Phương pháp hiệu chỉnh tikhonov cho bài toán quy hoạch với ràng buộc là bài toán bù tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ HÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH VỚI RÀNG BUỘC LÀ BÀI TOÁN BÙ TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ HÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH VỚI RÀNG BUỘC LÀ BÀI TOÁN BÙ TỔNG QUÁT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Các khái niệm vấn đề 1.1 Không gian Euclid n chiều 1.1.1 Không gian vectơ 1.1.2 Không gian Euclid Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.2.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 1.2.2 Ví dụ tốn đặt khơng chỉnh 1.2.3 Định nghĩa toán tử hiệu chỉnh 1.2 1.3 1.4 Phương pháp đường dốc 10 1.3.1 Nội dung phương pháp 10 1.3.2 Sự hội tụ phương pháp 11 Kết luận Chương 15 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán quy hoạch với ràng buộc toán bù tổng quát 16 2.1 Bài toán thực tế dẫn đến toán bù tổng quát 16 2.2 Bài toán quy hoạch với ràng buộc toán bù tổng quát 19 2.3 Sự hội tụ phương pháp 22 2.4 Kết số 25 2.5 Kết luận Chương 27 ii Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS.TS Nguyễn Bường Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ em suốt thời gian học tập Trường Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Mở đầu Nhiều vấn đề thực tế gặp phải khoa học, công nghệ, kinh tế, , tồn lớp toán mà nghiệm không ổn định theo nghĩa thay đổi nhỏ liệu đầu vào dẫn đến thay đổi lớn liệu đầu (nghiệm tốn), chí cịn làm cho tốn trở nên vơ nghiệm Người ta nói tốn khơng quy hay đặt khơng chỉnh Vì cần phải có phương pháp giải ổn định tốn đặt không chỉnh cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Do tầm quan trọng đặc biệt lý thuyết mà nhiều nhà tốn học nước ngồi Việt Nam dành phần lớn thời gian cơng sức cho việc nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh để giải tốn đặt khơng chỉnh Trong khn khổ luận văn chúng tơi xin trình bày đề tài: “Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán quy hoạch với ràng buộc toán bù tổng quát” Luận văn tổng hợp từ báo GS TS Nguyễn Bường với cộng Nguyễn Thị Thúy Hoa Mục đích luận văn trình bày lại kết GS.TS Nguyễn Bường cộng phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov tìm nghiệm toán quy hoạch với ràng buộc tốn bù khơng gian Euclid n chiều Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, bố cục luận văn trình bày hai chương • Chương Các khái niệm vấn đề Trình bày khái niệm không gian Euclid n chiều Tiếp theo giới thiệu tốn đặt khơng chỉnh Đồng thời trình bày định nghĩa toán tử hiệu chỉnh phương pháp đường dốc • Chương Phương pháp tìm nghiệm tốn quy hoạch với ràng buộc tốn bù tổng qt Luận văn hồn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường Mặc dù tác giả cố gắng vấn đề nghiên cứu phức tạp kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên khơng trành khỏi thiếu sót Trong q trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Trịnh Thị Hà Học viên Cao học Tốn Lớp 7A, khóa 06/2013-06/2015 Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: trinhha170184@gmail.com Chương Các khái niệm vấn đề Chương gồm ba mục, trình bày số khái niệm sử dụng liên quan tới nội dung nghiên cứu đề Mục 1.1 nêu vấn đề, tính chất ví dụ khơng gian Euclid n chiều Mục 1.2 nêu khái niệm, ví dụ tốn đặt khơng chỉnh định nghĩa tốn tử hiệu chỉnh Mục 1.3 trình bày nội dung hội tụ phương pháp đường dốc 1.1 1.1.1 Không gian Euclid n chiều Không gian vectơ Định nghĩa 1.1 Xét tập V khác rỗng mà phần tử ta quy ước vectơ trường số thực R, giả sử V ta định nghĩa hai phép toán: phép cộng vectơ phép nhân vectơ với số thực Phép cộng vectơ luật hợp thành V cho phép tạo từ cặp vectơ x, y ∈ V vectơ gọi tổng chúng, kí hiệu x + y Phép nhân vectơ với số, gọi phép nhân với vơ hướng, luật hợp thành ngồi V cho phép tạo từ vectơ x ∈ V số thực k ∈ R vectơ gọi tích chúng, kí hiệu kx Nếu mười yêu cầu sau thỏa mãn với x, y, z ∈ V k, l ∈ R tập V gọi khơng gian vectơ trường R (1) Nếu x, y ∈ V x + y ∈ V (2) x + y = y + x, ∀x, y ∈ V (3) x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ V (4) Tồn vectơ θ ∈ V cho θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V Phần tử θ gọi phần tử trung hòa phép + (hay V ) (5) Với x ∈ V tồn vectơ −x ∈ V cho x + (−x) = (−x) + x = θ Phần tử (−x) gọi phần tử đối xứng (hay phần tử đối) x (6) Nếu k ∈ R x ∈ V kx ∈ V (7) k(x + y) = kx + ky (8) (k + l)x = kx + lx (9) k(lx) = (kl)x (10) 1.x = x Chú ý: u cầu (1) tính đóng kín phép cộng vectơ u cầu (6) tính đóng kín phép nhân với vơ hướng u cầu (2) nói lên tính giao hốn phép cộng vectơ u cầu (3) nói lên tính kết hợp phép cộng vectơ Mười yêu cầu (1) - (10) gọi mười tiên đề không gian vectơ 1.1.2 Không gian Euclid Định nghĩa 1.2 Cho V không gian vectơ, u v hai vectơ V Tích vô hướng u v số thực, kí hiệu u, v , thỏa mãn tính chất sau gọi tiên đề tích vơ hướng: (1) u, v xác định cặp u, v ∈ V ; (2) u, v = v, u ; (3) u + v, w = u, w + v, w ; (4) ku, u = k u, v ; (5) u, u ≥ u, u = ⇔ u = θ Không gian vectơ V có trang bị tích vơ hướng gọi khơng gian có tích vơ hướng Khơng gian vơ hạn chiều có tích vơ hướng gọi khơng gian Euclid Định nghĩa 1.3 Không gian vectơ V gọi không gian n chiều (1 ≤ n nguyên) V tồn n vectơ độc lập tuyến tính không tồn n vectơ độc lập tuyến tính Khi ta nói số chiều khơng gian V n kí hiệu dim(V ) Định nghĩa 1.4 V không gian vectơ, S = {x1 , , xn } ⊂ V Xét điều kiện: c1 x1 + + cn xn = θ (∗) Nếu điều kiện (∗) xảy c1 = 0, , cn = ta nói họ S độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.5 V khơng gian vectơ với hai phép tính: cộng vectơ nhân vectơ với số, W tập V Nếu với hai phép tính W khơng gian vectơ W gọi khơng gian vectơ V • Ví dụ không gian Euclid n chiều Trong Rn với u = (u1 , u2 , , un ), v = (v1 , v2 , , ) biểu thức tọa độ tích vơ hướng Rn : u, v := u1 v1 + u2 v2 + + un Rn khơng gian Euclid n chiều • Tính chất không gian Euclid n chiều: (a) Phần tử trung hòa θ (b) Phần tử đối xứng phần tử x thuộc V (c) ∀x ∈ V ta có 0x = θ (d) ∀x ∈ V ta có −x = (−1)x (e) ∀k ∈ R ta có kθ = θ (f) Với x ∈ V , k ∈ R ta có: kx = θ k = x = θ 15 Qua chứng minh ta thấy để thu đánh giá (1.12) ta sử dụng điều kiện (1.3), (1.10) Ta kết luận lớp hàm có đánh giá (1.12) thực rộng nhiều so với lớp hàm thỏa mãn điều kiện (1.7), đánh giá (1.12) với hàm thỏa mãn điều kiện Định lý 1.1 điều kiện ∇f (x) ≥ δ[f (x) − f (x∗ )], δ > Thuật toán xác định α theo (1.3) thường gọi thuật toán quay lui (backtracking) 1.4 Kết luận Chương Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm bản: Không gian Euclid n chiều Bài tốn đặt khơng chỉnh Phương pháp đường dốc Trong chương sử dụng phương pháp cụ thể cho toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát 16 Chương Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán quy hoạch với ràng buộc toán bù tổng quát 2.1 Bài toán thực tế dẫn đến tốn bù tổng qt Nhiều mơ hình cân kinh tế cơng thức hóa thành bất đẳng thức biến phân toán bù tổng quát Chúng bao gồm mơ hình cân Walrasian tổng qt Arrow-Debreu để tìm giá hàng hóa, phạm vi hoạt động ngành mức tiêu thụ khách hàng kinh tế cạnh tranh hoàn hảo, mơ hình thị trường cân sở mơ hình lượng “PIES” “NEMS” phát triển Bộ Năng lượng Mỹ để tính tốn giá xăng dầu cân số lượng cho ngành lượng Mỹ (PIES viết tắt Dự án hệ thống độc lập lượng, NEMS viết tắt Hệ thống mơ hình lượng quốc gia), mơ hình cân giá khơng gian cho việc tính tốn giá hàng hóa, vật tư, nhu cầu mạng lưới thị trường tách biệt khơng gian Bài tốn cân Walrasian Mục tiêu mơ hình cân tổng qt để dự đoán phạm vi hoạt động kinh tế kinh tế khép kín, tức tính hoạt động cân giá kinh tế tất tương tác mặt hàng bao gồm kinh tế tích hợp Bài toán tiếng sở nhiều lý thuyết tốn tài lý thuyết cân tổng quát chứng minh hữu ích kinh tế 17 vĩ mô, đặc biệt việc phân tích sách thuế, thương mại quốc tế, vấn đề kinh tế lượng Có nhiều cơng thức tốn học tốn cân tổng qt Chúng ta áp dụng mơ hình đơn giản mà dễ dàng dẫn đến toán bù phi tuyến Cho m n tương ứng số hoạt động kinh tế hàng hóa Đơn vị chi phí (giả sử số) để vận hành hoạt động thứ i ci cấp vốn ban đầu hàng hóa thứ j bj Cấp độ chưa biết hoạt động thức i ký hiệu yi giá hàng hóa thứ j ký hiệu pj Hàm nhu cầu cho hàng hóa thứ j dj (p), p ≡ (pj ) ∈ Rn vectơ giá tất hàng hóa Hàm dj (p) xác định cách thông thường từ tốn cực đại lợi ích; số trường hợp, bậc 0; tức dj (λp) = dj (p) với vô hướng λ > Ngồi ra, hàm lợi ích dẫn tới hàm nhu cầu dj (p) mà xác định với giá khơng âm; ví dụ hàm suy từ lớp hàm lợi ích có “hằng số co giãn phép thay thế” là: dj (p) ≡ (pj /µj )r−1 pT b , n r /µr−1 p k=1 k k (2.1) r số cho trước µk số dương Chú ý đến tính dương hàm dj (p) Ma trận công nghệ đầu vào-đầu kinh tế cho ma trận cỡ m × n A(p) ≡ (aij (p)) Chuyển vị ma trận biến đổi mức độ phạm vi hoạt động thành vectơ “netput” hàng hóa Đặc biệt, với vectơ y ≡ (yi ) phạm vi hoạt động, A(p)T y vectơ hàng hóa kết từ hoạt động này; với vectơ p giá cả, A(p)p vectơ đơn vị lợi nhuận hoạt động Một cặp hoạt động - giá (y, p) cân tổng quát điều kiện sau thỏa mãn: ≤ y ⊥ c − A(p)p ≥ (2.2) ≤ p ⊥ b + A(p)T y − d(p) ≥ (2.3) Giải thích mặt kinh tế điều kiện sau Điều kiện (2.2) phát biểu mức độ hoạt động không âm hoạt động kéo theo lợi tức không dương; 18 ra, hoạt động với lợi tức âm không cho phép Điều kiện (2.3) phát biểu giá không âm cung phải đáp ứng cầu; nữa, cầu vượt cung xảy trường hợp hàng miễn phí Dễ thấy, điều kiện (2.2) (2.3) xác định NCP(F )   c − A(p)p  F (y, p) ≡  T b + A(p) y − d(p) Một trường hợp đặc biệt xảy A(p) ma trận hằng; trường hợp cơng nghệ khơng thay đổi Trong trường hợp này, toán NCP(F ) trở thành hệ KKT VI (K, G), với K ≡ {p ∈ Rn+ : c − Ap ≥ 0} G(p) ≡ b − d(p) V I cuối ràng buộc tuyến tính phụ thuộc vectơ giá p Vectơ hoạt động y chứa bội điều kiện ràng buộc c − Ap ≥ mà xác định đa giác K Cịn cách giải thích khác tốn cân tổng qt với cơng nghệ khơng thay đổi mà thường sử dụng thực tế (ví dụ mơ hình PIES) Xét tốn quy hoạch tuyến tính LP: cực tiểu cT y ràng buộc AT y ≥ D, y ≥ 0, với D vectơ cố định Bài tốn quy hoạch tuyến tính biểu diễn phần phụ trợ kinh tế với D vectơ nhu cầu cho trước Ràng buộc toán quy hoạch quy định nhu cầu xác định số hoạt động kinh tế khơng âm; hàm mục tiêu tổng chi phí hoạt động Theo tốn đối ngẫu tuyến tính, vectơ y nghiệm toán LP tồn vectơ giá ảo p cho ≤ y ⊥ c − Ap ≥ 0 ≤ p ⊥ AT y − D ≥ 19 Phía nhu cầu kinh tế miêu tả hàm nhu cầu d(π) π vectơ giá thị trường hàng hóa, ta có D = b − d(π) Trong trường hợp này, tốn cân tổng qt coi tốn tìm tập vectơ giá thị trường π cho giá ảo p hàng hóa thu từ nghiệm nguồn cầu LP với D b − d(π) trùng tiền giá thị trường π Cịn nhiều mở rộng khác tốn cân tổng quát Một mở rộng khác liên quan có mặt thuế trợ giá hàng hóa kinh tế Trong trường hợp này, toán NCP xác định hàm hiệu chỉnh  F˜ (y, p) ≡  c − C(p)p T b + A(p) y − d(p)  , ma trận C(p) rút từ ma trận A(p) kết hợp thuế đầu vào/đầu thuế trợ giá 2.2 Bài toán quy hoạch với ràng buộc toán bù tổng quát ˜ thỏa mãn Xét tốn tối ưu sau: tìm phần tử x˜ ∈ C ∩ S, (2.4) ϕ(˜ x) = ϕ(y), y∈C∩S˜ C tập lồi đóng khơng gian Euclid Rn , S˜ = S˜1 ∩ S˜2 , S˜1 = {x ∈ Rn : g(x) ≤ 0, h(x) = 0}, S˜2 = {G(x) ≤ 0, H(x) ≤ 0, G(x), H(x) (2.5) Rm = 0}, hàm thực ϕ : Rn → R, g : Rn → Rm , h : Rn → Rp G, H : Rn → Rq liên tục, ký hiệu y = (y1 , y2 , , ym ) ≤ có nghĩa yi ≤ với i = 1, 2, , m, , Rn ký hiệu tích không gian Rn với chuẩn tương ứng · này, ta giả sử tập nghiệm (2.4) - (2.5) khác rỗng Rn Trong mục 20 Bài toán quy hoạch kiểu (2.4) - (2.5) gọi toán quy hoạch với ràng buộc toán bù Nói cách khác, (2.4) - (2.5) gọi toán quy hoạch với ràng buộc cân bằng, viết tắt MPEC Thơng thường tốn MPEC toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức biến phân Tuy nhiên, số trường hợp MPEC viết dạng (2.4) - (2.5) (xem tài liệu [4]) Trong trường hợp S˜2 = Rn , (2.4) - (2.5) toán tối ưu ràng buộc phi tuyến tổng quát Bài toán Nguyễn Bường giải phương pháp hiệu chỉnh kiểu Tikhonov, cho tốn cực tiểu khơng ràng buộc sau: Fα (xα ) = minn Fα (x), α > 0, x∈R m Fα (x) = F (x) Rp µ ψj j (x) + αµm +1 ϕ(x) + α x − x∗ + Rn , (2.6) j=1 ≤ µ1 < µ2 < · · · < µm+1 F (x) = (f1 (x), f2 (x), , fp (x))T , fi (x) = hi (x) ψj (x) = max{0, gj (x)} Tiếp theo để cải tiến (2.6), Nguyễn Bường cộng đưa phương pháp hiệu chỉnh kiểu Tikhonov cho MPEC (2.4) - (2.5) Với mục đích này, ta giới thiệu hàm số sau: ϕj (x) = max{0, gj (x)}, j = 1, 2, , m, ϕm+j (x) = max{0, Gj (x)}, j = 1, 2, , q, ϕm+q+j (x) = max{0, Hj (x)}, j = 1, 2, , m, fi (x) = hi (x), i = 1, 2, , p, fp+i (x) = Gi (x)Hi (x), i = 1, 2, , q Theo giả thiết, g, h, G H liên tục, hàm số ϕj fi , xác định với j = 1, 2, , N (:= m + 2q) i = 1, 2, , M (:= p + q) liên tục Tiếp theo, dễ thấy Sj := {x ∈ Rn : gj (x) ≤ 0} = {x ∈ Rn : ϕj (x) = 0}, j = 1, 2, , m, Sj := {x ∈ Rn : Gj (x) ≤ 0} = {x ∈ Rn : ϕm+j (x) = 0}, j = 1, 2, , q, 21 Sj := {x ∈ Rn : Hj (x) ≤ 0} = {x ∈ Rn : ϕm+q+j (x) = 0}, j = 1, 2, , q đó, ϕj (x) ≥ với x ∈ Rn j = 1, 2, , N Ta xét tập S0 := {x ∈ Rn : h(x) = 0, G(x), H(x) Rm = 0} Rõ ràng, S0 = {x ∈ Rn : fi (x) = 0, i = 1, 2, , M } Từ fi ϕi liên tục, Sj , j = 0, 1, , N tập đóng Hơn nữa, ta có S˜ = ∩N j=0 Sj C = {x ∈ Rn : x − PC (x) = 0}, kí hiệu PC (x) phép chiếu metric phần tử x ∈ Rn lên C Do đó, tốn MPEC (2.4) - (2.5) tương đương với toán tối ưu có ràng buộc đẳng thức sau: tìm phần tử x˜ ∈ C ∩ ∩N j=0 Sj cho ϕ(˜ x) = (2.7) ϕ(x) x∈C∩ ∩N j=0 Sj Để giải (2.7), ta giải hai toán con: (i) giải hệ phương trình phi tuyến ϕj (x) = 0, fi (x) = 0, với j = 1, 2, , N i = 1, 2, , M x − PC (x) = (ii) cực tiểu hàm số ϕ(x) C ∩ ∩N j=0 Sj Hiển nhiên, toán không chỉnh Để hiệu chỉnh đồng thời hai tốn con, ta cực tiểu hàm trơn Tikhonov tồn khơng gian Rn Cụ thể, ta tìm phần tử xα ∈ Rn cho Fα (xα ) = minn Fα (x), x∈R Fα (x) = x − PC (x) Rn + F (x) (2.8) RM + N ϕj (x) + αµ ϕ(x) + α x − x∗ + Rn j=1 với tham số α > cố định, F (x) = (f1 (x), f2 (x), , fM (x))T , µ ∈ (0, 1) số cố định x∗ phần tử Rn Liên quan tới hàm mục tiêu ϕ, giả sử ϕ(x) ≥ ∀x ∈ Rn có tập mức bị chặn, tức tập {x ∈ Rn : ϕ(x) ≤ c} bị chặn với c > Ta biết (xem 22 [4]) tốn (2.8) có nghiệm xα với α > Ngoài ra, nghiệm ổn định ϕ, g, h, G, H có nhiễu (xem thêm [4]) 2.3 Sự hội tụ phương pháp Định lý 2.1 Giả sử αk → k → ∞ Khi dãy {xk }, với xk := xαk nghiệm (2.8) với α thay αk , có dãy hội tụ Giới hạn dãy hội tụ nghiệm (2.4)-(2.5) Ngồi (2.4)-(2.5) có nghiệm ký hiệu x˜ lim xk = x˜ k→∞ Chứng minh Vì xk điểm cực tiểu Fα (x), từ (2.7) ta có N k k x − PC (x ) Rn k + F (x ) RM ϕj (xk ) + αkµ ϕ(xk ) + αk xk − x∗ + Rn j=1 (2.9) N ≤ y − PC (y) Rn + F (y) RM ϕj (y) + αkµ ϕ(y) + αk y − x∗ + Rn , j=1 với phần tử cố định y ∈ Rn Lấy y ∈ C∩ ∩N j=0 Sj , ta có y−PC (y) = = F (y) ϕj (xk ) ≥ ϕj (y), j = 1, 2, , N Do từ (2.9) suy ϕ(xk ) ≤ ϕ(y) + αk1−µ y − x∗ (2.10) Rn Từ ϕ chặn đều, tập {xk } bị chặn Lấy {xl } ⊂ {xk } cho xl → x¯ l → ∞ Ta chứng minh x¯ nghiệm (2.4)-(2.5) Thật vậy, từ (2.9) tính chất ϕ ϕj , ta thu ≤ xk − PC (xk ) Rn , F (xl ) l RM , ϕj (x ) ≤ αµ ϕ(y) + αl y − x∗ Rn Cho l → ∞ bất đẳng thức cuối, tính liên tục PC (xem tài liệu [4]), F ϕj đảm bảo x¯ = PC (¯ x), F (¯ x) = = ϕj (¯ x), tức x¯ ∈ C ∩ ∩N j=0 Sj Bây giờ, ta phải chứng minh x¯ nghiệm (2.4)-(2.5) Từ (2.10) với k thay l, suy ϕ(¯ x) ≤ ϕ(y), với y ∈ C ∩ ∩N ¯ nghiệm (2.7) Rõ j=0 Sj Do đó, x ràng, x˜ nhất, x¯ = x˜ dãy {xk } hội tụ tới x˜ k → ∞ Điều phải chứng minh 23 Giả sử thay {ϕ, C, fi , ϕj } nhiễu chúng {ϕδ , Cδ , fiδ , ϕδj } cho |ϕ(x) − ϕδ (x)| ≤ δ, H(Cδ , C) ≤ δ, (2.11) |fi (x) − fiδ (x)| ≤ δ, i = 1, 2, , M, |ϕj (x) − ϕδj (x)| ≤ δ, j = 1, 2, , N, ∀x ∈ Rn , δ → 0, fiδ ϕδj xác định fi ϕj trên, g, h, G, H cho xấp xỉ, H(Cδ , C) khoảng cách Hausdoff hai tập lồi đóng Cδ C Xét tốn tối ưu khơng ràng buộc sau: tìm phần tử xδα Rn cho Fαδ (xδα ) = minn Fαδ (x), α > 0, δ ≥ 0, x∈R N Fαδ (x) = x − PCδ (x) Rn δ + F (x) RM ϕδj (x) + αµ ϕ(x) + α x − x∗ + Rn j=1 (2.12) δ F δ (x) = (f1δ , f2δ , , fM (x))T Như nói trên, với α > tốn (2.12) có nghiệm ký hiệu xδα Ta có kết Định lý 2.2 Giả sử αk , δk → cho δk /αk → k → ∞ Khi dãy {xk }, với xk := xδαkk nghiệm (2.12) với α δ tương ứng thay αk δk , có dãy hội tụ Giới hạn dãy hội tụ nghiệm (2.4)-(2.5) Ngoài nghiệm x˜ lim xk = x˜ k→∞ Chứng minh Từ (2.12) suy N k k x − PCδk (x ) Rn δk k + F (x ) RM ϕδjk (xk ) + αkµ ϕδk (xk ) + j=1 + αk xk − x∗ Rn N ≤ y − PCδk (y) Rn δk + F (y) RM ϕδjk (y) + αkµ ϕδk (y) + j=1 24 + αk y − x∗ (2.13) Rn , với phần tử y ∈ Rn Như chứng minh Định lý 2.1, cách lấy y ∈ k C ∩ ∩N j=0 Sj , ta có y − PC (y) = 0, F (y = 0) ϕj (x ) ≥ ϕj (y), j = 1, 2, , N Khi đó, từ (2.13) ta thu xk − PCδk (xk ) Rn + F δk (xk ) + αkµ ϕδk (xk ) ≤ PC (y) − PCδk (y) RM Rn N δk F (y) − F (y) RM ϕδjk (y) + − ϕj (y) + αkµ ϕδk (y) + αk y − x∗ 2Rn , (2.14) j=1 đó, từ (2.11) (2.14) suy ϕδk (xk ) ≤ ϕδk (y) + δk (1 + M )δk2 + N µ + αk1−µ y − x∗ µ αk αk Rn Do (1 + M )δk2 δk + N µ + αk1−µ y − x∗ µ αk αk ϕ(xk ) ≤ ϕ(y) + 2δk + Rn (2.15) Vì δk , αk , δk /αk → k → ∞, ϕ có tập mức bị chặn, tập {xk } bị chặn Lấy {xl } dãy {xk } cho xl → x¯ l → ∞ Ta chứng minh x¯ nghiệm (2.4)-(2.5) Thật vậy, từ (2.14) ϕ(x) ≥ ∀x ∈ Rn suy xl − PCδl (xl ) Rn , F δl (xl ) RM ≤(1 + M )δk2 + αlµ ϕ(y) + 2δl αlµ + N δl + αl y − x∗ Rn Cho l → ∞ bất đẳng thức cuối dựa vào tính liên tục PC , F, αl , δl → (2.11), ta thu x¯ − PC (¯ x) = = F (¯ x), tức x¯ ∈ C ∩ S0 Bây giờ, ta chứng minh x¯ ∈ Sj với j = 1, 2, , N Vì với phần tử l y ∈ C ∩ ∩N j=0 Sj ϕj (y) = fi (y) = 0, từ (2.13) ϕj (x ) ≥ ta thu ϕδi l (xl ) + αlµ ϕδl (xl ) ≤ PC (y) − PCδk (y) Rn + F δk (y) − F (y) RM + ϕδi l (y) N ϕδjl (y) − ϕδjl (xl ) + αlµ ϕδl (y) + αl y − x∗ + j=i Rn 25 ≤ PC (y) − PCδk (y) Rn + F δk (y) − F (y) RM + ϕδi l (y) N ϕδjl (y) − ϕj (y) + ϕj (xl ) − ϕδjl (xl ) + αlµ ϕδl (y) + αl y − x∗ + Rn j=i Do đó, từ ϕ(xl ) ≥ ta có ≤ ϕi (xl ) ≤ (1 + M )δl2 + 2δl + 2(N − 1)δl + ϕδi l (y) + αlµ ϕδl (y) + ϕ(xl ) − ϕδl (xl ) + αl y − x∗ Rn ≤ (1 + M )δl2 + 2δl + 2(N − 1)δl + ϕδi l (y) + αlµ ϕδl (y) + αlµ δl + αl y − x∗ Rn Sau cho l → ∞ bất đẳng thức cuối ta thu ≤ ϕi (¯ x) ≤ ϕi (y) = Tức x¯ ∈ Si Cuối cùng, ta phải chứng minh x¯ nghiệm (2.6) Giống trên, với bất x) ≤ ϕ(y) ∀y ∈ C ∩ ∩N kỳ phần tử y ∈ C ∩ ∩N j=0 Sj j=0 Sj , từ (2.15) suy ϕ(¯ Rõ ràng x˜ nhất, dãy {xk } hội tụ tới x˜ k → ∞ Định lý chứng minh 2.4 Kết số Tiếp theo, ta trình bày số kết số cho trường hợp: ϕ(x) = (x1 − 3)2 + (x2 − 2)2 + x23 , hàm số g(x) chọn cho g(x) ≤ với x ∈ R3 , h(x) = Ax − b, A ma trận tồn phương với a22 = 1, aij = với i, j = b = (b1 , b2 , b3 )T = (0, 1, 0)T , hàm G, H : R3 → R2 có dạng sau: G(x1 , x2 , x3 ) = (x21 + x22 + x23 − 25, −x1 + 3), H(x1 , x2 , x3 ) = ((x1 − 3)2 + x22 + x23 − 4, x1 − 4), √ 3) ≤ 1} Khơng khó để kiểm tra √ (2.4)-(2.5) với hàm có nghiệm x˜ = (3, 1, 3) tập C = {x ∈ R3 : (x1 − 3)2 + x22 + (x3 − 26 Để tính tốn, ta cho µ = 1/2 với x∗ = (0, 0, 0) Tham số hiệu chỉnh αk = (1+k)−1 điểm xuất phát x0 = (20, 45, 15) Để cực tiểu hàm trơn Tikhonov sau Fαk (x) = x − PC (x) R3 + F (x) R3 1/2 + ϕ˜j (x) + αk ϕ(x) + αk x R3 , j=1 F (x) = (x2 − 1, (x − 12 + x22 + x23 − 25)((x1 − 3)2 + x22 + x23 − 4), (−x1 + 3)(x1 − 4)), ϕ˜1 (x) = ϕ1 (x) = ϕ˜2 (x) = ϕ22 (x) = ϕ˜3 (x) = ϕ3 (x) = ϕ˜4 (x) = ϕ24 (x) =   x21 + x22 + x23 − 25,  0,   (x1 − 3)2 , x21 + x22 + x23 − 25 > 0, x21 + x22 + x23 − 25 ≤ 0, với x1 > x2 , x3  0, với x1 ≤ x3 x2 , x3 ,   (x1 − 3)2 + x22 + x33 − 4, (x1 − 3)2 + x22 + x33 − > 0, (x1 − 3)2 + x22 + x33 − ≤ 0,  0,   (x1 − 4)2 , với x1 > x2 x3  0, với x1 ≤ x2 x3 Ta có bảng kết sau k xk1 xk2 xk3 k xk1 xk2 xk3 2,2123536 1,7350707 0,6042738 200 2,9763514 1,0888176 1,6773639 10 2,8053258 1,5666051 1,2267745 400 2,9865273 1,0630503 1,6939785 50 2,9173027 1,1960065 1,6005209 800 2,9919572 1,0451827 1,7051611 100 2,9711070 1,1011995 0,2686316 5000 2,9993828 1,0142965 1,7237032 Ngoài ra, thay {C, fi , ϕj , ϕ} nhiễu chúng {Cδk , fiδk , ϕδjk , ϕδk } ta Cδk = {x ∈ R3 : (x1 − 3)2 + x22 + (x3 − √ 3)2 ≤ (1 ∓ δk )2 }, ϕδk (x) = ϕ(x) ∓ δk , g δk (x) = g(x), bδk = b ∓ δk Gδk (x1 , x2 , , x3 ) = (x21 + x22 + x23 − 25 ∓ δk , −x1 + ∓ δk ), 27 H δk (x1 , x2 , x3 ) = ((x1 − 3)2 + x22 + x23 − ∓ δk , x1 − ∓ δk ) Bằng cách sử dụng phương pháp (2.12), phần tử xk cực tiểu hàm số sau Fαδkk = x − P Cδ k R3 + F δk 2R5 1/2 ϕ˜δjk (x) + αk ϕδk (x) + αk x + R3 , j=1 tính toán với δk = (1 + k)−2 αk = (1 + k)−1 , F δk (x) = (δk , x − − ∓ δk , δk , f4δk , f5δk ), f4δk = (x21 + x22 + x23 − 25 ∓ δk )((x1 − 3)2 + x22 + x23 − ∓ δk ), f5δk = (−x1 + ∓ δk )(x1 − ∓ δk ), ϕ˜δjk (x) xác định ϕ˜j (x) Kết số trường hợp cho bảng sau k xk1 xk2 xk3 k xk1 xk2 xk3 1,0199206 0,2686316 0,2686316 200 2,2984413 1,9999334 0,2686316 10 1,7190803 1,5334557 0,2686316 400 2,2984413 1,9999745 0,2686316 50 2,7953346 1,9894142 0,2686316 800 2,9908316 1,9999906 0,2686316 100 2,9615843 1,9996203 0,2686316 1000 1,9966234 1,9999960 0,2686316 2.5 Kết luận Chương Trong chương chúng tơi trình bày nội dung sau: Bài toán thực tế dẫn đến toán bù tổng quát Bài toán quy hoạch với ràng buộc toán bù tổng quát Sự hội tụ phương pháp Kết số 28 Kết luận Luận văn trình bày đạt số kết sau Trình bày số vấn đề không gian Euclid; lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh phương pháp đường dốc Trong Chương chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán quy hoạch với ràng buộc toán bù tổng quát Các vấn đề nghiên cứu dựa kết GS.TS Nguyễn Bường Nguyễn Thị Thúy Hoa 29 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Trần Vũ Thiệu Nguyễn Thị Thu Thủy (2000), Nhập môn tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [4] Buong N., Hoa N T T (2015), "Tikhonov regularization for mathematical programs with generalized complementarity constraints", Computational Math and Math Physisc, 54(4), pp 564-571 [5] Facchinei F., Pang J.-S.(2003), Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Vol I, Springer-Verlag ... 15 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán quy hoạch với ràng buộc toán bù tổng quát 16 2.1 Bài toán thực tế dẫn đến toán bù tổng quát 16 2.2 Bài toán quy hoạch với ràng buộc toán. .. chiều Bài tốn đặt khơng chỉnh Phương pháp đường dốc Trong chương sử dụng phương pháp cụ thể cho toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát 16 Chương Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán quy. .. HỌC TRỊNH THỊ HÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH VỚI RÀNG BUỘC LÀ BÀI TOÁN BÙ TỔNG QUÁT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng