Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 56 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
56
Dung lượng
1,67 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 1- SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT: DÃY CỘNG VÀ CÁC DÃY KHÁC PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT - Dãy cộng dãy số có số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) lớn số hạng liền trước số đơn vị - Dãy cộng dãy số cách - Một số phương pháp giải: Phương pháp 1: + Tính số số hạng tổng theo cơng thức : Sốsốhạng= ( Sốhạngcuố i − Sốhạngđầ u) : Khoả ngcá ch+ + Nhóm hai số hạng thành cặp cho giá trị cặp (Lưu ý nhóm vừa hết số hạng thành cặp số số hạng số chẵn thừa số hạng số số hạng số lẻ) Cách tính số hạng thứ n dãy là: Số áhạngthứn= ( Sốsốhạng − 1) Khoả ngcá ch+ Sốhạngđầ u + Tính tổng dựa vào giá trị cặp số cặp vừa nhóm Lưu ý tìm số cặp mà cịn dư số hạng tìm tổng ta phải cộng số hạng dư vào Phương pháp 2: + Dựa vào cơng thức: Sốsốhạng= ( Sốhạngcuố i − Sốhạngđầ u) : Khoả ngcá ch+ Tổ ng= ( Sốhạngđầ u+ Sốhạngcuố i ) Sốsốhạng:2 Phương pháp 3: + Dựa vào toán Gau-xơ : Viết tổng A theo thứ tự ngược lại tính A + A Từ tính tổng A Phương pháp 4: + Phương pháp khử liên tiếp: Tách số hạng thành hiệu số trừ hiệu trước số bị trừ hiệu sau: a1 = b1 – b2 , a2 = b2 – b3 , , an = bn – bn+ Khi ta có An = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn + Phương pháp 5: Phương pháp dự đoán quy nạp TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1:Tính tổng số hạng cách I.Phương pháp giải Muốn tính tổng dãy số có quy luật cách thường hướng dẫn học sinh tính theo bước sau: Sốsốhạng = Bước 1: Tính số số hạng có dãy: Sốhạngcuố i − Sốhạngđầ u Khoả ngcá ch2sốhạngliê ntiế p +1 Sốhạngcuố i + Sốhạngđầ u Tổ ngcủ adã y= ÷.Sốsốhạng Bước 2: Tính tổng dãy: (quy tắc dân gian: dĩ đầu, cộng vĩ, chiết bán, nhân chi) Với dãy số tăng dần ta có: Sốhạngcuố i = Sốhạnglớ nnhấ t Sốhạngđầ u = Sốhạngnhỏnhấ t Ở tập đây, dãy cộng với số tự nhiên đa phần ta gặp dãy tăng dần Tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến n là: S = 1+ + 3+ + n = ( n+ 1) n vớ i n∈ N;n>3 *) Chú ý: II.Bài tốn Bài 1: Có số tự nhiên có hai chữ số? Tính tổng chúng Lời giải: Cách 1: Các số tự nhiên có hai chữ số 10;11;12; ;99 Số số là: 99 − 10 + = 90 (số) ( 1) Ta có: A = 10 + 11 + 12 + + 99 A = 99 + 98 + + 11 + 10 ( ) Cộng ( 1) với ( ) áp dụng tính chất giao hoán kết hợp phép cộng ta được: A + A = ( 10 + 99 ) + ( 11 + 98 ) + + ( 98 + 11) + ( 99 + 10 ) = 109 + 109 + + 109 + 109 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Nên A = 109.90 ⇒ A = 109.90 : = 45.109 = 4905 Cách 2: Số số hạng dãy: ( 99 − 10 ) + = 90 (số hạng) (khoảng cách số hạng liên tiếp dãy 1, số hạng đầu dãy 10, số hạng cuối dãy 99) Tổng dãy: A= 99 + 10 90 = 4905 Bài 1: Tính giá trị A biết A = + + + + + 2014 Lời giải: Dãy số có số số hạng ( 2014 – 1) :1 + = 2014 (số hạng) ( 2014 + 1) 2014 : = 2029105 Giá trị A Đáp số: 2029105 Bài 3: Cho dãy số: 2, 4, 6,8,10,12, Tìm số hạng thứ 2014 dãy số trên? Sốsốhạng = *) Phân tích: Từ cơng thức Ta có: Sốhạngcuố i − Sốhạngđầ u Khoả ngcá ch2sốhạngliê ntiế p +1 ( Sốsốhạng− 1) ( Khoảngcách2sốhạngliêntiếp) = Sốhạngcuối− Sốhạngđầu ( Sốsốhạng− 1) × ( Khoả ngcá ch2sốhạngliê ntiế p) + Sốhạngđầ u = Sốhạngcuố i Sốhạngđầ u = Sốhạngcuố i − ( Sốsốhạng− 1) × ( Khoả ngcá ch2sốhạngliê ntiế p) Lời giải: Số hạng thứ 2014 dãy số ( 2014 –1) + = 4028 Đáp số: 4028 Bài 4: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn dãy 2019 ? *) Phân tích: Với dãy số tăng dần ta có: Sốhạngcuố i = Sốhạnglớ nnhấ t Sốhạngđầ u = Sốhạngnhỏnhấ t TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Sốhạngđầ u = Sốhạngcuố i − ( Sốsốhạng− 1) × ( Khoả ngcá ch2sốhạngliê ntiế p) Lời giải: Số hạng bé dãy số là: Tổng 50 số lẻ cần tìm ( 2019 2019 − ( 50 – 1) = 1921 + 1921) 50 : = 98500 Đáp số: 98500 Bài 5: Một dãy phố có 15 nhà Số nhà 15 nhà đánh số lẻ liên tiếp, biết tổng 15 số nhà dãy phố 915 Hãy cho biết số nhà dãy phố số nào? *) Phân tích: Dựa vào cơng thức với dãy số có quy luật tăng dần: Sốsốhạng = Bước 1: Suy ra: Sốhạngcuố i − Sốhạngđầ u Khoả ngcá ch2sốhạngliê ntiế p +1 ( Sốsốhạng− 1) ( Khoảngcách2sốhạngliêntiếp) = Sốhạngcuối− Sốhạngđầu Sốhạngcuố i + Sốhạngđầ u Tổ ngcủ adã y= ÷.Sốsốhạng Bước 2: Suy ra: ( 2.Tổngcủadãy) : ( Sốsốhạng) = Sốhạngcuối+ Sốhạngđầu Bài toán cho biết số số hạng 15, khoảng cách số hạng liên tiếp dãy tổng dãy số 915 Từ bước học sinh tính hiệu tổng số nhà đầu số nhà cuối Từ ta hướng dẫn học sinh chuyển tốn dạng tìm số bé biết tổng hiêu hai số Lời giải: Hiệu số nhà cuối số nhà đầu ( 15 − 1) = 28 Tổng số nhà cuối số nhà đầu 915 :15 = 122 Số nhà dãy phố ( 122 − 28 ) : = 47 (bài toán tổng hiệu quen thuộc) Đáp số: 47 Bài 6: Tính tổng 21 số lẻ liên tiếp *) Phân tích: Để giải tốn ta cần xác định quy luật cách số lẻ liên tiếp Tuy nhiên số hạng tổng biết nên ta cần áp dụng cơng thức tính tổng nêu phương pháp TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Lời giải: Tổng 21 số lẻ liên tiếp là: S = + + + + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 Cách 1: Tính tổng theo cơng thức phương pháp Các số hạng liên tiếp tổng cách giá trị d = tổng có 21 số hạng nên: S = + + + + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = ( 41 + 1) 21 = 441 Cách 2: Nhóm số hạng tạo thành cặp số có tổng nhau, ta thấy: + 41 = 42 + 39 = 42 + 37 = 42 + 35 = 42 ⇒ Nếu ta xếp cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta cặp số có tổng 42 Số cặp số là: 20 : = 10 (cặp số) dư số hạng dãy số số 21 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp là: 42.10 + 21 = 441 Bài 7: Tính tổng A = + + + + + 2021 *) Phân tích: Nhận thấy dãy số 1, 2,3, 4, , 2019 dãy số tự nhiên cách Khoảng cách hai số hạng liền kề Để tính tổng A ta vận dụng bốn phương pháp đầu nêu cụ thể ta có cách giải sau: Lời giải: ( 2021 – 1) :1 + = 2021 (số hạng) Cách 1: Tổng A có số số hạng là: Do ta chia A thành 1010 cặp dư số hạng chẳng hạn số 2021 A = + + + +…+ 2020 + 2021 A = ( + + + +…+ 2020 ) + 2021 A = ( + 2020 ) + ( + 2019 ) + + ( 1010 + 1011) + 2021 A = 2021 1010 + 2021 A = 2021 1011 A = 2043231 Cách 2: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ( 2021 – 1) :1 + = 2021 Tổng A có số số hạng là: Tính tổng: A = (2021 + 1).2021: = 2043231 Cách 3: Tính A + A + A = + + + + …+ 2020 + 2021 A = 2021 + 2020 + 2019 + 2018…+ + (có 2021 số hạng) Do đó: A = 2022 + 2022 + 2022 + +2022 + 2022 (có 2021 số hạng) ⇒ A = 2022.2021 ⇒ A = 2022 2021: 2 = 2043231 Cách 4: Trước hết ta tách số hạng A (là số 1) thành hiệu có số hạng tích hai số hạng liên tiếp tổng A (một thừa số số hạng 1): 1 = (1.2 – 0.1) Từ ta tách số hạng cịn lại tổng A thành hạng tử mà tính tổng A hạng tử triệt tiêu hàng loạt: 1 2 = (2.3 – 1.2); = (3.4 – 2.3); ; 2021 = (2021.2022 − 2020.2021) 2 Do đó: A = (1.2 – 0.1 + 2.3 – 1.2 + 3.4 – 2.3 + – 2019.2020 + 2021 2022 – 2020.2021) A = 2021.2022 = 2043231 Cách 5: Từ cách phân tích để có lời giải cách nghĩ đến trình bày tốn theo cách sau gọn hơn: A = + + + +…+ 2020 + 2021 A = ( + + + + …+ 2021) A = 1.2 + 2.2 + 2.3 + 2.4 + + 2021 A = ( – ) + ( – 1) +3 ( – ) + + 2021 ( 2022 – 2020 ) 2 A = 1.2 +2.3 – 1.2 +3.4 – 2.3 + + 2022 2021 – 2020 2021 A = 2022 2021 A = 2022 2021: 2 = 2043231 Nhận xét: Ở cách dùng phương pháp khử liên tiếp Mỗi số hạng A (chỉ có thừa số ) khoảng cách hai số hạng ta nhân A với lần khoảng cách TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Bài 8: Tính tổng A = 1+ + 3+ + 100 Lời giải: Cách 1: Ta có: A= (1 + 100).100 n.(n + 1) = 5050 ⇒ TQ : A = + + + n = 2 Cách 2: A = + + + + 100; A = 100 + 99 + 98 + + ⇒ A = ( + 100 ) + ( + 98 ) + + ( 100 + 1) = 101.101 = 5050 Cách 3: 1= (1.2 − 0.1); 2 = (2.3 − 1.2); = (3.4 − 2.3); 100 = (100.101 − 99.100) ⇒ A = 100.101 = 5050 Bài 9: Tính tổng A = + + + + 100 Lời giải: Tổng A có: A= ( 100− 2) : 2+ 1= 50 (số hạng) (100 + 2).50 (2 + 2n).n = 2550 ⇒ TQ : A = + + + n(∀n ∈ N * ) ⇒ A = = n( n + 1) 2 Bài 10: Tính tổng A = 1+ 3+ 5+ + 49 Lời giải: Tổng A có: ( 49− 1) : 2+ 1= 25 (số hạng) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN A= (1 + 49).25 50.25 = = 625 2 TQ : A = + + + (2n − 1)(∀n ∈ N * ) ⇒ A = Bài 11: Tính tổng S= (1 + 2n − 1).n = n.n = n 2 19 + 1+ + + + + + 2 2 *) Phân tích: Đây ví dụ mà số hạng tổng vừa số nguyên, vừa phân số Để tìm quy luật số hạng tổng ta cần viết số nguyên tổng dạng phân số có mẫu số Khi ta có tổng phân số có mẫu số, tổng tử số tổng số tự nhiên liên tiếp Lời giải: Ta có: S= 19 19 1+ + + 19 + 1+ + 2+ + + 9+ = + + + + = 2 2 2 2 Xét tổng 1+ + + 18+ 19 tổng 19 số tự nhiên liên tiếp 1+ + + 18+ 19 = Ta có tổng S= ( 19 + 1) 19 = 190 190 = 95 Bài 12: Tính tổng S = + 5+ 8+ 11+ + 47+ 50 Lời giải: Các số hạng cách giá trị d = Tổng có ( 50− 2) :3+ 1= 17 số hạng ⇒ S = 17.( 50+ 2) : = 442 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Bài 13: Tính tổng S = 5+ 10 + 15+ + 100 Lời giải: Các số hạng cách giá trị d = Tổng có ( 100− 5) : 5+ 1= 20 số hạng ⇒ S = 20.( 100+ 5) :2 = 1050 Bài 14: Tính tổng A = 98+ 93+ 88+ + 13+ 8+ Lời giải: Tổng A có ( 98− 3) :5+ 1= 20 (số hạng) ⇒ A= ( 98+ 3) 20 = 1010 Bài 15: Cho S = 7 + + 11 + +97 + 99 a) Tính tổng S b) Tìm số hạng thứ 33 tổng Lời giải: + Số hạng đầu là: số hạng cuối là: 99 + Khoảng cách hai số hạng là: ( 99 – ) : + = 47 + S có số số hạng tính cách S = ( 99 + ) 47 : = 2491 Tổng dãy: ( 33 –1) + = 71 b) Số hạng thứ 33 tổng : Bài 16: Cho dãy số 2;7;12; ; 22; a) Nêu quy luật dãy số b) Viết tập hợp B gồm số hạng liên tiếp dãy số đó, số hạng thứ năm c) Tính tổng 100 số hạng dãy số Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Xét dãy số 2;7;12; 22 a) Quy luật: Dãy số cách với khoảng cách b) B = { 22; 27;32;37; 42} c) Gọi số hạng thứ 100 dãy x , ta có: ( x − 2) : + = 100 ⇒ x = 497 Do tổng 100 số hạng đầu dãy là: (2 + 497) ×100 : = 24950 Bài 17: Người ta viết liền số tự nhiên 123456 a) Hỏi chữ số đơn vị số 53; 328; 1587 đứng hàng thứ bao nhiêu? b) Chữ số viết hàng thứ 427 chữ số nào? Lời giải: Viết liền số tự nhiên 123456 a) chữ số đầu tiên: 1, 2, ,9 44 số có hai chữ số tiếp theo: 10,11, ,53 Þ Chữ số hàng đơn vị số 53 hàng số: + 44.2 = 97 Tương tự, chữ số hàng đơn vị số 328 hàng số + 90.2 + 229.3 = 876 ; chữ số hàng đơn vị số 1587 hàng số + 90.2 + 900.3 + 588.4 = 5241 b) Ta có: 427 = + 90.2 + 79.3dư1 Khi số thứ 81 có chữ số là: 179 Chữ số viết hàng thứ 427 chữ số 1 101 103 S = + + + + + + + + 35 3 3 Bài 18: Tính tổng Lời giải: 101 103 + + + + + 101 + 103 + 105 S = + + + + + + + + 35 = 3 3 3 Ta có Xét tổng + + + + 101 + 103 + 105 tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp từ đến 105, số tự nhiên lẻ liên tiếp cách đơn vị TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Lời giải: Ta có N = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 48.50 = ( + ) + ( + ) + ( + ) + + 46 ( 46 + ) + 48 ( 48 + ) = ( 22 + 42 + + + 482 ) + ( + + + + 48 ) 2 2 Đặt B = + + + + 48 B = 22 + 42 + 62 + + ( k − 1) = Tổng B có dạng Với k = 49 ⇒ B = ( k − 1) k ( k + 1) 48.49.50 = 19600 ⇒ N = 19600 + ( + 48 ) 25 : ⇒ N = 19600 + 1250 = 20850 Vậy N = 20850 Bài 8: Tính tổng N = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 100.102 Lời giải: Ta có N = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 100.102 = ( + ) + ( + ) + ( + ) + + 98 ( 98 + ) + 100 ( 100 + ) = ( 22 + 42 + 62 + + 100 ) + ( + + + + 98 + 100 ) 2 2 Đặt B = + + + + 100 B = 22 + 42 + 62 + + ( k − 1) = Tổng B có dạng Với k = 101 ⇒ B = ⇒N= ( k − 1) k ( k + 1) 100.101.102 ( + 100 ) 50 ⇒ N = 176800 100.101.102 + Vậy N = 176800 Bài 9: Tính tổng S = 2.6 + 6.10 + 10.14 + 14.18 + + 42.46 + 50.54 Lời giải: Vì khoảng cách hai thừa số số hạng (trừ số hạng cuối cùng) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 42 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Nhân vế với 12 ta 12 S = 2.6.12 + 6.10.12 + 10.14.12 + 14.18.12 + + 42.46.12 + 50.54.12 = 2.6 ( 10 + ) + 6.10 ( 14 − ) + 10.14 ( 18 − ) + 14.18 ( 22 − 10 ) + + 42.46 ( 50 − 38 ) + 50.54.12 = 2.2.6 + 42.46.50 + 50.54.12 = 129024 ⇒ S = 10752 Vậy S = 10752 Dạng 10: Tính tổng có dạng S = 1.a2 a3 + a2a3a4 + a3a4 a5 + + an − an −1an I.Phương pháp giải Nhân hai vê với 4k , tách 4k số hạng tổng để số hạng trước số hạng sau tạo thành số tự triệt tiêu 4k S = 1.a2 a3 4k + a2 a3 a4 4k + a3a4 a5 4k + + an −2 an−1an 4k = an −2 an−1an ( an + k ) II.Bài toán Bài 1: Tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 16.17.18 + 17.18.19 Lời giải: Ta có khoảng cách thừa số 1, nên nhân vế với ta được: 4S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + + 16.17.18.4 + 17.18.19.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4 ( − 1) + 3.4.5 ( − ) + + 16.17.18 ( 19 − ) + 17.18.19 ( 20 − 16 ) = 17.18.19.20 = 116280 ⇒ S = 116280 : = 29070 Vậy S = 29070 Bài 2: Tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 26.27.28 + 27.28.29 Lời giải: Ta có khoảng cách thừa số 1, nên nhân vế với ta được: S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + + 26.27.28.4 + 27.28.29.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4 ( − 1) + 3.4.5 ( − ) + + 26.27.28 ( 29 − 25 ) + 27.28.29 ( 30 − 26 ) = 27.28.29.30 = 657720 ⇒ S = 657720 : = 164430 Vậy S = 164430 Bài 3: Tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 46.47.48 + 47.48.49 Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 43 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Ta có khoảng cách thừa số 1, nên nhân vế với ta được: S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + + 46.47.48.4 + 47.48.49.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4 ( − 1) + 3.4.5 ( − ) + + 46.47.48 ( 49 − 45 ) + 47.48.49 ( 50 − 46 ) = 47.48.49.50 = 5527200 ⇒ S = 5527200 : = 1381800 Vậy S = 1381800 Bài 4: Tính tổng S = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + + 55.57.59 Lời giải: Ta có khoảng cách thừa số 2, nên nhân vế với ta được: 8S = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + + 55.57.59.8 = 1.3.5 ( + 1) + 3.5.7 ( − 1) + 5.7.9 ( 11 − 3) + + 53.55.57 ( 59 − 51) + 55.57.59 ( 61 − 53 ) 8S = 1.3.5 + 1.3.5.7 − 1.3.5.7 + 3.5.7.9 − 3.5.7.9 + − 51.53.55.57 + 53.55.57.59 + 55.57.59.61 − 53.55.57.59 8S = 1.3.5 + 55.57.59.61 Chia vế cho ta : S = ( 1.3.5 + 55.57.59.61) : = 1410360 Vậy S = 1410360 Bài 5: Tính tổng S = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + + 95.97.99 Lời giải: Ta có khoảng cách thừa số 2, nên nhân vế với ta được: 8S = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + + 95.97.99.8 = 1.3.5 ( + 1) + 3.5.7 ( − 1) + 5.7.9 ( 11 − ) + + 93.95.97 ( 99 − 91) + 95.97.99 ( 101 − 93) 8S = 1.3.5 + 95.97.99.101 8S = 1.3.5 + 1.3.5.7 − 1.3.5.7 + 3.5.7.9 − 3.5.7.9 + − 91.93.95.97 + 93.95.97.99 + 95.97.99.101 − 93.95.97.99 Chia vế cho ta được: S = ( 1.3.5 + 95.97.99.101) : = 11517600 Vậy S = 11517600 Bài 6: Tính tổng A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + 18.19.20.21 + 19.20.21.22 Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 44 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Nhân hai vế với ta A = 1.2.3.4.5 + 2.3.4.5.5 + + 18.19.20.21.5 + 19.20.21.22.5 A = 1.2.3.4.5 + 2.3.4.5 ( − 1) + + 18.19.20.21 ( 22 − 17 ) + 19.20.21.22 ( 23 − 18 ) = 1.2.3.4.5 − 1.2.3.4.5 + 2.3.4.5.6 − − 17.18.19.20.21 + 18.19.20.21.22 − 18.19.20.21.22 + 19.20.21.22.23 = 19.20.21.22.23 ⇒ A = 19.20.21.22.23 = 807576 Vậy A = 807576 S= Dạng 1: Tính tổng có dạng 1 1 + + + + i a2 − a1 = a3 − a2 = = an − an−1 = k a1a2 a2 a3 a3a4 an −1an Vớ I.Phương pháp giải - Với S= a2 − a1 = a3 − a2 = = an − an −1 = 1 1 1 1 − + − + − = − a1 a2 a2 a3 an −1 an a1 an 1 1 1 1 1 1 S = − + − + − ÷= − ÷ k a1 a2 a2 a3 an −1 an k a1 an a − a = a3 − a2 = = an − an −1 = k > - Với - Với dạng tốn phức tạp như: 1) Nếu số hạng có dạng 2m b ( b + m ) ( b + 2m ) , ta dùng cơng thức 2m 1 = − b ( b + m ) ( b + 2m ) b ( b + m ) ( b + m ) ( b + 2m ) 2) Nếu số hạng có dạng , n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) để viết số hạng thành hiệu hai phân số ta dùng cơng thức 1 1 = − , n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) n ( n + 1) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) ( n + ) sau áp dụng tiếp cơng thức phần II.Bài tốn TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 45 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Tính tổng A= 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 49.50 Lời giải: Ta có: A= 1 1 1 1 1 + + + + = 1− + − + − + + − 1.2 2.3 3.4 49.50 2 3 49 50 = 1− 49 = 50 50 A= Vậy 49 50 Bài 2: Tính tổng A= 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 Lời giải: Ta có: A= 1 1 1 1 1 + + + + = 1− + − + − + + − 1.2 2.3 3.4 99.100 2 3 99 100 = 1− Vậy 99 = 100 100 A= 99 100 Bài 3: Tính tổng B= 2 2 + + + + 2.4 4.6 6.8 48.50 Lời giải: Ta có: B= = 2 2 1 1 1 1 + + + + = − + − + − + + − 2.4 4.6 6.8 48.50 4 6 48 50 1 25 24 12 − = − = = 50 50 50 50 25 Vậy B= 12 25 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 46 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Bài 4: Tính tổng A= 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 97.99 Lời giải: Ta có: A= 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 97.99 1 1 1 1 1 = 1− + − + − + + − ÷ 2 3 5 97 99 1 98 49 = 1− ÷ = = 99 99 99 Vậy A= 49 99 1 1 A = + + + + + 10 15 45 Bài 5: Tính tổng Lời giải: 1 1 2 2 A = + + + + + = + + + + + 10 15 45 12 20 30 90 Ta có 1 1 4 1 = 2 + + + + + ÷ = − ÷ = = 9.10 10 2.3 3.4 4.5 5.6 10 A= Vậy Bài 6: Tính tổng B= 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 Lời giải: Xét = 2B = 2 2 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 1 1 1 1 − + − − + + − = − 1.2 2.3 2.3 3.4 4.5 18.19 19.20 1.2 19.20 19.10 − 189 ⇒B= = 19.20 760 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 47 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN B= 189 760 Vậy 1 1 1 1 A = 1− +1− + 1− + 1− + 1− + 1− + 1− + 1− + 1− 12 20 30 42 56 72 89 Bài 7: Tính tổng Lời giải: 1 1 1 1 A = 9− + + + + + + + + ÷ 12 20 30 42 56 72 89 Ta có 1 1 1 1 A = 9− + + + + + + + + ÷ 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 89 1 1 1 73 80 1 1 A = − − + − + + − + − + ÷ = − − + ÷ = − + − = − = 8 89 89 89 801 2 89 A=8 80 801 Vậy Bài 8: Tính tổng B= 1 1 1 + + + + + 91 247 475 777 1147 Lời giải: Ta có B= 1 1 1 1 1 1 + + + + + = + + + + + 91 247 475 777 1147 1.7 7.13 13.19 19.25 21.37 37.31 1 1 1 1 1 1 31 + 21 = 1 − + − + − + − ÷+ + = 1 − ÷+ 7 13 13 19 19 25 21.37 37.31 25 21.31.37 = 52 97648 + = 25 24087 602175 B= 97648 602175 Vậy Bài 9: Tính tổng A= −1 −1 −1 −1 −1 −1 + + + + + 20 30 42 56 72 90 Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 48 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Ta có −1 −1 −1 −1 −1 −1 1 + + + + + = − + + + + ÷ 20 30 42 56 72 90 9.10 4.5 5.6 6.7 A= 1 1 1 1 1 −3 = − − + − + + + + − ÷ = − − ÷ = 10 4 5 6 10 20 A= −3 20 Vậy Bài 10: Tính tổng 13 + + + + 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 B= Lời giải: Ta có 13 1 1 1 1 1 + + + + = 7 − + − + − + − + − ÷ 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 7 11 11 14 14 15 15 28 B= 1 13 = − ÷= = 28 4 B=3 Vậy Bài 11: Tính tổng A= 1 1 + + + + 10 15 21 120 Lời giải: Ta có A= 1 1 1 1 1 + + + + = + + + + + + 10 15 21 120 5.2 5.3 7.3 7.4 15.7 15.8 1 = + + + ÷+ ÷+ + ÷ 5.2 5.3 7.3 7.4 15.7 15.8 1 1 11 1 1 1 = + ÷+ + ÷+ + + ÷ 5 3 73 4 15 = 1 1 1 1 + + + = + + + = − = 12 56 2.3 3.4 7.8 8 A= Vậy TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 49 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN A A= + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 12: Tính tỉ số B biết Bài B= 11 + + + 19.31 19.43 23.43 23.57 Lời giải: Ta có 1 A= + + + = − 35.31 35.41 50.41 50.57 31 57 11 1 B= + + + = − 38.31 38.43 46.43 46.57 31 57 ⇒ 1 A A= B⇒ = B A = B Vậy A 34 51 85 68 A= + + + 7.31 13.22 22.37 37.49 13: Tính tỉ số B biết Bài B= 39 65 52 26 + + + 7.16 16.31 31.43 43.49 Lời giải: Ta có A= = 34 51 85 68 34 1 51 1 85 1 68 1 + + + = − ÷+ − ÷ + − ÷ + − ÷ 7.31 13.22 22.37 37.49 13 13 22 15 22 37 12 37 49 17 1 17 1 17 1 17 1 17 1 − ÷+ − ÷+ − ÷+ − ÷ = − ÷ 13 13 22 22 37 37 49 49 B= 39 65 52 26 39 1 26 1 13 1 + + + = − ÷+ + − ÷ = − ÷ 7.16 16.31 31.43 43.49 16 43 49 49 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 50 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ⇒ A 17 13 17 = : = B 3 13 A 17 = Vậy B 13 A 1 1 A= + + + + 1.2 2.3 3.4 19.20 14: Tính tỉ số B biết Bài B= 1 1 + + + + 2.4 4.6 6.8 38.40 Lời giải: Ta có A= 1 1 1 1 1 + + + + = − + − + − + + − 1.2 2.3 3.4 19.20 2 3 19 20 = 1− B= 19 = 20 20 1 1 11 1 1 + + + + = − + − + + − ÷ 2.4 4.6 6.8 38.40 4 38 40 1 19 19 = − ÷= = 40 40 80 ⇒ A 19 19 = : =4 B 20 80 A =4 Vậy B A= Bài 15: Tính tổng 31 17 1 1 − ÷− + ÷ + + + + + 31 2 12 930 Lời giải: A= Ta có 31 17 1 1 − ÷− + ÷ + + + + + 31 2 12 930 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 51 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN M= Xét N= 31 17 31 17 17 21 17 31 − 21 17 − ÷− + ÷ = − ÷ = ÷= 31 2 31 2 31 10 31 1 1 1 1 30 + + + + = + + + + = 1− = 12 930 1.2 2.3 3.4 30.31 31 31 A=M +N = 17 30 47 + = 31 31 31 Khi Vậy A= Dạng 47 31 3 3 * 2: Tính tổng có dạng S = + + + + + n Với n ∈ N I.Phương pháp giải Áp dụng tổng B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + ( n − 1) n ( n + 1) Trong số hạng, tách thừa số đầu thừa số sau theo tổng hiệu thừa số với Áp dụng công thức Ta có: ( a − b ) ( a + b ) = a2 − b2 để nhân số sau tách B = ( − 1) ( + 1) + ( − 1) ( + 1) + + ( n − 1) n ( n + 1) = ( 23 − ) + ( 33 − 3) + + ( n3 − n ) = ( 23 + 33 + + n ) − ( + + + n ) = ( + 23 + 33 + + n3 ) − ( + + + + n ) ⇒ S = B + ( + + + + n ) Theo dạng 10 ta tính B= ( n − 1) n ( n + 1) ( n + ) Theo dạng ta tính + + + + n = ( n − 1) n ( n + 1) ( n + ) + n ( n + 1) S= Vậy n ( n + 1) n ( n + 1) = II.Bài toán 3 3 Bài 1: Tính tổng S = + + + + 10 Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 52 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Ta có B = 1.2.3 + 2.3.4 + + 9.10.11 = ( − 1) ( + 1) + ( − 1) ( + 1) + + ( 10 − 1) 10 ( 10 + 1) = ( 23 − ) + ( 33 − 3) + + ( 103 − 10 ) = ( 23 + 33 + + 103 ) − ( + + + 10 ) = ( + 23 + 33 + + 103 ) − ( + + + + 10 ) ⇒ S = B + ( + + + + 10 ) Theo dạng 10 ta tính Khi B= 9.10.11.12 = 2970 S = 13 + 23 + 33 + 43 + + 103 = 2970 + 10.11 = 3025 Vậy S = 3035 3 3 Bài 2: Tính tổng S = + + + + 51 Lời giải: 51( 51 + 1) S = + + + + + 51 = = 1758276 Ta có 3 3 Vậy S = 1758276 3 3 Bài 3: Tính tổng S = + + + + 20 Lời giải: 20 ( 20 + 1) S = + + + + + 20 = = 44100 Ta có 3 3 Vậy S = 44100 3 3 Bài 4: Tính tổng S = + + + + 100 Lời giải: Ta có : 100 ( 100 + 1) S = + + + + 100 = = 25502500 3 3 Vậy S = 25502500 3 3 Bài 5: Tính tổng S = + + + + 55 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 53 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Lời giải: Ta có : 55 ( 55 + 1) S = + + + + 55 = = 2371600 3 3 Vậy S = 2371600 3 3 Bài 6: Tính tổng B = + + + + 42 Lời giải: Ta có : 42 ( 42 + 1) B = + + + + 42 = = 815409 3 3 Vậy S = 815409 PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài 1: Tính C = 1.2 + 2.3+ 3.4 + + 98.99 ( Đề khảo sát HSG tốn huyện n Mơ năm học 2020 - 2021) Lời giải: Ta có 3C = 1.2.3+ 2.3.3+ 3.4.3+ + 97.98.3+ 98.99.3 3C = 1.2.3+ 2.3.( − 1) + 3.4.( 5− 2) + + 97.98.( 99− 96) + 98.99.( 100 − 97) = 1.2.3+ 2.3.4− 1.2.3+ 3.4.5− 2.3.4 + + 97.98.99 − 96.97.98+ 98.99.100− 97.98.99 = 98.99.100 ⇒C = 98.99.100 = 323400 Vậy C = 323400 Bài 2: Tính A = 1+ + 3+ + 59 + 60 Lời giải: Từ đến 50 có số số hạng 60 − 1+ 1= 60 (số hạng) ⇒ A = 1+ + 3+ + 59 + 60 = ( 1+ 60) 60 = 1830 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 54 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Vậy A = 1830 Bài 3: Tính S= 1 1 1 + + + + + + 12 20 2352 2450 ( Đề khảo sát HSG tốn Quận Hà Đơng năm học 2020 - 2021) Lời giải: Ta có: S= = 1 1 1 + + + + + + 12 20 2352 2450 1 1 1 + + + + + + 1.2 2.3 3.4 4.5 48.49 49.50 1 1 1 1 = 1− + − + − + + − + − 2 3 48 49 49 50 = 1− Vậy Bài 4: Tính 49 = 50 50 S= A= 49 50 1 1 + + + + 2.4 4.6 6.8 2020.2022 ( Đề khảo sát HSG toán Nam Trực năm học 2020 - 2021) Lời giải: Ta có: A= 1 1 + + + + 2.4 4.6 6.8 2020.2022 1 1 1 1 1 = − + − + − + + − ÷ 2 4 6 2020 2022 1 1 1010 505 = − = ÷= 2022 2022 2022 Vậy A= 505 2022 Bài 5: Tính A = 1.2 + 2.3+ 3.4 + + 2013.2014 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 55 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ( Đề khảo sát HSG toán Yên Định năm học 2020 - 2021) Lời giải: Ta có 3A = 1.2.3+ 2.3.3+ 3.4.3+ + 2012.2013.3+ 2013.2014.3 3A = 1.2.3+ 2.3.( − 1) + 3.4.( 5− 2) + + 2012.2013.( 2014 − 2011) + 2013.2014.( 2015− 2012) = 1.2.3+ 2.3.4− 1.2.3+ 3.4.5− 2.3.4+ + 2013.2014.2015− 2012.2013.2014 = 2013.2014.2015 ⇒ A= 2013.2014.2015 = 2723058910 Vậy A = 2723058910 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 56 ... +…+ ( 10 – 1) + 10 ( 11 – 1) + 11 ( 12 – 1) A = 1( – 1) + ( – 1) + ( – 1) +…+ ( 10 – 1) + 10 ( 11 – 1) + 11 ( 12 – 1) A = 1. 2 – + 2.3 – + 3 .4 – + …+ 9 .10 – + 10 .11 ? ?10 + 11 .12 – 11 A = (1. 2 +... 2 .1 1 .11 11 .2 2 .15 15 .4 7 11 11 14 14 15 15 28 B= 1 13 = − ÷= = 28 4 B=3 Vậy Bài 11 : Tính tổng A= 1 1 + + + + 10 15 21 120 Lời giải: Ta có A= 1 1 1 1 1 + + + + = + + + + + + 10 ... 42 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Nhân vế với 12 ta 12 S = 2.6 .12 + 6 .10 .12 + 10 . 14 .12 + 14 .18 .12 + + 42 .46 .12 + 50. 54 .12 = 2.6 ( 10 + ) + 6 .10 ( 14 − ) + 10 . 14 ( 18 − ) + 14 .18 ( 22 − 10 ) + + 42 .46