S6 CHUYÊN đề 4 CHỦ đề 1 các TÍNH CHẤT cơ bản và bài TOÁN ƯCLN BCNN

CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN phần III Các công thức bị hoá ảnh ĐS6 CHUYÊN ĐỀ - ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ BÀI TỐN ƯCLN VÀ BCNN PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA VỀ ƯỚC VÀ BỘI Ước: Số tự nhiên d  gọi ước số tự nhiên a a chia hết cho d Ta nói d ước a Nhận xét: Tập hợp ước a Ư  a    d  ¥ : d | a Bội: Số tự nhiên m gọi bội a  m chia hết cho a hay a ước số m Nhận xét: Tập hợp bội a  a   B  a    0; a; 2a; ; ka , k  Z 2) Tính chất: - Số bội số nguyên khác Số khơng phải ước số nguyên - Các số 1 ước số nguyên - Nếu Ư  a    1; a a số nguyên tố - Số lượng ước số : Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A a x b y c z … số lượng ước A bằng  x  1  y  1  z  1 … Thật ước A số có dạng mnp …trong đó: x m có x  cách chọn (là 1, a, a , , a ) y n có y  cách chọn (là 1, b, b , , b ) z p có z  cách chọn (là 1, c, c , , c ),…  x  1  y  1  z  1 Do đó, số lượng ước A bằng TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN II Ước chung bội chung 1) Định nghĩa Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư ước số chung a b Kí hiệu: ƯC Nhận xét: Nếu ƯC  a Ư  b có phần tử chung phần tử gọi  a; b   a; b    1 a b nguyên tố  a; b  ¢  Ước chung lớn (ƯCLN): Số d  ¥ gọi ước số chung lớn a b d phần tử lớn tập hợp ƯC  a; b  gcd  a; b  Kí hiệu ước chung lớn a b ƯCLN  a; b   a; b  Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B số chung a b Kí hiệu BC  a B  b có phần tử chung phần tử gọi bội  a; b  Bội chung nhỏ (BCNN): Số m  gọi bội chung nhỏ a b m số nhỏ khác tập hợp BC  a; b lcm  a; b  Kí hiệu bội chung nhỏ a b BCNN  a; b   a; b  2) Tính chất Một số tính chất ước chung lớn nhất: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ● Nếu  a1 ; a2 ; ; an   ta nói số a1 ; a2 ; ; an ● Nếu  am ; ak   1, m  k , m, k   1;2; ; n ngun tố ta nói số a1 ; a2 ; ; an đôi nguyên tố  a b   a; b  ;   a; b   c c  c ● c  ƯC a b d   a; b    ;   d d  ● ●  ca; cb   c  a; b  ●  a; b    a; c    a; bc   ●  a; b; c     a; b  ; c  ● Cho a  b   a; b   b - Nếu a  b.q - Nếu a  bq  r  r    a; b    b; r  Một số tính chất bội chung nhỏ nhất: M M   ;   a; b   M ● Nếu   a b  ● ● ●  a; b; c    a; b  ; c   ka, kb  k  a, b ;  a; b   a; b   a.b PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Các tính chất toán ƯCLN BCNN I Phương pháp giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN x y z Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A a b c … số lượng ước A bằng  x  1  y  1  z  1 … Thật ước A số có dạng mnp …trong đó: x m có x  cách chọn (là 1, a, a , , a ) y n có y  cách chọn (là 1, b, b , , b ) z p có z  cách chọn (là 1, c, c , , c ),…  x  1  y  1  z  1 Do đó, số lượng ước A bằng II Bài toán 96 Bài 1: Tìm số ước số 18 Lời giải: Ta có : 1896   32.2  Vậy số ước số 96  3192.296 1896  96  1  192  1  97.193  18721 Bài 2: Chứng minh rằng số tự nhiên lớn số chính phương số ước số số lẻ Lời giải: Giả sử n  p1a1 p2a2 pkak với * pi nguyên tố  N n số chính phương Mặt khác  a1  1  a2  1  ak  1 a1 , a2 , , ak số chẵn  a1  1  a2  1  ak  1 số lẻ số số ước n, toán chứng minh Bài 3: Một số tự nhiên n tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằng n khơng thể có 17 ước số TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Lời giải Tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp có dạng : n   m  1  m   m  1  3m  2 số chính phương Nếu n có 17 ước số n số chính phương (bài tốn 1), vơ lí Từ suy điều phải chứng minh Bài 3: Cho (a, b)  1; a  b Chứng minh rằng: a) (a, a  b)  b) (b, a  b)  c) (ab, a  b)  d) (a , a  b)  Lời giải a Md ( a, a  b)  d ( d  N * )    b Md  d UC ( a, b)  d U (UC (a, b))  1Md  d  a  b M d  a) Đặt ab Md (ab, a  b)  d   a  b Md c) Giả sử d  Gọi p số ước nguyên tố d (1 số tự nhiên khác bào tồn tại ít ước ab Mp  d Mp   a  b Mp nguyên tố)  a Mb  b Mp ab Mp    p  UC (a, b)  p  U (ucln(a, b))  1Mp  p  b M p  a M p  Ta có: (vơ lý) Vậy d   ( ab; a  b)    a Mp  a Mp  bMp  a 2b Md  a 2bMp     b Mp  a Mp   a  bMd  a  bMp  a  b Mp d) Bài 3: Biết rằng abc bội chung ab; ac; bc Chứng minh rằng: a) abc bội bc TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC b) abc bội 11 Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Lời giải a) abc : ab  10ab  c Mab  c Mab  c  (do c có chữ số, ab có hai chữ số) - abc Mac  (100a  10b)M 10a  b Ma  c  * Đặt b  ak ( k  N ) abc Mba  100a  10bM(10b  a)  99a M 10b  a  99a M 10ak  a  99M 10k   10k   11  c  0; b  ak  -  k   a  b; c  bc  đpcm Vì abc Mac  abc M 11  đpcm b) abc  aa  110a M Bài 4: Biết rằng a  a, b (a, b)  ab  a, b  600;(a, b) nhỏ 10 lần (a, b) Số thứ 120, tìm số thứ hai b (a, b) = 12, [a, b] lớn gấp lần (a, b) Số thứ 24, tìm số thứ hai c Tổng cuả hai số bằng 60, tổng UCLN BCNN chúng 84 Tìm hai số Lời giải a Ta có: (a, b)  600 :10  60;(a, b). a, b   ab  60.60  120.b  b  300 b Số thứ hai 36 c Gọi hai số phải tìm là: a b  ( m, n )  ab d m.n a  dm; b  dn     dmn *  a, b   ( a, b)  d , đặt ( a, b ) d m, n  N ; Có: d  dmn   d (mn  1)  4(1) Vì tổng hai bằng 60 nên d (m  n)  60(2) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Từ (1)(2)  1, 2,3, 4, 6,12  d  d  12(thoa.man)  m  2; n   a  24; b  36 Hoặc m  3; n   a  36; b  24 Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết I Phương pháp giải Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia phần nguyên dư, sau để thỏa mãn chia hết số chia phải ước phần số ngun dư, từ ta tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện II Bài tốn Bài 1: Tìm số tự nhiên n để 5n  14 chia hết cho n  Lời giải: Ta có: Mà 5n  14   n     n   Do chia hết cho  5n  14   n  2 chia hết cho  n  2  chia hết cho  n     n   ước   n    1 ; ; 4 Do n  {0; 2}  5n  14  chia hết cho  n   Vậy với n  {0; 2} n  15 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để n  số tự nhiên Lời giải: n  15  n  15  chia hết cho  n  3 Để n  số tự nhiên  n  15   n  3   n  3 chia hết cho  12 chia hết cho  n  3   n  3 Ư  12   {1;2;3;4;6;12} TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN  n  {0;1; 3;9} n  15 Vậy với n  {0;1;3;9} n  số tự nhiên   n  3n  M  n  3 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để Lời giải: n Ta có:  3n   M  n  3  n  n  3  6  M  n  3  6M n  3 Suy ra:      1;2;3;6 Do n   Ư   n  3n  M  n  3 Vậy n  0; n  4n  Bài 4: Tìm số nguyên n để phân số 2n  có giá trị số nguyên Lời giải: 4n  4n    2n  1  7    2 2n  2n  2n  Ta có: 2n  4n  Vì số nguyên nên để 2n  số nguyên 2n  số nguyên     –7; –1;1;7 Suy 2n –1  Ư  –6;0;2;8  n  –3;0;1;4  2n Vậy với n   –3;0;1;4 4n  2n  có giá trị số nguyên Bài 5: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên: B 2n  5n  17 3n   n2 n2 n2 Lời giải Ta có: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN B 2n  5n  17 3n 2n   5n  17  3n 4n  19 4(n  2)  11 11       4 n2 n2 n2 n2 n2 n2 n2 11 Để B số tự nhiên n  số tự nhiên  n    n  2  Ư  11   11;  1;1;11  11 M Do n   nên n   11  n  Vậy n  B số tự nhiên Bài 6: Tìm k nguyên dương lớn để ta có số n  k  1 k  23 số nguyên dương Lời giải Ta có: n  k  1 k  23  k  2k   k  23  k  21  484 484   k 1 ,k  Z  k  23 k  23 k  23 n số nguyên dương k  23 | 484, k  23  23  k  23  121  k  98   k  23  44  k  21 Ta có 484 = 22 = 4.121= 44.21  Với k  98 , ta có n  81 Với k  21 , ta có n  11 Vậy giá trị k lớn thỏa mãn yêu cầu toán 98 Dạng 3: Tìm số tự nhiên biết điều kiện tổng, tích, thương số kiện ƯCLN, BNCC I Phương pháp giải - Biết ƯCLN(a, b) = k a  km b  kn với ƯCLN(m, n) = (là điều kiện số m, n cần tìm), từ tìm a b - Biết BCNN(a, b) = k ta gọi ƯCLN(a, b) = d a  md b  nd với ƯCLN(m, n) = (là điều kiện số m, n cần tìm), từ tìm a b II Bài tốn TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Tìm hai số nguyên dương a; b biết a  b  128 ƯCLN(a, b) = 16 Lời giải:  Điều kiện: a, b  ¢ Giả sử  a  b Ta có ƯCLN(a, b) = 16   a  16m; b  16n với  m, n  Z  ; ƯCLN  m, n   1; m  n Biết a  b  128  16  m  n   128  m  n  Vì ƯCLN  m, n   nên ta có hai trường hợp m n Trường hợp 1: m  1, n   a  16, b  112 Trường hợp 2: m  3, n   a  48, b  80  a, b   18 Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: a  b  162 ƯCLN Lời giải: Điều kiện: a, b  ¥ Giả sử a  b Ta có: a  b  162,  a, b   18  a  18m   b  18n với  m, n   1, m  n Đặt  Từ a  b  162  18  m  n   162  m  n  Do  m, n   , lập bảng: m n a b Kết luận: Các số cần tìm là: 18 36 loai 72 144 126 90  18;144  ;  36;126  ;  72;90  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN    a, b   a  md ; b  nd m, n  Z  ; ƯCLN  m, n   Gọi d  ƯCLN Biết a  b   dm  dn  d  m  n    1 Biết BCNN  a, b   140  m.n.d  140    d ước chung 140  d   1;7 Thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n ta kết d  m  n  mn  20  m  5; n  (thỏa mãn ¦ CLN  m, n   ) Vậy d  a  5.7  35; b  4.7  28  a, b   Bài 14: Tìm hai số tự nhiên a, b biết a  b  96 ƯCLN Lời giải Điều kiện: a, b  ¥ Giả sử a  b Biết ƯCLN  a, b    a  6m; b  6n  m, n  Z   ; ƯCLN  m, n   1; m  n Mà a  b  96 nên 6m  6n  96  m  n  16 Mà ƯCLN  m, n   nên có trường hợp số m, n sau Trường hợp 1: m  11; n   a  66; b  30 Trường hợp 2: m  13; n   a  78; b  18 Trường hợp 3: m  15; n   a  90; b  Vậy hai số cần tìm  a, b     66;30 ;  78;18 ;  90;6   Bài 15: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng bằng 504 ƯCLN chúng bằng 42 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Gọi số phải tìm a b Điều kiện: a, b  ¥ Giả sử a  b Biết ƯCLN  a, b   42  a  42m; b  42n  m, n  Z   ; ƯCLN  m, n   1 m  n  Mà a  b  504  42m  42n  504  m  n  12 Vì ƯCLN  m, n   1, nên có trường hợp số m, n sau Trường hợp 1: m  11; n   a  462; b  42 Trường hợp 2: m  7; n   a  294; b  210 Vậy hai số cần tìm  a, b     462;42  ;  294;210    2n  3;3n  15 Bài 16: Cho n  ¥ , tìm số ngun tố p có chữ số cho p  ƯC Lời giải  2n  3;3n  15  Vì số p  ƯC  p ước hiệu  3n  15    2n    39 Mà p số nguyên tố có hai chữ số nên p  13 Vậy số nguyên tố cần tìm p  13 Bài 17: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 300 ƯCLN bằng Lời giải Gọi số phải tìm a b Điều kiện: a, b  ¥ Giả sử a  b Biết ƯCLN  a, b    a  5.m; b  5.n  m, n  Z   ; ƯCLN  m, n   1 m  n  Mà ab  300 nên  m.5.n.5  300  mn  12 Mà ƯCLN  m, n   nên có trường hợp số m, n sau Trường hợp 1: m  12; n   a  60; b  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Trường hợp 2: m  4; n   a  20; b  15 Vậy hai số cần tìm  a, b     60;5 ;  20;15   a  b  , biết: ƯCLN  a, b   300; BCNN  a, b   900 Bài 18: Tìm hai số tự nhiên a b Lời giải Điều kiện: a, b  ¥ Vì ƯCLN  a, b   10 a  b  a  10m; b  10n  m, n  Z   ; Mà BCNN  a, b   900 ƯCLN  m, n   1 m  n   BCNN  a, b   10.m.n nên mn  90 Khi có trường hợp số m, n sau Trường hợp 1: m  5; n  18  a  50; b  180 (thỏa mãn) Trường hợp 2: m  9; n  10  a  90; b  100 (thỏa mãn) Vậy hai số cần tìm  a, b     50;180  ;  90;100   BCNN  a, b   300;  a, b   15; a  15  b Bài 19: Tìm hai số tự nhiên a b , biết: ƯCLN Lời giải Điều kiện: a, b  ¥ Vì ƯCLN  a, b   15, a  15m; b  15n  1 nên tồn tại số tự nhiên m n khác 0, cho: ¦ CLN  m, n     Vì BCNN  a, b   300, Vì a  15  b  15m  15  15n  15  m  1  15n  m   n nên theo ta suy BCNN  15m,15n   300  15.20  BCNN  m, n   20 Trong trường hợp thỏa mãn điều kiện (2) (3) có trường hợp m  4; n  thỏa mãn điều kiện (4) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Vậy m  4; n  ta số phải tìm a  15.4  60; b  15.5  75 BCNN  a, b   420;  a, b   21; a  21  b Bài 20: Tìm hai số tự nhiên a b , biết: ƯCLN Lời giải Điều kiện: a, b  ¥ Vì ƯCLN  a, b   21, a  21m; b  21n  1 nên tồn tại số tự nhiên m n khác 0, cho: ¦ CLN  m, n     Vì BCNN  a, b   420  BCNN  21m, 21n   420  21.20  BCNN  m, n   20  3 Vì a  21  b  21m  21  21n  21 m  1  21n  m   n   Trong trường hợp thỏa mãn điều kiện (2) (3) có trường hợp m  4; n  m  2; n  thỏa mãn điều kiện (4) Vậy m  4; n  m  2; n  ta số phải tìm là: a  21.4  84; b  21.5  105  a, b   5; BCNN  a, b   300 Bài 21: Tìm hai số tự nhiên a b , biết: ƯCLN Lời giải Điều kiện: a, b  ¥ Giả sử a  b a, b    a  5m; b  5n  m, n  Z   ;   m, n   1, m  n Biết ƯCLN ƯCLN  BCNN  a, b   5mn Mà BCNN  a, b   300  5mn  300  mn  50 Vì ƯCLN  m, n   nên ta có trường hợp số m, n sau Trường hợp 1: m  60, n   a  300, b  Trường hợp 2: m  20, n   a  100, b  15 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Trường hợp 3: m  12, n   a  60, b  25 Vậy hai số cần tìm  a, b     300;5 ;  100;15 ;  60;25  BCNN  a, b   180; ¦ CLN  a, b   12 Bài 22: Tìm hai số tự nhiên a b , biết: Lời giải Điều kiện: a, b  ¥ Giả sử a  b a, b   12  a  12m; b  12n  m, n  ¢   ;  Biết ƯCLN ƯCLN  m, n   1, m  n  BCNN  a, b   12mn Mà BCNN  a, b   180  mn  15 Vì ƯCLN  m, n   nên ta có trường hợp số m, n sau Trường hợp 1: m  15, n   a  180, b  12 Trường hợp 2: m  5, n   a  100, b  15 Trường hợp 3: m  12, n   a  60, b  25 Vậy hai số cần tìm  a, b     180;12  ;  100;15  ;  60;25   Bài 23: Tìm hai số tự nhiên biết tổng ƯCLN BCNN chúng bằng 23 Lời giải Gọi hai số tự nhiên cần tìm a, b giả sử a  b Đặt ƯCLN Mà ƯCLN  a, b   d  a  md ; b  nd  a, b   BCNN  a, b   23   m, n   1, m  n  BCNN  a, b   dmn với m, n  Z ; ƯCLN nên d  m.n  1  23  d ước 23 hay d   1; 23 ¦ CLN  m, n   Xét d  1, ta có mn   23  mn  22 với nên ta có trường hợp m, n sau: Trường hợp 1: m  22, n   a  22, b  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Trường hợp 2: m  11, n   a  11, b  Xét d  3, ta có mn    mn  (khơng thỏa mãn) Vậy hai số cần tìm  a, b     22;1 ;  11;   Bài 24: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu chúng bằng 84, ƯCLN chúng bằng 28 số khoảng từ 300 đến 400 Lời giải Gọi số phải tìm a b Điều kiện: a, b  ¥ Ta có ƯCLN  a, b   28  a  28k ; b  28q với k , q  ¥ * k , q nguyên tố Ta có a  b  84  k  q  Theo ta có 300  b  a  440  10  q  k  16 Chọn hai số có hiệu bằng khoảng từ 11 đến 15 11 14; 12 15 Chi có 11 14 hai số nguyên tố  q  11; k  14  a  28.11  308; b  28.14  392 Vậy hai số cần tìm 308 392 PHẦN III BÀI TỐN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG ab  2 25 Bài 1: Tìm tất số tự nhiên khác 0: a b , cho: a  b (Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh năm 1992 – 1993) Lời giải  a, b   Gọi  a  b, a  b   d  a  bMd 2 a  b Md  a  2ab  b2 Md  2abMd  a, b     ab, a  b     2ab, a  b    2, a  b   d ước số  2ab, a  b   d ước số  2, a  b  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN  d ước số  d  d  a  b  a  b  a  a  d 1  2    ab  12 b  a  b  25 b  Nếu a  b  14 d 2 2 a  b  50 vơ nghiệm Nếu Tóm lại  a, b     3;4   4;3  Bài 2: Tìm tất cặp số  a, b  nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) a, b khác ước số chung lớn a, b ii) Số N  ab  ab  1  2ab  1 có 16 ước số nguyên dương (Trích đề học sinh giỏi tốn Đăk Lăk năm học 2017-2018) Lời giải Ta có: N  ab  ab  1  2ab  1 chia hết cho số: 1; a; b  ab  1  2ab  1 ; b; a  ab  1  2ab  1 ;  ab  1 ;  ab  1 ;  ab  1  2ab  1 ; ab; ab  ab  1 ; ab  2ab  1 ; N ; a  ab  1 ; a  2ab  1 ; b  ab  1 ; b  2ab  1 Hay N  ab  ab  1  2ab  1 có 16 ước dương Nên để N có 16 ước dương a; b; ab  1; 2ab  số nguyên tố Do a, b   ab   Nếu a, b lẻ ab  chia hết hợp số (vô lý) Do khơng tính tổng qt, giả sử a chẵn b lẻ  a  Ta có b khơng chia hết cho 2ab   4b  ab   2b  chia hết cho hợp số (vô lý)  b  Vậy a  2; b  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 23 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN m 1 n 1  m số nguyên Bài 3: Cho hai số tự nhiên m n thoả mãn n Chứng minh ước chung lớn m n khơng lớn mn (Trích đề học sinh giỏi Hải Dương năm học 2004-2005) Lời giải  m, n  suy m2 , n2 , mn chia hết cho d Gọi d ƯCLN m  n  m2  n2  m  n   2 m mn Do n số nguyên nên m  n  m  n chia hết cho d 2 Suy m  n chia hết cho d  m  n  d  m  n  d Bài 4: Cho ba số nguyên dương a, b, c đôi khác đồng thời thỏa mãn điều kiện: i) a ước b  c  bc , ii) b ước a  c  ac , iii) c ước a  b  ab , a) Hãy ba số  a, b, c  thỏa mãn điều kiện b) Chứng minh rằng a, b, c đồng thời số nguyên tố (Trích đề vào 10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội năm 2007-2008) Lời giải a) Dễ thấy số  a, b, c    1,3,7  thỏa mãn đề b) Đặt S  a  b  c  ab  bc  ca Từ giả thiết suy S chia hết cho a, b, c S  k abc  k  ¥  Vì a, b, c đơi khác nhau, a, b, c đồng thời số ngun tố S Mabc hay Khơng tính tổng quát, giả sử a  b  c Nếu a  b, c lẻ  b  c  bc lẻ nên không chia hết cho TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 24 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN S  k abc  k  ¥  Do a  nên b  5, c  Từ suy 1 1 1 0k       1 k  ¥ ab ac bc c b a Vậy a, b, c đồng thời số nguyên tố Bài 5: Tìm a, b biết: a)  a, b    a, b   55 b)  a , b    a, b   c)  a, b    a, b   35 Lời giải a) Gọi a  da '; b  db '  a ', b '  Ta có:  a, b   ab  da ' b ' d d  a ' b ' 1  55 Theo đề bài, ta có: da ' b ' d  55 hay Như a ' b ' ước 55, mặt khác a ' b '  Ta có d a ' b ' a 'b ' a' b' a b 11  22 11 44 11 10  2.5 10 50 10 25 55 54  2.33 54 54 27 27 b) Giải tương tự câu a) ta được: d a ' b ' a 'b ' d  a ' b ' 1  Từ đó: a' b' a b 6 3 2 10 c) Có cặp số (1, 36), (4, 9), (5, 40), (7, 42), (14, 21), (35, 70) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 25 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Bài 6: Tìm  n, n  1, n  2 Lời giải Đặt A   n, n  1 Dễ thấy B   A, n  2  n, n  1  , suy  n, n  1  n  n  1 Lại áp dụng tính chất Gọi Áp dụng tính chất ab  a, b   a, b   d   n  n  1 , n   Do  a, b, c    a, b , c  B   n, n  1, n  2  a, b   a, b   ab  n, n  1, n  2   n  1, n    nên , ta có n  n  1  n    n  n  1 , n   d   n, n     n,  Xét hai trường hợp: - Nếu n chẵn d  , suy - Nếu  n, n  1, n  2  n  n  1  n   n lẻ d  , suy  n, n  1, n  2  n  n  1  n   * Bài 7: Tìm n  ¥ biết n  30 để số 3n  5n  có ước chung lớn Lời giải  d  ¥* Gọi d ước chung 3n  5n   3n     5n  1 Md  17  d   1;17 Ta có 3n  4Md 5n  1Md nên 17 Để 3n  5n  có ước chung lớn 1, ta phải có 3n  4M Hay  n  10  M 17 Do mà ƯCLN n  10  17 k  k  ¥   3,17   nên  n  10  M17 * k   0;1 Vì n  ¥ , n  30  10  n  10  20 nên 17 5.10  1M 17 (thỏa mãn) Với k   n  10 , 3.10  4M 17 5.27  1M 17 (thỏa mãn) Với k   n  27 , 3.27  4M Vậy n   10; 27 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 26 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN  a, b   3.BCNN  a, b   114 Bài 8: Tìm hai số nguyên dương biết a  2b  48 ƯCLN Lời giải Gọi ƯCLN a  d a1 ;  a1 , b1   b  d b   a, b   d   a  2b  48  d a1  2d b1  48  d  a1  2b1   48  d  U  48  Mà : Ta lại có: ƯCLN  a, b   3.BCNN  a, b   114  d  3.a1.b1.d  114  d   3.a1.b1   114  d  U  114  Từ (1) (2) suy Mà: (2) d UC  48,114    1; 2;3;6 d   3.a1.b1   114  3.38  d M 3 d 3 TH1: (1)  a  2b1  16 a  2b1  16 d 3   1  3a1.b1  38 3a1.b1  37 d  (loại) a  2b1  a  2b1  a1   a  12 d 6    3a1.b1  19 a1.b1   b1   b  18 TH2: Vậy a  12 b  18  n n  22  1, 22   Bài 9: Cho m, n  ¥ ,1  m  n Chứng minh rằng: Lời giải Ta có: n  2 2 n 1   1   1   n1 22   22  22  2 Do 2n 2n1 2n1   n 2 n n   1  1   1   22 n 2m    22   2Md  d  2m   Md (vì d lẻ) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 27 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN 2 Vậy 2n n   1, 22   Bài 10: Cho  m, n  ¥ Tìm 2 m  1, 2n  1 Lời giải Đặt d   m, n  Đặt d1   2m  1, 2n  1  d1 Khi tồn tại số tự nhiên r , s cho rn  sm  d lẻ Ta có: 2n  1M2d  (vì n Md ) 2m  1M2 d  (vì mMd ) d Do d1 M2  2n  1Md1  rn  1Md1  2rn  2sm  sm  2rn sm  1  sm  2d  1 Md1  m sm  1Md1   1Md1 Mặt khác:  Mà  2, d1    2d  1Md1 d Từ suy d1   2 Vậy m  1, 2n  1  2 m,n      a  a   a m 1 , a    m, a  1 Bài 11: Cho a, m số nguyên lớn Chứng minh rằng: Lời giải Giả sử d |   a   a m 1  d |  a  1 , suy ra: d |  a m 1  1   a m   1    a  1  m  d | m TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 28 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN d |  a  1 Vậy d | m   d m m 1   a  d |  a  1 Ngược lại, d | a Vậy  1 a  a   a m1 , a  1   m, a  1 ab bc ca , ,     a, b, c  a , b , c 2   Bài 12: Chứng minh rằng số lẻ Lời giải Giả sử d | a, b | d , c | d d lẻ Ta có a  b Md a  b M2  a  b M2d   2, d   1  ab Md bc ca Md Md Tương tự: ab bc ca , , 2 Vậy d ước ab bc ca ab ca bc , ,    a 2 d ước 2 Ngược lại, giả sử d ước Tương tự d | b d | c  ab bc ca , ,     a, b, c  2   Vậy: Bài 13: Tìm tất cặp số  a; b  nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) a; b khác ước số chung lớn a; b ii) Số N  ab  ab  1  2ab  1 có 16 ước số nguyên dương Lời giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 29 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Ta có: N  ab  ab  1  2ab  1 chia hết cho số : 1; a; b  ab  1  2ab  1 ; b; a  ab  1  2ab  1 ; ab  1; ab  2ab  1 ; 2ab  1; N ; ab;  ab  1  2ab  1 ; b  ab  1 ; a  2ab  1 ; a  ab  1 ; b  2ab  1 có 16 ước dương Nên để N có 16 ước dương a; b; ab  1; 2ab  số nguyên tố Do a, b   ab   Nếu a; b lẻ ab  chia hết hợp số (vô lý) Do khơng tính tổng qt, giả sử a chẵn b lẻ suy a  Ta có b khơng chia hết cho 2ab   4b  ab   2b  chia hết cho hợp số (vô lý), suy b  Vậy a  2, b  Bài 14: Tổng số tự nhiên a1 , a2 , , a49 bằng 999 Hỏi ước số chung lớn chúng nhận giá trị lớn bằng ? Lời giải Giả sử Vì d   a1 , a2 , , a49  d | ak  k  1, 2, , 49  ,khi a1  a2   a49  999Md , suy d ước 999  37 nên ak  d , k  999  a1  a2   a49  49d  d  99  21 29 Vậy d nhận giá trị 1,3,9 Giá trị d lớn bằng a1  a2   a48  9; a49  567 (vì 9.48  567  999 ) Bài 15: Cho  a, b   Tìm  11a  2b,18a  5b  Lời giải Giả sử d   11a  2b,18a  5b  , d |18a  5b d |11a  2b, suy d |11 18a  5b   18  11a  2b   19b  d |19 - d | b d |  11a  2b    18a  5b   a  5b  d | a  d |  a, b    d  Nếu d | b từ TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 30 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Vậy Nếu d |19 d  d  19  11a  2b,18a  5b  bằng bằng 19  HẾT  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 31 ...  d a1  b  d b1  a1  b1  ,  a1 ; b1  ? ?1 , d < 15 a1.b1.d d  a1.b1d  15  d   a1.b1   15  d  U  15    1; 3;5 ;15  a   a  d   a1 b1  14   b1  14  b  14 TH1 : ,... 2b  48  d a1  2d b1  48  d  a1  2b1   48  d  U  48  Mà : Ta lại có: ƯCLN  a, b   3 .BCNN  a, b   1 14  d  3.a1.b1.d  1 14  d   3.a1.b1   1 14  d  U  1 14  Từ (1) (2)...  b  84  k  q  Theo ta có 300  b  a  44 0  10  q  k  16 Chọn hai số có hiệu bằng khoảng từ 11 đến 15 11 14 ; 12 15 Chi có 11 14 hai số nguyên tố  q  11 ; k  14  a  28 .11  308;