một dạng toán về ưcln và bcnn một dạng toán về ưcln và bcnn trong chương trình số học lớp 6 sau khi học các khái niệm ước chung lớn nhất ưcln và bội chung nhỏ nhất bcnn các bạn sẽ gặp dạng toán

Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay. Đa số các tài liệu về dạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng dư, một khái niệm trừu tượng và không có trong chương trình. Vì t[r]

MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN

Trong chương trình số học lớp 6, sau học khái niệm ước chung lớn (ƯCLN) bội chung nhỏ (BCNN), bạn gặp dạng tốn tìm hai số ngun dương biết số yếu tố có kiện ƯCLN BCNN

Phương pháp chung để giải :

1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với yếu tố cho để tìm hai số

2/ Trong số trường hợp, sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN tích hai số nguyên dương a, b, : ab = (a, b).[a, b], (a, b) ƯCLN [a, b] BCNN a b Việc chứng minh hệ thức khơng khó :

Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = (*)

Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab => ab = (a, b).[a, b] (**)

Chúng ta xét số ví dụ minh họa.

Bài tốn : Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 (a, b) = 16 Lời giải : Do vai trò a, b nhau, khơng tính tổng qt, giả sử a ≤ b

Từ (*), (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) =

Theo định nghĩa BCNN :

[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15

=> m = , n = 15 m = 3, n = => a = 16, b = 240 a = 48, b = 80

Chú ý : Ta áp dụng cơng thức (**) để giải toán : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suyy mn = 15

Bài tốn : Tìm hai số ngun dương a, b biết ab = 216 (a, b) = Lời giải : Lập luận 1, giả sử a ≤ b

Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n

Vì : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = tương đương m = 1, n = m = 2, n = tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc a = 12, b = 18

Bài tốn : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60 Lời giải :

Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 =

Tìm (a, b) = 3, toán đưa dạng toán Kết : a = 3, b = 60 a = 12, b = 15

Chú ý : Ta tính (a, b) cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) =

Bài tốn : Tìm hai số ngun dương a, b biết a/b = 2,6 (a, b) =

Lời giải : Theo (*), (a, b) = => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) =

Vì : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 n = hay a = 65 b = 25

Chú ý : phân số tương ứng với 2,6 phải chọn phân số tối giản (m, n) = Bài tốn :

Tìm a, b biết a/b = 4/5 [a, b] = 140

Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = => a = 28 ; b = 35

Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 (a, b) = 16 Lời giải : Lập luận 1, giả sử a ≤ b

Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n

Vì : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n =

Tương đương với m = 1, n = m = 3, n = hay a = 16, b = 112 a = 48, b = 80 Bài tốn : Tìm a, b biết a + b = 42 [a, b] = 72

Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Khơng tính tổng qt, giả sử a ≤ b => m ≤ n

Do : a + b = d(m + n) = 42 (1) [a, b] = mnd = 72 (2)

=> d ước chung 42 72 => d thuộc {1 ; ; ; 6}

Lần lượt thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n ta thấy có trường hợp d = => m + n = mn = 12 => m = n = (thỏa mãn điều kiện m, n) Vậy d = a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24

Bài toán : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140

Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Do : a - b = d(m - n) = (1’)

[a, b] = mnd = 140 (2’)

=> d ước chung 140 => d thuộc {1 ; 7}

Thay giá trị d vào (1’) (2’) để tính m, n ta kết : d = => m - n = mn = 20 => m = 5, n =

Vậy d = a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 Bài tập tự giải :

1/ Tìm hai số a, b biết 7a = 11b (a, b) = 45

2/ Tìm hai số biết tổng chúng 448, ƯCLN chúng 16 chúng có chữ số hàng đơn vị giống

3/ Cho hai số tự nhiên a b Tìm tất số tự nhiên c cho ba số, tích hai số ln chia hết cho số cịn lại

CHỨNG MINH MỘT SỐ KHƠNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Trong chương trình Tốn lớp 6, em học toán liên quan tới phép chia hết số tự nhiên cho số tự nhiên khác đặc biệt giới thiệu số phương, số tự nhiên bình phương số tự nhiên (chẳng hạn : ; ; ; ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …)

Kết hợp kiến thức trên, em giải tốn : Chứng minh số khơng phải số phương Đây cách củng cố kiến thức mà em học Những tốn làm tăng thêm lịng say mê mơn tốn cho em

Vì số phương bình phương số tự nhiên nên thấy số phương phải có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; Từ em giải toán kiểu sau :

Bài toán : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 khơng phải số phương

Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 lần lượt ; ; ; Do số n có chữ số tận nên n khơng phải số phương

Chú ý : Nhiều số cho có chữ số tận số ; ; ; ; ; khơng phải số phương Khi bạn phải lưu ý thêm chút : Nếu số phương chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2

Bài tốn : Chứng minh số 1234567890 khơng phải số phương

Lời giải : Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0) không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 khơng phải số phương

Chú ý : Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), khơng chia hết cho (vì hai chữ số tận 90) nên 1234567890 khơng số phương Bài toán : Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số khơng phải số phương

Lời giải : Ta thấy tổng chữ số số 2004 nên 2004 chia hết cho mà khơng chia hết nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà không chia hết cho 9, số khơng phải số phương

2 Dùng tính chất số dư

Chẳng hạn em gặp toán sau :

Bài toán : Chứng minh số có tổng chữ số 2006 khơng phải số phương

Chắc chắn em dễ bị “choáng” Vậy toán ta phải nghĩ tới điều ? Vì cho giả thiết tổng chữ số nên chắn em phải nghĩ tới phép chia cho cho Nhưng lại khơng gặp điều “kì diệu” tốn Thế ta nói điều số ? Chắc chắn số chia cho phải dư Từ ta có lời giải

Lời giải : Vì số phương chia cho có số dư mà (coi tập để em tự chứng minh !) Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho dư Chứng tỏ số cho số phương

Tương tự em tự giải toán :

Bài toán : Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 số phương

Bài tốn : Chứng minh số :

n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 khơng số phương

Bây em theo dõi toán sau để nghĩ tới “tình huống” Bài tốn : Chứng minh số :

n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 khơng số phương

chia cho cho số dư ? Các em tự chứng minh kết : số dư Như em giải xong tốn 3 “Kẹp” số hai số phương “liên tiếp”

Các em thấy : Nếu n số tự nhiên số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 k khơng số phương Từ em xét tốn sau :

Bài toán : Chứng minh số 4014025 khơng số phương

Nhận xét : Số có hai chữ số tận 25, chia cho dư 1, chia cho dư Thế tất cách làm trước khơng vận dụng Các em thấy lời giải theo hướng khác

Lời giải : Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042 Chứng tỏ 4014025 không số phương

Bài tốn : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khơng số phương với số tự nhiên n khác

Nhận xét : Đối với em làm quen với dạng biểu thức nhận A + số phương (đây tốn quen thuộc với lớp 8) Các em lớp 6, lớp chịu khó đọc lời giải

Lời giải : Ta có : A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2

Mặt khác :

(n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A

Điều hiển nhiên n ≥ Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2 => A khơng số phương

Các em rèn luyện cách thử giải toán sau :

Bài tốn 10 : Hãy tìm số tự nhiên n cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n số phương Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2

Bài toán 11 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 khơng số phương Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho phép chia cho

Bài tốn 12 : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, mảnh bìa ghi số số từ đến 1001 cho khơng có hai mảnh ghi số giống Chứng minh : Không thể ghép tất mảnh bìa liền để số phương Bài tốn 13 : Chứng minh : Tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương

Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho

Bài toán 14 : Chứng minh số 333333 + 555555 + 777777 khơng số phương Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … chục (?)

Bài tốn 15 : Lúc đầu có hai mảnh bìa, cậu bé tinh nghịch cầm mảnh bìa lên lại xé làm bốn mảnh Cậu ta mong làm đến lúc số mảnh bìa số phương Cậu ta có thực mong muốn khơng ? Để kết thúc viết này, tơi muốn chúc em học thật giỏi mơn tốn từ đầu bậc THCS cho tơi nói riêng với quý thầy cô : nguyên tắc chung để chứng minh số tự nhiên khơng số phương, dựa vào điều kiện cần để số số phương (mà quý thầy cô biết : điều kiện cần đời dùng để … phủ định !) Từ q thầy sáng tạo thêm nhiều toán thú vị khác

CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Các bạn giới thiệu phương pháp chứng minh số khơng phải số phương TTT2 số Bài viết này, muốn giới thiệu với bạn toán chứng minh số số phương

Phương pháp : Dựa vào định nghĩa

Ta biết rằng, số phương bình phương số tự nhiên Dựa vào định nghĩa này, ta định hướng giải toán

Bài toán : Chứng minh : Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương Lời giải : Ta có :

an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2

Với n số tự nhiên n2 + 3n + số tự nhiên, theo định nghĩa, an số phương

Bài toán : Chứng minh số : số phương

Vậy : số phương Phương pháp : Dựa vào tính chất đặc biệt

Ta chứng minh tính chất đặc biệt : “Nếu a, b hai số tự nhiên nguyên tố a.b số phương a b số phương”

Bài tốn : Chứng minh : Nếu m, n số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n m - n 4m + 4n + số phương

Lời giải :

Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n

tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2 (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)

Gọi d ước chung lớn m - n 4m + 4n + (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + chí hết cho d

Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d

Từ 8m + chia hết cho d m chia hết cho d ta có chia hết cho d => d = Vậy m - n 4m + 4n + số tự nhiên nguyên tố nhau, thỏa mãn (*) nên chúng số phương Cuối xin gửi tới bạn số toán thú vị số phương :

1) Chứng minh số sau số phương :

2) Cho số nguyên dương a, b, c đôi nguyên tố nhau, thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/c Hãy cho biết a + b có số phương hay khơng ?

3) Chứng minh rằng, với số tự nhiên n 3n + khơng số phương 4) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 số phương.

5) Chứng minh : Nếu : n hai số tự nhiên a số phương

NGUN LÍ ĐI - RÍCH - LÊ

Nguyên lí Đi-rích-lê phát biểu sau : “Nếu có m vật đặt vào n ngăn kéo m > n có ngăn kéo chứa hai vật”

Nguyên lí Đi-rích-lê giúp ta chứng minh tồn “ngăn kéo” chứa hai vật mà khơng “ngăn kéo” Các bạn làm quen việc vận dụng ngun lí qua tốn sau

Bài toán :

Chứng minh 11 số tự nhiên tồn số có hiệu chia hết cho 10

Với 11 số tự nhiên chia cho 10 ta 11 số dư, mà số tự nhiên chia cho 10 có 10 khả dư ; ; ; ; ;

Vì có 11 số dư mà có 10 khả dư, theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn số chia cho 10 có số dư hiệu chúng chia hết cho 10 (đpcm)

Bài toán :

Chứng minh tồn số có dạng 19941994 199400 chia hết cho 1995 Lời giải :

Xét 1995 số có dạng : 1994 ; 19941994 ; ;

Nếu số chia hết cho 1995 dễ dàng có đpcm

Nếu số khơng chia hết cho 1995 chia số cho 1995 có 1994 khả dư ; ; ; ; 1994

Vì có 1995 số dư mà có 1994 khả dư, theo ngun lí Đi-rích-lê tồn số chia cho 1995 có số dư, hiệu chúng chia hết cho 1995 Giả sử hai số :

Khi : = 1994 199400 chia hết cho 1995 (đpcm) Bài toán :

Chứng minh tồn số tự nhiên k cho (1999^k - 1) chia hết cho104 Lời giải :

Xét 104 + số có dạng :

19991 ; 19992 ; ; 1999104 + Lập luận tương tự toán ta : (1999m - 1999n) chia hết cho 104 (m > n) hay 1999n (1999m-n - 1) chia hết cho 104

Vì 1999n 104 nguyên tố nhau, (1999m-n - 1) chia hết cho 104 Đặt m - n = k => 1999^k - chia hết cho 104 (đpcm)

Bài toán :

Chứng minh tồn số viết hai chữ số chia hết cho 2003 Lời giải :

Xét 2004 số có dạng ; 11 ; 111 ; ; Lập luận tương tự toán ta : hay 11 100 chia hết cho 2003 (đpcm)

Một số toán tự giải :

Bài toán :

Chứng minh số nguyên tố p ta tìm số viết hai chữ số chia hết cho p

Bài toán :

Chứng minh số tự nhiên không chia hết cho tồn bội có dạng : 111

Bài toán :

Chứng minh tồn số có dạng 1997k (k thuộc N) có tận 0001 Bài tốn :

Chứng minh số nguyên m n nguyên tố tìm số tự nhiên k cho mk - chia hết cho n

SUY NGHĨ TRÊN MỖI BÀI TỐN

Giải hàng trăm tốn mà cốt tìm đáp số dừng lại kiến thức thu lượm chẳng bao Cịn giải tập mà lại ln suy nghĩ đó, tìm thêm cách giải, khai thác thêm ý tốn, đường tốt để lên học toán Dưới thí dụ

Bài tốn : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 B = A.3 Tính giá trị B

Lời giải : Theo đề ta có :

B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 Trước hết, ta nghĩ rằng, tốn u cầu tính tổng A, ta có : A = B/3 = 330 Bây giờ, ta tạm thời quên đáp số 990 mà ý tới tích cuối 9.10.11, 9.10 số hạng cuối A 11 số tự nhiên kề sau 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp Ta dễ dàng nghĩ tới kết sau :

Nếu A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n - 1).n giá trị B = A.3 = (n - 1).n.(n + 1) Các bạn tự kiểm nghiệm kết cách giải tương tự

Bây ta tìm lời giải khác cho toán Lời giải :

B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6

Ta chưa biết cách tính tổng bình phương số lẻ liên tiếp 1, liên hệ với lời giải 1, ta có :

(12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay (12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6

Hồn tồn hợp lí ta nghĩ đến toán tổng quát : Bài toán : Tính tổng :

P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 Kết : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6

Kết chứng minh theo cách khác, ta xem xét sau Loạt toán sau kết liên quan đến toán toán Bài toán : Tính tổng :

Q = 112 + 132 + 152 + … + (2n + 1)2

Bài toán : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 C = A + 10.11 Tính giá trị C Theo cách tính A tốn 1, ta kết : C = 10.11.12/3

Theo lời giải toán 1, ta đến kết : C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102) Tình cờ, ta lại có kết tốn tổng qt : tính tổng bình phương số tự nhiên chẵn liên tiếp,

22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6

Từ đây, ta tiếp tục đề xuất giải toán khác Bài toán :

Tính tổng : 202 + 222 + … + 482 + 502 Bài toán : Cho n thuộc N* Tính tổng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … + (n + 100)2

Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn n lẻ ; áp dụng kết toán 2, toán cách giải tốn

Bài tốn có kết nhất, khơng phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n Bài toán : Chứng minh :

12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(n + 2)/6 Lời giải :

Xét trường hợp n chẵn :

12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + (n - 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2) = [(n - 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6

= n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có đpcm Lời giải : Ta có :

13 = 13

23 = (1 + 1)3 = 13 + 3.12.1 + 3.1.12 + 13 33 = (2 + )3 = 23 + 3.22.1 + 3.2.12 + 13 ……… (n + 1)3 = n3 + 3.n2.1 + 3.n.12 + 13

Cộng vế đẳng thức :

13 + 23 + 33 + … + n3 + (n + 1)3 = = (13 + 23 + 33 + … + n3) + 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1)

=> (n + 1)3 = 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => 3(12 + 22 + 32 + … + n2) = (n + 1)3 - 3(1 + + + … + n) - (n + 1) = (n + 1)2.(n + 1) - 3.n.(n + 1)/2 - (n + 1)

= (n + 1)[2(n + 1)2 - 3n + 2]/2 = (n + 1).n.(2n + 1)/2

=> 12 + 22 + 32 + … + n2 = (n + 1).n.(2n + 1)/6 Bài tốn : Tính giá trị biểu thức :

A = - 12 + 22 - 32 + 42 - … - 192 + 202

Lời giải : Đương nhiên, ta tách A = (22 + 42 + … + 202) - (12 + 32 + …+ 192) ; tính tổng số ngoặc đơn tìm kết tốn Song ta cịn có cách giải khác sau :

A = (22 -12) + (42 - 32) + … + (202 -192) = (2 + 1)(2 - 1) + (4 + 3)(4 - 3) + … + (20 + 19) (20 - 19) = + + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = (3 + 39).10/2 = 210

Trở lại toán Phải tốn cho B = A.3 số tự nhiên liền sau nhóm : 1.2 Nếu ta giải tốn sau :

Bài tốn 10 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời giải :

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 - 0) + 2.3.4.(5 - 1) + … + 8.9.10 (11 - 7)] : = (1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 - 7.8.9.10 + 8.9.10.11) : = 8.9.10.11/4 = 1980

Bài tốn 11 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n - 1).n.(n + 1).

Đáp số : A = (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 <DD.BàI

Các bạn thấy ! Chỉ với toán 1, chịu khó tìm tịi, suy nghĩ, ta tìm nhiều cách giải, đề xuất toán thú vị, thiết lập mối liên hệ tốn

Kết tất yếu q trình tìm tịi suy nghĩ tốn, làm tăng lực giải toán bạn

Chắc chắn cịn nhiều điều thú vị xung quanh tốn Các bạn tiếp tục suy nghĩ

NGUN LÍ ĐI-RÍCH-LÊ

& NHỮNG BÀI TỐN HÌNH HỌC THÚ VỊ

Tạp chí Tốn Tuổi thơ số 12 đề cập đến toán số học vận dụng nguyên lí Đi-rích-lê để giải

Ngun lí mở rộng sau : Nếu có m vật đặt vào n ngăn kéo m > k.n có ngăn kéo chứa k + vật Với mở rộng này, ta cịn giải thêm nhiều toán khác

Sau xin giới thiệu để bạn đọc làm quen việc vận dụng nguyên lí Đi-rích-lê với số tốn hình học

Bài tốn : Trong tam giác có cạnh (đơn vị độ dài, hiểu đến cuối viết) lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm có hai điểm mà khoảng cách chúng không vượt

Lời giải : Chia tam giác có cạnh thành 16 tam giác có cạnh (hình 1) Vì 17 > 16, theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn tam giác cạnh có chứa điểm số 17 điểm cho Khoảng cách hai điểm ln khơng vượt q (đpcm)

Bài tốn : Trong hình vng cạnh 7, lấy 51 điểm Chứng minh có điểm 51 điểm cho nằm hình trịn có bán kính

Vì 51 điểm cho thuộc 25 hình vng nhỏ, mà 51 > 2.25 nên theo nguyên lí Đi-rích-lê, có hình vng nhỏ chứa điểm (3 = + 1) số 51 điểm cho Hình vng cạnh có bán kính đường trịn ngoại tiếp :

Vậy tốn chứng minh Hình trịn hình trịn bán kính 1, chứa hình vng ta

Bài toán : Trong mặt phẳng cho 2003 điểm cho điểm có điểm cách khoảng không vượt Chứng minh : tồn hình trịn bán kính chứa 1002 điểm

Lời giải : Lấy điểm A 2003 điểm cho, vẽ đường trịn C1 tâm A bán kính

+ Nếu tất điểm nằm hình trịn C1 hiển nhiên có đpcm

+ Nếu tồn điểm B mà khoảng cách A B lớn ta vẽ đường trịn C2 tâm B bán kính

Khi đó, xét điểm C số 2001 điểm cịn lại Xét điểm A, B, C, AB > nên theo giả thiết ta có AC ≤ BC ≤ Nói cách khác, điểm C phải thuộc C1 C2 => 2001 điểm khác B A phải nằm C1 C2 Theo nguyên lí Đi-rích-lê ta có hình trịn chứa 1001 điểm Tính thêm tâm hình trịn hình trịn hình trịn bán kính chứa 1002 điểm 2003 điểm cho Bài tốn : Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng cho đường thẳng chia ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích 1/3 Chứng minh rằng, 17 đường thẳng có đường thẳng đồng quy

Lời giải : Gọi M, Q, N, P trung điểm AB, BC, CD, DA (hình 3).

Vì ABCD hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD

S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 LQ / LP = 1/3

Trên PQ lấy hai điểm L1, L2 thỏa mãn điều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 L trùng với L1 L trùng với L2 Nghĩa d cắt AB CD d phải qua L1 L2 Tương tự, MN lấy hai điểm K1, K2 thỏa mãn điều kiện K1M / K1N = K2N / K2M = 1/3 d cắt AD BC d phải qua K1 K2

Tóm lại, đường thẳng số 17 đường thẳng cho phải qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2

Vì 17 > 4.4 nên theo nguyên lí Đi-rích-lê, 17 đường thẳng có đường thẳng (5 = + 1) qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 đường thẳng đồng quy, đpcm)

Sau số tập tương tự.

Bài : Trong hình chữ nhật có kích thước x 5, lấy điểm Chứng minh có hai điểm cách khoảng không vượt

Bài : Trong mặt phẳng tọa độ, cho ngũ giác lồi có tất đỉnh điểm nguyên (có hồnh độ tung độ số ngun) Chứng minh cạnh bên ngũ giác cịn điểm ngun khác

Bài : Tờ giấy hình vng có cạnh bé để cắt hình trịn có bán kính

Bài : Trên tờ giấy kẻ ô vuông, chọn 101 Chứng minh 101 có 26 khơng có điểm chung

TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG

Tìm chữ số tận số tự nhiên dạng toán hay Đa số tài liệu dạng toán sử dụng khái niệm đồng dư, khái niệm trừu tượng khơng có chương trình Vì có khơng học sinh, đặc biệt bạn lớp lớp khó hiểu tiếp thu

Qua viết này, xin trình bày với bạn số tính chất phương pháp giải tốn “tìm chữ số tận cùng”, sử dụng kiến thức THCS

Chúng ta xuất phát từ tính chất sau : Tính chất :

a) Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận cùng khơng thay đổi

b) Các số có chữ số tận 4, nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận khơng thay đổi

c) Các số có chữ số tận 3, 7, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận

d) Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận 6.

- Nếu chữ số tận a 3, 7, 9, am = a4n + r = a4n.ar với r = 0, 1, 2, nên từ tính chất 1c => chữ số tận x chữ số tận ar

- Nếu chữ số tận a 2, 4, 8, trường hợp trên, từ tính chất 1d => chữ số tận x chữ số tận 6.ar

Bài toán : Tìm chữ số tận số : a) 799 b) 141414 c) 4567

Lời giải :

a) Trước hết, ta tìm số dư phép chia 99 cho : 99 - = (9 - 1)(98 + 97 + … + + 1) chia hết cho => 99 = 4k + (k thuộc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7

Do 74k có chữ số tận (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận 7.

b) Dễ thấy 1414 = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d 141414 = 144k có chữ số tận

c) Ta có 567 - chia hết cho => 567 = 4k + (k thuộc N)

=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận nên 4567 có chữ số tận

Tính chất sau => từ tính chất

Tính chất : Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận khơng thay đổi.

Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng

Bài tốn : Tìm chữ số tận tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009 Lời giải :

Nhận xét : Mọi lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, …, 2004})

Theo tính chất 2, lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng :

(2 + + … + 9) + 199.(1 + + … + 9) + + + + = 200(1 + + … + 9) + = 9009 Vậy chữ số tận tổng S

Từ tính chất tiếp tục => tính chất Tính chất :

a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận 7 ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận 8 ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n + không thay đổi chữ số tận

Bài tốn : Tìm chữ số tận tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011 Lời giải :

Nhận xét : Mọi lũy thừa T có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004})

Theo tính chất 23 có chữ số tận ; 37 có chữ số tận ; 411 có chữ số tận ; …

Vậy chữ số tận tổng T

* Trong số toán khác, việc tìm chữ số tận dẫn đến lời giải độc đáo Bài toán : Tồn hay không số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 Lời giải : 19952000 tận chữ số nên chia hết cho Vì vậy, ta đặt vấn đề liệu n2 + n + có chia hết cho khơng ?

Ta có n2 + n = n(n + 1), tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận n2 + n ; ; => n2 + n + tận ; ; => n2 + n + không chia hết cho

Vậy không tồn số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000

Sử dụng tính chất “một số phương tận chữ số ; ; ; ; 6 ; 9”, ta giải tốn sau :

Bài toán : Chứng minh tổng sau khơng thể số phương : a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn)

b) N = 20042004k + 2003

Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn tận chữ số ; ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải toán :

Bài toán : Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh : p8n +3.p4n - chia hết cho

* Các bạn giải tập sau : Bài : Tìm số dư phép chia : a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho Bài : Tìm chữ số tận X, Y : X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010

Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016

Bài : Chứng minh chữ số tận hai tổng sau giống : U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013

V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015

Bài : Chứng minh không tồn số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : 19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004

* Các bạn thử nghiên cứu tính chất phương pháp tìm nhiều chữ số tận số tự nhiên, tiếp tục trao đổi vấn đề

TÌM CÁC CHỮ SỐ

Tiếp theo TTT2 số 15, xin tiếp tục trao đổi với bạn đọc tốn tìm hai chữ số tận ; tìm ba chữ số tận số tự nhiên * Tìm hai chữ số tận

Nhận xét : Nếu x Є N x = 100k + y, k ; y Є N hai chữ số tận x hai chữ số tận y

Hiển nhiên y ≤ x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận số tự nhiên y (nhỏ hơn)

Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x = am sau :

Trường hợp : Nếu a chẵn x = am 2∶ m Gọi n số tự nhiên cho an - 1 25 ∶ Viết m = pn + q (p ; q Є N), q số nhỏ để aq ta có :∶

x = am = aq(apn - 1) + aq

Vì an - 1 25 => a∶ pn - 25 Mặt khác, (4, 25) = nên a∶ q(apn - 1) 100 ∶

Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận aq Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận aq

Trường hợp : Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an - 1 100 ∶ Viết m = un + v (u ; v Є N, ≤ v < n) ta có :

x = am = av(aun - 1) + av

Vì an - 100 => a∶ un - 100 ∶

Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận av Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận av

Trong hai trường hợp trên, chìa khóa để giải tốn phải tìm số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ số tận aq av

Bài tốn :

Tìm hai chữ số tận số : a) a2003 b) 799

Lời giải : a) Do 22003 số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ cho 2n - 25 ∶

Ta có 210 = 1024 => 210 + = 1025 25 => 2∶ 20 - = (210 + 1)(210 - 1) 25 => 2∶ 3(220 - 1) ∶ 100 Mặt khác :

22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + (k Є N) Vậy hai chữ số tận 22003 08

b) Do 799 số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé cho 7n - 100 ∶ Ta có 74 = 2401 => 74 - 100 ∶

Mặt khác : 99 - => 9∶ 9 = 4k + (k Є N)

Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + = 100q + (q Є N) tận hai chữ số 07 Bài toán :

Tìm số dư phép chia 3517 cho 25

Lời giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận 3517 Do số lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ cho 3n - 100 ∶

Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 50 => 3∶ 20 - = (310 + 1) (310 - 1) 100 ∶ Mặt khác : 516 - => 5(5∶ 16 - 1) 20 ∶

=> 517 = 5(516 - 1) + = 20k + =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận 43

Vậy số dư phép chia 3517 cho 25 18

Trong trường hợp số cho chia hết cho ta tìm theo cách gián tiếp Trước tiên, ta tìm số dư phép chia số cho 25, từ suy khả hai chữ số tận Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho để chọn giá trị Các thí dụ cho thấy rằng, a = a = n = 20 ; a = n = Một câu hỏi đặt : Nếu a n nhỏ ? Ta có tính chất sau (bạn đọc tự chứng minh)

Bài toán : Tìm hai chữ số tận tổng : a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002

b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003 Lời giải :

a) Dễ thấy, a chẵn a2 chia hết cho ; a lẻ a100 - chia hết cho ; a chia hết cho a2 chia hết cho 25

Mặt khác, từ tính chất ta suy với a Є N (a, 5) = ta có a100 - 25 ∶ Vậy với a Є N ta có a2(a100 - 1) 100 ∶

Do S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + + 20042

Vì hai chữ số tận tổng S1 hai chữ số tận tổng 12 + 22 + 32 + + 20042 áp dụng công thức :

12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6

=>12 + 22 + + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận 30 Vậy hai chữ số tận tổng S1 30

b) Hoàn toàn tương tự câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 + 20043 Vì thế, hai chữ số tận tổng S2 hai chữ số tận 13 + 23 + 33 + + 20043

áp dụng công thức :

=> 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận 00 Vậy hai chữ số tận tổng S2 00

Trở lại tốn (TTT2 số 15), ta thấy sử dụng việc tìm chữ số tận để nhận biết số khơng phải số phương Ta nhận biết điều thơng qua việc tìm hai chữ số tận

Ta có tính chất sau (bạn đọc tự chứng minh)

Tính chất : Số tự nhiên A khơng phải số phương : + A có chữ số tận 2, 3, 7, ;

+ A có chữ số tận mà chữ số hàng chục chữ số chẵn ; + A có chữ số hàng đơn vị khác mà chữ số hàng chục lẻ ; + A có chữ số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục khác ; + A có hai chữ số tận lẻ

Bài toán 10 : Cho n Є N n - không chia hết cho Chứng minh 7n + khơng thể số phương

Lời giải : Do n - không chia hết n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}) Ta có 74 - = 2400 100 Ta viết

∶ n + = 74k + r + = 7r(74k - 1) + 7r +

Vậy hai chữ số tận 7n + hai chữ số tận 7r + (r = 0, 2, 3) nên 03, 51, 45 Theo tính chất rõ ràng 7n + khơng thể số phương n khơng chia hết cho

(tiếp theo kì trước)

* Tìm ba chữ số tận

Nhận xét : Tương tự trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 1000

Nếu x = 1000k + y, k ; y Є N ba chữ số tận x ba chữ số tận y (y ≤ x)

Do 1000 = x 125 mà (8, 125) = nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận số tự nhiên x = am sau :

Trường hợp : Nếu a chẵn x = am chia hết cho 2m Gọi n số tự nhiên cho an - chia hết cho 125

Viết m = pn + q (p ; q Є N), q số nhỏ để aq chia hết cho ta có : x = am = aq(apn - 1) + aq

Vì an - chia hết cho 125 => apn - chia hết cho 125 Mặt khác, (8, 125) = nên aq(apn - 1) chia hết cho 1000

Vậy ba chữ số tận am ba chữ số tận aq Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận aq

Trường hợp : Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an - chia hết cho 1000 Viết m = un + v (u ; v Є N, ≤ v < n) ta có :

x = am = av(aun - 1) + av

Vì an - chia hết cho 1000 => aun - chia hết cho 1000

Vậy ba chữ số tận am ba chữ số tận av Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận av

Tính chất sau suy từ tính chất Tính chất :

Nếu a Є N (a, 5) = a100 - chia hết cho 125

Chứng minh : Do a20 - chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 chia cho 25 có số dư

=> a20 + a40 + a60 + a80 + chia hết cho Vậy a100 - = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) chia hết cho 125

Bài tốn 11 :

Tìm ba chữ số tận 123101

Lời giải : Theo tính chất 6, (123, 5) = => 123100 - chia hết cho 125 (1) Mặt khác :

123100 - = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - chia hết cho (2) Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy : 123100 - chi hết cho 1000

=> 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N) Vậy 123101 có ba chữ số tận 123

Bài toán 12 :

Tìm ba chữ số tận 3399 98

Lời giải : Theo tính chất 6, (9, 5) = => 9100 - chi hết cho 125 (1) Tương tự 11, ta có 9100 - chia hết cho (2)

Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy : 9100 - chia hết cho 1000 => 3399 98 = 9199 9 = 9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q Є N)

Lại 9100 - chia hết cho 1000 => ba chữ số tận 9100 001 mà 999 = 9100 : => ba chữ số tận 999 889 (dễ kiểm tra chữ số tận 999 9, sau dựa vào

phép nhân để xác định )

Vậy ba chữ số tận 3399 98 889

Nếu số cho chia hết cho ta tìm ba chữ số tận cách gián bước : Tìm dư phép chia số cho 125, từ suy khả ba chữ số tận cùng, cuối kiểm tra điều kiện chia hết cho để chọn giá trị Bài toán 13 :

Tìm ba chữ số tận 2004200 Lời giải : (2004, 5) = (tính chất 6) => 2004100 chia cho 125 dư

=> 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư

=> 2004200 tận 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004200 chia hết tận 376

Từ phương pháp tìm hai ba chữ số tận trình bày, mở rộng để tìm nhiều ba chữ số tận số tự nhiên

Sau số tập vận dụng :

Bài : Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho n không chia hết cho 4. Bài : Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận giống

Bài : Tìm hai chữ số tận : a) 3999 b) 111213

Bài : Tìm hai chữ số tận : S = 23 + 223 + + 240023

Bài : Tìm ba chữ số tận : S = 12004 + 22004 + + 20032004

Bài : Cho (a, 10) = Chứng minh ba chữ số tận a101 ba chữ số tận a

Bài : Cho A số chẵn không chia hết cho 10 Hãy tìm ba chữ số tận A200

Bài : Tìm ba chữ số tận số : 199319941995 2000

Bài : Tìm sáu chữ số tận 521.

MỘT GIỜ HỌC HIỆU QUẢ

Chỉ với tập so sánh phân số, em học sinh lớp 6A trường có học thật hiệu Thầy tổng hợp cho trò nhiều phương pháp so sánh phân số ; trị chủ động đưa nhiều cách giải hay, sáng tạo Sau xin trình bày vắn tắt cách giải học sinh

Đề : Hãy so sánh hai phân số

A = (nn + 1)/ (nn+1 + 1) B = (nn - 1 + 1)/(nn+1 + 1) (n>1) Lời giải :

(do n > 1) Vậy B - A > hay B > A Cách 2 (của bạn Trần Việt ánh) : Ta có

Đến ta thấy A B có tử số số dương (nn + 1)(nn - 1 + 1), xét hiệu hai mẫu số : (nn + 1 + 1)(nn - 1 + 1) - (nn + 1)(nn + 1)

= nn + 1 - 2nn + nn - 1 = nn - 1(n - 1)2 > Dễ dàng suy B > A

Cách 3 (của bạn Đặng Huy Nghĩa) : Ta có

Vì n > => nn > nn - 1 => nn + > nn - 1 + Cách 4 (của bạn Ngơ Ngọc ánh) : Ta có

Tương tự cách 3, ta chứng minh nB > nA => B > A

Cách 5 (của bạn Nguyễn Mai Linh) : Sử dụng kết “với b, d dương, a/b < c/d a/b < (a + c)/(b + d)” Ta có : Vì n > nên suy

CÁC BÀI TỐN SỐ HỌC GIẢI ĐƯỢC NHỜ TÍNH BẤT BIẾN

Một số tốn có đặc điểm, tính chất không thay đổi thay đổi đại lượng đó, mà ta gọi tính bất biến Đơi tìm lời giải cho tốn nhờ khai thác tính bất biến này, theo dõi số toán số học Bài toán : Trên bảng viết 10 dấu cộng 15 dấu trừ Với 24 lần thực hiện, lần xóa dấu lại thêm vào dấu (cộng trừ) để cuối bảng lại dấu Biết dấu thêm vào dấu trừ trước xóa dấu khác nhau, ngược lại dấu thêm vào dấu cộng Hỏi dấu cịn lại bảng dấu ?

Lời giải : Ta thấy, xóa dấu cộng phải thêm vào dấu cộng, số dấu trừ bảng khơng thay đổi

Nếu xóa dấu trừ phải thêm vào dấu cộng, số dấu trừ giảm Nếu xóa dấu cộng dấu trừ phải thêm vào dấu trừ, số dấu trừ bảng khơng thay đổi

Như vậy, tính bất biến : sau lần thực việc xóa thêm dấu, số dấu trừ bảng không thay đổi giảm

Mặt khác, số dấu trừ ban đầu số lẻ nên sau lần thực số dấu trừ lại bảng số lẻ

Sau 24 lần thực hiện, bảng lại dấu mà dấu trừ khơng thể hết nên dấu cịn lại bảng phải dấu trừ

Bài toán : Một hình trịn chia thành 10 hình quạt, ô người ta đặt viên bi Nếu ta di chuyển viên bi theo quy luật : lần lấy ô viên bi, chuyển sang ô liền kề theo chiều ngược chuyển tất viên bi không ?

Lời giải : Trước tiên, ta tô màu xen kẽ hình quạt, có tô màu (ô màu) ô không tơ màu (ơ trắng) Ta có nhận xét :

Nếu di chuyển bi ô màu bi trắng tổng số bi ô màu không đổi

Nếu di chuyển màu, bi tổng số bi ô màu giảm Nếu di chuyển trắng, bi tổng số bi ô màu tăng lên

Vậy tổng số bi ô màu không đổi, giảm tăng lên Nói cách khác, tổng số bi màu khơng thay đổi tính chẵn lẻ so với ban đầu

Ban đầu tổng số bi ô màu viên (là số lẻ) nên sau hữu hạn lần di chuyển bi theo quy luật tổng số bi ô màu khác khác 10, khơng thể chuyển tất viên bi

Bài tốn :

đều thay tổng chữ số Tiếp tục làm với số nhận tất số có chữ số Chứng minh dãy : số số nhiều số số

Lời giải : Ta thấy : “Số tự nhiên A tổng chữ số A số dư phép chia cho 9”

Mặt khác ta có : 21 chia cho dư ; 22 chia cho dư ; 23 chia cho dư ; 24 chia cho dư ; 25 chia cho dư ; 26 chia cho dư ; 27 chia cho dư ;

Do 26k + r nhận số dư phép chia cho 2, 4, 8, 7, 5, tương ứng với giá trị r 1, 2, 3, 4, 5, Dãy cuối nhận gồm 2005 số thuộc tập hợp {2 ; ; ; ; ; 1}

Ta có 2005 = 334 x + nên dãy cuối có 335 số (nhiều số số khác số) Vậy số số nhiều số số số

Bài toán : Một tờ giấy bị cắt nhỏ thành mảnh 11 mảnh Các mảnh nhận lại chọn để cắt (thành mảnh 11 mảnh nhỏ hơn) Cứ ta nhận 2005 mảnh cắt không ?

Lời giải : Sau lần cắt mảnh giấy thành mảnh 11 mảnh số mảnh giấy tăng lên 10 Như tính bất biến tốn “số mảnh giấy ln tăng lên bội số 5” Vậy số mảnh giấy sau lần cắt có dạng + 5k, mặt khác 2005 có dạng 5k nên với cách cắt trên, từ tờ giấy ban đầu, ta cắt thành 2005 mảnh

Sau số tập ứng dụng :

Bài : Trên bảng gồm x ô vuông viết dấu cộng dấu trừ Đổi dấu đồng thời ô nằm hàng cột ô dọc theo đường thẳng song song với hai đường chéo Bằng cách ta nhận bảng chứa tồn dấu cộng khơng ?

Bài : Tại đỉnh A1 đa giác 12 cạnh A1A2A3 A12 viết dấu trừ, đỉnh lại viết dấu cộng Chứng minh : cách đổi dấu đồng thời đỉnh liên tiếp với số lần tùy ý, ta khơng thể nhận đa giác mà đỉnh A2 viết dấu trừ đỉnh khác viết dấu cộng

Bài : Cho dãy số 1, 2, 3, , 2006 Ta thay đổi vị trí số theo nguyên tắc : lần lấy số đặt chúng vào vị trí cũ theo thứ tự ngược lại Bằng cách này, ta xếp dãy số dãy số 2006, 2005, , 2, không ?

Bài : Mỗi người sống trái đất thực số bắt tay định với người khác Chứng minh số người thực số lẻ bắt tay số chẵn Bài : Cho số 1, 2, 3, , n xếp theo thứ tự Tiến hành tráo đổi vị trí hai số đứng kề Chứng minh thực số lẻ lần khơng thể nhận xếp ban đầu