S6 CHUYÊN đề 4 CHỦ đề 3 các PHƯƠNG PHÁP tìm ƯCLN và BCNN

13 nên ta có với hay a n∈ N * 836 ⇒ 836 = a.n + ⇒ a.n = 828 = 18.46 (1) chia cho có số dư với 355 cho a ta số dư 13 (2) Từ (1) (2) suy a = 18 Bài 15: Một số chia cho nhiêu? số tự nhiên cần tìm dư , chia cho 17 dư 12 , chia cho 23 dư Hỏi số chia cho Lời giải: Gọi số cho A Theo ta có: A = 7a + = 17b + 12 = 23c + A + 39 = 7a + + 39 = 17b + 12 + 39 = 23c + + 39 = ( a + ) = 17 ( b + ) = 23 ( c + ) Mặt khác: Như A + 39 7,17 đồng thời chia hết cho ( 7,17, 23) = 23 ⇒ ( A + 39 ) M7.17.23 ⇒ ( A + 39 ) M2737 ⇒ A + 39 = 2737.k Nhưng ƯCLN ⇒ A = 2737k − 39 = 2737 ( k − 1) + 2698 Do 2698 < 2737 nên 2698 số dư phép chia số TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 A cho 2737 2737 dư bao CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 16: Tìm số tự nhiên lớn có chữ số, cho chia cho dư chia cho 31 Lời giải: Gọi số cần tìm Vì a chia cho a a ∈ N ,100 ≤ a ≤ 999 ( dư ) chia cho 31 dư 28 nên: 8 a − M8 a − + 8M8  a + 1M  a + + 64M a + 65M8 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  a − 28M31 a − 28 + 31M31  a + 3M31  a + + 62M31 a + 65M31 Vì Vì ( 8,31) = ⇒ ( a + 65 ) M248 ⇔ a = 248k − 65 ( k ∈ N * ) a số có chữ số lớn nên Vậy số cần tìm 927 k =4 , a = 248.4 − 65 = 927 4,6,7 Bài 17: Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số biết số chia cho dư Lời giải: Gọi số cần tìm Vì Mà a a a a ∈ N , a ≥ 100 điều kiện 4,6,7 chia cho dư nhỏ nên a −3 ⇒ ( a − 3) M4, 6, ⇒ a − = BCNN ( 4, 6, ) nhỏ ( 4, 6, ) = ⇒ BCNN ( 4, 6, ) = 4.6.7 = 168 Mà ƯCLN ⇒ a − = 168 ⇔ a = 171 Vậy số cần tìm 171 Bài 18: Tìm số tự nhiên a nhỏ cho a chia cho Lời giải: Ta có a chia cho dư a , chia cho dư TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 dư a , chia cho dư dư 28 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ⇒ ( a − 3) M5 ( a − ) M7 ⇒⇒ ( a − + 20 ) M5 ⇒ ( a + 17 ) M5 ⇒ ( a + 17 ) M7 ⇒ a + 17 Vì a ( a − + 21) M21 bội chung a + 17 = BCNN (5, 7) = 35 ⇒ a = 18 số tự nhiên nỏ nên Bài 19: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết số chia cho dư 3 , cho , cho , cho dư Lời giải: Gọi số tự nhiên cần tìm Ta có chia a cho ( a ∈ N , a > 3) a , cho , cho , cho dư ⇒ a − ∈ BC ( 3; 4;5;6 ) = { 60;120;180; 240; } Nên a 62;122;182; 242; nhận giá trị Mặt khác a ⇒ a = 122 số nhỏ chia cho (vì a = 62 62 − = 59 dư ( a − 3) tức là số nhỏ chia hết cho không chia hết cho ) PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài 1: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 84 ƯCLN Lời giải: Gọi số cần tìm ( a; b ) = a b , giả sử a < b ( a, b ∈ ¥ * ) Vì ƯCLN a + b = 84 ⇒ 6m + 6n = 84 ⇒ m + n = 14 Ta có Lập bảng: m TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 , chia cho CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ n 13 11 a 18 30 b 78 30 54 Vậy hai số cần tìm Bài 2: Tìm số tự nhiên n 78 18 ; 66 30 ; ( 3n + 14 ) biết 54 ( n + 1) chia hết cho Lời giải: ( 3n + 14 ) = ( n − 1) + Ta có ( n − 1) M( n − 1) Vì ( 3n + 14 ) M( n − 1) nên để ⇒ ( n − 1) phải ước ⇒ n − 1∈ { −7; −1;1;7} ⇒ n ∈ { −6;0; 2;8} n ∈ { 0; 2;8} n ∈ N, Mà 7M( n − 1) nên n ∈ { 0; 2;8} Vậy ( 3n + 14 ) Bài 3: Tìm số tự nhiên ( n + 1) chia hết cho n biết n + 15 n+3 số tự nhiên Lời giải: Để n + 15 n+3 ( n + 15) số tự nhiên ⇒ ( n + 15 ) − ( n + 3)  Mà n∈ N ( n + 3) chia hết cho ( n + 3) ⇔ 12 chia hết cho ( n + 3) chia hết cho ( n + 3) nên phải số tự nhiên lớn ⇒ n + ∈ { 3; 4;6;12} ⇒ n ∈ { 0;1;3;9} TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 đồng thời ước 12 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ n + 15 n+3 n ∈ { 0;1;3;9} Vậy Bài 4: Tìm số tự nhiên n số tự nhiên (n + 3n + ) M( n + 3) biết Lời giải: n + 3n + = n ( n + 3) + Ta có (n n ( n + 3) M( n + 3) , Vì + 3n + ) M( n + 3) nên để 6M( n + ) ( n + 3) n ∈ N, Mà nên phải số tự nhiên lớn ⇒ ( n + 3) ∈ { 3;6} ⇒ n ∈ { 0;3} (n n ∈ { 0;3} Vậy + 3n + ) M( n + 3) Bài 5: Tìm số tự nhiên n biết n +1 n−2 có giá trị số nguyên Lời giải: Ta có n +1 n−2 ( n + 1) M( n − ) số nguyên n + = ( n − ) + 3, Ta có ( n + 1) M( n − ) ⇒ ( n − 2) ước 3M( n − ) ⇒ ( n − ) ∈ { −3; −1;1;3} ⇒ n ∈ { −1;1;3;5} n ∈ { −1;1;3;5} Vậy n +1 n−2 có giá trị số nguyên TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 đồng thời ước CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 6: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu chúng khoảng từ 300 đến 400 84 , ƯCLN chúng 28 số Lời giải: a, b Gọi hai số tự nhiên cần tìm giả sử ( a, b ) = d ⇒ a = md ; b = nd Đặt ƯCLN m, n ∈ Z + ;UCLN ( m, n ) = 1, m > n ⇒ BCNN ( a, b ) = dmn với ( a, b ) + BCNN ( a, b ) = 23 d ( m.n + 1) = 23 ⇒ d Mà ƯCLN nên d = 1, Xét a>b ta có mn + = 23 ⇔ mn = 22 ước 23 d ∈ { 1; 23} hay ( m, n ) = với ƯCLN nên ta có trường hợp m, n sau: m = 22, n = ⇒ a = 22, b = Trường hợp 1: m = 11, n = ⇒ a = 11, b = Trường hợp 2: m = 11, n = ⇒ a = 11, b = Trường hợp 3: d = 3, Xét ta có Bài 7: Cho mn + = ⇔ mn = n ∈ N * Tìm ƯCLN (khơng thỏa mãn) 2n − 9n + Lời giải: Gọi 2n − 1Md (1) d = d = (2n − 1,9n + 4)( d ∈ N * ) ⇒  ⇒ 2(9n + 4) − 9(2n − 1) Md ⇒ 17 Md ⇒  9n + 4Md (2)  d = 17 d = 17 ⇒ (9n + 4) − 4(2n − 1) = n + 8M 17 ⇒ n = 17 + 9k ( k ∈ N ) ⇒ 9n + = 9(17 k + 9) + = 9.17 k + 85M 17 -Nếu 2n − = 2(17 k + 9) − = 2.17 k + 17 M 17 Vậy n 17k + ( k ∈ N ) có dạng UCLN ( 2n − 1;9n + ) = 17 ( + + + + n, 2n + 1) Bài 8: Tìm ƯCLN n∈ N,n ≥ với TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 23 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải:  n(n + 1) n(n + 1)Md   n(n + 1)  , 2n + 1÷ = d ⇒  ⇒    2n + 1Md 2n + 1Md Giả sử d >1 p , ước nguyên tố d  n Mp  n + 1Mp ⇒ n(n + 1)Md ⇒  ⇒ ⇒ (n + 1) − n = 1Mp ⇒ 1Mp  n + 1Mp  n Mp Bài 9: Tìm ƯCLN 9n + 24 (vô lý) ⇒ d =1 3n + Lời giải: ( 9n + 24;3n + ) = d ⇒ d ∈ N * Gọi ƯCLN Khi ta có: 9n + 24Md 9n + 24Md ⇒ ⇒ ( 9n + 24 ) − ( 9n + 12 ) = d ⇒ 12Md  3n + 4Md 9n + 12Md ⇒ d ∈U ( 12 ) = { ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12} ( 3n + ) Md , Do mà 3n + không chia hết cho d = 3;6;13 , nên d ∈ { 1; 2; 4} Do - Để - Để - Để d =2 d =4 d =1 thì n n n phải chẵn phải chia hết cho số lẻ n = 4k + ( k ∈ N ) Vậy ( 9n + 24;3n + ) = ƯCLN n = 4k ( k ∈ N ) ( 9n + 24;3n + ) = ƯCLN TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 24 (loại) CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ n = 2k + ( k ∈ N ) ( 9n + 24;3n + ) = ƯCLN ( a, b ) = 95 Bài 10: Biết ( a + b, a − b ) Tìm Lời giải: ( a + b, a − b ) = d ⇒ d ∈ N * Gọi ƯCLN a + b Md ⇒ 2bMd ⇒ d ∈U ( )  a − b Md a + b Md ⇒ 2a Md ⇒  a − b Md d ∈U ( ) ( a, b ) = 95, mà ƯCLN d ∈U ( b ) nên d = 95 ( a + b, a − b ) = Vậy ƯCLN d ∈U ( a ) hoặc d =2 d = 95 Bài 11: Học sinh khối xếp hàng; xếp hàng xếp hàng 11 10 vừa đủ Biết số học sinh khối chưa đến , hàng 400 Lời giải: Gọi số học sinh khối Vì xếp hàng 10 a ( < a < 400 ) , hàng 12 , hàng 15 dư học sinh 10;12;15 ⇒ a − 3M ⇒ a − ∈ BC (10,12,15) BCNN ( 10;12;15 ) = 60 Ta có: ⇒ a − ∈ { 60;120;180; 240;300;360; 420; } TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 25 12 , hàng 15 dư học sinh Nhưng học sinh Tính số học sinh khối 6? CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ⇒ a ∈ { 63;123;183; 243;303;363; 423; } aM 11; a < 400 ⇒ a = 363 mà 363 Vậy số học sinh khối học sinh 65kg Bài 12: Một người bán năm giỏ xoài cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là: 58kg 72kg 71kg ; ; 93kg ; ; Sau bán giỏ cam số lượng xồi cịn lại gấp ba lần số lượng cam lại Hãy cho biết giỏ đựng cam, giỏ đựng xoài? Lời giải: 65 + 71 + 58 + 72 + 93 = 359 ( kg ) Tổng số xồi cam lúc đầu: Vì số xồi lại gấp ba lần số cam lại nên tổng số xồi cam cịn lại số chia hết cho chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho 65;71;58;72;93 Trong số có 71 chia cho dư dư , mà 359 71kg Vậy giỏ cam bán giỏ 359 − 71 = 288 ( kg ) Số xồi cam cịn lại: 288 : = 72 ( kg ) Số cam lại: 71kg Vậy: giỏ cam giỏ đựng 72kg ; 65kg ;58kg ;93kg Các giỏ xoài giỏ đựng 26kg Bài 13: Hai lớp 6A; 6B thu nhặt số giấy vụn Lớp 6A có bạn thu 25kg 11kg bạn thu Lớp 6B có bạn thu 10kg lại bạn thu 200kg lớp biết số giấy lớp thu khoảng TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 26 cịn lại 300kg đến Tính số học sinh CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: x ( kg ) ⇒ ( x − 26 ) M 11 Gọi số giấy lớp thu ( x − 15) ∈ BC ( 10;11) Do ( x − 25) M10 200 < x < 300 ⇒ x − 15 = 220 ⇒ x = 235 ( 266 − 26 ) :11 + = 20 Số học sinh lớp 6A là: (học sinh) ( 235 − 25) :10 + = 22 Số học sinh lớp 6B là: (học sinh) Bài 14: Số học sinh khối trường chưa đến xếp hàng 11 400 10;12;15 bạn, biết xếp hàng dư khơng dư Tính số học sinh khối trường Lời giải: Gọi số học sinh a ( a ∈ N* ) 10;12;15 Vì số học sinh xếp hàng Mà dư ⇒ a − ∈ BC ( 10;12;15 ) BCNN ( 10;12;15 ) = 60 ⇒ a − = 60k ( k ∈ N * ) ⇒ a = 6kk + Ta có bảng sau: k a 63 123 183 243 303 363 423 Vì số học sinh chưa đến 400 Trong giá trị trên, có Vậy số học sinh cần tìm bạn xếp hàng a = 363 363 11 khơng dư nên thỏa mãn tốn học sinh TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 27 a < 400 aM 11 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 15: Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 15 người Nếu xếp hàng 41 20 người, 25 người, 30 người thừa người vừa đủ (khơng có hàng thiếu, khơng có ngồi hàng) Hỏi đơn vị có người, biết số người đơn vị chưa đến 1000 ? Lời giải: Gọi số người đơn vị đội Ta có a : 25 a : 30 a : 20 x ( x ∈ N * ; 41 < x < 100 ) 15 ⇒ ( x − 15 ) M20 dư 15 ⇒ ( x − 15 ) M25 dư 15 ⇒ ( x − 15 ) M30 dư ⇒ ( x − 15 ) ∈ BC ( 20, 25,35 ) 20 = 22.5; 25 = 52 ;30 = 2.3.5 ⇒ BCNN ( 20, 25,30 ) = 22.52.3 = 300 Ta có ⇒ BC ( 20, 25,35 ) = 300k ( k ∈ N ) ⇒ x − 15 = 300k ⇔ x = 300k + 15 Mà x < 1000 k ∈ { 1; 2;3} , nên xét Vì số đội xếp hàng Vậy đơn vị đội có m, n 615 x ∈ { 315;615;915} 41 xM41, người vừa đủ tức là: có x = 615 thỏa mãn toán người A Bài 16: Cho hai số tự nhiên Gọi tập hợp ước chung 11m + 5n m + 4n A = B chung Chứng minh Lời giải: d = ¦ CLN ( 11m + 5n,9m + 4n ) ⇒ d ∈ N * Gọi TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 28 m n B tập hợp ước số CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Khi ta có: 9 ( 11m + 5n ) Md 11m + 5n Md 99m + 45n Md ⇒ ⇒ ⇒ n Md  9m + 4n Md 99m + 44n Md 11( 9m + 4n ) Md Tương tự ta có: ( 1) Từ Mà 11m + 5n Md 44m + 20nMd 4 ( 11m + 5n ) Md ⇒ ⇒ ⇒ mMd  9m + 4n Md 45m + 20 nMd 5 ( 9m + 4n ) Md ( 2) d ∈ ¦ C( m; n) ⇒ d ∈ A ⇒ B ⊂ A ta có: A⊂ B Suy A=B HẾT TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 29 ( 1) ( 2) ... 2.2 { + 2.2 14 0 14 43 2015 2008 7 chu so.2 Ta có 2.2 { M2.2 14 0 14 43 → ( A, B) = (2.2 2, 14 43 2.2 2) 14 2008 8 Vì 2.2 14 43 = 2.2 14 43 + → (2.2 2, 14 43 2.2 2) 14 43 = (2.2 14 43 , 2) = ⇒... 1575 = 34 3 .4 + 2 03 34 3 = 2 03. 1 + 140 2 03 = 140 .1 + 63 140 = 63. 2 + 14 63 = 14. 4 + TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 14 = 7.2 + (chia hết) ( 1575, 34 3 ) =... 8: Tìm ƯCLN, BCNN số sau 7 930 16 ,30 8 ,31 36 a) 132 3,19 845 ,1287 ,31 5 b) Lời giải: a) Ta có: ⇒ 7 930 16 = 23. 73. 17 30 8 = 22.7.11 31 36 = 26.7 ; ; ( 7 930 16 ,30 8 ,31 36 ) = 22.7 = 28; BCNN = 26. 73. 11 = 17 ƯCLN