khảo sát sựu biến thiên và vẽ đồ thị một số hàm phân thức hữu tỉ

3 Đồ thị hàm số:  Điểm uốn: y'' = 12x2 - 2, y'' =  12x2 - =  x =  Vì y" đổi dấu x qua điểm  nên đồ thị hàm số có hai điểm uốn     U1   ; U2  ;   36  36     Ta tìm thêm vài điểm đồ thị A(-1; 0), B(1; 0) b Đồ thị y = |f(x)| gồm: Phần từ trục hoành trở lên đồ thị y = f(x) Đối xứng phần đồ thị phía trục hoành qua trục hoành Đ7 khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm phân thức hữu tỉ Dạ3fng toá1Ÿ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm phân thức bậc bậc Phương pháp Với hàm số: ax  b (C): y = cx  d , với c  0, D = ad - bc  ta có:  d D  \     c a Tập xác định b Sự biến thiên hàm số:  Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đường tiệm cận: a a lim x   y = c nên y = c đường tiệm cận ngang lim d d x  c y =  nên x = - c đường tiệm cận đứng  Bảng biến thiên: ad  bc y'  (cx  d)2  - Nếu D = ad - bc >  hàm số đồng biến D - Nếu D = ad - bc <  hàm số nghịch biến D Lập bảng biến thiên: Trường hợp D > x - - d/c + y' + + + a a - y c c Trường hợp D < x - - d/c + y' + a a - y c c Dựa vào bảng biến thiên đưa kết luận khoảng nghịch biến hàm số hàm số khơng có cực trị 69 x= - d/c I c Đồ thị:  Tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ (nếu có)  d a I  ;  Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm  c c  hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Do có hai trường hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm số có hai dạng sau đây: Với D > Với D < y= a/ c x= - d/c Cho hàm số x 1 x I hí dụ3f1Q y y x 1 2 x y= a/ c a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Từ đó, suy đồ thị hàm số b Chứng minh giao điểm I hai đường tiệm cận đồ thị tâm đối xứng c Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị giao điểm A đồ thị với trục tung d Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị cho, biết tiếp tuyến song song với tiếp tuyến điểm A Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với (H) A’, chứng tỏ A A’ đối xứng với qua giao điểm I hai đường tiệm cận  Giải a Ta có: D  \  2 Hàm số xác định Sự biến thiên hàm số:  Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đường tiệm cận: lim y 1 x  nên y = đường tiệm cận ngang lim y  x nên x = đường tiệm cận đứng y x=2  Bảng biến thiên: 3 y'  0 (x  2)2 với xD y=1 I  hàm số nghịch biến D O x - + -1 x -1/2 y' + + y=1 + y - Đồ thị hàm số: Lấy thêm điểm: 1  A  0;    B(1; 0)  x 1 x 1 y y   x viết lại dạng x  , nên đồ thị suy cách Hàm số lấy đối xứng đồ thị (H) qua trục Ox (đường nét đứt) b Bạn đọc tự thực phép tịnh tiến toạ độ c Phương trình tiếp tuyến A có dạng: (d A ) : y  y '(0) x (d A ) : y  x   70 d Tiếp tuyến song song với (dA) nên có hệ số góc Hồnh độ tiếp điểm A’ tiếp tuyến với đồ thị (H) nghiệm phương trình:  x  2  x 4 3    (x  2)2 =   x     x 0 lo¹i (x  2) k   5 A '  4;      A A’ đối xứng với qua I Khi đó, phương trình tiếp tuyến điểm A’ có dạng: 11 (d A ' ) : y  y '(4) (x  4) (d A ' ) : y  x   Nhận xét: Các em học sinh quan sát hình vẽ rút phương pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc bậc nhất, cụ thể dạng hàm số ln đơn điệu miền xác định ln nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đồ thị em học sinh thực sau: a Trong phần (Đồ thị hàm số) lấy hai điểm A, B thuộc nhánh đồ thị (có hồnh độ lớn nhỏ giá trị tiệm cận đứng) b Vẽ hệ toạ độ với hai đường tiệm cận với lưu ý để tâm đối xứng I hình c Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiệm cận d Lấy hai điểm A’, B’ theo thứ tự đối xứng với A, B qua I, thực vẽ nhánh đồ thị chứa A’, B’ x  4m 2(mx  1) Cho hàm số (Hm): y = hí dụ3f2Q a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = 1 b Chứng minh với m   , đường cong (Hm) qua hai điểm cố định A B c Chứng minh tích hệ số góc tiếp tuyến với (Hm) hai điểm A B số m biến thiên  Giải a Với m = hàm số có dạng: x y = 2(x  1) D  \  1 Hàm số xác định Sự biến thiên hàm số:  Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đường tiệm cận: lim x → ∞ y = nên y = đường tiệm cận ngang lim x  y =  nên x = đường tiệm cận đứng  Bảng biến thiên: y' = 2(x  1) > với xD  Hàm số đồng biến D x y' - + + + + 1/2 y 1/2 - Đồ thị hàm số  Bạn đọc tự vẽ hình 71 b Giả sử M(x0; y0) điểm cố định họ (Hm) Khi đó: x  4m y = 2(mx  1) , m  2(x y + 2)m - x  2y = 0, m 0 0 x y  0 x  2y  A(  2;1)     x  2y 0 (  2y )y  0       B(2;  1) Vậy, họ (Cm) qua hai điểm cố định A(2; 1) M2(2; 1) c Trước tiên, ta có: 4m  y' = 2(mx  1) Khi đó, tích hệ số góc tiếp tuyến với (H m) hai điểm A B cho bởi: 4m  4m  (4m  1)2 2 2 2(  2m  1) 2(2m  1) 4(2m  1) (2m  1) kA.kB = y'(2).y'(2) = = = Dạ3fng toá2Ÿ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm phân thức bậc hai bậc Phương pháp Với hàm số: ax  bx  c dx  e , với ad  0, tử, mẫu nghiệm chung y= ta có:  dx e Viết lại hàm số dạng y = f(x) = x +  +  e D  \     d a Tập xác định b Sự biến thiên hàm số:  Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đường tiệm cận: lim x   y =  lim e e x  d y =  nên x = - d đường tiệm cận đứng lim x   [y - (x + )] = nên y = x +  đường tiệm cận xiên  Bảng biến thiên: d (dx  e)2  d (dx  e)2 y' =  - (dx  e) =  Dấu đạo hàm dấu tam thức g(x) = (dx + e)2 - d Vậy phương trình y' = vơ nghiệm có nghiệm kép có hai nghiệm phân biệt Do đó, hàm số khơng có cực trị có hai cực trị Lập bảng biến thiên: x - - e/d + y' y Dựa vào bảng biến thiên đưa kết luận khoảng đồng biến nghịch biến cực trị (nếu có) hàm số d Đồ thị:  Tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ (nếu có) Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm I hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Do có bốn trường hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm số có bốn dạng I I I I 72 y x2  x  x hí dụ3f1Q Cho hàm số (H): a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Từ đó, suy đồ thị hàm số (H’): y x2  x  x b Chứng minh giao điểm I hai đường tiệm cận đồ thị tâm đối xứng c Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị cho, biết tiếp tuyến qua điểm A(3; 3)  Giải a Viết lại hàm số dạng y x  x y x=1 D  \  1 Hàm số xác định Sự biến thiên hàm số: I  Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đường tiệm -1 cận: O lim lim x    y =  , x   y = + lim x  y =  nên x = đường tiệm cận đứng lim x → ∞ (y  x) = nên y = x đường tiệm cận xiên  Bảng biến thiên: 2 y' = + (x  1) > xD  hàm số đồng biến x y' - + y=x x + + + + y - - Đồ thị hàm số: Lấy thêm hai điểm A(0; 2) B(1; 0) Ta có:  x2  x  víi x>1  x  x  x   x  x  y  víi x<  x  x Từ đó, đồ thị hàm số (H’) gồm hai phần:  Phần đồ thị (H) với x >  Lấy đối xứng phần đồ thị (H) với x < qua trục Ox b Bạn đọc tự thực phép tịnh tiến toạ độ c Giả sử hoành độ tiếp điểm x = x0, phương trình tiếp tuyến có dạng:   2 x0  1  2 (x  1) x0   (x - x0) + (d): y = y’(x0)(x - x0) + y(x0)  (d): y =  Điểm A(d) nên:   2 x0  1  2 (x  1)  x0  3=  (3 - x0) + 4 x0  2 (x  1) x   (x  1) = x   =  x0 + [2 + (1 - x0)] +  x0  =  x0 = Khi đó, phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = có dạng: 73 (d): y = y'(2).(x  2) + y(2)  (dA): y = 3(x  2) F Nhận xét: Các em học sinh quan sát hình vẽ rút phương pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc hai bậc nhất, cụ thể dạng hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đồ thị em học sinh thực sau: Khả 1: Nếu hàm số có cực trị phần (Đồ thị hàm số) lấy hai điểm A, B đối xứng với qua I, từ đó: a Vẽ hệ toạ độ với hai đường tiệm cận với lưu ý để tâm đối xứng I hình b Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm A cực trị tương ứng tựa theo hai tiệm cận c Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm B cực trị tương ứng tựa theo hai tiệm cận Khả 2: Nếu hàm số khơng có cực trị lấy hai điểm A, B thuộc nhánh đồ thị (có hồnh độ lớn nhỏ giá trị tiệm cận đứng): a Vẽ hệ toạ độ với hai đường tiệm cận với lưu ý để tâm đối xứng I hình b Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiệm cận c Lấy hai điểm A’, B’ theo thứ tự đối xứng với A, B qua I, thực vẽ nhánh đồ thị chứa A’, B’ hí dụ3f2Q Cho hàm số: x  2mx  x 1 (Cm): y = a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm m để hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách từ hai điểm đến đường thẳng x + y + =  Giải a Với m = 1, hàm số có dạng: y x  2x  x 1 y= = x + + x 1 Ta có: -2 -1  \   1 I O Hàm số xác định D = -2 Sự biến thiên hàm số:  Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đường tiệm cận: y=x+1 x=-1 lim y   lim y  x   ; x   lim x   y =  nên x = 1 đường tiệm cận đứng lim[y  (x  1)] x  = nên y = x + đường tiệm cận xiên  Bảng biến thiên:  x 0 x  2x  x  2 y' = - (x  1) = (x  1) , y' =  x2 + 2x =   x - -2 -1 + y' + 0 + CĐ + CT + y - -2 - Đồ thị hàm số b Hàm số có đạo hàm: 74 x x  2x  2m  (x  1)2 y' = , y' =  f(x) = x2 + 2x + 2m - = (1) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi: (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 f(  1) 0 2m  0    '   2m     m< (*) Khi đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thoả mãn: x1  x   x1x 2m  toạ độ hai điểm cực trị A(x1, 2x1 + 2m) B(x2, 2x2 + 2m) Gọi d1, d2 theo thứ tự khoảng cách từ điểm cực trị A B đến đường thẳng x + y + = 0, ta có: | 3x1  2m  | | 3x  2m  | 2 d1 = d2 = Do đó: d1 = d2  |3x1 + 2m + 2| = |3x2 + 2m + 2|  x1 x (loai vi x1 x )  3(x  x )  4m      4m - =  m = , thoả mãn (*) Vậy, với m = thoả mãn điều kiện đầu Đ8 số toán thường gặp đồ thị Dạ3fng toá1Ÿ (ứng dụng đồ thị giải phương trình): Biện luận theo m số nghiệm phương trình F(x, m) = (1) Phương pháp Giả sử ta có đồ thị (hoặc bảng bến thiên) hàm số (C): y = f(x), ta thực theo bước sau: Bư3fớ1df Biến đổi phương trình ban đầu dạng: f(x) = h(m) (2) Bư3fớ2df Khi đó, số nghiệm phân biệt phương trình (1) số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng (d): y = h(m)  Bằng việc tịnh tiến (d) theo Oy song song với Ox, ta biện luận số nghiệm phương trình (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x2  b Tuỳ theo giá trị m biện luận số nghiệm phương trình: y x3 + 3x2  = m A  Giải y=m a Ta có: U  Hàm số xác định D = x -1 O 2 Sự biến thiên hàm số:  Giới hạn hàm số vơ cực: -1 (C) hí dụ3f1Q lim 75 3 [-x (1 - x + x ) =   x        x   y = x  Bảng biến thiên: y' = -3x2 + 6x, y' =  -3x2 + 6x =  x = x = x - + y' + x   lim y + -1 CT CĐ - Đồ thị hàm số:  Điểm uốn: y'' = -6x + 6, y'' =  -6x + =  x = Vì y" đổi dấu qua điểm x = nên đồ thị hàm số có điểm uốn U(1; 1)  Ta tìm thêm vài điểm đồ thị A(-1; 3), B(3; 1) Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn U(1; 1) làm tâm đối xứng b Nhận xét số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y = m, ta có kết luận:  Với m < 1 m > phương trình có nghiệm  Với m = 1 m = phương trình có hai nghiệm phân biệt  Với 1 < m < phương trình có ba nghiệm phân biệt F Nhận xét: Qua thí dụ trên: Ở câu a), em học sinh kiểm nghiệm tính đắn nội dung ý sau dạng toán Từ đó, tiến trình để vẽ đồ thị giải thích sau:  Từ bảng biến thiên phần tìm điểm uốn, có ba điểm thuộc đồ thị điểm cực đại (ĐCĐ), điểm cực tiểu (ĐCT), điểm uốn (ĐU) ba điểm ln thẳng hàng (theo tính chất hàm đa thức bậc ba), nên tạo nhánh đồ thị (ứng với bảng biến thiên)  Để vẽ nhành phía trái cần lấy điểm A có hồnh độ x <  Để vẽ nhành phía phải cần lấy điểm B có hồnh độ x >  Từ tính đối xứng đồ thị hàm số bậc ba (nhận điểm uốn làm tâm đối xứng) lấy hai điểm A, B có hồnh độ đối xứng qua điểm U  Nối đường thẳng mờ A  CT  U  CĐ  B Sau lượn đường cong qua điểm Lưu ý phần đồ thị hàm số, bỏ qua:  Việc tìm giao điểm đồ thị hàm số với trục Oy điểm CT  Việc tìm giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox phương trình x3 + 3x2  = khơng có nghiệm ngun Để tăng độ khó cho câu hỏi biện luận số nghiệm phương trình, người ta thay "Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm x > 3", dựa vào đồ thị câu trả lời m < 1 hí dụ3f2Q (Đề thi đại học khối A  2006): a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 2x3  9x2 + 12x  b Tìm m để phương trình 2x3  9x2 + 12x = m có nghiệm phân biệt  Giải a Ta có: Hàm số xác định D =  Sự biến thiên hàm số:  Giới hạn hàm số vô cực: lim y x    76 12   lim x      x x x   = x     x    =    x    Bảng biến thiên: y' = 6x2  18x + 12, x + 12, y' =  6x2  18x + 12, x + 12 =  x = x = x y' - - y - Đồ thị hàm số:  Điểm uốn: 1 CĐ + CT + + x y'' =  12x  18x + 12, =  y'' = 12x  18x + 12, ,  1 U ;  nên đồ thị hàm số có điểm uốn  2  Vì y" đổi dấu qua Đồ thị nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng  Ta tìm thêm vài điểm đồ thị A(0; 4), B(3; 1) b Hàm số y = 2x3  9x2 + 12x  hàm số chẵn, nên đồ thị (T) gồm hai phần:  Phần đồ thị hàm số y = 2x3  9x2 + 12x  với x ≥  Lấy đối xứng phần đồ thị qua Oy Viết lại phương trình dạng: 2x3  9x2 + 12x  = m  Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (T) với đường thẳng y = m  4, để có nghiệm phân biệt điều kiện là: < m  <  < m < Vậy, với < m < thoả mãn điều kiện đầu x Dạ3fng toá2Ÿ Giao điểm hai đồ thị Phương pháp Với yêu cầu thường gặp "Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k qua điểm M(x0; y0), biện luận theo k số giao điểm (d) đồ thị hàm số (C): y = f(x)", ta thực theo bước sau: Bư3fớ1df Tìm tập xác định D hàm số y = f(x) Bư3fớ2df Phương trình đường thẳng (d) cho bởi: y = k(x  x0) + y0 Bư3fớ3df Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) là: f(x) = k(x  x0) + y0 (1) Khi số giao điểm (d) (C) số nghiệm phân biệt thuộc tập D phương trình (1) hí dụ3f1Q (Đề thi đại học khối D  2006): Cho hàm số: (C): y = x3  3x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Gọi (d) đường thẳng qua điểm A(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt  Giải a Bạn đọc tự giải b Đường thẳng (d) có phương trình y = m(x  3) + 20 Hoành dộ giao điểm nghiệm phương trình: x3  3x + = m(x  3) + 20  (x  3)(x2 + 3x +  m) =  x 3    g(x) x  3x  6x  m 0 (I) Để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt điều kiện hệ (I) có ba nghiệm phân biệt, tức: Phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác 77   g   4m  15  15       m 24 24  m  g(3) 0  15   m 24 Vậy, với thoả mãn điều kiện đầu hí dụ3f2Q a b c d Cho hàm số: (C): y = 2x3 + 3x2 + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tìm giao điểm đường cong (C) với parabol (P): y = 2x2 + Viết phương trình tiếp tuyến (C) (P) giao điểm chúng Xác định khoảng (C) nằm phía phía (P)  Giải a Bạn đọc tự giải b Phương trình hồnh độ giao điểm có dạng: 2x3 + 3x2 + = 2x2 +  2x3 + x2 =  x 0  y 1   x   y  2   (1) Vậy, ta (C)  (P) = {A(0; 1), B(A(0; 1), B( ; )} c Vì A giao điểm kép (x = nghiệm kép) nên phương trình tiếp tuyến A (C) (P) giống nhau, cụ thể: (dA): y  = y'(0).x  (dA): y = Tại giao điểm B với (C) (P):  Với (C) ta có y' = 6x2 + 6x phương trình tiếp tuyến B có dạng: 1 3 (d1B): y  = y'( ).(x + )  (d1A): y =  x +  Với (P) ta có y' = 4x phương trình tiếp tuyến B có dạng: 1 (d2B): y  = y'( ).(x + )  (d2B): y = 2x + d Bằng việc xét dấu biểu thức VT (1), ta có kết luận:   (C) nằm (P) x thuộc (;  ) (C) nằm (P) x thuộc ( ; +)\{A(0; 1), B(0} hí dụ3f3Q a Vẽ đồ thị (P) hàm số y = x  x + đồ thị (H) hàm số y = x  b Tìm giao điểm hai đường cong (P) (H) Chứng minh hai đường cong có tiếp tuyến chung giao điểm chúng c Xác định khoảng (P) nằm phía phía (H)  Giải c Bạn đọc tự giải d Hoành dộ giao điểm nghiệm phương trình: x3 x2  x + = x   x  =  x3 =  x =  A(0; 1) Vậy, hai đồ thị (P) (H) cắt điểm A(0; 1) Ta có:  Phương trình tiếp tuyến (P) A có dạng: (d1): y  = y'(P)(0).x  (d1): y = x + 78x + 12, (1) ... biến thiên nên đồ thị hàm số có hai dạng sau đây: Với D > Với D < y= a/ c x= - d/c Cho hàm số x 1 x I hí dụ3f1Q y y x 1 2 x y= a/ c a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Từ đó, suy đồ thị. ..  x  x hí dụ3f1Q Cho hàm số (H): a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Từ đó, suy đồ thị hàm số (H’): y x2  x  x b Chứng minh giao điểm I hai đường tiệm cận đồ thị tâm đối xứng c Viết... m.3 <  m < Vậy, với m < đồ thị hàm số cắt đường thẳng (d m) hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị hí dụ3f5Q Cho hàm số: x 2 (H): y = 2x  a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Chứng minh đường thẳng