S6 CHUYÊN đề 4 CHỦ đề 4 các bài TOÁN QUY về tìm ƯCLN và BCNN

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT ĐS6.CHUYÊN ĐỀ – ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 4: CÁC BÀI TỐN QUY VỀ TÌM ƯCLN VÀ BCNN PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Ước Bội số nguyên Với a, b  Z b  Nếu có số nguyên q cho a  bq ta nói a chia hết cho b Ta cịn nói a bội b b ước a Nhận xét - Nếu a  bq ta nói a chia cho b q viết a : b  q - Số bội số nguyên khác Số khơng phải ước số nguyên - Các số 1 ước số nguyên Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết  a  k  Mb Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b số dư k số Ước chung hai hay nhiều số ước tất số ¦ C  a, b, c Ước chung số a, b, c kí hiệu Bội chung hai hay nhiều số bội tất số BC  a, b, c Bội chung số a, b, c kí hiệu là: Ước chung lớn Bội chung nhỏ - Ước chung lớn hai hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung số - Bội chung nhỏ hai hay nhiều số số nhỏ khác không tập hợp bội chung số Các tính chất - (a,1)  1;  a,1  a - Nếu a Mb  (a, b)  b;  a, b   a  (a, b)  1;  a, b   a.b - Nếu a, b nguyên tố - ¦ C  a, b  ¦ ¦ CLN  a, b    BC  a ,b  B BCNN  a, b   a  dm ( a, b )  d   vớ i  m, n   b  dn - Nếu TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT - Nếu - c  am vớ i ( m, n)  c  bn  a, b   c   ab  (a, b). a, b  Phương pháp giải   a  k  Mb - Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b số dư k - Nếu a Mb a Mc mà ¦ CLN (a, b)   a chia hết cho tích bc với  a, b, c  N  - Nếu a Mb a Mc mà a số nhỏ  a  BCNN  a, b   a, b, c  N  - Nếu a Mb m Mb mà b lớn  b  UCLN  a, m   a, b, m  N  PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Bài toán đưa tìm ƯCLN BCNN hai hay nhiều số I Phương pháp giải * Phương pháp giải toán đưa tìm ƯCLN - Nếu aMx, bMx , x lớn x ƯCLN(a, b) - Tìm ƯCLN theo ba bước Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung Bước 3: Lập tích thừa số chọn thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm - Kết luận toán * Phương pháp giải toán đưa tìm BCNN - Nếu xMa, xMb, x nhỏ x BCNN(a, b) - Tìm BCNN theo ba bước Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung riêng TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Bước 3: Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ lớn Tích BCNN phải tìm - Kết luận tốn II.Bài tốn Bài 1.Tìm số tự nhiên x lớn biết 125Mx, 100Mx, 150Mx Lời giải Vì 125Mx, 100Mx, 150Mx x lớn nên x  ƯCLN(125,100,150) Ta có: 125  100  22.52 150 2.3.52 ÖCLN(125,100,150)  52  25  x  25 Vậy x  25 Bài 2.Tìm số tự nhiên x lớn biết 480Mx, 600Mx Lời giải Vì 480Mx, 600Mx x lớn nên x  ƯCLN(480,600) Ta có: 480 3.5 600  23.3.52 ÖCLN(480,600)  23.3.5 120  x  120 Vậy x  120 Bài Lan có bìa hình chữ nhật, kích thước 75 cm 105 cm, Lan muốn cắt bìa thành mảnh nhỏ hình vng cho bìa cắt hết khơng cịn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn cạnh hình vng? Lời giải Gọi độ dài lớn cạnh hình vng a (cm) Theo ta có: 75Ma, 105Ma a lớn nên a  ƯCLN(75,105) TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Ta có: 75  3.5 105  3.5.7 ÖCLN(75,105)  3.5 15  a  15 Vậy độ dài lớn cạnh hình vng 15cm Bài Phần thưởng cho học sinh lớp học gồm 128 vở, 48 bút chì, 192 nhãn Có thể chia nhiều thành phần thưởng nhau, phần thưởng gồm vở, bút chì, nhãn vở? Lời giải * Gọi số phần thưởng chia a (phần thưởng), a N Theo ta có: 128Ma, 48Ma,192Ma a lớn nên a  ƯCLN(128,48,192) Ta có: 128  48  3.24 192  26.3 ÖCLN(128,48,192)  24  16  a  16 Vậy chia nhiều 16 phần thưởng Mỗi phần thưởng có số 128:16  ( vở) Mỗi phần thưởng có số bút chì 48:16  ( bút chì) Mỗi phần thưởng có số nhãn 192:16  12 ( nhãn vở) Bài Hùng có bìa hình chữ nhật, kích thước 60 cm 96 cm, Hùng muốn cắt bìa thành mảnh nhỏ hình vng cho bìa cắt hết khơng cịn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn cạnh hình vng? Lời giải Gọi độ dài lớn cạnh hình vng a (cm) Theo ta có: 60Ma, 96Ma a lớn nên a  ƯCLN(60,96) Ta có: 60  3.5 96  25.3 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT ÖCLN(60,96)  22.3 12  a  12 Vậy độ dài lớn cạnh hình vng 12cm Bài Một đội y tế có 24 bác sĩ 108y tá Có thể chia đội y tế nhiều thành tổ để bác sĩ y tá chia vào tổ ? Lời giải * Gọi số tổ chia a (tổ), a N Theo ta có: 24Ma, 108Ma a lớn nên a  ƯCLN(24,108) Ta có: 24  108  22.33 ÖCLN(24,108)  22.3 12  a  12 Vậy chia nhiều 12 tổ Bài Khối lớp có 84 học sinh, khối lớp có 63 học sinh, khối lớp có 105 học sinh Trong buổi chào cờ học sinh ba khối xếp thành hàng dọc Hỏi xếp nhiều thành hàng dọc để khối khơng có lẻ hàng ? Lời giải * Gọi số hàng dọc xếp a ( hàng ), a N Theo ta có: 84Ma, 63Ma, 105Ma a lớn nên a  ƯCLN(84,63,105) Ta có: 84  3.7 63  32.7 105  3.7.5 ÖCLN(84,63,105)  3.7 21  a  21 Vậy xếp nhiều 21 hàng dọc Bài 8.Tìm số tự nhiên a nhỏ khác biết a M15, a M20 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Vì a M15, a M20 a nhỏ khác nên a  BCNN(15, 20) Ta có: 15 3.5 20  22.5 BCNN(15,20)  22.3.5 60  a  60 Vậy a  60 Bài Tìm số tự nhiên a nhỏ khác biết a chia hết cho 15 a chia hết cho 18 Lời giải Vì a M15, a M18 a nhỏ khác 0nên a  BCNN(15, 20) Ta có: 15 3.5 18  32.2 BCNN(15,20)  2.32.5 90  a  90 Vậy a  90 Bài 10 Tìm số tự nhiên a nhỏ khác 0biết a chia hết cho 15,18 25 Lời giải Vì a M15, a M18, a M25 a nhỏ khác nên a  BCNN(15, 20,25) Ta có: 15 3.5 18  32.2 25  52 BCNN(15,20,25)  22.3.52  300  a  300 Vậy a  300 Bài 11 Hai bạn Tùng Hải thường đến thư viện đọc sách, Tùng 8ngày đến thư viện lần, Hải 10 ngày lần Lần đầu hai bạn đến thư viện vào 1ngày Hỏi sau ngày hai bạn lại đến thư viện? TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Lời giải * Gọi số ngày để hai bạn đến thư viện a ( ngày ), a N Vì a M8, a M10 a nhỏ khác nên a  BCNN(8, 10) Ta có: 8 10  2.5 BCNN(8,10)  23.5  40  a  40 Vậy sau 40 ngày hai bạn lại đến thư viện Bài 12 Hai bạn An Bách trực nhật, An 10 ngày lại trực nhật Bách 12 ngày lại trực nhật Lần đầu hai bạn trực nhật vào ngày Hỏi sau ngày hai bạn lại trực nhật? Lời giải * Gọi số ngày để hai bạn trực nhật a ( ngày ), a N Vì a M10, a M12 a nhỏ khác nên a  BCNN(10, 12) Ta có: 10 2.5 12  22.3 BCNN(10,12)  22.3.5  60  a  60 Vậy sau 60 ngày hai bạn lại trực nhật Bài 13 Hai bạn Minh Nhâm trực nhật, Minh 12 ngày lại trực nhật Nhâm 18 ngày lại trực nhật Lần đầu hai bạn trực nhật vào ngày Hỏi sau ngày hai bạn lại trực nhật? Lời giải Gọi số ngày để hai bạn trực nhật a ( ngày ), a N * Vì a M12, a M18 a nhỏ khác nên a  BCNN(12, 18) Ta có: 12  18 2.32 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT BCNN(12,18)  22.32  36  a  36 Vậy sau 36 ngày hai bạn lại trực nhật Bài 14 Ba tàu cập bến theo cách sau: Tàu I 15 ngày cập bến lần, tàu II 20 ngày cập bến lần, tàu III 12 ngày cập bến lần Lần đầu ba tàu cập bến vào ngày Hỏi sau ngày ba tàu lại cập bến ? Lời giải * Gọi số ngày để ba tàu lại cập bến a ( ngày ), a N Vì a M15, a M20, a M12 a nhỏ khác nên a  BCNN(15,20,12) Ta có: 15 3.5 20 22.5 12  22.3 BCNN(15,20,12)  22.3.5  60  a  60 Vậy sau 60 ngày ba tàu lại cập bến Bài 15 : Ba ô tô chở khách khởi hành lúc 6h sáng từ bến xe theo ba hướng khác nhau, xe thứ quay bến sau 1h5 phút sau 10 phút lại đi, xe thứ hai quay bến sau 56 phút lại sau phút, xe thứ ba quay bến sau 48 phút sau phút lại đi, tính khoảng thời gian ngắn để xe xuất phát lần thứ hai ngày lúc giờ? Lời giải Đổi 1h5 phút = 65phút * Gọi thời gian ngắn để ba xe xuất lần thứ ngày a ( phút ), a N Thời gian xe thứ chuyến thứ 65 10  75 ( phút) Thời gian xe thứ hai chuyến thứ 56   60 ( phút) Thời gian xe thứ ba chuyến thứ 48  50 ( phút) Vì a M75, a M60, a M50 a nhỏ khác nên a  BCNN(75,60,50) Ta có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT 75 3.52 60 22.3.5 50  2.52 BCNN(75,60,50)  22.3.52  300  a  300 ( phút)  (giờ) Vậy sau ba xe lại xuất phát lần thứ Lúc 11h trưa Dạng Bài tốn đưa tìm BCNN hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước I Phương pháp giải – Phân tích đề bài, suy luận để đưa việc tìm bội chung hai hay nhiều số cho trước Nếu xMa, xMb x  BCNN(a, b) Nếu x chia cho a dư n , x chia cho b dư n  x  n BCNN(a, b) – Tìm BCNN số – Tìm BC số bội BCNN – Chọn số bội thỏa mãn điều kiện cho II Bài tốn Bài Tìm số tự nhiên x biết x M12, x M21, x M28 150  x  200 Lời giải x  BC  12,21,28 Vì x M12, x M21, x M28 nên Ta có: 12  21 3.7 28  22.7 BCNN(12,21,28)  22.3.7  84 BC(12,21,28)  B  84   0;84;168;252;336;  Vì 150  x  200 nên x  168 Vậy x  168 Bài Tìm số tự nhiên x biết x M12, x M20, x M25  x  450 Lời giải Vì x M12, x M20, x M25 nên x BC(12,20,25) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Ta có: 12  20  22.5 25  52 BCNN(12,20,25)  22.3.52  300 BC(12,20,25)  B  300   0; 300; 600; 900;  Vì  x  450 nên x  300 Vậy x  300 Bài Một số sách xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 vừa đủ Tính số sách biết số sách khoảng 200 đến 500 Lời giải * Gọi số sách cần tìm x ( cuốn) , 200  x  500 , x N Vì số sách xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 vừa đủ nên x M10, x M12, x M18  x BC(10,12,18) Ta có: 10  2.5 12  22.3 18  2.32 BCNN(10,12,18)  22.32.5  180 BC(10,12,18)  B  180   0; 180; 360; 540;  Vì 200  x  500 nên x  360 Vậy số sách cần tìm 360 Bài Một trường tổ chức cho khoảng 800 đến 900 học sinh tham quan Tính số học sinh biết xếp 35 40 học sinh lên xe vừa đủ Lời giải * Gọi số học sinh cần tìm x ( học sinh) , 800  x  900, x N Vì xếp 35 40 học sinh lên xe vừa đủ nên x M35, x M40  x BC(35,40) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Vì chia 327 cho b dư 12 cịn chia 557 cho b dư 17 nên 327 12Mb b 12 557 17Mb b  17 315Mb  540Mb  b ƯC(315,540) Ta có : 315  5.7 540  22.33.5 ÖCLN(315,540)  32.5  45 ÖC(315,540)  Ö  45   1; 3; 5; 9; 15;45 Vì b  17 nên b 45 Vậy b 45 Bài 14 Tìm số tự nhiên n lớn cho chia 364,414,539 cho n ta 3số dư Lời giải Vì ba số 364,414,539chia n có số dư nên hiệu số chia hết cho n 414  364Mn 50Mn    539 364Mn  175Mn 539  414Mn 125Mn   mà n lớn  n ÖCLN(50,175,125) Ta có : 50  2.5 175  52.7 125  53 ÖCLN(50,175,125)  52  25  n  25 Vậy n 25 Bài 15 Tìm số tự nhiên a biết 1960,2002 chia a có số dư 28 Lời giải Vì 1960 chia a dư 28 2002 chia a dư 28 nên TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 28 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT 1960  28Ma a  28 2002  28Ma a  28 1932Ma  1974Ma  a ƯC(1932,1974) Ta có : 1932  3.7.23 1974  2.3.7.47 ÖCLN(1932,1974)  2.3.7  42 ÖC(1932,1974)  Ö  42   1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42 Vì a  28 nên a  42 Vậy a  42 Bài 16 Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư Hỏi số chia cho 2737dư bao nhiêu? Lời giải Gọi số cho A Theo ta có: A  a   17b  12  23c  Mặt khác: A  39  a   39  17b  12  39  23c   39   a    17  b    23  c   Như A  39 đồng thời chia hết cho , 17 23 Nhưng ƯCLN(7, 17, 23) =   A  39  M7.17.23   A  39  M2737  A  39  2737.k  A  2737 k  39  2737  k  1  2698 Do 2698  2737 nên 2698 số dư phép chia số A cho 2737 a b  a số tự nhiên Gọi d ƯCLN Bài 17 Cho a, b số tự nhiên khác cho b a, b Chứng minh rằng: a  b  d Lời giải Ta có : TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 29 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT a  dm  d  (a, b) b  dn với  m, n   a  b2  a  b Mab a  b  a  b2  a  b    N    a  b  a  b Md 2 b a ab  ab  d m.n Md a  d m2 Md   a  b Md  a  b  d  2 2  b  d n Md  đpcm PHẦN III BÀI TỐN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài 1: Tìm số tự nhiên n nhỏ cho chia số cho 11dư , chia cho dư 1và chia cho 19 dư 11 ( HSG huyện Quế Võ – Năm 2020 – 2021) Lời giải Theo đề số cần tìm n (n  ) , theo đề ta có: n :11 dư  n  6M 11  n   33  n  27 chia hết cho 11 (Do 33M 11 ) n : dư  n  1M4  n   28  n  27 chia hết cho (Do 28M4 ) n :19 dư 11  n  11M 19  n  11  38  n  27 chia hết cho 19 (Do 38M 19 ) Suy n  27 chia hết cho số 4; 11; 19 mà n số tự nhiên nhỏ nên n  27  BCNN (4; 11; 19)  836 Vậy n  836  27  809 Bài 2: Tìm số tự nhiên a nhỏ cho a chia cho dư , a chia cho dư , a chia cho dư , a chia cho dư ( HSG CƯM’GAR – Năm 2020 – 2021) Lời giải Theo đề số cần tìm a (a  ) , theo đề ta có: a : dư  a  1M2  a   10  a  11 chia hết cho (Do 10M2 ) a : dư  a  2M3  a    a  11 chia hết cho (Do 9M 3) a : dư  a  1M5  a   10  a  11 chia hết cho (Do 10M5 ) a : dư  a  4M7  a    a  11 chia hết cho (Do 7M7 ) Suy a  11 chia hết cho 2;3;5;7 mà a số nhỏ nên TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 30 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT a  11  BCNN  2;3;5;7  Mà 2;3;5;7 đôi nguyên tố Do vậy:  a  11  2.3.5.7  210 Vậy a  199 Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ cho số chia cho dư ; chia cho dư ; chia cho dư ; chia cho dư ( HSG Quảng Trạch – Năm 2020 – 2021) Lời giải Gọi số cần tìm a (a  ) , theo đề ta có: a : dư  a  2M a : dư  a  2M4 a : dư  a  2M a : dư  a  2M6 Suy a  chia hết cho 3;4;5;6 mà a số nhỏ nên a   BCNN  3;4;5;6   60 Vậy a  58 Bài 4: Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số, cho chia số cho , cho 3, cho 4, cho 5, cho ta số dư 1, 2, 3, 4,5 ( HSG Nho Quan – Năm 2020 – 2021) Lời giải Gọi số cần tìm a ( a   , 100  a  999 ) a : dư  a  1M2  a    a  chia hết cho (Do 2M2 ) a : dư  a  2M3  a    a  chia hết cho (Do 3M 3) a : dư  a  3M4  a    a  chia hết cho (Do 4M4 ) a : dư  a  1M  a    a  chia hết cho (Do 5M 5) a : dư  a  5M6  a    a  chia hết cho (Do 6M6 ) Suy a  chia hết cho 2;3;4;5;6 Ta có: BCNN  2;3;4;5;6   60 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 31 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT  a   BC (2,3, 4,5,6)  B(60)   0,60,120,360, ,960,1020,  Vì a số tự nhiên lớn có ba chữ số nên a   960 Vậy a  960   959 Bài 5: Số học sinh trường THCS A xếp hàng 10 học sinh thừa học sinh, xếp hàng 12 thừa học sinh, xếp hàng 15thì thừa học sinh, xếp hàng 19 vừa đủ Hỏi trường THCS A có học sinh tất , biết số học sinh trường lớn 800 nhỏ 1000 ( OLYMPIC Toán – Năm 2020 – 2021) Lời giải Gọi số học sinh trường THCS A x ( x N*, 800