Chuyên đề 1: Căn thức bậc hai - CHUYÊN ĐỀ ÔN TUYỂN SINH 10 TOÁN

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩaA Lí thuyết

Chú ý:

- Đối với căn bậc chẵn điều kiện là biểu thức dưới dấu căn 0- Đối với căn bậc lẻ không cần đặt điều kiện

B Bài tập: Tìm điều kiện xác định

Bài 1: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa?



Bài 4: Tìm điều kiện của x để mỗi căn thức sau có nghĩa

xx xx   

4 0

    

Bài 5: Tìm điều kiện của x để mỗi căn thức sau có nghĩa

 có nghĩa khi

,3 0



  

      

    

*) Chú ý: A B B( 0) A B

     (bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối )

  

Bài 7: Tìm giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa

a 2 13 4

  

 

 

  

Vậy xx13 là những giá trị cần tìm.d) Biểu thức có nghĩa

6 0

   

 

  

2 0

xx

a 2 1 222

Đo đó biểu thức đã cho luôn có nghĩa với mọi x.

Biểu thức B có nghĩa khi

 

Bài tập: Rút gọn các biểu thức sau:Câu 1)

Các dạng toánDạng

Phương pháp giải:

Cách 1: Nhẩm hai số a và b sao cho a.b = n và a + b = m

Sử dụng các hằng đẳng thức: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Bấm máy Mode/5/3: nhập a = 1, b = -3; c = 2 ta được a = 2; b = 1

b) Hướng Dẫn:

Bấm máy Mode/5/3: nhập a = 1, b = -8; c = 15 ta được a = 5; b = 3

c) Hướng Dẫn:

Bấm máy Mode/5/3: nhập a = 1, b = -23; c = 120 ta được a = 15; b = 8

Bài tập tự luyện: Rút gọn (bài tập tự luyện)

Trường hợp: Nếu k là số chẵn thì tách sao cho k = 2k’

Đưa k’ vào căn bậc hai bằng công thức: Bài toán về dạng 2.

Chú ý: Sử dụng công thức đưa vào căn bậc hai: a = với a là một số không âm

Bài tập mẫu: Rút gọn

a)Hướng Dẫn:

Ta tách số 10 = 2.5 và đưa số 5 =

Nhận xét: Ta thấy 25 + 2 = 27 vậy a = 25 và b = 27

b) Hướng Dẫn:

Ta tách số 12 = 2.6 và đưa số 6 =

Trường hơp: Nếu k là số lẻ thì nhân cả tử và mẫu của cho 2

Hướng Dẫn:

6)

Hướng Dẫn:

= 17)

Hướng Dẫn:

27) Chứng minh: Hướng Dẫn:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

+ Nếu A 0 và B 0 thì + Nếu A < 0 và B 0 thì

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+ Nếu A 0 và B 0 thì + Nếu A < 0 và B 0 thì

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

+ Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có

Trục căn thức ở mẫu

Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có

Hướng Dẫn:

18)

Hướng Dẫn:

Hướng Dẫn:

.20)

Hướng Dẫn:

Vậy 21)

Hướng Dẫn:

22)

Hướng Dẫn:

Vậy 23)

26)

Hướng Dẫn:

27)

Hướng Dẫn:

Hướng Dẫn:

Vậy 29)

Hướng Dẫn:

Hướng Dẫn:

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa ẩn I LÍ THUYẾT

Bước 1: Rút gọn trực tiếp các cụm (nếu có)

Bước 2: Tách mẫu để xác định mẫu chung, quy đồng (nếu có)Bước 3: Xác định mẫu chung để quy đồng.

Vậy B =

Hướng Dẫn:Ta có:

Câu 12: Rút gọn biểu thức với x > 0, x  2

Bài 17: Rút gọn biêu thức: với x>0 và x khác 4Hướng Dẫn:

Hướng Dẫn:

Câu 19: Rút gọn biểu thức

Hướng Dẫn:

Với x>0 và x khác 36

Câu 24: Rút gọn biểu thức:

Hướng Dẫn:B=

B= với a > 0, a  4 =

Hướng Dẫn:

với a,b, là số dương.

Câu 32: Chứng minh rằng với x  0 và x  1 thì

Câu 38: Rút ngắn biểu thức:

Hướng Dẫn:Rút gọn: ĐK:

Câu 39: Rút gọn biểu thức:

Hướng Dẫn:

Đặt ĐK x khác 4 , khử căn thức ở mẫu số bằng biểu thức liên hợp

Hướng Dẫn:

Điều kiện để B xác định: Ta có

Kết hợp điều kiện suy ra không có giá trị x thỏa mãn.

Hướng Dẫn:

Với x 0;x9

Câu 42:Thu gọn biểu thức:

Hướng Dẫn:

Câu 43: Rút gọn biểu thức: với x > 1, x ≠ 1.Hướng Dẫn:

Câu 48:Rút gọn biểu thức: với và Hướng Dẫn:

Câu 51: Rút gọn biểu thức Hướng Dẫn:

Hướng Dẫn:

b) Vì

Câu 55: Rút gọn biểu thức sau

Hướng Dẫn:ĐKXĐ:Ta có:

Câu 59:

Hướng Dẫn:Điều kiện:

Câu 60: Rút gọn biểu thức: với Hướng Dẫn:

Câu 61: Rút gọn biểu thức: , với Hướng Dẫn:

Câu 69: Rút gọn biểu thức :

Hướng Dẫn:Điều kiện

Hướng Dẫn:

Câu 74: Rút gọn biểu thức với Hướng Dẫn:

Bài 1: Cho biểu thức (với và ) Tìm tất cả các giá trị của để

Hướng Dẫn:Ta có

1) Tính giá trị biểu thức khi .

Do nên (thỏa mãn)

Bài 4: Cho biểu thức G = Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G.Hướng Dẫn:

1) P = A.B nên ta có:

+) Ta có x  0 nên P > 0+) x  0 =>

Nên :

Để P Z =>P{1;2}

+)P = 1 <=> x=16 (thỏa mãn điều kiện)+) P = 2 <=>x= (thỏa mãn điều kiện)Vậy x{ ;16}

Bài 7: Cho biểu thức với x > 0 và x khác 1a)Chứng minh rằng

b)Tìm các giá trị của x để Hướng Dẫn:

a)

b)Từ câu 2a ta có

Bài 8: Cho hai biểu thức và với x>0, x  4

2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9.3) Rút gọn biểu thức Q.

4) Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.Hướng Dẫn:

Với x = 9 ta có 1) Với

(Do bất đẳng thức Cosi).Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của là

Bài 9: Với x > 0, cho hai biểu thức và 1)Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.2) Rút gọn biểu thức B.

3) Tìm x để Hướng Dẫn:

1) Với x = 64 ta có 2)

2) Với x > 0 ta có:

Bài 12: Cho biểu thức

a)Tìm điều kiện xác định và rút gọn M.b)Tính giá trị của M, biết rằng

TH4 : x – 1 = 2  x = 3 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 2, x = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 12: Cho biểu thức (với x > 0 và x ≠ 4).1)Chứng minh rằng

2)Tìm các giá trị của x sao cho P = x + 3Hướng Dẫn:

Vậy P=

2 Với x > 0 và x ≠ 4 Ta có:

Đối chiếu với điều kiện ta được x = 1 thỏa mãn

a)Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P.b)Tim x để P

Hướng Dẫn:ĐKXD:

Bài 14: Cho biểu thức

a)Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức Ab)Tìm tất cả các giá trị của x để A 0.Hướng Dẫn:

a) Điều kiện

b) A<0 thì

Kết hợp ĐK: để A < 0 thì 0 ≤ x < 1

Bài 15: Cho biểu thức

a)Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.

b)Tính giá trị của biểu thức P khi Hướng Dẫn:

ĐKXĐ : x 0 , x  4a) Rút gọn:

Bài 16: Cho biểu thức

a)Tìm điều kiện xác định và rút gọn Pb)Tìm các giá trị của x để P ≤ 1.Hướng Dẫn:

a) Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 9

b) Để P ≤ 1 thì

Kết hợp với điều kiện xác định ta có x ≥ 1, x ≠ 9

Bài 17: Cho biểu thức: điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1a)Rút gọn biểu thức P

b)Tính giá trị P khi Hướng Dẫn:

1.Với x>0;x 4 , biểu thức có nghĩa ta có:

Vậy với x>0;x 4 thì A=2.Ta có

,kết hợp với A nhận giá trị là một số nguyên thì A

Vậy với thì A nhận giá trị là một số nguyên.

a)Rút gọn biểu thức P.b)Tìm giá trị của P khi x= Hướng Dẫn:

Bài 21: Cho biểu thức: với x > 0;x 11)Rút gọn A.

2)Tính giá trị của biểu thức A khi Hướng Dẫn:

2) Thay (Thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức P đã rút gọn ta được:

a)

b) Ta có :

Vậy = 0c) Ta có :

a) Rút gọn biểu thức

b) Đặt So sánh và 1.Hướng Dẫn:

.cVậy

a)Rút gọn biểu thức b)Tìm giá trị của , biết Hướng Dẫn:

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

Hướng Dẫn:Điều kiện:

Bài 31: Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm tất cả các giá trị của để Hướng Dẫn:

a Rút gọn biểu thức

Hướng Dẫn:

Bài 33: Cho hai biểu thức A = và B = với , 1) Tính giá trị của biểu thức khi

Suy ra điều phải chứng minh.3)

So với điều kiện, thỏa mãn.

Bài 34: Cho biểu thức

1) Tính giá trị của biểu thức khi 2) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa

Bài 37: Cho biểu thức xác định a) Tính khi

b) Rút gọn biểu thức đã cho ở trên.Hướng Dẫn:

a)ĐKXĐ:

Bài 38: Cho biểu thức với a) Rútgọn biểu thức

b)Tìm giá trị của đểHướng Dẫn:

a)

b)Tìm giá trị của đểTa có:

Kết hợp với điều kiện ta thấy thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bài 39: Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm các giá trị của y để Hướng Dẫn:

b)

Kết hợp với điều kiện

Bài 40: Cho biểu thức với a)Rút gọn biểu thức

Hướng Dẫn:

a) Điều kiện :

b) Điều kiện: Ta có:

Vì Mà

TH1: TH2: TH3: TH4: TH5: Vậy

Bài 41: Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của để Hướng Dẫn:

a) Rút gọn P

b) vậy để

Bài 42: Cho biểu thức :

a)Rút gọn biểu thức

b)Tìm tất cả các giá trị của để Hướng Dẫn:

a) Điều kiện :

Vậy

b) Điều kiện Ta có:

Kết hợp với điều kiện ta có

Bài 43: Cho biểu thức và 1) Tính giá trị của biểu thức khi 2) Rút gọn biểu thức

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của Hướng Dẫn:

1) Điều kiện để biểu thức xác định là Khi

2) Điều kiện :

3) Điều kiện Ta có:

Dấu “=” xảy ra

Vậy với thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là

Bài 44: Cho biểu thức

a)Rút gọn biểu thức Pb)Tìm a để

Hướng Dẫn:

Điều kiện

Ta có:

1)Tính giá trị của biểu thức khi 3) Rút gọn biểu thức

4) Tìm tất cả các giá trị nguyên của để biểu thức đạt giá trị nguyên lớn nhất Hướng Dẫn:

1)Điều kiện

2)Điều kiện

Bài 47: Cho hai biểu thức :

Bài 48:: Cho biểu thức

Bài 49: Cho biểu thức

1) Tìm các giá trị thực của để biểu thức có nghĩa2) Rút gọn biểu thức

3) Tính giá trị của biết Hướng Dẫn:

1) Điều kiện

2) Điều kiện

3) Điều kiện

Vậy với Vậy

Hướng Dẫn:

b)Điều kiện Theo đề bài ta có:

Kết hợp với điều kiện ta có:

Bài 52: cho biểu thức

a)Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức b)Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyênHướng Dẫn:

a)Điều kiện

b)Điều kiện Ta có: Hay

Vậy với thì nhận giá trị nguyên

Với

Vậy thì nhận giá trị nguyên

a) Rút gọn biểu thức P.

P  Hướng Dẫn:

b) Với x 0, x 1 Ta có:

Vậy P = khi x = 4

Dạng 3.3: Rút gọn biểu thứcPhương pháp: Sử dụng công thức đưa ra khỏi căn bậc hai

Bài 1: Rút gọn biểu thức với 2 ≤ x < 3Hướng Dẫn:

với 2 ≤ x < 3

(Vì 2 < x < 3 => – 1 < 0)

Bài 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn của biểu thức

Hướng Dẫn:

a) Tính giá trị của biểu thức khi b) Rút gọn biểu thức khi