Từ bài toán giải phương trình tới bài toán quỹ tích

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN CHÍNH TỪ BÀI TỐN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TỚI BÀI TỐN QUỸ TÍCH LUẬN VĂN THẠC SĨ:PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Thái nguyên – năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN CHÍNH TỪ BÀI TỐN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TỚI BÀI TỐN QUỸ TÍCH Chun ngành:phƣơng pháp tốn sơ cấp Mã số: 604640 LUẬN VĂN THẠC SĨ:PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS.Nguyễn Minh Hà Thái nguyên – năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN CHÍNH TỪ BÀI TỐN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TỚI BÀI TỐN QUỸ TÍCH Chun ngành:phƣơng pháp tốn sơ cấp Mã số: 604640 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƢƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Thái nguyên – năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hồn thành : Trường Đại học Khoa học - ĐHTN Người hướng dẫn khoa học:TS.Nguyễn Minh Hà Phản biện 1: …………………………………………………… Phản biện 2: …………………………………………………… Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp : Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Vào hồi ……giờ … ngày … tháng … năm 2010 Có thể tìm hiểu luận văn trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên thư viện trường Đại học Khoa học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Lời nói đầu Chương Hai tốn chất 1.1.Bài tốn tìm đối tượng thoả mãn điều kiện 1.2.Phương trình tốn giải phương trình 1.2.1.Đẳng thức 1.2.2.Phương trình 1.2.3.Ba phương pháp giải phương trình 1.2.4.Phương trình hệ quả, phương trình tương đương 1.3.Quỹ tích tốn tìm quỹ tích 1.3.1.Cái nhìn tổng quan 1.3.2.Thuận-đảo, biến đổi hệ thử lại 1.3.3.Thuận đảo đồng thời ,biến đổi tương đương 1.3.4.Đảo-phản đảo, đoán nhận khẳng định Chương Dự đốn quỹ tích giới hạn quỹ tích 2.1.Suy luận tốn học suy luận có lí 2.1.1.Định nghĩa ví dụ 2.1.2.Tính tương đối 2.1.3.Chú ý 2.2.Cơng đoạn dự đốn quỹ tích – sai lầm thường gặp 2.2.1.Thế cơng đoạn dự đốn quỹ tích 2.2.2.Cơng đoạn dự đốn quỹ tích nằm đâu 2.2.3.Những phép suy luận có lí 2.3.Cơng đoạn giới hạn quỹ tích – Sai lầm tràn lan 2.3.1.Thế cơng đoạn giới hạn quỹ tích 2.3.2.Có hay khơng cơng đoạn giới hạn quỹ tích Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trang 01 03 03 05 05 05 06 09 12 12 13 21 26 32 32 32 32 33 33 33 33 37 39 39 39 51 53 LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn TS.Nguyễn Minh Hà.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy công tác giảng dạy với hướng dẫn tận tình thời gian tác giả học cao học hoàn thành luận văn Trong trình học tập, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ giảng dạy nhiệt tình GS.TSKH.Hà Huy Khối, GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu, PGS.TS Nơng Quốc Chinh, PGS.TS.Lê Thị Thanh Nhàn, TS.Nguyễn Thị Thu Thuỷ, nhiều thầy cô công tác trường Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô giáo Trường ĐH Khoa học Đại học Thái Nguyên Tác giả xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Yên Dũng số I, tỉnh Bắc Giang, tạo điều kiện thuận lợi thời gian tác giả học cao học Tác giả xin chân thành cảm ơn anh chị, bạn học viên cao học, bạn bè, đồng nghiệp, giúp đỡ tác giả nhiều q trình học tập hồn thành luận văn Luận văn khơng hồn thành thiếu thông cảm, chia sẻ động viên kịp thời gia đình Xin gửi tới gia đình lời cảm ơn chân thành sâu sắc Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2010 Tác giả Nguyễn Văn Chính Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Bài tốn tìm quỹ tích có nguồn gốc từ tốn tìm quỹ đạo chuyển động điểm vật lí Nó ba tốn tìm đối tượng thoả mãn điều kiện chương trình tốn phổ thơng: tốn giải phương trình, tốn quỹ tích, tốn dựng hình Dạy cho học sinh hiểu chất logic tốn tìm quỹ tích vấn đề khó khó mà lời giải tốn quỹ tích này, tài liệu liên quan tới quỹ tích xuất hai khái niệm: dự đốn quỹ tích, giới hạn quỹ tích, hai khái niệm mà chủ đề tranh cãi cho người làm toán sơ cấp chuyên nghiệp Làm để học sinh phổ thông hiểu chất logic tốn tìm quỹ tích? Làm để học sinh hiểu vai trị cơng đoạn dự đốn quỹ tích, giới hạn quỹ tích lời giải tốn tìm quỹ tích Đó câu hỏi mà tơi trăn trở tìm kiếm câu trả lời nhiều năm qua Những câu hỏi lí để tơi chọn cho luận văn thạc sĩ đề tài: “Từ toán giải phƣơng tới toán quỹ tích” Luận văn bao gồm hai chương: Chƣơng Hai toán, chất Tác giả trực tiếp khẳng định tốn giải phương trình tốn tìm quỹ tích có chất logic Trên sở đề xuất phương án dạy tốn quỹ tích so sánh với tốn giải phương trình, tốn quen thuộc dễ hiểu học sinh Chƣơng Dự đoán quỹ tích giới hạn quỹ tích Bằng cách hiểu vai trị cơng đoạn dự đốn quỹ tích cơng đoạn giới hạn quỹ tích, tác giả gián tiếp khẳng định tốn giải phương trình tốn tìm quỹ tích có chất logic Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Dự đốn quỹ tích cơng đoạn quan trọng q trình giải tốn tìm quỹ tích Trong cơng đoạn dự đốn quỹ tích người làm tốn khơng sử dụng phép suy luận tốn học mà cịn sử dụng phép suy luận có lí Do cơng đoạn dự đốn quỹ tích thực giấy nháp người làm tốn Cơng đoạn giới hạn quỹ tích xét cho phận phần thuận mà lẽ phải sử dụng phép suy luận tốn học khơng người làm tốn lại sử dụng phép suy luận có lí Nói cách khác, khơng có cơng đoạn giới hạn quỹ tích Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG HAI BÀI TOÁN, MỘT BẢN CHẤT 1.1 Bài tốn tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện Bài tốn tìm đối tượng thoả mãn điều kiện toán quen thuộc với tất Về hình thức, phát biểu sau Tìm tất đối tượng A(a ) Kí hiệu A(a ) biểu thị đối tượng A có tính chất a Cùng với kí hiệu A(a ), ta cịn dùng kí hiệu A(a ) để biểu thị đối tượng A khơng có tính chất a Các kí hiệu A(a ) A(a ) có hiệu lực tồn luận văn Trong tốn tìm đối tượng thoả mãn điều kiện, thuật ngữ “tìm” cần phải hiểu “tìm hết” khơng phải “tìm được” Nói cách xác, tìm tập hợp {A A(a )} Bài tốn tìm đối tượng thoả mãn điều kiện có ba phương pháp giải, mơ hình hố sau Phương pháp 1, biến đổi hệ thử lại* Bước 1, biến đổi hệ quả* A(a ) Þ A Ỵ T Bước 2, thử lại* A Ỵ T Þ A(a ) Phương pháp 2, biến đổi tương đương* A(a ) Û A Ỵ T Chú ý: Về phương diện logic, phương pháp biến đổi tương đương phương pháp biến đổi hệ thử lại Tuy nhiên, lời giải tốn tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện cụ thể, sử dụng phương pháp hai phương pháp vấn đề khơng đơn giản địi hỏi người giải tốn phải có kĩ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương pháp 3, đoán nhận khẳng định* Bước 1, đoán nhận* Bằng cách T Ð {A(a )} Bước 2, khẳng định* A Ï T Þ A(a ) A ẻ T ị A(a ) Chỳ ý: Nu sử dụng phương pháp đốn nhận khẳng định ta phải có cơng đoạn đốn nhận tập hợp T trước tiến hành thao tác khẳng định: chứng minh A ẻ T ị A(a ) Nh vy, phng phỏp đốn nhận khẳng định khơng tự nhiên phương pháp biến đổi hệ thử lại Vì lí trên, phương pháp đốn nhận khẳng định sử dụng phương pháp biến đổi hệ thử lại Cần phải nói thêm rằng, để giải tốn tìm đối tượng thoả mãn điều kiện, phương diện lôgic, song hành với phương pháp 1, cịn có hai phương pháp giải khác, mơ hình hố sau Phương pháp 1‟, bao gồm hai bước Bước A Ï T Þ A(a ) Bước A(a ) Þ A Ï T Phương pháp 3‟, bao gồm hai bước Bước A(a ) Þ A ẻ T Bc A(a ) ị A ẽ T Tuy nhiên, thực tế giải toán, để giải tốn tìm đối tượng thoả mãn điều kiện, người ta sử dụng phương pháp 1, 2, 3, phương pháp 1‟, 3‟ không sử dụng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 cảm nhận tốn tìm quỹ tích mà họ phải giải có hay khơng có „„vị trí giới hạn‟‟, vị trí „„vị trí giới hạn‟‟ Phương pháp điểm vơ Cho yếu tố chuyển động tiến xa, xa, „„xa vơ cùng‟‟ (nếu có thể) tiến tới „„vị trí giới hạn‟‟ (nếu có) Nếu M() tiến xa, xa, xa vơ ta dự đốn hình (H) tia, đường thẳng Nếu thấy M() khơng tiến xa, xa, „„xa vơ cùng‟‟ ta đốn hình (H) đoạn thẳng, đường trịn, cung trịn Phương pháp điểm vơ có hiệu trả lời câu hỏi (H) „„bị chặn ‟‟ hay „„không bị chặn ‟‟ 2.3 Công đoạn giới hạn quỹ tích – sai lầm tràn lan 2.3.1 Thế cơng đoạn giới hạn quỹ tích Khi giải tốn quỹ tích phương pháp thuận-đảo, phép suy luận tốn học tìm hình (K) chứa hình (H)  M() , lẽ phải tiếp tục sử dụng phép suy luận tốn học để tìm hình (H)  M() nhiều người làm toán lại sử dụng phép suy luận có lí để thực cơng việc họ tự đặt cho trình từ hình (K) tới hình (H) tên „„đẹp‟‟: cơng đoạn giới hạn quỹ tích 2.3.2 Có hay khơng cơng đoạn giới hạn quỹ tích Khơng có cơng đoạn giới hạn quỹ tích Thừa nhận cơng đoạn giới hạn quỹ tích tức thừa nhận xuất phép suy luận có lí lời giải tốn quỹ tích Khẳng định góp phần chứng tỏ lời giải tốn quỹ tích phương pháp thuận-đảo có chất logic với lời giải tốn giải phương trình phương pháp biến đổi hệ thử lại Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Những sai lầm liên quan tới gọi công đoạn giới hạn quỹ tích có nhiều phân thành hai loại: sai lầm lí luận, sai lầm thực hành Có thể nói cơng đoạn giới hạn quỹ tích sai lầm tràn lan lời giải tốn tìm quỹ tích phương pháp thuận-đảo Dưới ví dụ Ví dụ Trong [3, tr 182-183] tác giả dành trang cho cơng đoạn giới hạn quỹ tích Xin trích hai ý kiến quan trọng trang với thay đổi kí hiệu cho phù hợp với kí hiệu sử dụng luận văn này: „„Việc giới hạn quỹ tích tiến hành sau: Ta phải tìm (K‟)  (K) hợp tất điểm (K) mà khơng có tính chất  ‟‟; „„Sau giới hạn quỹ tích vậy, ta kết luận quỹ tích điểm M có tính chất hình (H) = (K)/(K‟)‟‟ Nhận xét + Nếu tìm (H)  (K) phép suy luận có lí ta thực xong cơng đoạn dự đốn quỹ tích Như nói mục 2.2.2, cơng đoạn dự đốn quỹ tích thể giấy nháp người giải tốn quỹ tích + Nếu tìm (H)  (K) phép suy luận tốn học q trình từ (K) tới (H) (chặt bỏ phần thừa (K)/(H)) phận phần thuận Vì lại phải đưa vào thuật ngữ „„giới hạn quỹ tích‟‟? + Thừa nhận tồn công đoạn giới hạn có nghĩa phải giáp mặt với ba câu hỏi trả lời Thế thao tác giới hạn? Thao tác giới hạn sử dụng trường hợp nào, có? Thao tác giới hạn đặt vị trí lời giải, có? Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 + Nếu không làm phần đảo biết (H) = (K)/(K‟) ? Nói cách khác, khơng làm phần đảo làm cách để tìm tập hợp (K‟) gồm tất điểm thuộc (K) mà khơng có tính chất  ? Ví dụ Trong [4 tr 26] tác giả khẳng định ta cần có bước giới hạn tồn đầu Nhận xét + Không phải tồn đầu thừa nhận Trong trình phát triển nhận thức nhân loại, có nhiều quan niệm thừa nhận sau lại bị phủ nhận Xin nêu ví dụ cụ thể, trước Copernic, nhận loại quan niệm mặt trời quay xung quanh trái đất, sau Copernic, nhân loại lại quan niệm trái đất quay xung quanh mặt trời + Trong mục 1.3.2, trí mặt logic tốn quỹ tích làm phương pháp thuận-đảo bao gồm hai phần: thuận, đảo Thuận: M()  M  (H) Đảo: M  (H)  M( ) Thừa nhận tồn cơng đoạn giới hạn có nghĩa chấp nhận mắc lỗi phản sư phạm q trình dạy học sinh giải tốn quỹ tích phương pháp thuận-đảo: Lí thuyết đằng (khơng có cơng đoạn giới hạn quỹ tích); Thực hành nẻo (có cơng đoạn giới hạn quỹ tích) Ví dụ Trong [5 tr 4] [6 tr 9] tác giả khẳng định tốn quỹ tích có cơng đoạn giới hạn quỹ tích Nhận xét „„Cho đoạn thẳng AB Tìm quỹ tích điểm M cho MA = MB‟‟ Trong lời giải toán quỹ tích có cơng đoạn giới hạn quỹ tích khơng? Nếu có tác giả viết sách giáo khoa hình học sai! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Ví dụ Trong [7 tr 28] tác giả dành gần trang cho cơng đoạn giới hạn quỹ tích Xin trích dẫn hai ý kiến tác giả: Việc giới hạn quỹ tích nên làm sau phần thuận; Giới hạn quỹ tích cần thiết Nhận xét + Nếu làm xong phần thuận, có nghĩa tìm thấy hình (H), có cần thiết phải có cơng đoạn giới hạn quỹ tích hay khơng? + Phải lời giải tốn quỹ tích phương pháp thuận-đảo xuất phép suy luận có lí cần thiết? Ví dụ Trong [8 tr 23], với viết dài gần ba trang tác giả bày tỏ nhiều ý kiến xung quanh vấn đề „„ Có hay khơng cơng đoạn giới hạn lời giải tốn tìm quỹ tích phương pháp thuận-đảo ‟‟ Xin nêu ý kiến tác giả: Trong phần thuận lời giải tốn tìm quỹ tích phương pháp thuận-đảo, ta bỏ tên tiểu đề mục giới hạn đi, tính chặt chẽ xác tốn học khơng bị ảnh hưởng, hành động giới hạn – cắt bỏ phần thừa cịn đó, tồn thực tế khách quan, không phụ thuộc vào ý muốn chủ quan Nhận xét Khi ta bắt đầu phần thuận lúc ta bắt đầu q trình cắt bỏ phần thừa để xác định xác hình (H)  M() Nói cách khác hành động giới hạn – cắt bỏ phần thừa bắt đầu bước vào phần thuận Theo ý kiến trên, phải ta nên bỏ đại đề mục „„thuận‟‟ thay vào đại đề mục (khơng phải tiểu đề mục) „„giới hạn‟‟! Ví dụ [1 tr 78] Cho tam giác ABC cân A Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho AM = CN Tìm quỹ tích tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Lời giải [1 tr 78 – 79] (chỉ trình bày phần thuận) Thuận Đường trịn (O) qua A điểm cố định Ta chứng minh (O) qua điểm cố định khác Gọi giao điểm khác A (O) với đường cao AH (cố định) K (h.17) Ta    A   KM   KN   KM  KN  CNK có AMKN nội tiếp nên AMK Ta lại có A  C  A  C   K thuộc đường trung trực Do ∆AMK = ∆CNK (c.g.c)  A 1 AC Vậy K điểm cố định: giao điểm đường trung trực ∆ABC Đường tròn (O) qua hai điểm cố định A K nên O nằm đường trung trực d AK A 12 P O Q M K N B H C (Hình 17) Giới hạn Khi M  A N  C, O  Q, giao điểm d với đường trung trực AC Khi M  B N  A, O  P, giao điểm d với đường trung trực AB Như O di chuyển đoạn thẳng PQ Nhận xét Phần in nghiêng lời giải phép suy luận có lí, khơng trình bày lời giải tốn tìm quỹ tích Nếu khơng bị nhiễu gọi cơng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 đoạn giới hạn quỹ tích chắn người giải tốn tìm quỹ tích khơng phạm phải sai lầm Lời giải (chỉ trình bày phần thuận) Thuận Giả sử O thoả mãn điều kiện đề (h.18) Gọi H hình chiếu A BC; K giao điểm khác A (O) với AH    CNK Vì AMKN nội tiếp nên AMK  A  Vì tam giác ABC cân A nên A   có số đo KN Suy cung KM, Do KM = KN Vậy ∆AMK = ∆CNK (c.g.c)  C  Suy A 1  A  , suy A  C  Từ đó, ý A 2 Do KA = KC (1) A 12 I O P M Q J E F K N B H C (Hình 18) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Từ đó, ý AH đường trung trực BC, suy K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi d trung trực AK Vì A K thuộc (O) nên O thuộc d (1) Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, AC Đặt P = d ∩ KE; Q = d ∩ KF Gọi I, J theo thứ tự hình chiếu O AB, AC Vì M, N theo thứ tự thuộc đoạn AB, AC nên, ý E, I theo thứ tự trung điểm đoạn AB, AM F, J theo thứ tự trung điểm đoạn AC, AN, I, J theo thứ tự thuộc đoạn AE, AF Từ đó, ý KE  AB; OI  AB KF  AC; OJ  AC, suy O thuộc nửa mặt phẳng bờ KE chứa A O thuộc nửa mặt phẳng bờ KF chứa A (2) Đặt P = d ∩ KE; Q = d ∩ KF Từ (1) (2) suy O thuộc đoạn thẳng PQ Nhận xét Tất phép suy luận lời giải phép suy luận toán học Lời giải (chỉ trình bày phần thuận) Thuận Giả sử O thoả mãn điều kiện đề (h.18) Gọi H hình chiếu A BC; K giao điểm khác A (O) với AH    CNK Vì AMKN nội tiếp nên AMK  A  Vì tam giác ABC cân A nên A   có số đo KN Suy cung KM, Do KM = KN Vậy ∆AMK = ∆CNK (c.g.c) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46  C  Suy A 1  A  , suy A  C  Từ đó, ý A 2 Do KA = KC (1) Từ đó, ý AH đường trung trực BC, suy K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi d trung trực AK Vì A K thuộc (O) nên O thuộc d (1) A 12 I O P M Q J E F K N B H C (Hình 18) Giới hạn Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, AC Đặt P = d ∩ KE; Q = d ∩ KF Gọi I, J theo thứ tự hình chiếu O AB, AC Vì M, N theo thứ tự thuộc đoạn AB, AC nên, ý E, I theo thứ tự trung điểm đoạn AB, AM F, J theo thứ tự trung điểm đoạn AC, AN, I, J theo thứ tự thuộc đoạn AE, AF Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Từ đó, ý KE  AB; OI  AB KF  AC; OJ  AC, suy O thuộc nửa mặt phẳng bờ KE chứa A O thuộc nửa mặt phẳng bờ KF chứa A (2) Đặt P = d ∩ KE; Q = d ∩ KF Từ (1) (2) suy O thuộc đoạn thẳng PQ Nhận xét Lời giải lời giải cộng với tiểu đề mục „„giới hạn‟‟ Theo ý kiến người u thích cơng đoạn giới hạn [3 tr 23 cột dòng 2, 3, ], lời giải ba sư phạm dễ hiểu lời giải Tơi khơng hiểu với việc thêm tiểu đề mục „„giới hạn‟‟, tiểu đề mục làm nhiều người viết sách có tay nghề làm toán sơ cấp cao nhầm lẫn, lại cho lời giải sư phạm trở nên dễ hiểu Sư phạm hay phản sư phạm ? Theo quan niệm tôi, tiểu đề mục „„giới hạn‟‟ thủ phạm làm sai lệch tư khơng học sinh mà cịn nhiều giáo viên tốn, mà họ khơng thấy kiện quan trọng: tốn tìm quỹ tích tốn giải phương trình có chất logic    30 Ví dụ Cho góc vng xOy tam giác ABC vng A có ABC  BC = a Tam giác ABC di chuyển góc xOy cho đỉnh B thuộc tia Ox, đỉnh C thuộc tia Oy đỉnh A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC khơng chứa O Tìm quỹ tích A Lời giải (chỉ làm phần thuận) Thuận    90  BOC Vì BAC nên tứ giác OBAC nội tiếp (h.19)   AOC    ABC  30 Do AOy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48   30 (1)  Suy A thuộc tia Oz nằm góc xOy zOy Lấy B0, C0 theo thứ tự thuộc Oy, Oz cho OB0 = CB, OC0 = BC Lấy A1, A2 thuộc Oz cho OA1 = CA, OA2 = BA Giới hạn Cho B  B0 Dễ thấy C  O, A  A1  [A1A2] (2) Cho C  C Dễ thấy B  O, A  A  [A1A2] (3) Từ (1), (2) (3) suy A thuộc đoạn A1A2 x B0 B A2 z A1 C O A C0 y (Hình 19) Nhận xét + Ví dụ tốn 95 [2 tr 50] (đã chỉnh), lời giải lời giải toán 95 [2 tr 110] (đã cụ thể hoá) + Phần in nghiêng lời giải phép suy luận có lí, khơng trình bày lời giải tốn quỹ tích Nếu khơng bị nhiễu gọi cơng đoạn giới hạn quỹ tích chắn người giải tốn tìm quỹ tích khơng phạm phải sai lầm Lời giải (chỉ làm phần thuận) Thuận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Lấy B0, C0 theo thứ tự thuộc Oy, Oz cho OB0 = CB, OC0 = BC Lấy A1, A2, A3 thuộc Oz cho OA1 = CA, OA2 = BA, OA3 = BC (h.19)    90  ABC  30 nên OA1 < OA2 < OA3 (*) Vì BAC Có ba trường hợp xảy Trường hợp B  B0 ; C  C0    90  BOC Vì BAC nên tứ giác OBAC nội tiếp   AOC    ABC  30 Do AOy   30 (1)  Suy A thuộc tia Oz nằm góc xOy zOy    90  BOC Vì BAC nên BC đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác OABC Do OA  BC  OA3 (2)      OAB  60  30  ABC  AOC Ta có AOC Suy OA > CA = OA1 (3) x B0 B z A2 A1 A3 A C O C0 y (Hình 20) Từ (1), (2) (3) suy A  [A1A3] (4) Trường hợp B  B0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Dễ thấy C  O, A  A1  [A1A3] (5) Trường hợp C  C Dễ thấy B  O, A  A Từ đó, ý tới (*), suy A  A  [A1A3] (6) Từ (4), (5) (6) suy A thuộc đoạn [A1A3] Nhận xét Tất phép suy luận lời giải phép suy luận toán học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 KẾT LUẬN Luận văn đề xuất cách dạy tốn tìm quỹ tích thơng qua việc dạy tốn giải phương trình cách khẳng định tốn tìm quỹ tích tốn giải phương trình có chất logic Luận văn trình bày thành hai chương Chương luận văn trực tiếp khẳng định tốn tìm quỹ tích tốn giải phương trình có chất logic nhận xét sau: Ba phương pháp giải tốn quỹ tích : phương pháp thuận- đảo, phương pháp thuận đảo đồng thời , phương pháp đảo - phản đảo tương ứng với ba phương pháp giải tốn giải phương trình: Biến đổi hệ thử lại, phương pháp biến đổi tương đương , phương pháp đốn nhận khẳng định Cùng với phần lí luận hàng loạt ví dụ nhằm làm sáng tỏ khẳng định Mỗi ví dụ có lời giải chi tiết sau lời giải nhận xét Đôi nhận xét sau lời giải cịn liên quan tới kĩ thuật giải tốn tìm quỹ tích Nhận xét sau đáng ý: Nếu giải tốn quỹ tích phương pháp thuận-đảo mà sử cụng cơng cụ biến hình phải làm phần đảo, chấm dứt vấn đề không đáng bàn lại nhiều người làm tốn quan tâm bàn luận sơi Chương luận văn gián tiếp khẳng định tốn tìm quỹ tích tốn giải phương trình có chất logic hai nhận xét sau: + Công đoạn dự đốn quỹ tích trình bày giấy nháp người giải tốn tìm quỹ tích + Khơng có cơng đoạn giới hạn quỹ tích Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Những sai lầm liên quan tới công đoạn dự đốn quỹ tích cơng đoạn giới hạn quỹ tích chia thành hai loại: sai lầm lí luận, sai lầm thực hành Những sai lầm thể qua loạt ví dụ có kèm theo nhận xét Hy vọng luận văn giúp cho em học sinh bạn đồng nghiệp có cách nhìn mời tốn tìm quỹ tích tránh sai lầm thường gặp q trình giải tốn tìm quỹ tích để từ rút cách học cách dạy tốn tìm quỹ tích Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Hữu Bình, Một số vấn đề phát triển hình học 9, NXBGD, 2000 [2] Vũ Hữu Bình – Tơn Thân – Đỗ Quang Thiều, Tốn bồi dưỡng học sinh hình học 9, NXBGD – NXB HÀ NỘI, 1999 [3] Nguyễn Minh Chương – Lê Đình Phi – Nguyễn Cơng Quỳ, Hình học sơ cấp, NXBGD, 1963 [4] Nguyễn Khánh Nguyên, Không thể “Vĩnh biệt giới hạn”, tạp chí TỐN TUỔI THƠ số 34, 2006 [5] Nguyễn Đức Tấn, Chuyên đề quỹ tích, NXB TRẺ, 1999 [6] Hồ Văn Thơng, Tuyển tập 100 tốn quỹ tích dựng hình, NXBGD, 2002 [7] Nguyễn Phúc Trình, Tốn quỹ tích phương pháp giải tốn quỹ tích, NXB THÀNH PHỐ HỒ CHI MINH, 1998 [8] Trần Xuân Uy, Giới hạn bạn đồng hành, tạp chí TỐN TUỔI THƠ số 34, 2006 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Chương Hai toán chất 1.1 .Bài tốn tìm đối tượng thoả mãn điều kiện 1.2 .Phương trình tốn giải phương trình 1.2.1.Đẳng thức 1.2.2 .Phương trình 1.2.3.Ba phương pháp giải phương trình 1.2.4 .Phương trình. .. Đó phương pháp đảophản đảo Phương pháp đảo-phản đảo lời giải tốn tìm quỹ tích phương pháp đốn nhận khẳng định lời giải toán giải phương trình có chất logic Cơng đoạn hình (H) lời giải tốn quỹ tích. .. nghiêng lời giải phép suy luận có lí, khơng trình bày lời giải tốn tìm quỹ tích, thể giấy nháp người giải toán tìm quỹ tích Nếu người giải tốn tìm quỹ tích hiểu rõ vai trị cơng đoạn dự đốn quỹ tích