Chuyên đề 1: Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên và vẽ đồ thị hàm số - Chủ đề 1.3

Chuyên đề 1: Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên và vẽ đồ thị hàm số - Chủ đề 1.3 giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trình bày các kiến thức cơ bản và một số bài tập kèm theo, mời các bạn cùng tham khảo!

Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Chủ đề 1.3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định miền D  f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ D • Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f ( x ) D nếu:  ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = M Kí hiệu: M = max f ( x ) M = max f ( x ) x∈D D  f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ D • Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) D nếu:  ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = m Kí hiệu: m = f ( x ) m = f ( x ) x∈D D B KỸ NĂNG CƠ BẢN Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) liên tục K (K khoảng, đoạn, nửa khoảng, ) Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sử dụng bảng biến thiên Bước Tính đạo hàm f ′( x ) Bước Tìm nghiệm f ′( x ) điểm f ′( x ) K Bước Lập bảng biến thiên f ( x ) K Bước Căn vào bảng biến thiên kết luận f ( x), max f ( x) K K Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số không sử dụng bảng biến thiên Trường hợp Tập K đoạn [a; b] Bước Tính đạo hàm f ′( x ) Bước Tìm tất nghiệm xi ∈ [a; b] phương trình f ′( x ) = tất điể m α i ∈ [a; b] làm cho f ′( x ) khơng xác định Bước Tính f (a ) , f (b) , f ( xi ) , f (α i ) Bước So sánh giá trị tính kết luận M = max f ( x ) , m = f ( x ) [ a ; b] [ a ;b ] Trường hợp Tập K khoảng (a; b) Bước Tính đạo hàm f ′( x ) Bước Tìm tất nghiệm xi ∈ (a; b) phương trình f ′( x ) = tất điể m α i ∈ (a; b) làm cho f ′( x ) không xác định Bước Tính A = lim+ f ( x) , B = lim− f ( x) , f ( xi ) , f (α i ) x→a Bước x →b So sánh giá trị tính kết luận M = max f ( x ) , m = f ( x ) ( a ;b ) ( a ;b ) Chú ý: Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) A B ta kết luận khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất) Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 1|THBTN Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Giá trị nhỏ hàm số y = x − 3x + đoạn [ 0; 2] là: A y = B y = [2; 4] Câu B f ( x ) = [ −4; 4] [ −4; 4] B max f ( x) = [1; 3] [1; 3] [ 0; 2] [ −4; 4] D f ( x) = 15 [ −4; 4] C max f ( x ) = −6 [1; 3] D max f ( x ) = [1; 3] C max f ( x) = [ 0; 2] D max f ( x ) = [ 0; 2] Giá trị nhỏ hàm số y = x( x + 2)( x + 4)( x + 6) + khoảng [ −4; +∞ ) là: A y = −8 B y = −11 [ −4;+∞ ) [ −4;+∞ ) C y = −17 [ −4;+∞ ) x −1 đoạn [ 0;3] là: x +1 B y = C y = −1 [0; 3] [0; 3] D y = −9 [ −4;+∞ ) Giá trị nhỏ hàm số y = A y = −3 [0; 3] Câu 13 27 B max f ( x) = [ 0; 2] Câu C f ( x ) = −41 (Đề thi Tốt nghiệp THPT – 2008) Giá trị lớn hàm số f ( x ) = x − x + đoạn [ 0; 2] là: A max f ( x) = 64 Câu [2; 4] (Đề thi Tốt nghiệp THPT – 2007) Giá trị lớn hàm số f ( x ) = x3 − x + 16 x − đoạn [1;3] là: A max f ( x) = Câu D y = [2; 4] Giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x3 − 3x − x + 35 đoạn [ −4; 4] là: A f ( x ) = −50 Câu C y = [2; 4] D y = [0; 3] (Đề thi Tốt nghiệp THPT – 2008) đoạn [ 2; 4] là: x 13 B y = C y = −6 [ 2; 4] [ 2; 4] Giá trị nhỏ hàm số y = x + A y = [ 2; 4] Câu 25 D y = −7 [ 2; 4] (Đề thi Tốt nghiệp THPT – 2008) Giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = A y = −1 x2 − x +1 khoảng (1;+∞) là: x −1 B y = (1;+∞ ) Câu D y = (1;+∞ ) C y = (1;+∞ ) ( 2;+∞ ) x − 8x + là: x2 + B max y = C max y = Giá trị lớn hàm số y = A max y = −1 x∈ℝ ℝ D max y = 10 x∈ℝ ℝ Câu 10 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = − x đoạn [ −1;1] là: A m ax y = y = B m ax y = y = −3 C max y = y = D m ax y = y = − [ −1;1] [ −1;1] [ −1;1] [ −1;1] [ −1;1] Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn [ −1;1] [ −1;1] [ −1;1] 2|THBTN Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Câu 11 Giá trị lớn hàm số y = A B x − x + x − đoạn [1;5] là: 10 C −4 D − 10 Câu 12 Hàm số y = x − x + có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [ 0; 2] là: Câu nộ i dung lặp câu 4, đề nghị bỏ A 9; B 9; C 2; x −1 đoạn [ 0; 2] là: x+2 B C − D 9; − Câu 13 Giá trị lớn hàm số y = A D x2 − Khẳng định sau giá trị lớn nhỏ hàm x−2 số đoạn [ 3; 4] : Câu 14 Cho hàm số y = B Hàm số có giá trị lớn C Hàm số có giá trị lớn 13 D Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ A Hàm số có giá trị nhỏ Câu 15 Hàm số y = x + x + có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [ 0;1] y1 ; y2 Khi tích y1 y2 bằng: A B −1 C D 1 x − x + x + đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [1;3] điể m có hồnh độ x1 ; x2 Khi tổng x1 + x2 Câu 16 Hàm số y = A B C D Câu 17 Hàm số y = − x đạt giá trị nhỏ x Giá trị x là: A x = B x = x = C x = D x = −2 x = 2 Câu 18 Hàm số y = ( x − 1) + ( x + 3) có giá trị nhỏ bằng: A B −1 Câu 19 Giá trị nhỏ hàm số y = A Câu 20 Hàm số y = B x −1 x2 + Khi x1.x2 bằng: A C 10 ln x đoạn [1;e ] là: x C e D D e đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [ −3; 0] x1 ; x2 B C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn D 3|THBTN Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Câu 21 Hàm số y = x + + x có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn [ −1;1] là: A − 1; B + 1; C 1; − D 1; Câu 22 (Đề thi Tốt nghiệp THPT – 2004) Giá trị lớn hàm số y = 2sin x − sin x  0; π  là: A m ax y = [0;π ] B m ax y = [0;π ] C m ax y = [0;π ] D m ax y = [0;π ] 2 Câu 23 (Đề thi Tốt nghiệp THPT – 2002)  π Giá trị nhỏ hàm số y = cos x + sin x đoạn  0;  là:  2 A y = −  π  0;    B y = 2  π  0;    C y =  π  0;    D y =  π  0;     π π Câu 24 Giá trị nhỏ hàm số y = 5cos x − cos x với x ∈  − ;  là:  4 A y =  −π π   ;4   B y =  −π π   ;4   C y = 3  −π π   ;4   D y = −1  −π π   ;4    π π Câu 25 Hàm số y = s inx + đạt giá trị lớn đoạn  − ;  bằng:  2 A B π C D Câu 26 Hàm số y = cos x − đạt giá trị nhỏ đoạn [ 0; π ] bằng: A −4 B −3 C −2 D  π Câu 27 Hàm số y = tan x + x đạt giá trị nhỏ đoạn  0;  điểm có hồnh độ bằng:  4 A B π C + π D Câu 28 Hàm số y = s inx + cos x có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn là: A −2; B − 2; C 0; D −1; Câu 29 Hàm số y = 3sin x − 4sin x có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ là: A 3; − B 1; C 1; − D 0; − Câu 30 Hàm số y = sin x + có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn bằng: A 0; B 1; C 1; D 2; Câu 31 Hàm số y = −9sin x − sin x có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [ 0; π ] là: B 8; A 0; − C 1; − D 0; − Câu 32 Hàm số y = sin x + cos x có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ là: A 0; − B 3; C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 3; − D 2; − 4|THBTN Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Câu 33 Hàm số y = cos2 x − 2cos x − có giá trị nhỏ giá trị lớn đoạn [ 0; π ] y1 ; y2 Khi tích y1 y2 có giá trị bằng: A B −4 C D  π Câu 34 Hàm số y = cos x + 2sin x có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn  0;   2 y1 ; y2 Khi tích y1 y2 có giá trị bằng: 1 A − B −1 C D 4  π Câu 35 Hàm số y = cos x − 4sin x + có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn  0;  là:  2 A π ; B 5; C 5; − D 9; π π  Câu 36 Hàm số y = tan x + cot x đạt giá trị lớn đoạn  ;  điểm có hồnh độ là: 6 3 A π B π C π π ; D π Câu 37 Hàm số y = cos x ( sin x + 1) có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [ 0; π ] là: A ±1 B ±2 C ± 3 D 2;0 Câu 38 Hàm số y = sin x + cos3 x có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn [ 0; π ] y1 ; y2 Khi hiệu y1 − y2 có giá trị bằng: A B C D Câu 39 Giá trị nhỏ hàm số y = e x ( x − x − 1) đoạn [0;2] A y = −2e [ 0;2] B y = e C y = −1 [ 0;2] [ 0;2] D y = −e [ 0;2] Câu 40 Giá trị nhỏ hàm số y = e x ( x - 3) đoạn [ −2; 2] A y = e [ −2;2] B y = −2e [ −2;2] C y = e −2 [ −2;2] D y = −4e [ −2;2] Câu 41 Giá trị lớn hàm số y = e x + 4e − x + x đoạn [1; 2] + [1;2] e2 C m ax y = 6e + B m ax y = e + + [1;2] e D m ax y = A m ax y = e + [1;2] [1;2] Câu 42 Giá trị lớn hàm số f ( x ) = x.e −2 x đoạn [ 0;1] A m ax y = [ 0;1] B m ax f ( x) = [ 0;1] e2 C m ax f ( x) = [ 0;1] D m ax f ( x) = [ 0;1] 2e Câu 43 Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x − ln(1 − x) đoạn [ −2;0] Khi M + m A 17 − ln10 B 17 − ln C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 17 28 − ln 27 D 15 − ln10 5|THBTN Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Câu 44 Hàm số f ( x ) =  π 5π  đoạn  ;  có giá trị lớn M, giá trị nhỏ m Khi sin x 3  M – m A − B C −1 D –  3π  Câu 45 Hàm số f ( x ) = 2sin x + sin x đoạn  0;  có giá trị lớn M, giá trị nhỏ m   Khi M.m A −3 B 3 3 C −  π 3π  khoảng  ;  là: cos x 2  B C π D 3 Câu 46 Giá trị lớn hàm số y = A Không tồn Câu 47 Giá trị nhỏ hàm số y = A – D – 1 khoảng ( 0; π ) là: sin x B C π D Không tồn Câu 48 Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ hàm số y = x − x Khi M + m A B C D −1 Câu 49 Giá trị nhỏ hàm số y = + x − x + A y = ℝ B y = ℝ C y = + ℝ D y = ℝ Câu 50 Giá trị nhỏ hàm số y = x + x + A y = ℝ B y = ℝ C y = ℝ D y = ℝ Câu 51 Giá trị lớn hàm số y = x + + − x − ( x + 4)(4 − x) + A max y = 10 [ −4;4] B max y = − 2 [ −4;4] C max y = −7 [ −4;4] D max y = + 2 [ −4;4] Câu 52 Giá trị lớn hàm số y = 2sin x + 2sin x -1 A max y = ℝ B max y = ℝ −3 C max y = ℝ D max y = −1 ℝ Câu 53 Giá trị lớn hàm số y = 2sin x + cos x + A y = ℝ B y = ℝ C y = ℝ D y = ℝ 31 Câu 54 Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ hàm số y = 2sin x + cos x Khi M + m 28 A 27 B C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 82 27 D 6|THBTN Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Câu 55 Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ hàm số y = sin 20 x + cos 20 x Khi M.m A 512 B C D 513 512 Câu 56 Giá trị nhỏ hàm số y = x + là: A khơng có giá trị nhỏ C có giá trị nhỏ –1 B có giá trị nhỏ D có giá trị nhỏ Câu 57 Cho hàm số y = x − x + Khẳng định sau đúng: A Hàm số khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ B Hàm số có giá trị nhỏ ; khơng có giá trị lớn C Hàm số có giá trị lớn ; giá trị nhỏ 2 D Hàm số có giá trị lớn ; khơng có giá trị nhỏ Câu 58 Hàm số y = + x + − x có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ là: A 2; B 1; C 2; D 2; Câu 59 Cho hàm số y = x + − x − Khẳng định sau sai ? A Hàm số giá trị nhỏ B Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ C Hàm số có giá trị lớn D Hàm số đạt giá trị lớn x = Câu 60 Gọi y1 ; y2 giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = 1 + x −1 x − đoạn [ 3; 4] Khi tích y1 y2 ? A Câu 61 Hàm số y = A − 13 12 B C D 1 + + đạt giá trị lớn đoạn [ −5; −3] bằng: x x +1 x + 11 47 11 B C − D − 60 Câu 62 Cho hàm số y = x − x − Khẳng định sau đúng: khơng có giá trị lớn B Hàm số có giá trị nhỏ giá trị lớn C Hàm số giá trị lớn giá trị nhỏ D Hàm số đạt giá trị lớn điểm có hồnh độ x = giá trị lớn A Hàm số có giá trị nhỏ Câu 63 Hàm số y = + x + − x đạt giá trị nhỏ hai điểm có hồnh độ: A B ±1 C ± Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn D 7|THBTN Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Câu 64 Hàm số y = sin x + cos4 x có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn là: A −2; B 0; C ; D 0; Câu 65 Hàm số y = sin x − cos x có giá trị lớn bằng: A B C −1 D Không tồn  π Câu 66 Hàm số y = + sin x.cos x đạt giá trị nhỏ đoạn  0;  điểm có hồnh độ là:  2 A x = π B x = π C x = x = π D x = π Câu 67 Hàm số y = sin x + cos x có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ là: A 1; − B 2; C ; −1 D 1; Câu 68 Hàm số y = ( x + x + 3)( x + x − ) có giá trị lớn là: A có giá trị lớn C có giá trị lớn Câu 69 Hàm số y = x2 − x2 + A B có giá trị lớn −8 D khơng có giá trị lớn có giá trị nhỏ điểm có hồnh độ bằng: B C D −2 Câu 70 Hàm số y = ( x − 1)( x − )( x − 3)( x − ) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn [ −1;3] là: A 10; − B 120; C 10; − D 120; − Câu 71 Hàm số y = − x + x + + − x x + có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ là: A 2 − 2; B 2 + 2; C 2; D 2; Câu 72 Hàm số y = x + + − x + − x đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ điểm có hồnh độ là: A 2 + 4; B 2 − 2; C 2; D 4;2 Câu 73 Hàm số y = x + + x + có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn đoạn [ 0; 63] là: A 2;12 B 1;2 C 0; D 0;12 sin x + đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn sin x + hoành độ Câu 74 Hàm số y = A x = − π ;x= Câu 75 Hàm số y = x + A 3; 112 π B x = π ;x= π C x = π ;x=− π  π π  − ;  điểm có D x = 0; x = π 1 + x + có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn đoạn [1;3] là: x x 112 112 B 1;4 C 1; D 4; 9 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 8|THBTN Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Câu 76 Hàm số y = x8 + ( x − 1) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn [1; 2] hai điểm có hồnh độ x1 ; x2 Khi tích x1.x2 có giá trị A B C 15 D Câu 77 Hàm số y = x + x + x + 3x + giá trị nhỏ bằng: A −2 Câu 78 Hàm số y = x + A ;0 B C D x có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [ 0; 4] là: x +1 8 24 B ; − C 0; − D ;0 3 Câu 79 Trong số hình chữ nhật có chu vi 16 cm, hình chữ nhật có diện tích lớn bằng: A 64 cm2 B cm2 C 16 cm2 D cm2 Câu 80 Trong tất hình chữ nhật có diện tích 48 cm2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ bằng: A 16 cm B cm C 24 cm Câu 81 Hai số có hiệu 13, tích chúng bé hai số −13 13 A 5; – B 1; – 12 C ; 2 D cm D 6; – Câu 82 Một chất điểm chuyển động theo quy luật S = 6t − t , vận tốc v (m/s) chuyển động đạt giá trị lớn thời điểm t (s) A (s) B 12 (s) C (s) D (s) Câu 83 Tam giác vuông có diện tích lớn tổng cạnh góc vng cạnh huyền số a (a > 0)? A a2 B a2 C 2a D a2 3 Câu 84 Một hợp tác xã ni cá thí nghiệm hồ Người ta thấy mỗ i đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình mỗ i cá sau vụ cân nặng P(n) = 480 − 20n (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều gam cá nhất? A 12 B 24 C D 32 Câu 85 Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G ( x) = 0.025 x (30 − x), x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x tính miligam) Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều A 100 mg B 20 mg C 30 mg D mg Câu 86 Một cá hồ i bơi ngược dòng để vượt khoảng cách 300 km Vận tốc dòng nước km/h Nếu vận tốc bơi cá nước đứng yên v (km/h) lượng tiêu hao cá t cho công thức E (v) = cv3t , c số E tính Jun Vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng tiêu hao A km/h B km/h C km/h Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn D km/h 9|THBTN Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Câu 87 Sau phát bệnh dịch, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t f (t ) = 45t − t , t = 0,1, 2, , 25 Nếu coi f(t) hàm số xác định đoạn [0;25] đạo hàm f’(t) xem tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm t Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn nhất? A Ngày thứ 19 B Ngày thứ C Ngày thứ 16 D Ngày thứ 15 Câu 88 Cho ∆ABC cạnh a Người ta dựng hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm BC, hai đỉnh P, Q theo thứ tự nằm hai cạnh AC AB tam giác Xác định vị trí điểm M cho hình chữ nhật có diện tích lớn ? 2a 3a a a A BM = B BM = C BM = D BM = 4 Câu 89 Một hộp không nắp làm từ mảnh tông theo mẫu hình vẽ Hộp có đáy hình vng cạnh x cm, chiều cao h cm tích 500 cm3 Giá trị x để diện tích mảnh tông nhỏ A 100 B 300 C 10 D 1000 h h x x h h Câu 90 Trong hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hình trụ tích lớn A 4π R3 B 4π R3 3 C π R3 3 D 4π R3 Câu 91 Cho nhơm hình vng cạnh a Người ta cắt góc hình vng nhau, rồ i gập nhơm lại để hộp khơng nắp Tìm cạnh hình vng bị cắt cho thể tích khố i hộp lớn nhất? A 5a B a C a 12 D a Câu 92 Giá trị lớn M, giá trị nhỏ m hàm số: y = 2sin x + 2sin x − là: −3 −3 A M = −1; m = B M = 3; m = −1 C M = 3; m = D M = ; m = −3 2 Câu 93 Giá trị lớn M, giá trị nhỏ m hàm số y = 2cos x + 2sin x là: 9 A M = ; m = −4 B M = 4; m = C M = 0; m = − D M = 4; m = − 4 Câu 94 Giá trị lớn M, giá trị nhỏ m hàm số y = sin x − sin x + là: A M = 2; m = −5 B M = 5; m = C M = 5; m = −2 D M = −2; m = −5 Câu 95 Giá trị lớn M, giá trị nhỏ m hàm số y = sin x + cos x + là: 11 11 11 11 A M = 3; m = − B M = ; m = −3 C M = 3; m = D M = − ; m = −3 4 4 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 10 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Từ BBT ta thấy hàm số có giá trị nhỏ hàm số khơng có giá trị lớn Câu 58 Chọn C TXĐ: D = [ −1;1] Ta có: y ′ = y′ = ⇔ 1 − 1+ x 1− x 1 − = ⇔ 1− x = 1+ x ⇔ x = 1+ x 1− x Khi đó: y ( −1) = 2; y ( ) = 2; y (1) = ⇒ Hàm số có giá trị lớn , giá trị nhỏ Câu 59 Chọn B TXĐ: D = [ 2; +∞ ) Ta có: y ′ = 1 x − − x +1 − = < 0; ∀x ∈ [ 2; +∞ ) x +1 x − 2 x − x +1 BBT: x y′ +∞ − y Từ BBT ta thấy hàm số cho có giá trị lớn giá trị nhỏ Câu 60 Chọn C TXĐ: D = ℝ \ {1; 2} Ta có: y ′ = − ( x − 1) − ( x − 2) < 0; ∀x ∈ D BBT: x y′ y − Từ BBT ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 5 y1 = ; y2 = ⇒ y1 y2 = Câu 61 Chọn C TXĐ: D = ℝ \ {−2; −1; 0} Ta có: y′ = − 1 − − < 0; ∀x ∈ D 2 x ( x + 1) ( x + ) BBT: Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 25 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số x y′ -3 −5 − − y 47 60 −11 Từ BBT ta thấy, hàm số có giá trị lớn − 47 60 Câu 62 Chọn B TXĐ: D = [1; +∞ ) Ta có: y ′ = − y′ = ⇔ x −1 − = x −1 x −1 x −1 −1 = ⇔ x −1 = ⇔ x = x −1 BBT: x y′ − +∞ + y Từ BBT ta thấy: Hàm số có giá trị nhỏ giá trị lớn Câu 63 Chọn B TXĐ: D = [ −1;1] Ta có: y ′ = x + x2 −  1 = x − − x2 − x2  1+ x x  − x2 − + x x =  + x − x2  x = y′ = ⇔  ⇔x=0  − x = + x Khi đó: y ( −1) = 2; y ( ) = 2; y (1) = Câu 64 Chọn C TXĐ: D = ℝ Ta có: y = sin x + cos x = − sin x cos x = − sin 2 x 1 Mà ≤ sin 2 x ≤ ⇔ ≤ − sin 2 x ≤ ⇒ y = , max y = 2 Câu 65 Chọn B TXĐ: D = ℝ Ta có: y = sin x − cos x = ( sin x − cos x )( sin x + cos x ) = − cos x Mà −1 ≤ cos x ≤ ⇔ −1 ≤ − cos x ≤ ⇒ max y = Câu 66 Chọn C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 26 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số TXĐ: D = ℝ Ta có: y = + 2sin x.cos x = + sin x ; y ' = y′ = ⇔ cos x + sin x cos x π kπ π  π = ⇔ cos x = ⇔ x = + , x ∈ 0;  ⇒ x = 4 + sin x  2 π  π  Khi đó: y ( ) = 1; y   = 2; y   = 4 2 Câu 67 Chọn D TXĐ: D = ℝ Ta có: y = sin x + cos x = ( sin x + cos x ) − 3sin x cos x ( sin x + cos x ) = − 3sin x cos x = − sin 2 x Mà: ≤ sin 2 x ≤ ⇔ ≤ − sin 2 x ≤ ⇒ y = ; max y = 4 Câu 68 Chọn D TXĐ: D = ℝ Đặt t = x + x + ( t ≥ ) , Khi hàm số trở thành: y = t ( t − ) = t − 5t Ta có: y ′ = 2t − ; y ′ = ⇔ t = Bảng biến thiên: x 2 y′ − +∞ + −6 y +∞ − 25 Từ BBT, ta thấy hàm số khơng có giá trị lớn Câu 69 Chọn D TXĐ: D = ℝ Đặt: t = x + ( t ≥ 1) ⇒ x = t − Khi hàm số trở thành: y = t − 3 ⇒ y′ = + > ⇒ t t Hàm số đồng biến với mọ i t ≥ ⇒ y = y (1) = −2 Câu 70 Chọn D TXĐ: D = ℝ Ta có: y = ( x − 1)( x − )( x − 3)( x − ) = ( x − x + )( x − x + )   Đặt: t = x − x +  − ≤ t ≤ 10    Khi hàm số trở thành: y = f (t ) = t ( t + ) = t + 2t ⇒ f '(t ) = 2t + = ⇔ t = −1 BBT: Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 27 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số − t 10 −1 f '(t ) − + 120 16 f (t ) −1 Từ BBT ta thấy: Hàm số có giá trị lớn 120 giá trị nhỏ −1 Câu 71 Chọn B t2 − TXĐ: D = [ −3;1] Đặt: t = − x + x + ≤ t ≤ 2 ⇒ − x + x = 2 t Khi phương trình trở thành: y = + t − ⇒ y′ = t + > 0; ∀t ∈  2; 2  ⇒ Hàm số đồng biến với mọ i t ∈  2; 2  ( ( ) ) ⇒ y = y ( ) = 2; max y = y 2 = + 2 Câu 72 Chọn A TXĐ: D = [ −2; 2] ( ) Đặt: t = x + + − x ≤ t ≤ 2 ⇒ − x = 2 − x + x = t − Khi hàm số trở thành: y = f (t ) = t + t − ⇒ f '(t ) = 2t + > 0; ∀t ∈  2; 2  ⇒ Hàm số đồng biến với mọ i t ∈  2; 2  ( ) ⇒ y = f ( ) = 2; max y = f 2 = + 2 Câu 73 Chọn A TXĐ: D = [ −1; +∞ ) Đặt t = x + (1 ≤ t ≤ ) Khi hàm số trở thành: y = t + t ⇒ y′ = 3t + 2t > 0; ∀t ∈ [1; 2] ⇒ y = y (1) = 2; max y = y ( ) = 12 Câu 74 Chọn C TXĐ: D = ℝ Đặt t = sin x; ( −1 ≤ t ≤ 1) Khi hàm số trở thành: y= t = 1 t +1 −t − 2t + ′ Do y ( −1) = 0; y (1) = ⇒ y = =0⇔  2 t +3 t = −3 ( l ) ( t + 3) ⇒ Hàm số đạt giá trị nhỏ t = −1 ⇔ x = t= −π , hàm số đạt giá trị lớn π ⇔x= Câu 75 Chọn D TXĐ: D = ℝ \ {0} Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 28 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Đặt t = x + x 10   2 2 ≤ t ≤  ⇒ x + = t −2 x    10  Khi hàm số trở thành: y = t + t − ⇒ y ′ = 2t + > 0; ∀t ∈  2;   3  10  ⇒ Hàm số đồng biến ∀t ∈  2;  (chỗ thiếu)  3 Câu 76 Chọn B TXĐ: D = ℝ Đặt t = x − ( ≤ t ≤ 15 ) Khi hàm số trở thành: y = ( t + 1) + t = 2t + 2t + ⇒ y′ = 4t + > 0; ∀t ∈ [ 0;15] ⇒ Hàm số đồng biến đoạn [ 0;15] ⇒ Hàm số đạt giá trị lớn t = 15 ⇔ x = , hàm số đạt giá trị nhỏ t = ⇔ x = Câu 77 Chọn A TXĐ: D = ( −∞; −2] ∪ [ −1; +∞ ) Đặt t = x + 3x + ( t ≥ ) Khi hàm số trở thành: y = t + t − ⇒ y ′ = 2t + > 0; ∀t ≥ ⇒ Hàm số đồng biến với mọ i t ≥ ⇒ y = y ( ) = −2 Câu 78 Chọn A TXĐ: D = [ 0; +∞ ) Đặt t = x ; ( x ∈ [ 0; 4] ⇒ ≤ t ≤ ) Khi hàm số trở thành: y = t + t ⇒ y′ = + >0 t +1 ( t + 1) ∀t ∈ [ 0; 2] ⇒ y = y ( ) = 0; max y = y ( ) = ⇒ hàm số đồng biến Câu 79 Chọn C Cách 1: Gọi cạnh hình chữ nhật: a, b; < a, b < Ta có: 2(a + b) = 16 ⇔ a + b = ⇔ b = − a Diện tích: S (a ) = a(8 − a) = −a + 8a ; S ′(a ) = −2a + ; S ′(a ) = ⇔ a = Bảng biến thiên: a S′(a) S (a) 16 + − 0 Cách 2  a +b  Áp dụng Côsi: a + b ≥ ab ⇔ ab ≤   ⇔ ab ≤ 16   Dấu “=” xảy ⇔ a = b = Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn 16 cạnh Câu 80 Chọn A Cách Gọi cạnh hình chữ nhật: a, b; < a, b ≤ 48 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 29 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Ta có: ab = 48 ⇔ b = 48  48  Chu vi: P(a ) =  a +  a a    48  P′(a ) = 1 −  ; P′(a ) = ⇔ a =  a  Bảng biến thiên: a P′ ( a ) − P (a) 48 + 16 Cách • Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a + b ≥ ab ⇔ a + b ≥ 48 = ⇔ chu vi nhỏ nhất: 2(a + b) = 16 • Hình chữ nhật có chu vi nhỏ 16 cạnh Câu 81 Chọn C Gọi hai số phải tìm x, số cịn lại: x + 13 Tích hai số P( x) = x( x + 13) = x + 13x P′( x ) = x + 13, P ′( x) = ⇔ x = −13 Bảng biến thiên x −∞ P '( x ) − −13 +∞ + +∞ +∞ P( x) −169 Tích chúng bé −169 13 −13 hai số 2 Câu 82 Chọn A Vận tốc chuyển động v = s′ tức v(t ) = 12t − 3t , t > v′(t ) = 12 − 6t , v′(t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên: t v′ ( t ) + v (t ) 12 +∞ − Hàm số v(t) đồng biến khoảng (0;2) nghịch biến khoảng (2; +∞) ⇔ Max v(t ) = 12 t = Vận tốc đạt giá trị lớn 12 t = Câu 83 Chọn A Cạnh góc vng x, < x < a ; cạnh huyền: a − x Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 30 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Cạnh góc vng cịn lại là: Diện tích tam giác S ( x ) = (a − x )2 − x a( a − x) a x a − 2ax S ′( x ) = ; S ′( x ) = ⇔ x = 2 a − 2ax Bảng biến thiên: x a 0 S′( x) + a − a2 S ( x) Tam giác có diện tích lớn a2 a 2a cạnh góc vng , cạnh huyền 3 Câu 84 Chọn A Sau vụ, trung bình số cá đơn vị diện tích mặt hồ cân nặng: f (n) = nP(n) = 480n − 20n (gam) f ′(n) = 480 − 40n = ⇔ n = 12 Bảng biến thiên: n f ′( n) + f (n) 12 f (12 ) +∞ − Trên mỗ i đơn vị diện tích mặt hồ, cần thả 12 cá sau vụ thu hoạch nhiều gam cá Câu 85 Chọn B Ta có: G ( x ) = 0.75 x − 0.025 x , x > ; G ′( x) = 1.5 x − 0.075 x ; G ′( x) = ⇔ x = 0, x = 20 Bảng biến thiên: x G′ ( x ) + 20 100 +∞ − G ( x) Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều 20 mg, độ giảm 100 Câu 86 Chọn D Khi bơi ngược dòng vận tốc cá là: v − (km/h) 300 Thời gian để cá vượt khoảng cách 300 km t = (v > 6) v−6 Năng lượng tiêu hao cá vượt khoảng cách 300km là: E (v) = cv3 300 v3 = 300c v−6 v−6 v−9 ; E ′(v) = ⇔ v = (v > 6) (v − 6) Bảng biến thiên: E ′(v) = 600cv Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 31 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số v E′ ( v ) − E (v ) +∞ + E ( 9) Cá phải bơi với vận tốc (km/h) tiêu hao lượng Câu 87 Chọn D f ′(t ) = 90t − 3t ; f ′′(t ) = 90 − 6t , f ′′(t ) = ⇔ t = 15 Bảng biến thiên t f ′′ ( t ) 15 675 + 25 − f ′ (t ) A Tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ 15 Câu 88 Chọn D Gọi H trung điểm BC ⇒ BH = CH = a Q P a  Đặt BM = x  < x <  2  Ta có: MN = 2MH = a − x, QM = BM tan 600 = x Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: B M H N C S ( x ) = ( a − x) x = a x − x S ′( x ) = 3(a − x ), S ′( x ) = ⇔ x = a Bảng biến thiên: x S′( x) + S ( x) Vị trí điểm M: BM = Câu 89 a a − a a h h Chọn C Thể tích hộp là: V = x h = 500(cm3 ) Do h = 500 , x > x2 Diện tích mảnh tông dùng làm hộp là: 2000 S ( x ) = x + 4hx = x + ,x>0 x x h x h 2000 2( x − 1000) = , S ′( x ) = ⇔ x = 10 x2 x2 Bảng biến thiên S ′( x ) = x − Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 32 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số x S′( x) 10 − S ( x) +∞ + 300 Vậy muốn tốn nguyên liệu nhất, ta lấy độ dài cạnh đáy hình hộp x = 10 (cm) Câu 90 Chọn B Gọi chiều cao, bán kính đáy thể tích hình trụ nộ i tiếp hình cầu h, r V Khi đó, V = π r h Vì r = R −   h2 h2  h3  nên V = π  R −  h = π  R h −  4  4     h3  3h  2R V (h) = π  R h −  , h ∈ ( 0; R ) ; V ′(h) = π  R −  ; V ′(h) = ⇔ h = 4    Bảng biến thiên: 2R 0 h V ′(h) + 2R − V ( h) 4π R 3 Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R tích lớn chiều cao Khi đó, thể tích hình trụ 2R 4π R3 3 Câu 91 Chọn B a  Gọi x độ dài cạnh hình vng bị cắt  < x <  2  a  Thể tích khối hộp là: V ( x ) = x (a − x)  < x <  2  V ′( x ) = (a − x) + x.2(a − x).(−2) = (a − x )(a − x) ; V ′( x ) = ⇔ x = a a   < x <   2 Bảng biến thiên Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 33 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số x V ′( x) + a a − 2a 27 V ( x) 0 2a a  a Vậy khoảng  0;  có điểm cực đại x = V ( x ) = 27  2 Câu 92 Chọn C Tập xác định: D = ℝ Đặt t = sin x, − ≤ t ≤ Khi y = f (t ) = 2t + 2t − f ′(t ) = 4t + 2; f ′(t ) = ⇔ t = Vậy y = R −1  −1  −3 ∈ [ −1;1] ⇒ f   = ; f (−1) = −1; f (1) =   −3 , max y = R Câu 93 Chọn A Tập xác định: D = ℝ y = 2(1 − 2sin x ) + 2sin x = −4sin x + 2sin x + Đặt t = sin x, − ≤ t ≤ , y = f (t ) = −4t + 2t + f ′(t ) = −8t + 2, f ′(t ) = ⇔ t = Vậy y = −4, max y = R R 1 ∈ [ −1;1] ⇒ f   = ; f (−1) = −4; f (1) = 4 Câu 94 Chọn B Đặt t = sin x, ≤ t ≤ ⇒ y = f (t ) = t − 4t + f ′(t ) = 2t − 4; f ′(t ) = ⇔ t = ∉ [ 0;1] f (0) = 5; f (1) = Vậy y = 2, max y = ℝ ℝ Câu 95 Chọn C y = sin x − sin x + Đặt t = sin x, ≤ t ≤ ⇒ y = f (t ) = t − t + f ′(t ) = 2t − 1; f ′(t ) = ⇔ t = Vậy y = R   11 ∈ [ 0;1] ⇒ f   = ; f (0) = 3; f (1) = 2 11 , max y = R Câu 96 Chọn D Tập xác định: D = ℝ Đặt t = cos x , ≤ t ≤ ⇒ y = f (t ) = f ′(t ) = 2t + t + , ≤ t ≤1 t +1 t = 2t + 4t ; f ′(t ) = ⇔  ⇒ f (0) = 1, f (1) = 2 t = − ∉ 0;1 (t + 1) [ ]  Vậy y = 1, max y = ℝ ℝ Câu 97 Chọn B Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 34 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Đặt t = sin x, − ≤ t ≤ ⇒ y = f (t ) = t +1 −t − 2t ′ , f ( t ) = t + t +1 t + t +1 ( ) t = ∈ [ −1;1] ⇒ f (0) = 1, f (−1) = 0, f (1) = Vậy M = 1, m = f ′(t ) = ⇔  t = −2 ∉ [ −1;1] Câu 98 Chọn D  y ′ = 23 21 Ta có y ′ = x − x − ⇒  ⇔ x = ⇒ y ( ) = 3, y ( ) = − , y ( 3) = −  x ∈ ( 0; ) 1 Vậy giá trị lớn hàm số y = x − x − x + đoạn [ 0; 4] 3 Câu 99 Chọn C Hàm số y = ( x + 3) − x − x + có tập xác định D = [ −3;1]  y ′ = ⇒ ⇔ x = ⇒ y ( −3 ) = 0, y (1) = 0, y ( ) = 3 − x2 − x +  x ∈ ( −3;1) −2 x − x y′ = Vậy giá trị nhỏ hàm số y = ( x + 3) − x − x + Câu 100 Chọn B Hàm số y = x − + − x có tập xác định D = [ 2; 4] y′ = 1  y ′ = − ⇒ ⇔ x = ⇒ y ( ) = 2, y ( 3) = 2, y ( ) = 2 x−2 4− x  x ∈ ( 2; ) Vậy giá trị lớn hàm số y = x − + − x Câu 101 Chọn C 3cos x + ⇒1≤ y ≤ Vậy hàm số y = 2sin x + 5cos x − có giá trị nhỏ y = sin x + cos x − = Câu 102 Chọn C Hàm số y = x + 18 − x có tập xác định D =  −3 2;3   y′ = 18 − x − x y′ = ⇒ ⇔ x=3 18 − x  x ∈ −3 2;3 ( ( ) ( ) ) ⇒ y −3 = −3 2, y = 2, y ( 3) = Vậy hàm số y = x + 18 − x có giá trị lớn Câu 103 Chọn B Đặt t = cos x ( −1 ≤ t ≤ 1) Xét hàm y = 2t − t − 3t + đoạn [ −1;1]  y ′ =   299 y ′ = 6t − 7t − ⇒  ⇔ t = − ; y ( −1) = , y (1) = , y  −  = 2   54 t ∈ ( −1;1) Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 35 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Vậy hàm số y = cos3 x − cos x − 3cos x + có giá trị nhỏ 2 Câu 104 Chọn D y = −2sin x + 3cos x − 6sin x + = −2sin x − 6sin x − 6sin x + Đặt t = sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) Xét hàm y = −2t − 6t − 6t + đoạn [ −1;1] y ′ = −6t − 12t − ⇒ y ′ = vô nghiệm Ta có: y ( −1) = 9, y (1) = −7 Vậy hàm số y = −2sin x + 3cos x − 6sin x + có giá trị lớn Câu 105 Chọn B Ta có y = − x ≥ ⇒ x ≤ ⇒ x ∈ [ 0;2 ] Khi P = x + ( − x ) + x + x ( − x ) − x = x3 + x − x + 18 Xét hàm số f ( x ) = x + x − x + 18 đoạn [ 0; 2] ta có:  f '( x ) = f ' ( x ) = 3x + x − ⇒  ⇔ x =1  x ∈ ( 0; ) f ( ) = 18, f (1) = 15, f ( ) = 20 Vậy giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + x + xy − x 20 15 Câu 106 Chọn C Ta có: y = x + + x2 = Hàm số y đạt giá trị lớn khoảng ( 0; +∞ ) 2 8x + 9x +1 − x hàm số f ( x ) = x + − x đạt giá trị nhỏ khoảng ( 0; +∞ ) Ta có: f ′ ( x ) =  f ′ ( x ) = ⇔x= −1 ⇒  9x2 +1  x ∈ ( 0; +∞ ) 9x   2 f ( x ) = f  = ⇒ max y =  0; +∞ 0; +∞ ( ) ( ) 6  Câu 107 Chọn C Áp dụng bất đẳng thức B C S ta có: 45 + 20 x = ( + x ) = (2 + 11 )( 32 + (2 x) ) ≥ 2.3 + 1.2 x = + x Suy y ≥ + x + x − Áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b ta được: + 2x + x − = + x + − 2x ≥ + x + − x = ⇒ y ≥ Vậy hàm số y = 45 + 20 x + x − có giá trị nhỏ Câu 108 Chọn B TXĐ: D = [ −2; 2] Hàm số y = f ( x ) = x + − x liên tục đoạn [ −2; 2] y′ = − x − x2 ; y′ = ⇔ x ≥ − x2 = x ⇔  ⇔x= 2 4 − x = x y ( −2 ) = −2 ; y ( ) = ; y ( 2) = 2 Vậy y = y ( −2 ) = −2 [ −2;2] Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 36 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Câu 109 Chọn C TXĐ: D = ℝ Hàm số y = f ( x) = Ta có: y ′ = −x +1 (x ) +1 x +1 x2 +1 liên tục đoạn [ −1; 2] ; y′ = ⇔ x = Do y ( −1) = 0, y (1) = 2, y ( ) = nên max y = y (1) = , y = y ( −1) = [ −1;2] [ −1;2] Câu 110 Chọn C Hàm số xác định với ∀x ∈ 1; e3  ln x ln x (2 − ln x ) liên tục đoạn 1; e3  Ta có y ′ = Hàm số y = x x2  x = 1∉ (1; e3 )  ln x = Khi y (1) = 0; y (e ) = ; y (e3 ) = ⇔ y′ = ⇔  e e  x = e ∈ (1; e )  ln x =  So sánh giá trị trên, ta có max y = y ( e ) = 1;e3  e2   Câu 111 Chọn A Hàm số xác định, liên tục đoạn [ 0; 2]  x = ∉ ( 0; ) ′ ; y = ⇔ x + x = ⇔  ( x + 1)  x = −2 ∉ ( 0; ) 17 17 ⇒ y (0) = 3; y (2) = Vậy max y = y (2) = ; y = y (0) = x ∈ 0;2 [ ] 3 x∈[0;2] Ta có y ′ = x2 + x Câu 112 Chọn A Do x + y = nên S = 16 x y + 12( x + y )( x − xy + y ) + 34 xy = 16 x y + 12[( x + y )2 − 3xy ] + 34 xy , x + y = = 16 x y − xy + 12 ( x + y) 1 Đặt t = xy Do x ≥ 0; y ≥ nên ≤ xy ≤ = ⇒ t ∈ [0; ] 4 1 Xét hàm số f (t ) = 16t − 2t + 12 [0; ] Ta có f ′(t ) = 32t − ; f ′(t ) = ⇔ t = 16 Bảng biến thiên x f ′ (t ) − 16 12 f (t ) 191 16 + 25 Từ bảng biến thiên ta có:   191   25 f (t ) = f   = ; max f (t ) = f   = 1     4  16  16 0;  0;   4  4 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 37 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số  x + y =  x = 25   Vậy giá trị lớn S đạt  ⇔ xy =  y =    2+ 2−  ( x; y ) =  ;   x + y =   191   giá trị nhỏ S đạt  ⇔ 16  xy = 16 ( x; y ) =  − ; +        Câu 113 Chọn A 2 Ta có ( x − ) + ( y − ) + xy ≤ 32 ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) ≤ ⇔ ≤ x + y ≤ A = x3 + y + 3( xy − 1)( x + y − 2) = ( x + y )3 − 3( x + y ) − xy + ⇒ K ≥ ( x + y )3 − ( x + y )2 − 3( x + y ) + Đặt t = x + y Do ≤ x + y ≤ nên t ∈ [0;8] Xét hàm số f (t ) = t − t − 3t + [0;8] Ta có f ′(t ) = 3t − 3t − 3, f ′(t ) = ⇔ t = 1+ 1− t = ( loại) 2 + 17 − 5 17 − 5 f (0) = 6; f ( )= ; f (8) = 398 Suy A ≥ 4 Khi x = y = 1+ 17 − 5 dấu xảy Vậy giá trị nhỏ A 4 Câu 114 Chọn D A= 1 x + y ( x + y )( x − xy + y )  x + y   1  + = 3 = =  = +  x3 y x y x3 y  xy   x y  Đặt x = ty Từ giả thiết ta có: ( x + y ) xy = x + y − xy ⇒ (t + 1)ty = (t − t + 1) y 2  1   t + 2t +  t2 − t +1 t2 − t +1 Do y = ; x = ty = Từ A =  +  =   t +t t +1  x y   t − t +1  Xét hàm số f (t ) = t + 2t + −3t + ′ ⇒ f (t ) = 2 t2 − t +1 ( t − t + 1) Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn A là: 16 đạt x = y = Câu 115 Chọn C Với a, b số thực dương, ta có: 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2) ⇔ 2(a + b ) + ab = a b + ab + 2(a + b) a b 1 1 ⇔  +  + = ( a + b) +  +  b a a b Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta được: Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 38 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số 1 1 1 1 a b  (a + b) +  +  ≥ 2(a + b)  +  = 2  + +  a b a b b a  a b a b  a b Suy ra:  +  + ≥ 2  + +  ⇒  +  ≥ b a b a  b a a b Đặt t = + , t ≥ Ta được: P = 4(t − 3t ) − 9(t − 2) = 4t − 9t − 12t + 18 b a Xét hàm số: f (t ) = 4t − 9t − 12t + 18 với t ≥ 23 5 f ′(t ) = 6(2t − 3t − 2) > 0, ∀t ≥ Suy f (t ) = f   = −    2  ; +∞  2 Vậy P = −  23 a b 1 1 đạt đươc + = a + b =  +  b a a b ⇔ (a; b) = (2;1) (a; b) = (1; 2) Câu 116 Chọn D Do ≤ x ≤ 2; ≤ y ≤ nên ( x − 1)( x − 2) ≤ , nghĩa x + ≤ 3x Tương tự y + ≤ y x + 2y y + 2x x+ y + + = + x + y + 3 y + x + 4( x + y − 1) x + y + 4( x + y − 1) t + , với ≤ t ≤ Đặt t = x + y suy ≤ t ≤ Xét f (t ) = t + 4(t − 1) Suy P ≥ f ′(t ) = ( t + 1) − Suy f ′(t ) = ⇔ t = 4(t − 1) 11 53 7 ; f (3) = ; f (3) = nên f (t ) ≥ f (3) = Do P ≥ 12 60 8 7 Khi x = 1, y = P = Vậy giá trị nhỏ P 8 Mà f (2) = Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 39 | T H B T N ... x= +∞ + +∞ Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 24 | T H B T N Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Từ BBT ta thấy hàm số có giá trị nhỏ hàm số khơng có giá... giá trị nhỏ hàm số y = 2sin x + cos x Khi M + m 28 A 27 B C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 82 27 D 6|THBTN Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Câu 55... x 112 112 B 1;4 C 1; D 4; 9 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 8|THBTN Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Câu 76 Hàm số y = x8 + ( x − 1) đạt giá trị lớn