PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Tên đề tài: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lí do chọn đề tài Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản và biết cách khai thác mở rộng kiến thức, áp dụng kiến thức vào giải được nhiều dạng bài tập là một điều hết sức quan trọng. Đặc biệt trong mấy năm gần đây các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 THPT ngày một nâng cao. Trong đó có một phần kiến thức được vận dụng và ứng dụng nhiều đó là “Phương trình nghiệm nguyên”. Làm thế nào để học sinh vận dụng giải tốt các bài toán có liên quan đến phương trình nghiệm nguyên. Chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên” là chuyên đề khó và rất rộng, nên để truyền đạt cho học sinh hiểu được, vận dụng được là vấn đề đáng suy nghĩ của giáo viên. Qua nghiên cứu và giảng dạy học sinh về “Phương trình nghiệm nguyên” tôi thấy đây là vấn đề hay, giúp học sinh trau dồi tư duy toán học, rèn luyện cao về tính suy nghĩ sáng tạo và tìm nhiều lời giải hay cho các bài toán, từ đó mang lại hứng thú và niềm đam mê trong học toán. Học sinh nắm chắc về “Phương trình nghiệm nguyên” là chìa khoá vàng giải được nhiều loại toán khác như: Toán số học, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất, hệ phương trình nghiệm nguyên… Chính vì vậy mà tôi mạnh dạn viết lên kinh nghiệm dạy về “Phương trình nghiệm nguyên” đã được đúc rút qua thực nghiệm và có kết quả tốt. Mong Hội đồng khoa học và đồng nghiệp đọc và rút kinh nghiệm cho tôi. Kinh nghiệm dạy “Phương trình nghiệm nguyên” gồm hai phần chính: Phần 1: Hướng dẫn giảng dạy phần lý thuyết. Phần 2: Hướng dẫn giảng dạy phần bài tập theo từng phương pháp. II. Đối tượng nghiên cứu Học sinh trường THCS Cao Dương – Thanh Oai – Hà Nội. Đối tượng khảo sát thực nghiệm: học sinh lớp 9A, 9B của trường. III. Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu các tài liệu có liên quan Tổng hợp tài liệu. Học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp. Kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh. Phương pháp đàm thoại.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG

Chức vụ : Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên

Họ và tên : Lê Thị Thuỷ

Ngày, tháng, năm sinh: 06/11/1976

Năm vào ngành: 1997

Chức vụ và đơn vị công tác : Tổ trưởng tổ Tự nhiên trường THCS Cao DươngTrình độ văn hoá : 12/12

Trình độ ngoại ngữ

Trình độ tin học: chứng chỉ tin học văn phòng

Trình độ chuyên môn cao nhất: Đại học sư phạm Toán

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Tên đề tài: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lí do chọn đề tài

Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơbản và biết cách khai thác mở rộng kiến thức, áp dụng kiến thức vào giải đượcnhiều dạng bài tập là một điều hết sức quan trọng Đặc biệt trong mấy năm gầnđây các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 THPT ngày một nâng cao Trong

đó có một phần kiến thức được vận dụng và ứng dụng nhiều đó là “Phương trìnhnghiệm nguyên” Làm thế nào để học sinh vận dụng giải tốt các bài toán có liênquan đến phương trình nghiệm nguyên Chuyên đề “Phương trình nghiệmnguyên” là chuyên đề khó và rất rộng, nên để truyền đạt cho học sinh hiểu được,vận dụng được là vấn đề đáng suy nghĩ của giáo viên Qua nghiên cứu và giảngdạy học sinh về “Phương trình nghiệm nguyên” tôi thấy đây là vấn đề hay, giúphọc sinh trau dồi tư duy toán học, rèn luyện cao về tính suy nghĩ sáng tạo và tìmnhiều lời giải hay cho các bài toán, từ đó mang lại hứng thú và niềm đam mêtrong học toán Học sinh nắm chắc về “Phương trình nghiệm nguyên” là chìakhoá vàng giải được nhiều loại toán khác như: Toán số học, tìm giá trị lớn nhất,tìm giá trị nhỏ nhất, hệ phương trình nghiệm nguyên…

Chính vì vậy mà tôi mạnh dạn viết lên kinh nghiệm dạy về “Phương trìnhnghiệm nguyên” đã được đúc rút qua thực nghiệm và có kết quả tốt Mong Hộiđồng khoa học và đồng nghiệp đọc và rút kinh nghiệm cho tôi

Kinh nghiệm dạy “Phương trình nghiệm nguyên” gồm hai phần chính:Phần 1: Hướng dẫn giảng dạy phần lý thuyết

Phần 2: Hướng dẫn giảng dạy phần bài tập theo từng phương pháp

II Đối tượng nghiên cứu

Học sinh trường THCS Cao Dương – Thanh Oai – Hà Nội Đối tượngkhảo sát thực nghiệm: học sinh lớp 9A, 9B của trường

III Phương pháp nghiên cứu:

-Tìm hiểu các tài liệu có liên quan

- Tổng hợp tài liệu

- Học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp

- Kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh

- Phương pháp đàm thoại

IV Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài:

- Phạm vị thực hiện: Lớp 9A trường THCS Cao Dương – Huyện Thanh Oai –Thành phố Hà Nội

- Thời gian thực hiện: Năm học 2011- 2012 đến hết năm học 2012 – 2013

Phần II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

A – Tình hình thực trạng trước khi nghiên cứu:

* Với yêu cầu của bài toán là tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên Hầuhết học sinh không giải được, số học sinh giải được chỉ chiếm tỉ lệ dưới 36%

* Những bài toán về giải phương trình nghiệm nguyên

Ví dụ: Giải các phương trình nghiệm nguyên:

5) xy - 4x = 35 - 5Hầu hết học sinh đều bỡ ngỡ không tìm được cách giải, số học sinh giảiđược chỉ chiếm rất ít

Nhìn chung các bài toán có liên quan đến giá trị nguyên là những bài toánkhó và mới đối với học sinh Để học sinh nắm được cách giải các dạng toán nàythì giáo viên phải tổng kết và áp dụng được vấn đề này

B - Số liệu diều tra trước khi thực hiện đề tài :

Qua kiểm tra 43 học sinh lớp 9B với nội dung bài tập như sau:

“Giải phương trình nghiệm nguyên 5x - 7y =15

Kết quả điểm bài kiểm tra được ghi lại như sau:

C – Nội dung của kinh nghiệm.

* HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÝ THUYẾT THEO THỨ TỰ SAU:

- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2.

- Số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc dư 1

- Số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc dư 1

- Số chính phương chia cho 8 dư 0, dư 1 hoặc dư 4

5 Các dấu hiệu chia hết.

+ Dấu hiệu chia hết cho 2:

+ Dấu hiệu chia hết cho 3:

+ Dấu hiệu chia hết cho 4:

+ Dấu hiệu chia hết cho 5:

+ Dấu hiệu chia hết cho 8:

+ Dấu hiệu chia hết cho 9:

+ Dấu hiệu chia hết cho 10:

+ Dấu hiệu chia hết cho 11:

II Nhắc lại về tập hợp số nguyên:

Giải phương trình nghiệm nguyên F(x,y,z,…) = 0 là tìm tập hợp nghiệm(x,y,z,…) trong đó x,y,z,… ∈Z

* HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP THEO TỪNG PHƯƠNG PHÁP.

I Phương pháp xét tính chia hết

1 Đưa về phương trình ước số: Đưa phương trình về dạng vế trái là tích

của các đa thức có hệ số nguyên, vế phải là một hằng số nguyên Để tìm nghiệmcủa phương trình ta tìm các ước của hằng số đó

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

2xy – 4x + y = 7

GiảiBiến đổi phương trình tương đương (2x + 1)(y – 2) = 5

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x;y) là (0 ; 7), (-1 ; -3), (2 ; 3), (-3 ; 1)

2 Biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng tính chất chia hết.

Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 – xy = 6x – 5y – 8

GiảiBiểu thị y theo x được (x – 5)y = x2 – 6x + 8

Với x = 5 ta có 0y = 3, vô nghiệm

Với x ≠ 5 ta có y =

5

86

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x; y) là (2 ; 0), (4 ; 0), (6 ; 8), (8 ; 8)

Kinh nghiệm giải : Ta thường sử dụng phương pháp biểu thị một ẩn theo ẩn

còn lại rồi dùng tính chất chia hết để giải phương trình nghiệm nguyên khi một

trong hai ẩn của phương trình có bậc cao nhất là bậc một Khi đó ta biểu diễn ẩnnày theo ẩn kia rồi giải phương trình.

II Phương pháp dùng tính chất của số chính phương.

1 Tạo ra bình phương đúng

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

2x2 + 4x = 19 – 3y2

GiảiPhương trình tương đương với 2(x + 1)2 = 3(7 – y2)

Ta thấy 2(x + 1)2 chia hết cho 2 ⇒ 3(7 – y2)  2 ⇒ (7 – y2)  2 ⇒ y lẻ

Đồng thời 2(x + 1)2 ≥ 0 ⇒ 3(7 – y2) ≥0 ⇒ (7 – y2) ≥ 0 nên y2 = 1

⇒ 2(x + 1)2 = 18 ⇒ x = 2 hoặc x = 4.

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x;y) là (2 ; 1), (2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1)

2 Xét các số chính phương liên tiếp.

Giữa hai số chính phương liên tiếp không thể có số chính phương nào Do đóvới mọi số nguyên a và x, ta có:

= (x2 + z2 + 1)2 + (x2 + 2z2) = (x2 + z2 + 2)2 + (-x2 – 3)

Vì x2 + 2z2 ≥0 và - x2 – 3 > 0 ∀ x,z ⇒ (x2 + z2 + 1)2 ≤ y4 < (x2 + z2 + 2)2

⇒ y4 = (x2 + z2 + 1)2 ⇒ x2 + 2z2 = 0 ⇒ x = z = 0

⇒ y4 = 1⇒ y = 1 hoặc y = -1

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x; y; z) là (0 ; 1; 0), (0 ; -1; 0)

3 Sử dụng điều kiện biệt số ∆ là số chính phương

Đối với các phương trình f( y x, ) = 0 với hệ số nguyên có thể viết được dướidạng phương trình bậc hai đối với một ẩn, ngoài điều kiện ∆ ≥ 0 muốn phươngtrình có nghiệm nguyên còn cần điều kiện ∆là số chính phương, vì nếu ∆không là số chính phương thì nghiệm là số vô tỉ Tuy nhiên điều kiện này là

chưa đủ, do đó phải thử giá trị tìm được vào phương trình đã cho hoặc tìm ra cụthể nghiệm nguyên của phương trình.

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 + 2y2 + 3xy + 2x + 3y + 4 = 0

GiảiViết phương trình dưới dạng phương trình bậc hai đối với x :

Với y = 4 ta có x2 + 14x + 48 = 0 Giải được x1 = -6, x2 = -8

Với y = - 4 ta có x2 - 10x + 24 = 0 Giải được x3 = 4, x4 = 6

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x; y) là (-6 ; 4), (-8 ; 4), (4 ; -4),(6 ; -4)

` 4 Sử dụng tính chất: “Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một sốchính phương thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0”

Từ (2) và (3) suy ra (2k)2 < (2a + 1)2 < (2k + 1)2 Điều này không xảy ra

Vậy nếu a(a + 1) = k2 thì một trong hai số a hoặc a + 1 bằng 0

Ví dụ 6: (Ví dụ 19 trang 22 – Tài liệu “ Phương trình nghiện nguyên và

kinh nghiệm giải” – Vũ Hữu Bình)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 + y2 + xy = x2 y2 (1)

GiảiThêm xy vào hai vế ta được

x2 + y2 + 2xy = x2 y2 + xy

⇔ (x + y)2 = xy(xy + 1)

xy và xy +1 là hai số chính phương liên tiếp có tích là một số chínhphương nên tồn tại một số bằng 0

Nếu xy = 0 thay vào (1) ta có x2 + y2 = 0 nên x = y = 0

Nếu xy + 1 = 0 ⇔xy = -1 nên (x, y) bằng (1 ; -1) hoặc (-1 ; 1)

Thử lại ta được các cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) đều là nghiệm của phươngtrình đã cho

III.

Phương pháp dùng bất đẳng thức.

1 Sắp thứ tự các ẩn: áp dụng trong trường hợp các ẩn có vai trò bìnhđẳng trong phương trình

Ví dụ 7: (Bài tập 284 Tuyển tập các bài toán chọn lọc –Vũ Dương Thụy,

Trương Công Thành, Nguyễn Ngọc Đạm)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

x + y + z = xyz (1)Giải

Không mất tính tổng quát giả sử 1 ≤ x ≤ y ≤ z

ẩn, ta sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là ∆ ≥ 0 Qua

đó chặn được khoảng giá trị của ẩn còn lại

Ví dụ 8: (Ví dụ 122 trang 70 sách Nâng cao và phát triển toán 9, tập 2 – Vũ

Hưu Bình)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 + y2 – x – y = xy

GiảiViết phương trình dưới dạng phương trình bậc hai đối với ẩn x ta được

Mà y là số nguyên nên y ∈{0;1;2}

Thay y = 0 ta được x2 – x = 0 nên x = 0 hoặc x = 1

Thay y = 1 ta được x2 – x = 0 nên x = 0 hoặc x = 1

IV.

Phương pháp xét số dư từng vế.

Phương pháp này thường được áp dụng để chứng minh phương trìnhkhông có nghiệm nguyên bằng cách chứng minh số dư trong phép chia hai vếcủa phương trình cho cùng một số nào đó khác nhau

Ví dụ 9 : ( Bài tập 142 trang 54 – “Bài tập nâng cao và một số chuyên đề

toán 9” – Bùi Văn Tuyên)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 + 2y2 + 2xy – 10yz + 25z2 = 567

GiảiBiến đổi về phương trình (x + y)2 + (y – 5z)2 = 567

Mỗi số chính phương chia cho 4 có số dư là 0 hoặc 1

Vế trái là tổng của hai số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư là 0; 1 hoặc 2

Vế phải chia cho 4 dư 3 Vậy phương trình vô nghiệm

V.

Phương pháp lùi vô hạn.

Ví dụ 10: (Ví dụ 20 trang 25 – Tài liệu “ Phương trình nghiện nguyên và kinh

nghiệm giải” – Vũ Hữu Bình)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x3 + 2y3 = 4z3 (1)

GiảiHiển nhiên x  2 Đặt x = 2x1 với x1 là số nguyên Thay vào (1) rồi chia hai vếcho 2 được

Lập luận tương tự như trên, (x2; y2; z2) cũng là nghiệm của (1) trong đó x1 = 2x2, y1 = 2y2, z1 = 2z2

Cứ tiếp tục lập luận như vậy đi đến x, y, zđều chia hết cho 2k với k là số tự nhiêntùy ý Điều này chỉ xảy ra khi x = y = z = 0

Đó là nghiệm duy nhất của (1)

Lưu ý Phương pháp giải trên là phương pháp lùi vô hạn

VI - Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp loại trừ.

*Cách giải: - Biện luận để làm ngắn miền nghiệm

Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 12 x + 5 y = 13 x

12 ( x + x =

+ Nếu x > 2 ⇒ )x

13

12 ( < ) 2

13

12 ( và )x

13

5 ( < ) 2

12 ( x + x <

không xảy ra.

+ Nếu x < 2 ⇒ )x

13

12 ( > ) 2

13

12 ( và )x

13

5 ( > ) 2

12 ( x + x >

không xảy

ra.

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất

* HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP THEO TỪNG DẠNG

I.

Phương trình bậc nhất với hai ẩn. Có dạng ax + by = c với nghiệmnguyên (a, b, c ∈Z)

Cách giải :

- Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của ẩn

- Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ, chẳng hạn x, theo

ẩn kia

- Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x

- Đặt điều kiện để phân số của x bằng một số nguyên t1, ta được mộtphương trình bậc nhất hai ẩn y và t1

- Cứ tiếp tục làm như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dướidạng một đa thức với các hệ số nguyên

Ví dụ 12 :

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

3x + 4y = 29Giải

3x + 4y = 29 ⇔3x = 29 – 4y ⇔x =

3

29

t x

32

74

II.

Phương trình bậc hai với hai ẩn.

Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 – xy + y2 = 2x – y (1)

⇔ x2 - (y + 2)x + (y2 + y) = 0 (2)Điều kiện để phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm là ∆ ≥ 0

⇔-3y2 + 4 ≥ 0 ⇔-3y2 ≥ - 4 ⇔3y2 ≤ 4

Do y thuộc Z nên y ∈{−1;0;1}

Với y = 0 thay vào (2) được x2 – 2x = 0 Ta có x1 = 0 ; x2 = 2

Với y = 1 thay vào (2) được x2 – 3x + 2 = 0 Ta có x3 = 1 ; x4 = 2.

Với y = - 1 thay vào (2) được x2 –x = 0 Ta có x5 = 0 ; x6 = 1

Phương trình có các cặp nghiệm (x, y) là:

(0; 0), (2; 0), (1; 1), (2;1), (0; -1), (1;-1)

Ví dụ 14: Giải PT nghiệm nguyên dương x2 – 6xy + 13y2 = 100

x2 – 6xy + 13y2 = 100 ⇔ x2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2

Thay vào ta chỉ được y = 6 ⇒ x = 0

Vậy PT có nghiệm tự nhiên là

Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Chỉ có hai trường hợp y = – 6 và y = 5 cho ∆ ' là số chính phương

Thay các giá trị của y vào phương trình tìm và giải được các cặp nghiệm (x, y)bằng (- 8; -6), (3; 5)

III.

Phương trình bậc ba với hai ẩn.

Với dạng phương trình bậc ba với hai ẩn ta thường đặt ẩn phụ x + y = ahoặc x – y = a và xy = b rồi đưa phương trình có bậc 3 đối với ẩn a bậc 1 đối với

ẩn b, biến đổi đưa về phương trình ước số Ngoài ra cũng có thể xét các số lậpphương liên tiếp hoặc dùng phương pháp bất đẳng thức

Ví dụ 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x3 – y3 = xy + 25

Giải

⇔ (x – y)3 + 3xy(x – y) = xy + 25

Đặt x – y = a, xy = b (a, b là các số nguyên), ta có:

a3 + 3ab = b + 25 ⇔ a3 – 25 = b(1 - 3a) Suy ra a3 – 25  1 - 3a nên 27( a3 – 25)  1 - 3a nên 3a – 1 là ước của 674chọn được 3a – 1 ∈{−1;2;−337;674}

Tương ứng với mỗi giá trị trên tìm được

225

b a

Do phải có a2 + 4b ≥ 0 nên chỉ có một trường hợp a = 1, b = 12 cho đáp số sau:Nghiệm (x, y) là (4; 3), (- 3; - 4)

IV.

Phương trình bậc bốn với hai ẩn.

Ví dụ 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2Giải

0

z z

Ví dụ 19: (Ví dụ 37 trang 49 – Tài liệu “ Phương trình nghiện nguyên và

kinh nghiệm giải” – Vũ Hữu Bình)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Phương trình đa thức với ba ẩn trở lên.

Ví dụ 20: Giải phương trình nghiệm nguyên

14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz

Giải14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz

⇔7(xyz + x + z) = -11(1 + 2yz)

⇔x +

7

321

2 =− ++

yz z

⇔x +

3

1 2

1 2 1 2

z y x

Ví dụ 21: Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên :

x2 + y2 + z2 = 2015 (1)

GiảiTổng x2 + y2 + z2 là số lẻ nên trong ba số x2, y2, z2 có một số lẻ hai số chẵn hoặc

Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên

Ví dụ 22: Giải PT nghiệm nguyên + + =3

y

zx x

yz z

yz z

xy

++ < 0 không xảy ra

- Nếu x, y, z có cùng dương hoặc có 2 số âm thì

3 = + + ≥ 3

y

x z x

z y z

y

1 Vậy x = y = z =1

V.

Hệ phương trình nghiệm nguyên.

Ví dụ 23 : Giải bài toán cổ:

Trăm trâu trăm cỏTrâu đứng ăn nămTrâu nằm ăn ba

Lụ khụ trâu già

Ba con một bóHỏi trâu mỗi loại ?

Giải

- Gọi số trâu đứng là x con

- Gọi số trâu nằm là y con (Với x,y,z nguyên dương)

- Gọi số trâu già là z con

=++

=++

)2(3009

15

)1(100100

335

100

z y x

z y x z

y x

z y x

- Lấy (2) - (1) ⇒ 7x + 4y = 100 ⇒ y = 25 – 2x +

4

x ⇒

x: 4 ⇒ x = 4t (t ∈Z)

12

;811

8

;78184

z y x z

y x z

y x

BÀI TẬP BỔ SUNG, MỞ RỘNG

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình:

c) 5x + 25 = - 3xy + 8y2

Bài 2: ( Đề thi HSG huyện Thanh Oai – Hà Nội năm học 2007- 2008)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

x3 – x2 y + 3x – 2y – 5 = 0

Bài 3: (Đề tuyển sinh lớp 10 hệ chuyên- vòng 2-Đại học quốc gia Hà Nội

ab− 1 − 1 − 1

là một

số nguyên

Bài 4: ( Đề thi HSG huyện Thanh Oai – Hà Nội năm học 2008- 2009)

Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn :

x2 + 2y2+ 2xy +y – 2 = 0

Bài 5: ( Đề thi HSG huyện Thanh Oai – Hà Nội năm học 2009- 2010)

Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn :

2xy2 + x + y + 1 = x2 + 2y2 + xy

Bài 6: ( Sách nâng cao và một số chuyên đề toán 9 – Bùi Văn Tuyên)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

=+

y x

Bài 9: ( Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải – Vũ Hữu Bình)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

Bài 11: (Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải – Vũ Hữu Bình)

Tìm các số hữu tỉ x để :

c) x2 + 7x là số chính phương