Bài toán quy hoạch toàn phương có ràng buộc nón

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC HẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG CĨ RÀNG BUỘC NĨN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN NĂNG TÂM Thái Ngun - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Năng Tâm, người tận tình hướng dẫn phương hướng, nội dung phương pháp nghiên cứu suốt trình nghiên cứu, thực hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng sau đại học tạo điều kiện thuận lợi mặt cho tác giả trình tác giả học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Ngọc Hải i Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp PGS TS Nguyễn Năng Tâm Trong trình nghiên cứu đề tài luận văn, kế thừa thành khoa học nhà toán học nhà khoa học khác với trân trọng biết ơn Thái Nguyên, tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Ngọc Hải ii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm không gian Hilbert 1.2 Khái niệm ánh xạ đa trị 11 BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG CĨ RÀNG BUỘC NĨN 12 2.1 Bài toán tối ưu 12 2.2 Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 13 2.3 Điều kiện cực trị cho tốn qui hoạch tồn phương có ràng buộc nón 14 2.4 Sự ổn định tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 17 2.4.1 Sự ổn định tập hợp điểm KKT 17 2.4.2 Sự ổn định tập nghiệm toàn cục 22 2.4.3 Tính liên tục hàm giá trị tối ưu 26 2.5 Kết luận chương 29 iii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 30 iv Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG Rn không gian Euclid n-chiều chuẩn Euclid Rn x, y tích vơ hướng hai véc tơ x; y B x0 , ε = x ∈ Rn : x − x0 < hình cầu mở Rn có tâm x0 , bán kính ε A ∈ Rn×n ma trận đối xứng clS bao đóng tập hợp S intS miền tập hợp S S (Q, a, c) tập hợp điểm KKT loc (Q, c, a) nghiệm địa phương (P ) Sol (Q, c, a) nghiệm (toàn cục) (P ) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết tối ưu có nhiều ứng dụng lý thuyết toán thực tế chẳng hạn, quy hoạch tài nguyên, thiết kế chế tạo máy, điều khiển tự động, quản trị kinh doanh, kiến trúc đô thị, cơng nghệ thơng tin Chính vậy, lĩnh vực Tối ưu hóa ngày trở nên đa dạng Hiện nay, mơn học Tối ưu hóa đưa vào giảng dạy nhiều chương trình đào tạo đại học cho ngành khoa học bản, kỹ thuật - công nghệ, kinh tế - quản lý, sinh học - nông nghiệp, xã hội - nhân văn, sinh thái - mơi trường Quy hoạch tồn phương lĩnh vực Tối ưu hóa Lý thuyết quy hoạch toàn phương nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [5], [7] Sau thời gian học cao học, với mong muốn tìm hiểu sâu tốn ứng dụng, tơi chọn đề tài Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm nắm định nghĩa, định lí, tính chất Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón ứng dụng tốn liên quan đến vấn đề thực tiễn Qua đó, giúp củng cố kiến thức học như: không gian Rn , khơng gian affine, giải tích hàm, Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống hoá vấn đề lý luận kiến thức sở liên quan đến nội dung tốn Hệ thống hố định nghĩa, tính chất, ví dụ ứng dụng Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón Giả thuyết khoa học Trên sở nghiên cứu mở rộng tốn quy hoạch tồn phương để áp dụng giải vấn đề thực tiễn, toán thực tế người nhằm nâng cao hiệu công việc Phương pháp nghiên cứu Quá trình làm luận văn sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu, chủ yếu phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận xét q trình nghiên cứu lí thuyết Đầu tiên, sau tìm nguồn tài liệu tham khảo tổng hợp kiến thức với kiến thức sẵn có Sau đó, tiến hành so sánh, phân tích chúng, chọn kiến thức trọng tâm, đáng ghi nhớ, từ đưa nhận xét riêng Cuối cùng, tổng hợp, trình bày lại theo ý hiểu cách rõ ràng Đóng góp luận văn Hệ thống hoá vấn đề lý luận liên quan đến đề tài Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Vận dụng Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón vào giải tốn, vấn đề thực tế sống người Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm không gian Hilbert 1.2 Khái niệm ánh xạ đa trị 1.3 Kết luận chương Chương 2: Bài tốn Quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.1 Bài tốn tối ưu 2.2 Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.3 Điều kiện cực trị cho tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.4 Sự ổn định tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.5 Kết luận chương Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Những nội dung trình bày chương chủ yếu lấy từ [1], [3], [4] [7] 1.1 Khái niệm không gian Hilbert Cho V không gian véc tơ trường số thực R Định nghĩa 1.1 Ta gọi ánh xạ , : V × V → R; (x, y) → x, y tích vơ hướng V điều kiện sau thỏa mãn: Với x, y, z ∈ V α ∈ R i) x, y = y, x ii) αx, y = α x, y iii) x, y + z = x, y + x, z iv) x, x ≥ 0, x, x = x = Số x, y gọi tích vơ hướng x y Không gian véc tơ V với tích vơ hướng xác định gọi khơng gian có tích vơ hướng thường viết (V, , ) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 17 2.4 Sự ổn định tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón Định nghĩa 2.2 Chúng ta nói x ∈ V điểm KKT (KarushKuhn-Tucker) (2.2) có s ∈ V thoả mãn s ∈ K ∗, x ∈ K ∩ (a + X) , Qx + c − s ∈ X ⊥ , x, s = (2.4) Kí hiệu tập hợp điểm KKT, nghiệm địa phương, nghiệm (toàn cục) (2.2) S(Q, c, a), loc(Q, c, a), Sol(Q, c, a) Theo Định lý 2.1, intK ∩ (a + X) = ∅ Sol(Q, c, a) ⊂ loc(Q, c, a) ⊂ S(Q, c, a) Kí hiệu ϕ (Q, c, a) := inf {f (x, Q, c) : x ∈ (a + X) ∩ K} giá trị tối ưu (2.2) Trong phần nghiên cứu điều kiện cần đủ cho tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ đa trị: Tập điểm KKT (Q, c, a) → S(Q, c, a), tập nghiệm toàn cục (Q, c, a) → Sol(Q, c, a) điều kiện cho tính liên tục hàm giá trị tối ưu (Q, c, a) → ϕ(Q, c, a) 2.4.1 Sự ổn định tập hợp điểm KKT Kí hiệu Q := x ∈ X ∩ K : Qx ∈ X ⊥ Chúng ta nghiên cứu điều kiện cần cho tính nửa liên tục tập hợp điểm KKT toán (2.2) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 18 Định lý 2.2 ( Điều kiện cần cho ổn định I ) Giả sử (a + X) ∩ K khác rỗng tập hợp điểm KKT S(Q, c, a) bị chặn Nếu ánh xạ đa trị S (·, ·, a) nửa liên tục (Q, c) Q = {0} Chứng minh Giả sử phản chứng rằng, (a + X) ∩ K = ∅, S(Q, c, a) bị chặn, S (·, ·, a) nửa liên tục (Q, c), Q = {0} Vì ∈ Q, tồn x¯ = thoả mãn x¯ ∈ X ∩ K, Q¯ x ∈ X ⊥ (2.5) Chọn a ˜ ∈ (a + X) ∩ K ý (˜ a + X) ∩ K = (a + X) ∩ K Với t > 0, giả sử xt = 1t x¯ + a ˜ Vì a ˜ ∈ K, (2.5) ta có xt ∈ (˜ a + X) ∩ K = (a + X) ∩ K (2.6) Chúng ta khẳng định rằng, tồn toán tử Qt ∈ £s (V ) có dạng Qt = Q + tQ0 véc tơ ct ∈ V có dạng ct = c + tc0 cho Qt x t + ct ∈ X ⊥ , (2.7) tốn tử Q0 ∈ Ls (V ) véc tơ c0 xây dựng phần Lưu ý Qt xt + ct = (Q + tQ0 ) x¯ + a ˜ + (c + tc0 ) t = Q¯ x + (Q0 x¯ + Q˜ a + c) + t (Q0 a ˜ + c0 ) t Vì thế, ta có Q0 x¯ + Q˜ a+c=0 (2.8) Q0 a ˜ + c0 = 0, (2.9) (2.7) thỏa mãn Do V hữu hạn chiều x¯ = 0, tồn Q0 ∈ LS (V ) thoả mãn điều kiện Q0 x¯ = −(Q˜ a + c) Thật thế, chọn sở trực chuẩn (B) V Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 19 Giả sử (¯ x1 , , x¯n ) tọa độ x¯, (b1 , , bn ) tọa độ −(Q˜ a + c) (B) Giả sử I = {i : x¯i = 0} ⊂ {1, , n} ¯ = (qij ) , Do x¯ = 0, ta có I = ∅ Cố định số i0 ∈ I Đặt Q qij (1 ≤ i, j ≤ n) định nghĩa sau: qii = (¯ xi )−1 bi ∀i ∈ I, qi0 j = qji0 = (¯ xi )−1 bj ∀j ∈ {1, , n} \ I, ¯ ma qij = cho cặp (i, j) khác với ≤ i, j ≤ n Rõ ràng, Q trận đối xứng Bây giờ, cho Q0 tốn tử từ V đến cho ma ¯ chọn Dễ dàng kiểm tra trận liên kết với Q0 sở (B) Q Q0 toán tử mong muốn Đặt c0 = −Q0 a ˜, ta thấy (2.8) (2.9) thoả mãn Do (2.7) Bây giờ, đặt st = Từ (2.6) (2.7) ta có st ∈ K ∗ , Qt xt + ct − st ∈ X ⊥ , xt ∈ (a + X) ∩ K, xt , st = Điều cho thấy xt ∈ S (Qt , ct , a) Giả sử Ω ⊂ V tập hợp mở bị chặn thoả mãn S(Q, c, a) ⊂ Ω Vì limt→0 Qt = Q limt→0 ct = c, từ tính chất nửa liên tục S (·, ·, a) suy xt ∈ Ω với t > đủ bé Điều vơ lý, lim xt = lim t→0 t→0 x¯ + a = +∞ t Định lý 2.3 (Điều kiện cần cho ổn định II) Giả sử Q ∈ LS (V ) , c ∈ V, (a + X) ∩ K khác rỗng, S(Q, c, a) bị chặn Nếu S (·, ·, a) nửa liên tục (Q, c) S (Q, 0, 0) ∩ intK = ∅ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 20 Chứng minh Giả sử phản chứng rằng, giả thiết thoả mãn, S (·, ·, a) nửa liên tục (Q, c), S (Q, 0, 0)∩intK = ∅ Chọn vectơ khác không x¯ ∈ S (Q, 0, 0) ∩ intK Theo định nghĩa điểm KKT, tồn s¯ ∈ V cho s¯ ∈ K ∗ , x¯ ∈ K ∩ X, Q¯ x − s¯ ∈ X ⊥ , x¯, s¯ = (2.10) Vì x¯ ∈ intK, từ đẳng thức (2.10) suy s¯ = Khi đó, bao hàm thức thứ ba (2.10) suy Q¯ x ∈ X ⊥ Do (2.5) thoả mãn Từ kết lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2, dẫn đến mâu thuẫn Nếu a = (2.2) tốn tối ưu hố có ràng buộc nón x ∈ X ∩ K Bây xét tính ổn định tập hợp điểm KKT Định lý 2.4 (Điều kiện cần cho ổn định III) Giả sử Q ∈ LS (V ) , c ∈ V, S(Q, c, 0) bị chặn Nếu S (·, c, 0) nửa liên tục Q S (Q, 0, 0) = {0} Chứng minh Ngược lại, giả sử S(Q, c, 0) bị chặn, S (·, c, 0) nửa liên tục Q, S (Q, 0, 0) = {0} Cố định vectơ khác không x¯ ∈ S (Q, 0, 0) Theo định nghĩa điểm KKT, tồn s¯ ∈ V cho (2.10) thoả mãn Tương tự chứng Định lý 2.2, xây dựng tốn tử tuyến tính đối xứng Q0 : V → V cho Q0 x¯ + c = Đối với t > 0, giả sử xt = x¯, t st = s, ¯ t (2.11) Qt = Q + tQ0 Sử dụng (2.10) ta nhận Qt xt + c − st ∈ X ⊥ , (2.12) Từ (2.10) - (2.12) suy xt ∈ S (Qt , c, 0) với t > Dùng bao hàm cuối cùng, ta đến mâu thuẫn Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 21 Định lý 2.5 Giả sử Q ∈ LS (V ) , c ∈ V, a ∈ V Giả sử rằng, K ∗ ∩ X ⊥ = {0} điều kiện sau thoả mãn: (a) {x ∈ X ∩ K : x, Qx = 0} = {0} , (b) S (Q, 0, 0) = {0} Khi S (·) nửa liên tục (Q, c, a) Chứng minh Dùng phương pháp phản chứng, ta giả sử điều kiện (a), (b) thoả mãn S (·) không nửa liên tục (Q, c, a) Khi tồn tập hợp mở Ω ⊂ V chứa S(Q, c, a), dãy xk Qk , ck , ak LS (V ) × V × V hội tụ đến (Q, c, a), dãy V cho xk ∈ S Qk , ck , ak xk ∈ / Ω với k Đối với k có sk ∈ V thoả mãn sk ∈ K ∗ , Qk xk + ck − sk ∈ X ⊥ , xk ∈ ak + X ∩ K, xk , sk = (2.13) xk , sk Đầu tiên ta xét trường hợp mà bị chặn Khi xk sk dãy bị chặn Không tính tổng quát, ta giả sử xk → x¯ sk → s¯ Từ (2.13) ta có: s¯ ∈ K ∗ , x¯ ∈ (a + X) ∩ K, Q¯ x + c − s¯ ∈ X ⊥ , x¯, s¯ = Ta x¯ ∈ s (Q, c, a) ⊂ Ω, điều vô lý, xk ∈ / Ω với k xk , sk Do dãy xk , sk → ∞ giả sử xk , sk không bị chặn Không tính tổng quát giả sử xk , sk −1 = với k Do đó, xk , sk → (ˆ x, sˆ) với xˆ, sˆ = Dùng (2.13) ta sˆ ∈ K ∗ , xˆ ∈ X ∩ K, Qˆ x − sˆ ∈ X ⊥ , xˆ, sˆ = (2.14) Xét trường hợp điều kiện (a) thoả mãn Từ (2.14) giả thiết {x ∈ X ∩ K | x, Qx = 0} = {0} , dễ suy xˆ = Vì thế, từ (2.14) sˆ ∈ K ∗ ∩ X ⊥ Từ điều kiện K ∗ ∩ X ⊥ = {0} , ta có sˆ = Từ kết đó, có (ˆ x, sˆ) = (0, 0) , mâu thuẫn Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 22 Bây ta xét trường hợp (b) thoả mãn Từ (2.14) cho ta xˆ ∈ S (Q, 0, 0) Theo giả thiết xˆ = Dùng (2.14) lần nữa, ta có sˆ ∈ K ∗ ∩ X ⊥ Từ điều kiện K ∗ ∩ X ⊥ = {0} , dẫn đến (ˆ x, sˆ) = (0, 0) Điều vô lý 2.4.2 Sự ổn định tập nghiệm toàn cục Phần giới thiệu vài điều kiện cho ổn định tập nghiệm toàn cục (2.2) Chúng ta bắt đầu điều kiện đủ cho tính chất nửa liên tục Sol (·) Định lý 2.6 (Điều kiện đủ cho tính chất nửa liên tục I) Giả sử Q ∈ LS (V ) , c ∈ V, a ∈ V Nếu (a + X)∩(intK) = ∅ S (Q, 0, 0) = {0} , Sol (·) nửa liên tục (Q, c, a) Chứng minh Nếu khẳng định định lý sai ta tìm tập hợp mở Ω với S(Q, c, a) ⊂ Ω, dãy Qk , ck , ak hội tụ tới (Q, c, a), dãy xk thoả mãn xk ∈ Sol Qk , ck , ak \ Ω với k Nếu xk bị chặn cho xk → x¯ với x¯ ∈ V Vì xk ∈ ak + X ∩ K, ta có x¯ ∈ (a + X) ∩ K Giả sử x ∈ (a + X) ∩ K cho cách tuỳ ý Khi có dãy {kj } {k} dãy y kj , y kj ∈ akj + X ∩ (intK) , cho y kj → x Thật vậy, giả sử x = a + x0 với x0 ∈ X Chọn y ∈ (a + X) ∩ (intK) Giả sử y = a + y với y ∈ X Ta có 1 y+ 1− x ∈ intK j j ∀j ≥ Từ suy 1 a + y0 + − x0 ∈ (a + X) ∩ (intK) ∀j ≥ j j Do akj → a, với j ≥ tồn kj > j cho Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 23 1 y kj := akj + y + − x0 ∈ intK j j jy Vì + 1− j x0 ∈ X, ta có y kj ∈ akj+X ∩ (intK) y kj → x j → ∞ Do xk ∈ Sol Qk , ck , ak , ta có f xkj , Qkj , ckj ≤ f y kj , Qkj , ckj Lấy giới hạn bất đẳng thức trên, ta f (¯ x, Q, c) ≤ f (x, Q, c) ∀ x ∈ (a + X) ∩ K Điều nàu cho ta x¯ ∈ Sol (Q, c, a) ⊂ Ω, mâu thuẫn với xk ∈ / Ω với k xk → x¯ Bây giả sử xk khơng bị chặn Chúng ta giả sử xk → xˆ, xk xˆ ∈ Ω ∩ X, xˆ = Cố định x ∈ (a + X) ∩ K Vì x ∈ (a + X) ∩ K = ∅, trên, ta có dãy {kj } {k} dãy y kj , y kj ∈ akj + X ∩ K, cho y kj → x Ta có f xkj , Qkj , ckj ≤ f y kj , Qkj , ckj Chia bất đẳng thức cho xkj giả sử j → ∞, ta xˆ, Qˆ x ≤ Từ điều suy Sol(Q, 0, 0) = ∅, xˆ ∈ Sol (Q, 0, 0) Trong hai trường hợp, có Sol(Q, 0, 0) = {0} , mâu thuẫn Hệ 2.1 Giả sử Q ∈ LS (V ) , c ∈ V, a ∈ V Nếu (a + X) ∩ (intK) = ∅ X ∩ K = {0} , Sol (·) nửa liên tục (Q, c, a) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 24 Chứng minh Giả sử X ∩ K = {0} , Sol(Q, 0, 0) = {0} Khi theo định lý Sol (·) nửa liên tục (Q, c, a) Trong định lí sau, điều kiện Sol(Q, 0, 0) = {0} Định lý 2.6 thay S(Q, 0, 0) = {0} Nhưng phải đặt thêm giả thiết K ∗ ∩ X ⊥ = {0} Định lý 2.7 (Điều kiện đủ cho tính chất nửa liên tục II) Giả sử Q ∈ LS (V ) , c ∈ V, a ∈ V Nếu (a + X) ∩ (intK) = ∅, S (Q, 0, 0) = {0} , K ∗ ∩ X ⊥ = {0} , Sol (·) nửa liên tục (Q, c, a) Chứng minh Nếu Sol (·) không nửa liên tục (Q, c, a), tồn tập hợp mở Ω ⊂ V chứa S(Q, c, a), tồn dãy Qk , ck , ak hội tụ tới (Q, c, a), dãy xk V thoả mãn xk ∈ Sol Qk , ck , ak \ Ω với k Nếu dãy xk bị chặn cho xk → x¯ ∈ (a + X) ∩ K Cho x ∈ (a + X) ∩ K, theo điều kiện (a + X) ∩ (intK) = ∅ tìm dãy y kj , y kj ∈ akj + X ∩ (intK) , {kj } dãy {k} cho y kj → x (thấy từ chứng minh Định lý 2.6) Lấy giới hạn qua bất đẳng thức f xkj , Qkj , ckj ≤ f y kj , Qkj , ckj , ta f (¯ x, Q, c) ≤ f (x, Q, c) Do đó, x¯ ∈ Sol (Q, a, c) ⊂ Ω Điều mâu thuẫn với việc xk ∈ / Ω với k xk → x¯ Do xk k sử x khơng bị chặn Chúng ta giả = với k xk → x¯ Như đề cập trên, theo giả thiết (a + X) ∩ (intK) = ∅ tìm dãy y kj , y kj ∈ akj + X ∩ (intK) , {kj } dãy {k} Do akj + X ∩ (intK) = ∅ với j Theo Định lý 2.1 ta có Sol Qkj , ckj , akj ⊂ S Qkj , ckj , akj Do tồn skj ∈ V cho  skj ∈ K ∗ , xkj ∈ akj + X ∩ K, Qxkj + ckj − skj ∈ X ⊥ , xkj , skj = Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.15) 25 Vì xkj , skj ≥ xkj → ∞, ta giả sử xkj , skj → (ˆ x, sˆ) , (xkj , skj ) Chia bao hàm (2.15) cho cho xkj , skj sˆ ∈ K ∗ , (ˆ x, sˆ) = xkj , skj đẳng thức lấy giới hạn j → ∞, ta xˆ ∈ X ∩ K, Qˆ x − sˆ ∈ X ⊥ , xˆ, sˆ = (2.16) Điều cho thấy xˆ ∈ s (Q, 0, 0) Do xˆ = theo giả thiết Khi từ (2.16) ta có −ˆ s ∈ K ∗ ∩ X ⊥ Từ điều kiện K ∗ ∩ X ⊥ = {0} suy sˆ = Điều vơ lý (ˆ x, sˆ) = Bây ta thiết lập tiêu chuẩn cho tính chất nửa liên tục tập nghiệm (2.2) Định lý 2.8 (Điều kiện cần đủ cho tính chất nửa liên tục dưới) Giả sử Q ∈ LS (V ) , c ∈ V, a ∈ V , (a + X)∩(intK) = ∅, X ∩K = {0} Khi ánh xạ Sol (·) nửa liên tục (Q, c, a) Sol(Q, c, a) có phần tử (đơn tử) Chứng minh Điều kiện cần: Ngược lại, giả sử Sol (·) nửa liên tục (Q, c, a) Sol(Q, c, a) khơng đơn tử Vì X ∩ K = {0} (a + X) ∩ (intK) = ∅, ta có (a + X) ∩ K khác rỗng compact, Sol(Q, c, a) khác rỗng Vì Sol(Q, c, a) khơng đơn tử, tồn x¯, y¯ ∈ Sol(Q, c, a) cho x¯ = y¯ Giả sử c0 ∈ V thỏa mãn c0 = c0 , x¯ − y¯ > Khi chọn lân cận mở U x¯ cho c0 , x > c0 , y¯ ∀x ∈ U (2.17) Giả sử δ > cho cách tuỳ ý Cố định giá trị ε ∈ (0, δ) c = c + εc0 cho thoả mãn điều kiện c − c = ε < δ Ta Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 26 Sol (Q, c , a) ∩ U = ∅ Với x ∈ [(a + X) ∩ K] ∩ U, x¯, y¯ ∈ Sol(Q, a, c), từ (2.2) ta có 1 x, Qx + c , x = x, Qx + c, x + ε c0 , x 2 ≥ x¯, Q¯ x + c, x¯ + ε c0 , x¯ > y¯, Q¯ y + c, y¯ + ε c0 , y¯ = y¯, Q¯ y + c , y¯ Điều cho thấy x ∈ / Sol (Q, c , a) Do đó, với δ > tồn c ∈ V thỏa mãn c − c < δ, cho Sol (Q, c , a) ∩ U = ∅ Điều mâu thuẫn với tính chất nửa liên tục Sol (Q, ·, a) c Điều chứng tỏ Sol(Q, c, a) đơn tử Điều kiện đủ: Giả sử Sol (Q, c, a) = {¯ x} U ⊂ V tập hợp mở với x¯ ∈ U Từ (a + X) ∩ (intK) = ∅, tồn tập mở W ⊂ V cho (a + X) ∩ K = ∅ với a ∈ W Kết hợp với giả thiết X ∩ K = {0} , ta thấy (a + X) ∩ K tập compact khác rỗng với a ∈ W Do Sol (Q , c , a ) = ∅ với (Q , c , a ) ∈ LS (V ) × V × W Vì (a + X) ∩ (intK) = ∅ X ∩ K = {0} , ta có Sol (·) nửa liên tục (Q, c, a) theo Hệ 2.1 Do có lân cận WQ × Wc × Wa (Q, c, a) LS (V ) × V × V cho Sol (Q , c , a ) ⊂ U ∀ (Q , c , a ) ∈ WQ × Wc × Wa Điều cho thấy Sol (·) nửa liên tục (Q, c, a) 2.4.3 Tính liên tục hàm giá trị tối ưu Trong phần cuối này, nghiên cứu tính liên tục hàm lấy giá trị thực ϕ (·) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 27 Định lý 2.9 (Điều kiện cần đủ cho tính chất nửa liên tục trên) Giả sử Q ∈ LS (V ) , c ∈ V, a ∈ V Nếu (a + X) ∩ (intK) = ∅, ϕ (·) nửa liên tục (Q, c, a) Chứng minh Giả sử Qk , ck , ak dãy hội tụ tới (Q, c, a) Chọn dãy {k } {k} cho lim supϕ Qk , ck , ak = lim ϕ Qk , ck , ak k →∞ k→∞ (2.18) Vì (a + X) ∩ K = ∅tacϕ (Q, c, a) < +∞ Khi ta có dãy {xm } (a + X) ∩ K cho lim f (xm , Q, c) = ϕ (Q, c, a) m→∞ Giả sử xm = a + v m , v m ∈ X Cố định y ∈ (a + X) ∩ (intK) đặt y = a + v , v ∈ X Với m ≥ l ≥ 2, ta có 1 y+ 1− xm ∈ intK l l Thay y = a + v xm = a + v m , vào bao hàm trên, ta 1 m a + v0 + − v ∈ intK l l Khi limk →∞ ak = a, với l ≥ tồn số k (l) > l cho 1 m y k (l),m := ak (l) + v + − v ∈ intK l l Khi ta có y k (l),m ∈ ak (l) + X ∩ (intK) lim y k (l),m = a + v m = xm l→∞ Từ y k (l),m ∈ ak (l) + X ∩ K, ta có ϕ Qk (l) , ck (l) , ak (l) ≤ f y k (l) , Qk (l) , ck (l) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 28 Vì lim ϕ Qk (l) , ck (l) , ak (l) ≤ f (xm , Q, c) l→∞ Theo (2.18), ta suy lim supϕ Qk , ck , ak ≤ f (xm , Q, c) k→∞ Lấy giới hạn m → ∞, ta lim supϕ Qk , ck , ak ≤ ϕ (Q, c, a) k→∞ Điều chứng tỏ tính chất nửa liên tục ϕ (·) (Q, c, a) Định lý 2.10 (Điều kiện cần đủ cho tính liên tục) Giả sử Q ∈ LS (V ) , c ∈ V, a ∈ V Nếu (a + X) ∩ (intK) = ∅, X ∩ K = {0} , ϕ (·) liên tục (Q, c, a) Chứng minh Giả sử (a + X)∩(intK) = ∅, X ∩K = {0} Theo Định lý 2.9, ϕ (·) liên tục (Q, c, a) Để chứng minh tính chất nửa liên tục ϕ (·) , cho dãy Qk , ck , ak → ϕ (Q, c, a) , ta có lim inf ϕ Qk , ck , ak ≥ ϕ (Q, c, a) k→∞ Dùng phương pháp phản chứng, giả sử lim inf ϕ Qk , ck , ak < ϕ (Q, c, a) (2.19) k→∞ Chọn dãy {k } {k} cho lim inf ϕ Qk , ck , ak = lim ϕ Qk , ck , ak k →∞ k→∞ (2.20) Theo (2.19) (2.20), tồn k0 số thực α < ϕ (Q, c, a) cho ϕ Qk , ck , ak ≤ α ∀k ≥ k0 Khi đó, ∀k ≥ k0 ta có ak + X ∩ K = ∅ Từ giả thiết X ∩ K = {0} , ak + X ∩ K tập compact Do Sol Qk , ck , ak Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN = ∅ ∀k ≥ k0 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 29 Với k ≥ k0 tồn xk ∈ ak + X ∩ K cho f Qk , ck , ak = ϕ Qk , ck , ak ≤ α Giả sử xk = ak + v k , v k ∈ X Nếu xk vk khơng bị chặn không bị chặn, việc xét dãy (nếu cần), ta có vk vk → v¯ ∈ X ∩ K, v¯ = Nhưng điều trái với giả thiết X ∩ K = {0} Do xk bị chặn Khơng tính tổng qt, cho xk → x¯ ∈ (a + X)∩∩K Do lim f Qk , ck , ak k →∞ = f (¯ x, Q, c) ≤ α Do α < ϕ (Q, c, a), ta f (¯ x, Q, c) < ϕ (Q, c, a) , vô lý Vậy định lý chứng minh 2.5 Kết luận chương Trong chương trình bày số nội dung tốn quy hoạch bình phương có ràng buộc nón Cụ thể: trình bày điều kiện cực trị tính ổn định tập hợp điểm KKT, tập nghiệm tồn cục tính liên tục hàm giá trị tối ưu Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 30 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kiến thức tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón, bao gồm điều kiện cực trị tính ổn định tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày điều kiện cực trị tính ổn định tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón Việc nghiên cứu tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón cịn địi hỏi nhiều thời gian cơng sức Với lực cịn hạn chế thời gian có hạn luận văn khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót Kính mong q thầy bạn độc giả đóng góp ý kiến để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB khoa học kỹ thuật Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (bản thảo), Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng [4] Nguyễn Đơng n (2010), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ [B] Tài liệu tiếng Anh [5] G M Lee, N N Tam N D Yen (2009), Stability of a class of quadratic pragram with a conic cosntraint, Vol 13, No 6A, pp 1823-1836 [6] L Faybusovich and Y Lu, Jordan-algebraic aspects of nonconvex optimization over symmetric cones, Appl Math Optim, 53 (2006), 67-77 [7] H.Tuy (1997), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... Chương 2: Bài toán Quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.1 Bài tốn tối ưu 2.2 Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.3 Điều kiện cực trị cho tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 2.4... 11 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG CĨ RÀNG BUỘC NĨN 12 2.1 Bài tốn tối ưu 12 2.2 Bài toán quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón 13 2.3 Điều kiện cực trị cho toán qui hoạch. .. tài Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm nắm định nghĩa, định lí, tính chất Bài tốn quy hoạch tồn phương có ràng buộc nón ứng