 = 273 > 213 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com 21 Vậy số lớn viết số Thí dụ a) Số 58 có chữ số ? 22003 b) Hai số 52003 viết liền số có chữ số? Phân tích: So sánh lũy thừa với số luỹ thừa 10, từ lập luận tìm số chữ số số Hướng dẫn giải a) Ta có: 58 = (54)2 = 6252 > 6002 = 360000 58 = 108 100000000 100000000 = < = 400000 256 250 28 ⇒ 360000 < 58 < 400000 Do 58 có chữ số b) Giả sử ta Vì 22003 (a + b) có a chữ số 52003 có b chữ số viết số liền chữ số 10a−1 < 22003 < 10a 10b−1 < 52003 < 10b ⇒ 10a−1.10b−1 < 22003.52003 < 10a.10b ⇒ 10a+ b−2 < 102003 < 10a+ b Do đó: 2003 = a + b − 1⇒ a + b =  2004  Vậy số có 2004 chữ số Thí dụ Tìm số 5các chữ số số n m trường hợp sau: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com n = 83 155 a) m =  416 525 b) Phân tích: Nhóm luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất luỹ thừa 10, từ lập luận tìm số chữ số số Hướng dẫn giải a) Ta có: ( ) n =  83 155 = 23 ( 3.5) = 29 35 55 =  24 35.( 2.5) =  16.243 105 = 3888 105 5  Số 3888.105 gồm 3888 theo sau chữ số nên số có chữ số Vậy số n có chữ số b) Ta có: ( ) = ( ) = 128.10 m =  416 525 = 22 = 232.525 Số 128.1025 16 25 128 gồm 25 25 25 theo sau 25 chữ số nên số có tất 28 chữ số Vậy số m có 28 chữ số C/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài So sánh: a) 2435 3.275 c) 6255 1257 Bài 2: So sánh: e) d) 9920 202303 999910 b) 303202 e) 3500 111979 7300 371320 Bài 3: So sánh: c) i) 85 3.47 230 + 330 + 430 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu f) 3.2410 word g) toán zalo: 1010 48.505 199010 + 19909 199110 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com Bài 4: So sánh số sau: 19920 200315 Bài 5: So sánh: a) b) 7812 − 7811 7811 − 7810 A = 7245 − 7244 B = 7244 − 7243 Bài 6: So sánh số sau: Bài Chứng tỏ rằng: Bài 11: So sánh: 7150 21999 < 7714 2300 3775 1121 21995 < 5863 Bài 9: Chứng minh rằng: Bài 10 So sánh: 339 527 < 263 < 528 Bài 8: Chứng minh rằng: 3200 Bài 12: So sánh số: a) b) 5020 99910 255010 9999995 Bài 13: Viết theo từ nhỏ đến lớn: Bài 14: So sánh số: 123456789 2100 ;375 567891234 550 Bài 15: Gọi m số số có chữ số mà cách ghi khơng có chữ số Hãy so sánh m với Bài 16: Cho 10.98 A = 1+ 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +… + 201271 + 201272 B =  201273 − So sánh A B Bài 17: So sánh hai biểu thức: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán 310.11+ 310.5 B= 39.24 zalo: 210.13+ 210.65 C= 28.104 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com M= Bài 18: So sánh: + 83 84 Bài 19: So sánh M N biết: Bài 20: So sánh Bài 21: So sánh N= + 83 84 1930 + M = 31 19 + 1 1 + + + + 2 2 101 102 103 104 1052 1931 + N = 32 19 + 3.52.7       A =  − 1÷. − 1÷. − 1÷ . − 1÷ 2  3  4   100  − Bài 22: Tìm số tự nhiên n cho: a) b) < 3n ≤ 234 8.16 ≥ 2n ≥ Bài 23: Tìm số tự nhiên n biết rằng: Bài 24: Cho A = 3+ 32 + 33 + … + 3100 415 915 < 2n 3n < 1816 216 Tìm số tự nhiên n Bài 25: Tìm số nguyên dương m n cho: Bài 26: Tìm số nguyên dương a) b) 64 < 2n < 256 243 > 3n ≥ n , biết 2A + = 3n 2m − 2n = 256 biết: Bài 27: Tìm số nguyên n lớn cho: n200 < 6300 Bài 28: Tìm n ∈ N biết: a) 32 < 2n < 512 b*) 318 < n12 ≤ 208 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com 243 Định hướng tư duy: Nhận thấy, câu a) quan tới lũy thừ số 625 , câu b) 125 27 số liên liên quan tới lũy thừa số Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số, dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với Lời giải: ( ) ( ) 5 2435 = 35 = 325 3.275 = 33 = 3.315 = 316 a) Ta có: ; Vì b) 316 < 325 ⇒ 3.275 < 2435 6255 = (54 )5 = 520 ;125 = (53 )7 = 521 Vì 521 > 520 ⇒ 1257 > 6255 Bài 2: Phân tích: Nhận thấy, câu a) lũy thừa có chung số mũ b) lũy thừa có chung số mũ mũ 100 10 , câu , câu c) lũy thừa có chung số 101 , câu d) lũy thừa có chung số mũ 660 Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số mũ, dựa vào so sánh số để so sánh chúng với Lời giải: ( 9920 = 992 a) Ta thấy: Vì ( 99.99) 10 Vì 10 = ( 99.99) ;999910 =  ( 99.101) 10 10 < ( 99.101) ⇒ 9920 < 999910 10 ( ) 3500 = 35 b) Ta có : ) 100  243100 < 343100 ( ) = 243100 7300 = 73 , nên 100 = 343100 3500 < 7300 c) Ta có: 202303 = ( 2.101) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 3.101 word ( ) toán zalo: = 23.1013 101 ( = 8.101.1012 ) 101 = ( 808.101) 101 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com 303202 = ( 3.101) Vì 2.101 ( = 32.1012 808.1012 > 9.1012 nên ) 101 ( = 9.1012 ) 101 202303 > 303202 d) Ta có: ( ) 111979 < 111980 = 113 371320 = ( 37 ) 660 660 = 1331660 (1) = 1369660 (2) Từ (1) (2) suy ra: 111979 < 371320 Bài 3: a) Ta có: Vì 85 = 215 = 2.214 , 3.47 = 3.214 < ⇒ 2.214 < 3.214 ⇒  85 < 3.47 b) Ta có : 5 10 10 1010 = 210 510 = 29 510 48 50 = ( ) ( ) = , Vì < ⇒ 29 510 < 29 510 ⇒ 1010 < 48 505 c) Ta có: 430 = (22 )30 = (2.2)30 = 230.230 = (23 )10.(22 )15 = 810.415 , 2410.3 = (8.3)10.3 = 810.310.3 = 810.311 Vì 311 < 415 ⇒ 810.311 < 810.415 ⇒ 430 > 3.2410 ⇒ 230 + 330 + 430 > 3.2410 d) Ta có : 199010 + 19909 = 19909.( 1990 + 1) = 1991 19909 199110 = 1991 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 19909 < 199110 Bài 4: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com Biến đổi e an dạng: c.dk Từ so sánh hai số , biến đổi an bm bm dạng: ed k so sánh hai số c 19920 < 20020 = (8.25)20 = (23.52 )20 = (23.52 )20 = 260.540 200315 > 200015 = (16.125)15 = (24.53 )15 = (24.53 )15 = 260.545 Vì 545 > 540 ⇒ 260.545 > 260.540 ⇒ 200315 > 19920 Bài 5: Biến đổi e an dạng: c.dk Từ so sánh hai số a) Ta có: , biến đổi an bm bm dạng: ed k so sánh hai số c 7812 − 7811 = 7811.( 78− 1) = 7811.77 7811 − 7810 = 7810.( 78− 1) = 7810.77 Vì 7811 > 7810 ⇒ 7811.77 > 7810.77 ⇒ 7812 − 7811 > 7811 − 7810 b) Ta có A = 7244(72 − 1) = 7244.71 B = 7243(72− 1) = 7243.71 7244 > 7243 ⇒ 7244.71> 7243.71 ⇒ A > B Bài 6: Dùng tính chất bắc cầu: So sánh hai số với số lũy thừa Ta có: 10 339 < 340 = (34 )10 = 8110 1120 = (112 )10 = 12110 < 1121 Vì 8110 < 12110 ⇒ 339 < 1121 Bài Với , học sinh lớp khơng định hướng cách làm , giáo viên gợi ý học sinh so sánh: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán 263 > 527   zalo: 263 < 528 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com ( ) ( ) 263 = 27 Ta có : 263 = 29 Lại có: Từ (1) (2) ( ) ( ) = 1289 527 = 53 , = 5127 528 = 54 , ⇒  527 < 263 < 52 = 1259 ⇒ 263 > 527 = 6257 (1) ⇒ 263 < 528 (2) Bài 8: Xét: an biến đổi dạng: bm Nếu Có: dk < gh cq.dk < ep.gh ; 25 = 32 < 53 = 125 nên cần so sánh 21990 210 = 1024, 55 = 3025  ⇒ 210 < 55 ⇒ 21720 3172  < 5860 21990 = 21720.2270 , cần so sánh 21720.2270 37 = 2187; 211 = 2048 ⇒ 37 > 211 ( ) 3172 = 37 Do đó: Mà 21995 = 21990.25 5863 = 5860.53 Nhận xét: Có: ep.gh biến đổi dạng: cq < ep Ta có: cq.dk 24 ( ) với số 5860 21720.3172 sau: ( ) 34 > 211 24 > 211 26 = 2270 21720.2270 < 21720 3172 < 5860 ⇒ 21990  < 5860 25  < 53 ⇒  21995 < 5863 Bài 9: Ta có: 210 = 1025 ; 73 = 343 ( ) ⇒ 210 < 3.73 ⇒ 210 238 ( ) < 3238 73 ⇒ 22380 < 3238 7714 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word 238 (1) tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com ( ) 3238 = 33 3235 = 33 35 Xét: 47 ( ) < 33 28 47 < 25.2376 = 2381 (vì ⇒ 3238 < 2381 35 < 28 ) (2) Từ (1) (2), ta có: 22380 < 2381 7714 ⇒ 21999 < 7714 Bài 10 Đưa so sánh hai lũy thừa số mũ ( ) 3200 = 32 Ta có: 100 ⇒ 2300  < 3200 ( ) = 9100 ; 2300 = 23 100 = 8100 mà 8100 < 9100 Bài 11: Biến đổi e an c.dk dạng: Từ so sánh hai số Ta có: 7150 < 7250 = ( 8.9) 50 3775 > 3675 = ( 4.9) 75 , biến đổi an bm bm dạng: ed k so sánh hai số c = 2150.3100 (1) = 2150 3150 (2) Mà 2150 3150 > 2150.3100 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 3775 > 7150  Bài 12: 10 a) Ta có: 5020 = ( 50)  = 250010 < 255010 ⇒ 520 < 255010   b) Ta có: 99910 = ( 999)  < 9980015 < 9999995 ⇒ 99910 < 9999995   Bài 13: 2100 = (22 )50 = 450 < 550 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn (1) zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com 375 = (33 ) = 2725 = 375 > 550 (2) 550 = (55 )25 = 2525 Từ(1),(2) (3) (3) ⇒ 2100 < 550 < 375 Bài 14: ( A = 123456789 > 100050000 = 103 Ta có: ( ) 50000 B = 567891234 < 1000002000 = 105 Vì ) = 10150000 2000 1010000 < 10150000 ⇒ 567891234 < 123456789 = 1010000 Bài 15: Số có chữ số a1a2 a8a9 giống Từ tập hợp số { 1;2;3;4;5;6;7;8;9} chữ số ta có số số có chữ số thỏa mãn tốn Từ đó: m= 99 = 9.98 < 10.98 ≠ (i = 1; 9) chữ số m= 99 có cách chọn Do số Bài 16: Ta có: A = 1+ 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +… + 201271 + 201272 2012.A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +… + 201271 + 201273 ⇒ 2012.A – A = 2011A = 201273 – ( ) ⇒ A = 201273 – : 2011< 201273 − Vậy A 19N  ⇒ M > N 31 32 + 19 + > + 19 + hay Bài 20: Nếu n số tự nhiên lớn ta có: 1 n − (n − 1) n − n + 1 − = = = > n − n (n − 1).n (n − 1).n (n − 1)n n ⇒ 1 < − n−1 n n Áp dụng vào toán ta được: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com 1 < − 101 100 101 1 < − 102 101 102 1 < − 105 104 103 ⇒ 1 1 + + + < − 2 101 102 105 100 105 = Vậy 1 + + < 2 2 102 105 3.7 105− 100 = 2 = 2 100.105 5.3.7 3.7 Bài 21: A tích 99 số âm Do đó:    1   −A =  1− ÷ 1− ÷ 1− ÷  1− 2÷    16   100  = 15 9999 2 1002 = 1.3 2.4 3.5 99.101 2 1002 Để dễ rút gọn ta viết tử dạng tích số tự nhiên liên tiếp sau: −A = Vậy 1.2.3.4.5.6 98.99 3.4.5 100.101 101 101 = = > 2.3.4.5 .99.100 2.3.4 99.100 100 200 A 2n (2m− n − 1) = 28 Dễ thấy m≠ n , ta xét trường hợp: Trường hợp 1: Nếu m− n = từ (1) ta có: 2n.(2 − 1) = 28 ⇒ 2n = 28 ⇒ n = Trường hợp 2: Nếu Liên hệ tài 039.373.2038 liệu (1) m=9 m− n ≥ word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com ⇒ 2m− n − số lẻ lớn nên vế trái (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ phân tách thừa số nguyên tố, vế phải (1) chứa thừa số nguyên tố 2, hai vế (1) mâu thuẫn Vậy n=8 m=9 đáp số Bài 26: a) Ta có: 64 < 2n < 256 ⇒ 26 < 2n < 28  ⇒  6 < n < , mà 243 > 3n ≥ 9 ⇒  35 >  3n ≥ 32  ⇒ > n ≥ b) Ta có: n , mà nguyên dương, nên n n = nguyên dương nên nhận giá trị là: 4; 3; Bài 27: ( ) n200 = n2 Ta có: 100 ( ) n200 < 6300 ⇒   n2 ⇒ ( ) ; 6300 = 63 100 100  = 216100 < 216100 ⇒ n2 < 216  (*) Số nguyên lớn thoã mãn (*) n = 14 Bài 28: a) Với n ∈ N, ta xét: 32 < 2n ⇔ 25 < 2n ⇒ < n 2n < 512 ⇔ 2n < 29 ⇒ n < Do đó: < n < ⇒ n∈ { 6;7;8} b) Với n ∈ N, ta xét: ( ) 3. 2410 ⇒ 230 + 33 0 + 430 > 3. 2410 d)... Website:tailieumontoan.com ( ) 32 38 = 33 32 35 = 33 35 Xét: 47 ( ) < 33 28 47 < 25. 237 6 = 238 1 (vì ⇒ 32 38 < 238 1 35 < 28 ) (2) Từ (1) (2), ta có: 2 238 0 < 238 1 7714 ⇒ 21999 < 7714 Bài 10 Đưa so sánh hai