Chuyên đề 1: Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên và vẽ đồ thị hàm số - Chủ đề 1.1

Chuyên đề 1: Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên và vẽ đồ thị hàm số - Chủ đề 1.1 tính đơn điệu của hàm số trình bày các kiến thức cơ bản và một số bài tập kèm theo, mời các bạn cùng tham khảo!

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chuyên đề Chủ đề 1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định K , với K khoảng, nửa khoảng đoạn • Hàm số y = f ( x ) đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) • Hàm số y = f ( x ) nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng K • Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K • Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng K • Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K hàm số đồng biến khoảng K • Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K hàm số nghịch biến khoảng K • Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ K hàm số không đổi khoảng K Chú ý Nếu K đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] có đạo hàm f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K khoảng ( a; b ) hàm số đồng biến đoạn [ a; b ] Nếu f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K ( f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K ) f ′ ( x ) = số điểm hữu hạn K hàm số đồng biến khoảng K ( nghịch biến khoảng K ) B KỸ NĂNG CƠ BẢN Lập bảng xét dấu biểu thức P ( x ) Bước Tìm nghiệm biểu thức P( x ) , giá trị x làm biểu thức P( x ) không xác định Bước Sắp xếp giá trị x tìm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Bước Sử dụng máy tính tìm dấu P( x ) khoảng bảng xét dấu Xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) tập xác định Bước Tìm tập xác định D Bước Tính đạo hàm y ′ = f ′( x ) Bước Tìm nghiệm f ′( x ) giá trị x làm cho f ′( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f ( x ) đồng biến, nghịch biến khoảng ( a; b ) cho trước Cho hàm số y = f ( x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D : Hàm số nghịch biến (a; b) ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ (a; b) Hàm số đồng biến (a; b) ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ (a; b) Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 1|THBTN Chú ý: Riêng hàm số đa thức : Hàm số nghịch biến (a; b) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) Hàm số đồng biến (a; b) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) * Nhắc lại số kiến thức liên quan: Cho tam thức g ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) a > a) g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ≤ a < c) g ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ≤ a < b) g ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ > a < d) g ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ < Chú ý: Nếu gặp tốn tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) : Bước 1: Đưa bất phương trình f ′( x ) > (hoặc f ′( x ) < ), ∀x ∈ (a; b) dạng g ( x ) > h(m) (hoặc g ( x ) < h(m) ), ∀x ∈ (a; b) Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số g ( x) (a; b) Bước 3: Từ bảng biến thiên điều kiện thích hợp ta suy giá trị cần tìm tham số m Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình: Đưa phương trình, bất phương trình dạng f ( x) = m f ( x) ≥ g (m) , lập bảng biến thiên f ( x) , dựa vào BBT suy kết luận C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu x +1 Khẳng định khẳng đinh đúng? 1− x A Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) Cho hàm số y = B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) Câu C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ ) Cho hàm số y = − x3 + 3x − x + Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến ℝ B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) nghịch biến khoảng (1; +∞ ) D Hàm số đồng biến ℝ Câu Cho hàm số y = − x + x + 10 khoảng sau: ( ) (I): −∞; − ; ( ) ( ) (II): − 2; ; (III): 0; ; Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? A Chỉ (I) B (I) (II) C (II) (III) Câu D (I) (III) 3x −1 Khẳng định sau khẳng định đúng? −4 + x A Hàm số nghịch biến ℝ B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) , ( 2; +∞ ) Cho hàm số y = Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2|THBTN D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; − ) , ( −2; +∞ ) Câu Câu Hỏi hàm số sau nghịch biến ℝ ? A h( x) = x − x + B g ( x ) = x + x + 10 x + 4 C f ( x) = − x + x3 − x D k ( x ) = x + 10 x − cos x x2 − 3x + Hỏi hàm số y = nghịch biến khoảng ? x +1 A (−∞; −4) , (2; +∞) B ( −4; ) C ( −∞; −1) , ( −1; +∞ ) Câu Hỏi hàm số y = A (5; +∞) Câu Câu D ( −4; −1) ( −1; ) x3 − x + x − nghịch biến khoảng nào? B ( 2;3) C ( −∞;1) x − 3x + x3 − đồng biến khoảng nào? A (−∞; 0), (1;3) B (1;3) C ℝ D (1;5 ) Hỏi hàm số y = D (−∞;1) Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d Hỏi hàm số đồng biến ℝ nào?  a = b = 0, c > A   a > 0; b − 3ac ≤  a = b = 0, c > C  a < 0; b − ac ≤   a = b = 0, c > B   a > 0; b − 3ac ≥ a = b = c = D  a < 0; b − ac <  Câu 10 Cho hàm số y = x3 + x − x + 15 Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −3;1) B Hàm số đồng biến ℝ C Hàm số đồng biến ( −9; −5 ) D Hàm số đồng biến khoảng ( 5; +∞ ) Câu 11 Cho hàm số y = 3x − x Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ; ( 2;3) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; ) ; ( 2;3) D Hàm số nghịch biến khoảng ( 2;3 ) Câu 12 Cho hàm số y = x + sin x, x ∈ [ 0; π ] Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào?  7π A  0;  12   11π  ;π      12   7π 11π B  ;  12 12     7π C  0;  12   7π 11π ;     12 12  7π 11π D  ;  12 12   11π  ;π      12     Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 3|THBTN Câu 13 Cho hàm số y = x + cos2 x Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến ℝ π  B Hàm số đồng biến  + kπ ; +∞  nghịch biến khoảng 4  π    −∞; + kπ    π  C Hàm số nghịch biến  + kπ ; +∞  đồng biến khoảng 4  D Hàm số nghịch biến ℝ π    −∞; + kπ    Câu 14 Cho hàm số sau: (I) : y = x3 − x + x + ; (IV) : y = x3 + x − sin x ; x −1 ; x +1 (V) : y = x4 + x + (II) : y = (III) : y = x2 + Có hàm số đồng biến khoảng mà xác định? A B C D Câu 15 Cho hàm số sau: (I) : y = − x3 + x2 − 3x + ; (II) : y = sin x − x ; (III) : y = − x3 + ; (IV) : y = Hỏi hàm số nghịch biến ℝ ? A (I), (II) C (I), (II) (IV) x−2 1− x B (I), (II) (III) D (II), (III) Câu 16 Xét mệnh đề sau: (I) Hàm số y = −( x − 1)3 nghịch biến ℝ (II) Hàm số y = ln( x − 1) − (III) Hàm số y = x đồng biến tập xác định x −1 x đồng biến ℝ x2 + Hỏi có mệnh đề đúng? A B C D Câu 17 Cho hàm số y = x + ( x − ) Khẳng định sau khẳng định sai? 1  A Hàm số nghịch biến khoảng  −1;   2 B Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) 1  C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1)  ; +∞  2  1  1  D Hàm số nghịch biến khoảng  −1;  đồng biến khoảng  ; +∞   2 2  Câu 18 Cho hàm số y = x + + 2 − x Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) đồng biến khoảng ( −2; ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) nghịch biến khoảng ( −2; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) nghịch biến khoảng (1; ) Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 4|THBTN D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) đồng biến khoảng (1; )  π π Câu 19 Cho hàm số y = cos x + sin x.tan x, ∀x ∈  − ;  Khẳng định sau khẳng định  2 đúng?  π π A Hàm số giảm  − ;   2  π π B Hàm số tăng  − ;   2  π π C Hàm số không đổi  − ;   2  π  D Hàm số giảm  − ;0   Câu 20 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = mà xác định ? A m > B m ≥ C m ≤ x−m+2 giảm khoảng x +1 D m < Câu 21 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số sau nghịch biến ℝ ? y = − x − mx + (2m − 3) x − m + A −3 ≤ m ≤ B m ≤ C −3 < m < Câu 22 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = D m ≤ −3; m ≥ x2 − (m + 1) x + 2m − tăng x−m khoảng xác định nó? A m > B m ≤ C m < D m ≥ Câu 23 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = f ( x) = x + m cos x đồng biến ℝ ? A m ≤ B m > C m ≥ D m < Câu 24 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = (m − 3) x − (2m + 1)cos x nghịch biến ℝ ? A −4 ≤ m ≤ B m ≥ m > C  m ≠  D m ≤ Câu 25 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số sau đồng biến ℝ ? y = x3 − 3(m + 2) x + 6(m + 1) x − 3m + A m = B m = −1 C m = Câu 26 Tìm giá trị nhỏ tham số m cho hàm số y = ℝ? A m = −5 B m = D m = x3 + mx2 − mx − m đồng biến C m = −1 Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số D m = −6 5|THBTN Câu 27 Tìm số nguyên m nhỏ cho hàm số y = xác định nó? A m = −1 B m = −2 (m + 3) x − nghịch biến khoảng x+m C m = D Khơng có m Câu 28 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = mx + giảm khoảng x+m ( −∞;1) ? A −2 < m < B −2 ≤ m ≤ −1 C −2 < m ≤ −1 D −2 ≤ m ≤ Câu 29 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x3 − x + mx + đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) ? A m ≤ B m ≤ 12 C m ≥ D m ≥ 12 Câu 30 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x − 2(m − 1) x + m − đồng biến khoảng (1;3) ? A m ∈ [ −5; ) B m ∈ ( −∞; 2] C m ∈ ( 2, +∞ ) D m ∈ ( −∞; −5 ) Câu 31 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = nghịch biến đoạn có độ dài 3? A m = −1; m = B m = −1 C m = Câu 32 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y =  π  0;  ?   A ≤ m < B m ≤ 0;1 ≤ m < C m ≥ x − mx + 2mx − 3m + D m = 1; m = −9 tan x − đồng biến khoảng tan x − m D m ≤ mx Câu 33 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = f ( x) = + mx + 14 x − m + giảm nửa khoảng [1; +∞) ? 14   A  −∞; −  15   14   B  −∞; −  15   14   C  −2; −  15    14  D  − ; +∞   15  Câu 34 Tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = − x + (2m − 3) x + m nghịch biến  p p khoảng (1; )  −∞;  , phân số tối giản q > Hỏi tổng p + q là? q q  A B C D Câu 35 Hỏi có giá trị nguyên tham số m cho hàm số y = biến khoảng xác định nó? A Hai B Bốn C Vô số x − 2mx + m + đồng x−m D Khơng có Câu 36 Hỏi có giá trị nguyên dương tham số m cho hàm số y= x + (1 − m) x + + m đồng biến khoảng (1; +∞) ? x−m Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 6|THBTN A Câu 37 Tìm B tất giá C trị thực tham D số α β cho hàm số − x3 y = f ( x) = + (sin α + cosα )x − x sin α cosα − β − giảm ℝ ? 2 π π A + kπ ≤ α ≤ + kπ , k ∈ Z β ≥ 12 π 5π B + kπ ≤ α ≤ + kπ , k ∈ Z β ≥ 12 12 π C α ≤ + kπ , k ∈ Z β ≥ 5π D α ≥ + kπ , k ∈ Z β ≥ 12 Câu 38 Tìm mố i liên hệ tham số a b cho hàm số y = f ( x) = x + a sin x + bcosx tăng ℝ ? A 1 + = a b C a + b ≤ B a + 2b = D a + 2b ≥ 1+ Câu 39 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x − x − x − m = có nghiệm? A −27 ≤ m ≤ B m < −5 m > 27 C m < −27 m > D −5 ≤ m ≤ 27 Câu 40 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x + = x + m có nghiệ m thực? A m ≥ B m ≤ C m ≥ D m ≤ Câu 41 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình nghiệm dương? A ≤ m ≤ B −3 < m < C − < m < x − x + = m + x − x có D −3 ≤ m < Câu 42 Tìm tất giá trị thực tham số m cho mọ i nghiệm bất phương trình: x − 3x + ≤ nghiệm bất phương trình mx + ( m + 1) x + m + ≥ ? B m ≤ − A m ≤ −1 Câu 43 Tìm tất giá trị thực C m ≥ − tham số D m ≥ −1 m cho phương trình: log 32 x + log 32 x + − 2m − = có nghiệm đoạn 1;3  ?   A −1 ≤ m ≤ B ≤ m ≤ C ≤ m ≤ D −1 ≤ m ≤ Câu 44 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x + mx + = x + có hai nghiệm thực? A m ≥ − B m ≥ C m ≥ D ∀m ∈ ℝ 2 Câu 45 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x − + m x + = x − có hai nghiệm thực? Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 7|THBTN A ≤ m < B −1 ≤ m ≤ C −2 < m ≤ D ≤ m < Câu 46 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình   (1 + x)(3 − x) > m + x − x − nghiệm với mọ i x ∈  − ;3 ?   A m > B m > C m < D m < Câu 47 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình ( ) + x + − x − (1 + x )(3 − x ) ≥ m nghiệm với mọ i x ∈ [ − 1;3] ? A m ≤ Câu 48 Tìm tất B m ≥ giá trị thực C m ≥ − tham số m D m ≤ − cho bất phương trình bất phương trình + x + − x − 18 + 3x − x ≤ m − m + nghiệm ∀x ∈ [ −3, 6] ? A m ≥ −1 C ≤ m ≤ Câu 49 Tìm tất m.4 + ( m − 1) x B −1 ≤ m ≤ D m ≤ −1 m ≥ x+2 A m ≤ giá trị thực tham số m + m − > nghiệm ∀x ∈ ℝ ? B m ≥ C −1 ≤ m ≤ cho D m ≥ Câu 50 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: − x + 3mx − < − nghiệm ∀x ≥ ? 2 A m < B m ≥ 3 C m ≥ D − ≤ m ≤ 2 Câu 51 Tìm giá trị lớn tham số m cho bất phương trình 2cos x + 3sin x ≥ m.3cos nghiệm? A m = B m = C m = 12 D m = 16 Câu 52 Bất phương trình x có x3 + x + x + 16 − − x ≥ có tập nghiệm [ a; b ] Hỏi tổng a + b có giá trị bao nhiêu? A −2 B Câu 53 Bất phương trình x3 C D x − x + − x − x + 11 > − x − x − có tập nghiệm ( a; b ] Hỏi hiệu b − a có giá trị bao nhiêu? A B C Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số D −1 8|THBTN D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN D A D B C D D B A 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B A A C A A B C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B A A A C D C D B A B B C C D B C C B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 B C B C D D D D B A A C A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn D > 0, ∀x ≠ (1 − x)2 Hàm số đồng biến khoảng (−∞;1) (1; +∞) TXĐ: D = ℝ \ {1} Ta có y ' = Câu Chọn A TXĐ: D = ℝ Ta có y ' = −3 x + x − = −3( x − 1)2 ≤ , ∀x ∈ ℝ Câu Chọn D x = TXĐ: D = ℝ y ' = −4 x + x = x (2 − x ) Giải y ' = ⇔  x = ± ( ) ( ) Trên khoảng −∞; − 0; , y ' > nên hàm số đồng biến Câu Chọn B TXĐ: D = ℝ \ {2} Ta có y ' = − Câu 10 < 0, ∀x ∈ D ( −4 + x ) Chọn C Ta có: f '( x) = −4 x + x − = − (2 x − 1) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ Câu Chọn D TXĐ: D = ℝ \ {−1} y ' = x2 + 2x − x = Giải y ' = ⇒ x + x − = ⇒  ( x + 1)  x = −4 y ' không xác định x = −1 Bảng biến thiên: x −∞ −4 −1 ′ y – + −11 – +∞ +∞ + +∞ y −∞ −∞ Hàm số nghịch biến khoảng ( −4; −1) ( −1; ) Câu Chọn D x = TXĐ: D = ℝ y ' = x − x + = ⇔  x = Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 9|THBTN Trên khoảng (1;5) , y ' < nên hàm số nghịch biến Câu Chọn B TXĐ: D = ℝ y ' = x − 12 x + 12 x = x ( x − 2)2 ≥ , ∀x ∈ ℝ Câu Chọn A  a = b = 0, c > y ' = 3ax + 2bx + c ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔   a > 0; b − 3ac ≤ Câu 10 Chọn B TXĐ: D = ℝ Do y ' = x + x − = 3( x − 1)( x + 3) nên hàm số không đồng biến ℝ Câu 11 Chọn B HSXĐ: x − x ≥ ⇔ x ≤ suy D = (−∞;3] y ' = x = Giải y ' = ⇒  y ' không xác định x = Bảng biến thiên: x −∞ y′ || − + y x − 3x2 3x2 − x3 , ∀x ∈ ( −∞;3) x =  x = − || +∞ 0 Hàm số nghịch biến (−∞; 0) (2;3) Hàm số đồng biến (0; 2) Câu 12 Chọn A π  x = − + kπ  1 12 ,(k ∈ℤ) TXĐ: D = ℝ y ' = + sin x Giải y ' = ⇔ sin x = − ⇔  π 2 x = + kπ  12 7π 11π Vì x ∈ [ 0; π ] nên có giá trị x = x = thỏa mãn điều kiện 12 12 Bảng biến thiên: 7π 11π x π 12 12 y ′ || 0 + − + || y  7π   11π  ;π  Hàm số đồng biến  0;    12   12  Câu 13 Chọn A TXĐ: D = ℝ ; y ′ = − sin x ≥ ∀x ∈ ℝ suy hàm số đồng biến ℝ Câu 14 Chọn C (I): y ′ = x − x + = ( x − 1) + > 0, ∀x ∈ ℝ Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 10 | T H B T N  x − ′ (II): y ′ =  > 0, ∀x ≠ −1  =  x +  ( x + 1) (III): y ′ = (IV): y ′ = 3x + − cos x > 0, ∀x ∈ ℝ (V): y ′ = x3 + x = x(2 x + 1) ( ′ x2 + = ) x x2 + Câu 15 Chọn A (I): y ' = (− x + x − 3x + 1) ' = −3x + x − = −3( x − 1)2 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ; (II): y ' = (sin x − x ) ' = cos x − < 0, ∀x ∈ ℝ ; (III) y ′ = − ( ′ x3 + = − ) 3x2 x +2 ( ) ≤ 0, ∀x ∈ − 2; +∞ ;  x − ′  x − ′ (IV) y ' =  < 0, ∀x ≠  =  =− (1 − x)  1− x   −x +1  Câu 16 Chọn A ′ (I) y ′ = − ( x − 1)3 = −3( x − 1)2 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ( ) x ′ x  > 0, ∀x > (II) y ′ =  ln( x − 1) −  = x −  ( x − 1)  x + − x (III) y ′ = ( x2 + x2 + Câu 17 Chọn B  x − y′ =  −2 x + x y′  x  x + − x    x +  = > 0, ∀x ∈ ℝ x +1 x2 + x2 + ′ )= ( ) x ≥ −1 ; y′ = ⇔ x = x < −1 2 −1 −∞ || + − +∞ + y Câu 18 Chọn C TXĐ: D = ( −∞; 2] Ta có y ′ = − x −1 , ∀x ∈ ( −∞; ) 2− x Giải y ′ = ⇒ − x = ⇒ x = ; y ' không xác định x = Bảng biến thiên: x y′ −∞ + y − −∞ || Câu 19 Chọn C Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 11 | T H B T N  π π Xét khoảng  − ;   2 Ta có: y = cos x + sin x.tan x = cos x.cos x + sin x.sin x = ⇒ y′ = cos x  π π Hàm số không đổi  − ;   2 Câu 20 Chọn D Tập xác định: D = ℝ \ {−1} Ta có y ′ = m −1 ( x + 1)2 Để hàm số giảm khoảng mà xác định ⇔ y ′ < 0, ∀x ≠ −1 ⇔ m < Câu 21 Chọn A Tập xác định: D = ℝ Ta có y ′ = − x − 2mx + 2m − Để hàm số nghịch biến ℝ  −1 < (hn)  a y′ < ⇔ ⇔ −3 ≤ m ≤ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔   m + 2m − ≤  ∆′ ≤ Câu 22 Chọn B Tập xác định: D = ℝ \ {m} Ta có y ′ = x − 2mx + m2 − m + ( x − m) Để hàm số tăng khoảng xác định 1 ≥ (hn) ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ x − 2mx + m2 − m + ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔  ⇔ m ≤1 m − ≤ Câu 23 Chọn A Tập xác định: D = ℝ Ta có y ′ = − m sin x Hàm số đồng biến ℝ ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ m sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ Trường hợp 1: m = ta có ≤ 1, ∀x ∈ ℝ Vậy hàm số đồng biến ℝ , ∀x ∈ ℝ ⇔ m Trường hợp 3: m < ta có sin x ≥ , ∀x ∈ ℝ ⇔ m Vậy m ≤ Trường hợp 2: m > ta có sin x ≤ ≥1⇔ m ≤1 m ≤ −1 ⇔ m ≥ −1 m Câu 24 Chọn A Tập xác định: D = ℝ Ta có: y ' = m − + (2m + 1) sin x Hàm số nghịch biến ℝ ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ (2m + 1) sin x ≤ − m, ∀x ∈ ℝ ta có ≤ ,∀x ∈ℝ Vậy hàm số nghịch biến ℝ 2 3− m 3−m Trường hợp 2: m < − ta có sin x ≥ , ∀x ∈ ℝ ⇔ ≤ −1 2m + 2m + ⇔ − m ≥ −2m − ⇔ m ≥ −4 Trường hợp 3: m > − ta có: Trường hợp 1: m = − Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 12 | T H B T N sin x ≤ 3− m 3− m 2  , ∀x ∈ ℝ ⇔ ≥ ⇔ − m ≥ 2m + ⇔ m ≤ Vậy m ∈  −4;  2m + 2m + 3  Câu 25 Chọn A x = Tính nhanh, ta có f ′( x) = ⇔ x − ( m + ) x + ( m + 1) = ⇔   x = m +1 Phương trình f ′( x ) = có nghiệm kép m = , suy hàm số đồng biến ℝ Trường hợp m ≠ , phương trình f ′( x ) = có hai nghiệm phân biệt (khơng thỏa u cầu tốn) Câu 26 Chọn C Tập xác định: D = ℝ Ta có y ′ = x + 2mx − m 1 > (hn) ⇔ −1 ≤ m ≤ Hàm số đồng biến ℝ ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  m + m ≤ Vậy giá trị nhỏ m để hàm số đồng biến ℝ m = −1 Câu 27 Chọn D Tập xác định: D = ℝ \ {− m} Ta có y ′ = m + 3m + ( x + m )2 Yêu cầu đề ⇔ y ′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ m + 3m + < ⇔ −2 < m < −1 Vậy số nguyên m thuộc khoảng ( −2; −1) Câu 28 Chọn C Tập xác định D = ℝ \ {− m} Ta có y ′ = m2 − ( x + m )2 Để hàm số giảm khoảng ( −∞;1) m − < ⇔ y ′ < 0, ∀x ∈ ( −∞;1) ⇔  ⇔ −2 < m ≤ −1 1 ≤ − m Câu 29 Chọn D Cách 1:Tập xác định: D = ℝ Ta có y ′ = 3x − 12 x + m • Trường hợp 1: 3 > (hn) Hàm số đồng biến ℝ ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ m ≥ 12 36 − 3m ≤ • Trường hợp 2: Hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) ⇔ y ′ = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 < x2 ≤ (*) Trường hợp 2.1: y ′ = có nghiệm x = suy m = Nghiệm lại y ′ = x = (không thỏa (*)) Trường hợp 2.2: y ′ = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa  36 − 3m > ′ ∆ >   x1 < x2 < ⇔  S < ⇔  < 0(vl ) ⇒ khơng có m Vậy m ≥ 12 P > m   >0 3 Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 13 | T H B T N Cách 2:Hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) ⇔ m ≥ 12 x − 3x = g ( x ), ∀x ∈ (0; +∞) Lập bảng biến thiên g ( x) ( 0; +∞ ) x +∞ + g′ – 12 g –∞ Câu 30 Chọn B Tập xác định D = ℝ Ta có y ' = x3 − 4(m − 1) x Hàm số đồng biến (1;3) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1;3) ⇔ g ( x) = x + ≥ m, ∀x ∈ (1;3) Lập bảng biến thiên g ( x) (1;3) x g′ + 10 g Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ≤ g ( x ) ⇔ m ≤ Câu 31 Chọn A Tập xác định: D = ℝ Ta có y ′ = x − mx + 2m Ta không xét trường hợp y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ a = > Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài ⇔ y ′ = có nghiệm x1 , x2 thỏa ∆ > ⇔ m − 8m >  m = −1 m > hay m < x1 − x2 = ⇔  ⇔ ⇔   2 m = m − 8m = ( x1 − x2 ) = ⇔ S − P = Câu 32 Chọn B  π +) Điều kiện tan x ≠ m Điều kiện cần để hàm số đồng biến  0;  m ∉ 0;1  4 ( ) +) y ' = 2− m cos x(tan x − m)2 +) Ta thấy:  π > 0∀x ∈ 0;  ;m ∉( 0;1)  4 cos x(tan x − m) y' > −m + >  π +) Để hs đồng biến  0;  ⇔  ⇔ ⇔ m ≤ ≤ m <  4  m ∉(0;1)  m ≤ 0;m ≥ Câu 33 Chọn B Tập xác định D = R , yêu cầu tốn đưa đến giải bất phương trình −14 mx + 14mx + 14 ≤ 0, ∀x ≥ , tương đương với g ( x ) = ≥ m (1) x + 14 x Dễ dàng có g ( x) hàm tăng ∀x ∈ [1; +∞ ) , suy g ( x ) = g (1) = − x≥1 Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 14 15 14 | T H B T N Kết luận: (1) ⇔ g ( x) ≥ m ⇔ − x ≥1 14 ≥m 15 Câu 34 Chọn C Tập xác định D = ℝ Ta có y ′ = −4 x3 + 2(2m − 3) x = g ( x ), ∀x ∈ (1; 2) Lập bảng biến thiên g ( x) (1; 2) g ′( x ) = x = ⇔ x = Hàm số nghịch biến (1; 2) ⇔ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇔ m ≤ x + Bảng biến thiên x g′ g + 11 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ≤ g ( x) ⇔ m ≤ Vậy p + q = + = Câu 35 Chọn C Tập xác định D = ℝ \ {m} Ta có y ′ = x − 2mx + 2m − m − g ( x) = ( x − m) ( x − m) Hàm số đồng biến khoảng xác định g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D  m ≤ −1 Điều kiện tương đương ∆ g ( x ) = − m + m + ≤ ⇔  m ≥ Kết luận: Có vơ số giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán Câu 36 Chọn D Tập xác định D = ℝ \ {m} Ta có y ′ = x − 4mx + m2 − 2m − g ( x) = ( x − m) ( x − m) Hàm số đồng biến (1; +∞) g ( x ) ≥ 0, ∀x > m ≤ (1) Vì ∆ g ′ = 2(m + 1)2 ≥ 0, ∀m nên (1) ⇔ g ( x) = có hai nghiệm thỏa x1 ≤ x2 ≤ 2 g (1) = 2(m − 6m + 1) ≥  ⇔ m ≤ − 2 ≈ 0, Điều kiện tương đương  S  = m ≤1 2 Do khơng có giá trị ngun dương m thỏa yêu cầu toán Câu 37 Chọn B Điều kiện xác định: β ≥ Yêu cầu tốn đưa đến giải bất phương trình Kết luận: π 12 + kπ ≤ α ≤ ≤ sin 2α ≤ 5π + kπ , k ∈ Z β ≥ 12 Câu 38 Chọn C Tập xác định D = R Ta có: y ′ = + acosx − b sin x Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có − a + b ≤ y ′ ≤ + a + b Yêu cầu toán đưa đến giải bất phương trình Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 15 | T H B T N y ′ ≥ 0, ∀x ⇔ − a + b ≥ ⇔ a + b2 ≤ Câu 39 Chọn C (1) ⇔ m = x − x − x = f ( x) Bảng biến thiên f ( x ) ℝ x y′ −1 −∞ + − +∞ + +∞ y −27 −∞ Từ suy pt có nghiệm m < −27 m > Câu 40 Chọn B Đặt t = x + 1, t ≥ Phương trình thành: 2t = t − + m ⇔ m = −t + 2t + Xét hàm số f (t ) = −t + 2t + 1, t ≥ 0; f ′(t ) = −2t + Bảng biến thiên f ( t ) : t f ′ (t ) + f (t ) +∞ − −∞ Từ suy phương trình có nghiệm m ≤ Câu 41 Chọn B Đặt t = f ( x) = x − x + Ta có f ′( x) = x−2 x − 4x + f ′( x) = ⇔ x = Xét x > ta có bảng biến thiên x f ′( x) f ( x) − +∞ + +∞ Khi phương trình cho trở thành m = t + t − ⇔ t + t − − m = (1) Nếu phương trình (1) có nghiệm t1 , t2 t1 + t2 = −1 (1) có nhiều nghiệm t ≥ Vậy phương trình cho có nghiệm dương phương trình (1) có ( ) nghiệm t ∈ (1; ) Ta có g ′(t ) = 2t + > 0, ∀t ∈ (1; ) nghiệm t ∈ 1; Đặt g (t ) = t + t − Ta tìm m để phương trình g (t ) = m có Bảng biến thiên: t g′ (t ) + g (t ) −3 Từ bảng biến thiên suy −3 < m < giá trị cần tìm Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 16 | T H B T N Câu 42 Chọn C Bất phương trình x − 3x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Bất phương trình mx + ( m + 1) x + m + ≥ ⇔ m( x + x + 1) ≥ − x − ⇔ m ≥ Xét hàm số f ( x) = −x − x2 + x + x + 4x + −x − ′ v i Có f ( x) = > 0, ∀x ∈ [1;2] 1≤ x ≤ x2 + x + ( x + x + 1) Yêu cầu toán ⇔ m ≥ max f ( x ) ⇔ m ≥ − [1;2] Câu 43 Chọn B Đặt t = log32 x + Điều kiện: t ≥ Phương trình thành: t + t − 2m − = (*) Khi x ∈ 1;3  ⇒ t ∈ [1; 2]   (*) ⇔ f (t ) = t2 + t − = m Bảng biến thiên : t + f ′ (t ) 2 f (t ) Từ bảng biến thiên ta có : ≤ m ≤ Câu 44 Chọn C Điều kiện: x ≥ − Phương trình x + mx + = x + ⇔ 3x + x − = mx (*) 3x + x −1 Vì x = khơng nghiệm nên (*) ⇔ m = x 3x2 + 1 3x2 + x − Ta có f ′( x) = > ∀x ≥ − ; x ≠ x x Bảng biến thiên x − + + f ′( x) Xét f ( x ) = +∞ f ( x) +∞ +∞ −∞ Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm m ≥ Câu 45 Chọn D Điều kiện : x ≥ Pt ⇔ x −1 x −1 x −1 x −1 +m= ⇔3 + m = 24 x +1 x +1 x +1 ( x + 1)2 Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 17 | T H B T N x −1 với x ≥ ta có ≤ t < Thay vào phương trình ta m = 2t − 3t = f (t ) x +1 Ta có: f ′(t ) = − 6t ta có: f ′(t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên: t= t f ′ (t ) f (t ) 3 + − −1 Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm ≤ m < Câu 46 Chọn D  2   Đặt t = (1 + x)(3 − x) x ∈  − ;3 ⇒ t ∈  0;      Thay vào bất phương trình ta f (t ) = t + t > m Bảng biến thiên t f ′ (t ) + 49 + 14 f (t ) Từ bảng biến thiên ta có : m < Câu 47 Chọn D Đặt t = + x + − x ⇒ t = + (1 + x)(3 − x) ⇔ (1 + x )(3 − x ) = t − Với x ∈ [ − 1;3] => t ∈ [2; 2] Thay vào bất phương trình ta được: m ≤ −t + 3t + Xét hàm số f (t ) = −t + 3t + 4; f ′(t ) = −2t + ; f ′(t ) = ⇔ t = t ⇒ t = ( + x + − x ) = + ( + x )( − x ) ⇒ ≤ t = + ( + x )( − x ) ≤ + ( + x ) + ( − x ) = 18 Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 18 | T H B T N ⇒ 18 + x − x = ( + x )( − x ) = ( t − ) ; t ∈ 3;3  Xét f ( t ) = − t + t + ; f ′ ( t ) = − t < 0; ∀t ∈ 3;3  ⇒ max f ( t ) = f ( 3) = 2 3;3  ycbt ⇔ max f ( t ) = ≤ m − m + ⇔ m − m − ≥ ⇔ m ≤ −1 m ≥ 3;3  Câu 49 Chọn B Đặt t = x > m.4 x + ( m − 1) x + + m − > , ∀x ∈ ℝ ⇔ m.t + ( m − 1) t + ( m − 1) > 0, ∀t > ⇔ m ( t + 4t + 1) > 4t + 1, ∀t > ⇔ g (t ) = 4t + < m, ∀t > t + 4t + Ta có g ′ ( t ) = −4t − 2t < nên g ( t ) nghịch biến [ 0; +∞ ) ( t + 4t + 1) ycbt ⇔ max g ( t ) = g ( ) = ≤ m t ≥0 Câu 50 Chọn A Bpt ⇔ 3mx < x − 13 + 2, ∀x ≥ ⇔ 3m < x − 14 + = f ( x ) , ∀x ≥ x x (x ) x Ta có f ′ ( x ) = x + 45 − 22 ≥ 2 x 45 − 22 = 22− > suy f ( x ) tăng x x x x Ycbt ⇔ f ( x ) > 3m, ∀x ≥ ⇔ f ( x ) = f (1) = > 3m ⇔ > m x ≥1 Câu 51 Chọn A 2 (1) ⇔   3 cos2 x 1 + 3  9 t cos x ≥ m Đặt t = cos x, ≤ t ≤ t t t 2 1 2 1 (1) trở thành   +   ≥ m (2) Đặt f (t ) =   +   3 9 3 9 Ta có (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [0;1] ⇔ m ≤ Max f (t ) ⇔ m ≤ t∈[0;1] Câu 52 Chọn C Điều kiện: −2 ≤ x ≤ Xét f ( x) = x3 + 3x + x + 16 − − x đoạn [ −2; 4] Có f ′( x) = ( x + x + 1) 2 x + x + x + 16 + > 0, ∀x ∈ ( −2; ) 4− x Do hàm số đồng biến [ −2; 4] , bpt ⇔ f ( x) ≥ f (1) = ⇔ x ≥ So với điều kiện, tập nghiệm bpt S = [1; 4] ⇒ a + b = Câu 53 Chọn A Điều kiện: ≤ x ≤ ; bpt ⇔ ( x − 1) + + x −1 > Xét f (t ) = t + + t với t ≥ Có f '(t ) = t (3 − x ) + + 3− x > 0, ∀t > t +2 t Do hàm số đồng biến [0; +∞) (1) ⇔ f ( x − 1) > f (3 − x) ⇔ x − > ⇔ x > 2 + So với điều kiện, bpt có tập nghiệm S = (2;3] Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 19 | T H B T N ... + x A Hàm số nghịch biến ℝ B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) , ( 2; +∞ ) Cho hàm số y = Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2|THBTN... 12     Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 3|THBTN Câu 13 Cho hàm số y = x + cos2 x Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến ℝ π  B Hàm số đồng biến ... ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) nghịch biến khoảng ( −2; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) nghịch biến khoảng (1; ) Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 4|THBTN