Tiếp cận sơ cấp giải phương trình nghiệm nguyên và một số bài toán về ước số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - DƢƠNG XUÂN LỢI TIẾP CẬN SƠ CẤP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ ƢỚC SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - DƢƠNG XUÂN LỢI TIẾP CẬN SƠ CẤP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ƢỚC SỐ Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số nguyên tố 1.2 Đồng dư thức 1.3 Thặng dư bậc hai ký hiệu Legendre 1.4 Sơ lược đa thức bất khả quy 3 7 14 18 25 39 43 43 44 47 47 52 53 Cách tiếp cận sơ cấp giải phương trình nghiệm nguyên 2.1 Cách tiếp cận sơ cấp giải phương trình nghiệm nguyên 2.1.1 Cách phân tích 2.1.2 Cách dùng bất đẳng thức 2.1.3 Cách tham số hóa, số học mơ-đun hóa 2.1.4 Cách quy nạp toán học cách lùi vô hạn 2.1.5 Một số cách giải khác 2.2 Một số dạng cổ điển phương trình nghiệm nguyên 2.2.1 Dạng bậc hai ẩn 2.2.2 Bộ ba Pitago 2.3 Ước số vài số có dạng đặc biệt 2.3.1 Ước số a2 + b2 2.3.2 Ước số a2 + 2b2 2.3.3 Ước số a2 − 2b2 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 Mở đầu Trong kỳ thi HSG thường xuất tốn tìm nghiệm ngun Loại tốn cịn xuất kỳ thi quốc tế Đó loại tốn địi hỏi phản xạ nhanh xác, lý luận chặt chẽ logic Chính giải phương trình nghiệm ngun phát triển tốt cho trí tưởng tượng thông minh Vấn đề thừa nhận rằng: Nếu người học nắm cách tiếp cận để giải tốn phương trình nghiệm ngun việc giải dạng toán dễ dàng ngày hăng say học tập Qua nghiên cứu đề tài luận văn “Tiếp cận sơ cấp giải phương trình nghiệm nguyên số toán ước số” để thân tơi đồng nghiệp có thêm tư liệu dạy tốn nói chung dạy dạng tốn nghiệm ngun nói riêng Mục đích luận văn nêu số cách tiếp cận sơ cấp giải phương trình nghiệm nguyên tìm ước vài lớp số đặc biệt Có ví dụ lời giải chi tiết cho cách tiếp cận, lớp số đặc biệt Đưa hệ thống tập tham khảo cho cách Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Chương nhắc lại số kiến thức cần thiết dùng cho kết chương sau, chẳng hạn số nguyên tố, đồng dư thức, phương trình đồng dư, phần tử bất khả quy ký hiệu Legendre Chương 2: Các phương pháp sơ cấp giải phương trình nghiệm nguyên Phần thứ chương dự kiến giới thiệu số phương pháp sơ cấp giải nghiệm ngun Mỗi phương pháp có trình bày định lý, bổ đề, nguyên tắc, phương pháp, ví dụ minh họa liên quan đến phương pháp Phần thứ hai trình bày số phương trình nghiệm nguyên cổ điển Phần cuối giới thiệu sơ lược cách tiếp cận cao cấp liên quan đến ký hiệu Legendre phương trình nghiệm nguyên để tìm ước vài lớp số đặc biệt Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Phó giáo sư-Tiến sĩ Nguyễn Văn Hồng Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng giáo sư, tiến sĩ công tác Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, trau dồi thêm nhiều kiến thức để nâng cao trình độ Từ đáy lịng mình, tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới tất thầy, cô Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo Khoa học, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Nhân dịp xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, bạn bè gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên để hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Tác giả Dương Xuân Lợi Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta quy ước tất chữ a, b, c, x, y, z, biểu thị số nguyên tất mô-đun m, n, số nguyên dương Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2] [6] 1.1 Số nguyên tố Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]) (i) Cho số nguyên a, b, với a = Ta nói a chia hết b a ước số b b = ac với số nguyên c đó, ký hiệu a | b Ta nói b chia hết cho a b bội số a, ký hiệu b a (ii) Cho a, b số nguyên không đồng thời Ước chung lớn a, b số nguyên dương d thỏa mãn điều kiện (1) d|a d|b; (2) có số nguyên e cho e|a e|b, e|d Kí hiệu ước chung lớn a b gcd(a, b) (a, b) (iii) Hai số nguyên a b gọi nguyên tố gcd(a, b) = Định nghĩa 1.1.2 (xem [1]) Số có ước dương Mỗi số nguyên lớn có hai ước dương (chẳng hạn nó) Các số ngun dương lớn mà có hai ước dương gọi số nguyên tố Bất kỳ số nguyên lớn số nguyên tố gọi hợp số Mệnh đề 1.1.3 (xem [1]) (i) Cho a, b, c ∈ Z Nếu a|bc (a, b) = a|c (ii) Cho a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bm hai dãy số nguyên thỏa mãn điều kiện gcd(ai , bj ) = với i j Khi gcd(a1 a2 an , b1 b2 bm ) = Đặc biệt, gcd(p, q) = gcd(pn , q m ) = với m, n số nguyên dương Định lý 1.1.4 (Định lý số nguyên tố) (xem [1]) Cho n số nguyên lớn Khi n ln biểu diễn cách dạng n = pα1 · pα2 pαk k k > 0, αi (i = 1, 2, , k) số tự nhiên pi số nguyên tố thỏa mãn p1 < p2 < · · · < pk 1.2 Đồng dư thức Định nghĩa 1.2.1 (Đồng dư thức) (xem [1]) Cho m số nguyên dương Ta nói số nguyên a đồng dư với số nguyên b theo mô-đun m m | (a − b), kí hiệu a ≡ b (mod m) Trường hợp ngược lại ta kí hiệu a ≡ b (mod m) Sau số tính chất đồng dư thức Mệnh đề 1.2.2 (xem [1]) (i) a ≡ b (mod m) ⇔ tồn k ∈ Z để a = b + km (ii) a ≡ b (mod m) ⇔ a b chia cho m có số dư (iii) a ≡ a (mod m) (iv) Nếu a ≡ b (mod m), b ≡ a (mod m) (v) Nếu a ≡ b (mod m) b ≡ c (mod m) a ≡ c (mod m) Mệnh đề 1.2.3 (xem [1]) Nếu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) a + c ≡ b + d (mod m) ac ≡ bd (mod m) Mệnh đề 1.2.4 (xem [1]) (i) Nếu ac ≡ bc (mod m), (c, m) = 1, a ≡ b (mod m) (ii) Nếu ac ≡ bc (mod m) (c, m) = d, a ≡ b (mod m d ) Định lý 1.2.5 (Định lý Fermat nhỏ) (xem [1]) Cho p số nguyên tố a số nguyên Khi ap ≡ a (mod p) Đặc biệt, (a, p) = 1, ap−1 ≡ (mod p) Định lý 1.2.6 (Định lý Euler) (xem [1]) Nếu m số nguyên dương gcd(a, m) = 1, aϕ(m) ≡ (mod m) ϕ(m) hàm số Euler m 1.3 Thặng dư bậc hai ký hiệu Legendre Định nghĩa 1.3.1 (xem [2]) Cho số nguyên dương n Số nguyên a gọi thặng dư bậc hai theo mod n, hay, gọi số phương theo mod n, tồn số nguyên x cho x2 ≡ a (mod n) Ví dụ 1.3.2 12 ≡ (mod 6), 32 ≡ (mod 6), 42 ≡ (mod 6) Suy số 1, 3, thặng dư bậc hai theo mod Số thặng dư bậc hai theo mod 7, 32 ≡ (mod 7) Trong khơng thặng dư bậc hai theo mod Định nghĩa 1.3.3 (xem [2]) Giả sử p số nguyên tố lẻ, a số nguyên tùy ý Ký hiệu Legendre ap xác định sau: a p  gcd(a, p) = a số phương mod p;  1 = − gcd(a, p) = a khơng số phương mod p;   a p Tiếp theo ta nhắc lại số tính chất ký hiệu Legendre Mệnh đề 1.3.4 (xem [2]) Cho p số nguyên tố lẻ Khi a p−1 (0) a ≡ (mod p) p ab a b (1) = p p p α b (2) Nếu a ≡ b (mod p) = p p (3) = p (4) −1 p = (−1)(p−1)/2 = p ≡ (mod 4) − p ≡ (mod 4) (5) p = (−1)(p −1)/8 = (6) p p+1 = (−1)[ ] = p ≡ (mod 8) − p ≡ (mod 8) p ≡ 11 (mod 12) − p ≡ (mod 12) (7) Với số nguyên tố lẻ p bất kỳ, p = (−1)[ p−2 ]= p ≡ (mod 5) − p ≡ (mod 5) (8) Với số nguyên tố lẻ p bất kỳ, p p+1 = (−1)[ ] = p ≡ 1, 3, 9, 19, 25 27 (mod 28) − p ≡ 5, 11, 13, 15, 17 23 (mod 28) (9) Nếu p q sốp nguyên tố lẻ q p 1.4 = p−1 q−1 p (−1) 2 q Sơ lược đa thức bất khả quy Định nghĩa 1.4.1 (Đa thức bất khả quy) (xem [6]) Cho A miền nguyên Một đa thức f (x) ∈ A[x] gọi bất khả quy A f (x) = 0, f (x) khơng khả nghịch f (x) khơng có ước thực Một đa thức khác 0, không khả nghịch, mà khơng bất khả quy gọi đa thức khả quy Định nghĩa 1.4.2 (Vành Gauss) (xem [6]) Một vành giao hoán D vành Gauss (hay vành nhân tử hóa, hay vành phân tích nhất), viết tắt UFD, D miền nguyên thỏa mãn điều kiện: (1) Mọi phần tử a khác không, khác đơn vị D phân tích thành tích phần tử bất khả quy D (2) Sự phân tích phần tử a điều kiện (1) với sai khác hoán vị thừa số bất khả quy Định lý 1.4.3 (xem [6]) Nếu D UFD D[x] UFD Chương Cách tiếp cận sơ cấp giải phương trình nghiệm nguyên Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [3], [4] [5] Chủ yếu sử dụng tài liệu [4] 2.1 2.1.1 Cách tiếp cận sơ cấp giải phương trình nghiệm ngun Cách phân tích Trước hết ta xét phân tích đa thức đa thức bất khả quy Ta biết vành đa thức Z[x1 , x2 , , xn ], đa thức khác khác ±1 phân tích thành tích đa thức bất khả quy Z[x1 , x2 , , xn ] (vì vành Gauss) Xét phương trình f (x1 , x2 , , xn ) = (2.1) Ta viết (2.1) dạng tương đương f1 (x1 , x2 , , xn ) f2 (x1 , x2 , , xn ) · · · fk (x1 , x2 , , xn ) = a với f1 , f2 , , fk ∈ Z [x1 , x2 , , xn ] a ∈ Z Lại a phân tích thành thừa số ngun tố, nên ta ln viết a tích k số nguyên a1 , a2 , , ak (khi cần thiết ta thêm thừa số đơn vị, nhóm thừa số dư thừa lại với nhau) Ứng với phân tích ta ... cách tiếp cận để giải toán phương trình nghiệm ngun việc giải dạng tốn dễ dàng ngày hăng say học tập Qua nghiên cứu đề tài luận văn ? ?Tiếp cận sơ cấp giải phương trình nghiệm nguyên số tốn ước số? ??... HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - DƢƠNG XUÂN LỢI TIẾP CẬN SƠ CẤP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ ƢỚC SỐ Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46... dạng tốn nghiệm ngun nói riêng Mục đích luận văn nêu số cách tiếp cận sơ cấp giải phương trình nghiệm nguyên tìm ước vài lớp số đặc biệt Có ví dụ lời giải chi tiết cho cách tiếp cận, lớp số đặc