CHUYÊN đề 1 SO SÁNH (105 trang)

HSG TOÁN CHUYÊN ĐỀ SO SÁNH A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH LŨY THỪA I Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa so sánh hai luỹ thừa số số mũ - Nếu hai luỹ thừa số (lớn ) luỹ thừa có số mũ lớn lớn am an a m n - Nếu hai luỹ thừa số mũ (lớn ) lũy thừa có số lớn lớn an bn n a b II Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân a a.c b b b.c c c a a c b II CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa Dạng III BÀI TẬP Bài 1: So sánh số sau đây: a) 1619 825 c) 2711 818 e) 7.213 216 b) 523 6.522 d) 6255 1257 f) 19920 200315 Phân tích: Đưa hai lũy thừa số, so sánh hai số mũ, lũy thừa có số mũ lớn lớn Lời giải a) 1619 825 TỐN Ta có: 1619 (24 )19 276 825 (23 )25 275 nên 1619 825 (vì 276 275 ) b) 523 6.522 Ta có: 523 5.522 6.522 nên 6.522 523 c) 2711 818 Ta có: 2711 (33 )11 (34 )8 333 81 332 nên 2711 818 (vì 333 332 ) 1257 (vì 520 521 ) d) 6255 1257 Ta có: 6255 (54 )5 520 125 (53 )7 521 nên 6255 e) 7.213 216 Ta có: 216 23.213 8.213 7.213 nên 7.213 216 f) 19920 200315 Ta có: 19920 200315 nên 19920 20020 200015 (8.25)20 (16.125)15 200315 ( 260.540 (23.52 )20 (24.53 )15 260.540 (24.53 )15 260.545 260.545 ) Bài 2: So sánh số sau đây: 1 221 535 a) 5100 3500 c) b) 339 1121 d) 32n 23n n e) 230 * 330 430 3.2410 f) 111979 371320 Phân tích: Đưa hai lũy thừa số mũ, so sánh hai số, lũy thừa có số lớn lớn Lời giải a) 5100 3500 HSG TỐN Ta có: 5300 nên 5300 (53 )100 125100 3500 3500 (vì 125 243 (35 )100 125100 243100 243100 ) b) 339 1121 Ta có: 39 nên 339 c) 340 (34 )10 8110 1121 1120 (112 )10 12110 1121 (vì 8120 12110 ) 1 35 21 (23 )7 87 535 535 ( 87 31257 ) Ta có: 221 nên: 221 Suy ra: 221 Ta có: 32n 32 330 * n 9n 23n 23 n 8n nên: 32n 23n (vì 9n 230.230 330 430 (23 )10 (22 )15 810.415 810.315 810.310.3 3.2410 f) 111979 371320 Ta có: 111979 111980 nên 111979 8n ) 430 3.2410 Ta có: 430 nên: 230 31257 535 d) 32n 23n n e) 230 (55 )7 113 660 1331660 371320 371320 (vì 1331660 372 1369660 ) 660 1369660 (8.3)10.3 2410.3 TOÁN Bài 3: So sánh số sau: a) A 7245 7244 B 7244 7243 b) 9920 999910 c) 1010 48.505 e) 291 535 d) 10750 7375 f) 199010 199110 Lời giải a) A 7245 Ta có: B 7244 B A 7244 72 7243 72 7244 7243 7244.71 7243.71 nên A B b) 9920 999910 Ta có: 992 99.101 992 9999 10 9999 10 nên: 9920 c) 1010 48.505 Ta có: 1010 210.510 48.505 3.24 25.510 3.29.510 48.505 (vì 2.29.510 suy ra: 1010 nên: 1010 2.29.510 3.29.510 ) 48.505 d) 10750 7375 Ta có: 10750 7375 75 72 10850 8.9 4.27 75 50 2100.3150 2225.3150 999910 19909 HSG TỐN nên: 10750 7375 ( 2100.3150 2225.3150 ) e) 291 535 Ta thấy: 291 290 535 52 536 nên: 291 25 18 535 (do 291 f) 199010 nên 199009 3218 2518 3218 2518 535 ) 19909 199110 Ta có: 199010 và: 199110 18 19909 19909 1990 1991.19909 1991.19919 199010 199110 (do 19909 19919 ) Bài 4: So sánh số sau a) 11022009 b) A 11022008 11022008 20072007 11022007 20072008 B 20082009 11022008 11022008 11022007 Lời giải a) 11022009 Ta có: 11022009 11022008 11022008 11022007 11022008 1102 11022007 1102 11022008.1101 11022007.1101 suy ra: 11022008.1101 11022007.1101 TOÁN nên: 11022009 b) A 11022008 20072007 B 20072008 B 20072007 Ta có: A 11022008 20082009 20072008 11022007 20082009 20072007 2007 2008.20072007 2008.20082008 suy ra: 2008.20072007 2008.20082008 20072007 20082008 nên A B Bài 5: Chứng tỏ : 527 263 528 Lời giải Ta có: 263 mà 263 29 Nên: 527 27 1289 527 5127 528 263 54 53 1259 nên 263 6257 nên 263 527 (vì 1259 528 (vì 5127 6257 ) 528 Bài 6: Chứng minh rằng: a) 21993 7714 b) 21995 5863 Lời giải a) 21993 Ta có: 214 và: 1993 14 Vậy: 21993 7714 16384 9965 90 75 16807 714 9996 = nên 21993 90 214 7714 1993 14 75 714 1259 ) 7114 HSG TỐN b) 21995 5863 Ta có: 215 32468 1993 và: 15 13951 105 Vậy: 21995 5863 57 78125 863 12945 nên 21995 = 105 1995 15 15 863 5863 Bài tập 7: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100 ; 375 550 Lời giải Ta có: 2100 (24 )25 375 33 550 (52 )25 1625 25 27 75 2100 550 375 2525 Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với số (so sánh hai biểu thức lũy thừa) 1315 1316 Bài 1: So sánh biểu thức A 1316 1317 B 1 Lời giải Ta có: 13A 13B Vì 13.(1315 1) 1316 1316 1317 12 1 13.(1316 1) 1317 12 1317 Vậy A B 1316 1316 13 1316 1 Bài 2: So sánh biểu thức A 1317 13 1317 12 1317 10100 1099 1316 12 1316 1 1 B 1 12 13 1317 12 1317 12 1316 1098 1097 Lời giải nên 13A 1 16 1 13B 12 17 13 TOÁN 1098 10.(1097 1) B 10 Vì 10100 10.(1099 1) A 10 Ta có: 100 10 Vậy A 1098 1098 10 10 10100 10 10100 10 98 10 100 10 1098 10 1098 10 10 nên 100 10 10 10 98 10 10 98 10 10 B Bài 3: So sánh biểu thức A 1920 1020 1921 1021 B Lời giải Ta có: A 1920 1920 1920 13 1920 B 1921 1921 1921 13 1921 Vì 13 13 20 Vậy A B 19 21 19 nên Bài 4: So sánh biểu thức A 13 1920 13 1921 13 20 19 13 21 19 33.103 B 23.5.103 7000 3774 5217 Lời giải Ta có: A 33.103 23.5.103 7000 và: B 3774 5217 Vậy A B 33.103 8.5.103 7.103 103.33 103.(40 7) 33 47 33 47 HSG TOÁN 22 Bài 5: So sánh biểu thức A 32 42 B 1002 Lời giải Ta có: 22 2.1 32 2.3 42 3.4 1 99 100 ……………… 1002 99.100 Lấy vế cộng vế ta có 22 32 Vậy: A B A 42 1002 1 2 3 Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừ tìm số (số mũ) chưa biết Bài Tìm x 5x biết 25 125 Lời giải 5x Ta có: 25 Do x nên x Bài Tìm x 52 3125 5x 55 x 2x 3; 9x biết 27 81 Lời giải Ta có: 27 9x 243 33 32x 35 99 100 1 100 99 100 TOÁN Do x 2x Vậy x nên 2x x biết 16x Bài Tìm x 1284 Lời giải Ta có: 16x Do 16x 24 x 24x ; 1284 1284 nên 24x mà x x 27 228 4x 28 228 x 0;1;2; 3; 4;5;6 biết 364 Bài Tìm x x 48 572 Lời giải Ta giải 364 x 48 x 48 Ta có x 48 x 48 364 572 x2 x3 24 Từ (1) (2) suy Vì x x 16 53 x 34 24 16 x3 x2 125 x 81 11 x biết 5x 5x 5x : 218 100 Lời giải Ta có: 5x : 218 100 18 so x+3 18 11 (2) 11 18 so 5x 5x (1) 5, 6, 7, 8, 9,10 Tìm x Bài 572 18 10 : 10 HSG TOÁN Giá trị lớn A 2018 a 1;2; ;9 ; b  c  (Hai ý b,c thầy cô tự chuyển nha, GV tách nhầm chuyên đề rồi) Bài 152 (Đề thi HSG So sánh: 3625 2536 huyện BÌNH THUẬN 2018-2019) Lời giải 3625  18.2   1825.225  1825.26.219 25 2536  2525.2511  2525.522  2525.53.519 53  125; 26  64  53  26  2525  1825 ;519  219  2525.53.519  1825.26.219 hay 3625  2536 Bài 153 (Đề thi HSG TP BUÔN MÊ THUỘC 2019-2020) 1 1 Chứng minh rằng:       2n  Lời giải Ta có: A A 1 1     2  2n   2.2    2.3   2.4     2.n    1 1   1 A              2 n   1.2 2.3  n  1 n  1 1 1 1 A          1 2 n 1 n   1 A  1    (dfcm)  n Bài 154 (Đề thi HSG HUYỆN LÂM THAO 2019-2020) Cho M   a  b    b  c  a    c  a  Trong b, c  a số nguyên âm Chứng minh biểu thức M ln dương tìm tất cặp số nguyên cho tổng chúng tích chúng Lời giải M  a mà a số nguyên âm nên M dương x  0, y  x  2, y  (câu nhầm vị trí) Bài 155 (Đề thi HSG Cho biết S  TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA 2018-2019) 1 1 91    Chứng minh  S  101 102 130 330 91 TOÁN Lời giải *Chứng minh S  91 330 1   1   1   S            110   111 120   121 130   101 102 1   1   1   S            100   110 110   120 120   100 100 1 1 1 181 182 91 S 10  10  10       100 110 120 10 11 12 660 660 330 91 S (1) 330 *Chứng minh  S   1   1   S           110   120 120   130 130   110 1 1 1 S 10  10  10    110 120 130 11 12 13 431 429 S  S  (2) 1716 1716 91 Từ (1) (2)   S  330 Bài 156 (Đề thi HSG huyện HOÀI NHƠN 2018-2019) 1930  1931  So sánh M N biết: M  31 ; N  32 19  19  Lời giải 19 1930   1931  95 1930  90 M  31  19M   31   31 31 19  19  19  19  31 19 19   1932  95 1931  90 N  32  19 N   32   32 32 19  19  19  19  90 90 90 90  32   31   32  19M  19 N 31 19  19  19  19  Vậy M  N Bài 157 22 51  a)So sánh : 45 101 20092009  20092010  b)So sánh : A  B 20092010  20092011  Lời giải a) 22 22 51 51 22 51 22 51         45 44 102 101 45 101 45 101 92 HSG TOÁN 20092010  1 20092011  20092010  20092010   2011 20092010  2009 B   20092011  20092011   2011 20092011  2009 2009  20092009  1 20092009    A 2010 2009  20092010  1 2009  b) B  Vậy B  A Bài 158 (Đề thi HSG huyện Vĩnh Tường 2019-2020) Hãy so sánh : 1234567899 9123456789 Lời giải 9123456789  9100.000.000  8150.000.000  1050.000.000  10100  1010   1234567899 10 Bài 159 (Đề thi HSG huyện Vĩnh Tường 2019-2020) Cho a, b số nguyên dương Chứng minh a b  2 b a Lời giải Khơng tính tổng qt giả sử a  b  a  b  m, m   a b bm b m b m b     1   1  2 b a b bm b bm bm bm Bài 160 (Đề thi HSG huyện 282 năm học 2018-2019) So sánh: a)A  20132013 131313 với B  20142014 141414 b)C  20139  201310 với D  201410 Lời giải 2013.10001 2013 13.10101 13  ;B   2014.10001 2014 14.10101 14 2013 13 1 A  1  ; 1 B  1  2014 2014 14 14 1 Do   1 A  1 B  A  B 2014 14 a) A  b) C  20139 1  2013  20139.2014 D  20149.2014 2013  2014  C  D Bài 161 (Đề thi HSG ) 3 3 Cho S = Chứng minh : 1< S <     10 11 12 13 14 93 TOÁN Lời giải S= S= 3 3 3 3 3 15          => S >  (1) 10 11 12 13 15 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 15 20 => S <  2          10 10 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 Từ (1) (2) => < S < Bài 162 Chứng minh : 1 1      2 (2n) Lời giải Ta có 1 1 A      (2n) A 1 1     2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) 1 1 1  1 1 1  A              42 n   1.2 2.3 3.4 (n  1)n  1 1 1 1 1 A            1 2 3 (n  1) n  1 1 A  1    (Đpcm) 4 n Bài 163 2010 2011 2012 1 1   So sánh A B biết A = B =     2011 2012 2010 17 Lời giải Ta có       A  1    1    1    2011   2012   2010    1   A  3      2010 2011   2010 2012  A3 1  1 1 1 1 B                 10 17  3 4 5 1 B    8 B3 Từ suy >B 94 (2) HSG TỐN Bài 164 Khơng tính giá trị biểu thức Hãy so sánh: 1717 1313 a, b, 98 516 1920 8585 5151 Lời giải a, 1717 17 8585 85 13 13 1313 65 51 5151 1717 1313 8585 5151 b, 98 516 = 316.516 = 1516 98 516 < 1920 Bài 165 Chứng minh rằng: 1 1 1   ; a)     16 32 64 b) 99 100      99  100  3 16 3 3 Lời giải 1 1 1 1 1 1        2 3  5 16 32 64 2 2 2 1 1  2A=      2 2 26  1  2A+A =3A = 1-  26  3A <  A < 3 99 100      99  100 b) Đặt A= 3 3 3 3 99 100 3A= 1-      98  99 3 3 3 a) Đặt A= 1 1 100  4A = 1-     98  99  100 3 3 3 1 1  4A< 1-     98  99 (1) 3 3 1 1 Đặt B= 1-     98  99 3 3 1 1  3B= 2+    97  98 3 3 4B = B+3B= 3- 99 <  B < (2) 3 Từ (1)và (2)  4A < B < A< 16 95 TOÁN Bài 166 Các phân số sau có hay khơng? Vì sao? 23 23232323 2323 232323 ; ; ; 99 99999999 9999 999999 Lời giải Ta thấy; 23 23.101 2323   99 99.101 9999 23 23.10101 232323   99 99.10101 999999 23 23.1010101 23232323   99 99.1010101 99999999 Vậy; 23 2323 232323 23232323    99 9999 999999 99999999 Bài 167 Cho phân số A  199919991999 1999 phân số B  So sánh A B 200020002000 2000 Lời giải Ta có 199919991999 1999000000  19990000  1999 A  200020002000 2000000000  20000000  2000 1999(100000000  10000  1) 1999.100010001 1999    B 2000(100000000  10000  1) 2000.100010001 2000 Vậy A = B Bài 168 a chứng tỏ 12n  phân số tối giản 30n  b Chứng minh : 1 1 + + + + 32 Bài 176 (Đề thi HSG ) 1 1 Chứng minh rằng: A      99  3 3 Lời giải 1 1 Ta có: A       98 3 3 Nên A  A   Hay A   A 399 399 1  99  2.3 Vậy A  Bài 177 (Đề thi HSG a) Cho a, b, n  b) Cho A  * ) Hãy so sánh an a bn b 1011  1010  , So sánh A B B  1012  1011  Lời giải Ta xét trường hợp TH1: a a a 1, 1, 1 b b b an an a  1   a  b bn an b 100 HSG TOÁN TH2: Mà a   a  b  a  n  b  n b an a b có phần thừa so với bn bn a a b có phần thừa so với , b b an a a b a b < nên < bn b bn b TH3: Khi a   a  b  a  n  b  n b an ba có phần bù tới , bn bn a ba có phần bù tới , b b ba ba an a  nên > bn b bn b b) Cho A  1011  1012  rõ ràng A  1nên theo a, 10 A 10 10 1011  10 10 10  1 1010   12   11 12  1  11 10  10 10 1011  1 10  11 Do an a a  > bn b b  1  11 Vây A  B Bài 178 Cho A  n 11     n 1   12 với n  N.Chứng minh A  5 5 16 Lời giải n 11 Xét A      n   11 Suy ra: 5 5 n 11   n 11  1 A  A  A       n   11        n 1   12  5  5 5 5  5 5 1 1 11 A      n   11  12 5 5 5 11 A  B  12 101 TOÁN Với biểu thức: 1 1 B      n   11 5 5 1 1  5B       n1   10 5 5  1 1 1   1  4B  5B  B  1      10        n   11   5 5 5   5  4B    4A  511  511    B  511 511 4.511 511  11 512   44 512  49  49     A     1  12   11 12 12 12 16 16   16 4.5 4.5 Bài 179 (Đề thi HSG huyện Việt Yên 2013 - 2014) Cho A = + + 42 + 43 + … + 499 ; B = 4100 Chứng minh rằng: < B Lời giải 4A = + 42 + 43 + 44 +…+ 4100 A = + + 42 + 43 +…+ 499 3A = 4A – A = 4100 –  A  4100  4100 B   3 Vậy A < B Bài 180 (Đề thi HSG huyện Thanh Oai 2013 - 2014) 5 5 Cho S  Chứng minh < S <     20 21 22 49 Lời giải Xét tổng S  Mà 5 5 có 30 số hạng     20 21 22 49 5 5 5 5  ;  ;  ; ;  20 50 21 50 22 50 49 50  S  30  (1) 50 102 HSG TOÁN 5 5 5 5  ;  ;  ; ;  20 20 21 20 22 20 49 20 Lại có :  S  30  8(2) 20 Từ (1) (2)   S  Bài 181 (Đề số 82 Đề thi HSG huyện Thanh 2013-2014) 1 1 91    Cho biết S = Chứng minh  S  101 102 130 330 Lời giải * Chứng minh S < 91 330 1   1   1        S=     110   111 120   121 130   101 102 1   1   1        S<     100   110 110   120 120   100 100 S< 1 1 1 10  10  10    100 110 120 10 11 12 S< 66  60  55 660 S< 181 182 91 < hay S < 660 660 330 * Chứng minh (1)     110   120 120   130 130   110 S > 1 1 1 10  10  10    110 120 130 11 12 13 S > 156  143  132 1716 103 TOÁN S > 431 429 > Hay S > 1716 1716 Từ (1) (2) ta có 91 S  330 Bài 182 (Đề số 84) Chứng minh : + 1    1999  1000 Lời giải 1 1 1 1 1 1    1999  + + (  ) + (   ) + (   ) + …+( 1998   1999 ) 2 2 1 1 1 1 > +  2  22  23   1999 21998 = 1+ 1999 = 1000,5 > 1000 ( ĐPCM) 2 2 2 1 Bài 183 (Đề số 85 Trường THCS Xuân Dương – Thanh Oai 2013-2014) Chứng minh 1 1 1       1 2 2011 20122 Lời giải Ta có 1 1 1 1   ;  ;  ;…; 2 1.2 2.3 3.4 2012 2011.2012 1 1 1 1           2 2 2011 2012 1.2 2.3 3.4 2011.2012 1 1 1 1 1 1               22 32 42 20112 20122 2 3 2011 2012 1 1 1 2011        =