PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A LÝ THUYẾT Phân thức đại số Một phân thức đại số ( hay nói gọn phân thức ) biểu thức có dạng A , A, B B đa thức B khác đa thức A gọi tử thức ( hay tử), B gọi mẫu thức ( hay mẫu) Mỗi đa thức gọi phân thức có mẫu thức Mỗi số thực a phân thức Hai phân thức C A gọi A.D B.C D B A C A.D B.C B D Tính chát phân thức Tính chất - Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác phân thức phân thức cho: A A.M ( M đa thức khác đa thức 0) B B.M - Nếu chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung chúng phân thức phân thức cho: A A: N ( N nhân tử chung 0) B B:N Quy tắc đổi dấu Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức phân thức phân thức cho: A A B B B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm đa thức A, biết rằng: x 16 A x2 x x Giải Tìm cách giải Để tìm đa thức A, dùng A C khi: A.D B.C B D Trình bày lời giải Từ x 16 A suy x2 x x A x x 16 x2 x x x 42 x x x x.2 x x x 2x x x 2 x x 2 x 2 4x Ví dụ 2: Cho x y x2 y 5xy Tính giá trị P 2016 x 2017 y 3x y Giải Tìm cách giải Quan sát, nhận thấy giả thiết chứa đa thức bậc hai biến x, y, kết luận phân thức mà tử mẫu đa thức bậc biến x, y Do tìm mối quan hệ x y từ giả thiết để biểu diễn x theo y ngược lại Với suy nghĩ ấy, phân tích đa thức thành nhân tử từ điều kiện thứ hai Trình bày cách giải Từ x2 y 5xy x2 5xy y x2 xy xy y x y x y Ta có y x y x x y 2x y y 2x Từ ta có: P 2016 x 2017.2 x 6050 3x 2.2 x Ví dụ 3: Cho x, y thỏa mãn x2 y xy x y 13 x xy 52 Tính giá trị biểu thức H x y Giải Từ giả thiết suy x2 xy y y 6x y 13 x y x y y2 y x y 3 y 2 x y x y 2 y Từ ta có H 25 7.5 2 52 21 5 Ví dụ 4: Cho biểu thức x2 x 1 Tính giá trị Q x 3x5 3x x3 2020 x x3 3x 3x 2020 Giải Tìm cách giải Ta khơng thể tìm x để thay vào biểu thức được, kết x số tự nhiên, thay vào Q tính phức tạp Do ta có hai định hướng: Hướng suy nghĩ thứ nhất, viết tử thức mẫu thức dạng x2 x 1 q(x) r(x) xem phần phép chia đa thức, từ ta tìm Q Hướng suy nghĩ thứ hai, quan sát thấy có dạng đẳng thức, biến đổi giả thiết khéo léo để xuất thành tử thức mẫu thức Trình bày lời giải Cách Ta có: x6 3x5 3x x3 2020 x x 1 x x3 x x 1 2021 Ta có: x6 x3 3x 3x 2020 x2 x 1 x x3 x x 1 2021 Với x2 x 1 tử số 2011; mẫu số 2021 Vậy Q 2021 2021 Cách Ta có: x2 x x2 x x6 x 1 x x 3x 3x x x 3x 3x Suy mẫu số bằng: 2020 2021 Ta có: x2 x x2 x x2 x x 3x 3x x Suy tử số bằng: 2020 2021 Vậy Q 2021 2021 Ví dụ 5: Cho P n2 với n số tự nhiên Hãy tìm tất số tự nhiên n khoảng từ n5 đến 2020 cho giá trị P chưa tối giản Giải Ta có: P n2 29 với n N n5 n5 n5 Để phân số P chưa tối giản ƯCLN 29; n 5 d (d 1) Khi n d 29 d d 29 n 29 Hay n 29k k N n 29k Mà n 2020 29k 2020 29k 2025 24 k 69 k 1, 2,3 , 69 29 29 Vậy số tự nhiên n cần tìm có dạng n 29k với k 1, 2,3 ,69 Ví dụ Với giá trị x thì: a) Giá trị phân thức A 10 dương; x 9 b) Giá trị phân thức B 10 âm; x 21 c) Giá trị phân thức C x 21 dương x 10 Giải Tìm cách giải Khi giải dạng toán chứng ta cần sử dụng kiến thức sau: Phân thức A có giá trị dương A B dấu B Phân thức A có giá trị âm A B trái dấu B Trình bày lời giải a) 10 x x x 9 b) 10 x 21 x 21 x 21 c) x 21 x 21 x 10 dấu; mà x 10 x 21 nên x 21 x 10 x 21 x 10 x 10 C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài a) Tìm đa thức A, cho biết A x 3x x2 x2 M x 3x b) Tìm đa thức M, cho biết x 1 x 1 Hướng dẫn giải – đáp số Dùng định nghĩa, ta có: a) A x 1 b) M x2 x Nhận xét Bạn dùng tính chất phân thức để giải Bài Cho a b số thỏa mãn a b a3 a2b ab2 6b3 Tính giá trị biểu thức B a 4b b 4a Hướng dẫn giải – đáp số Từ a3 a2b ab2 6b3 a3 2a 2b a 2b 2ab 3ab 6b3 a 2b a ab 3b Vì a b a2 ab 3b2 a 2b a 2b Vậy B a 4b4 16b4 4b4 12b4 4 4 4 b 4a b 64b 63b 21 Bài Cho a, b thỏa mãn 10a2 3b2 5ab 9a b2 Tính giá trị biểu thức P 2a b 5b a 3a b 3a b Hướng dẫn giải – đáp số Ta có P P 2a b 3a b 5b a 3a b 3a b 3a b 6a 2ab 3ab b 15ab 5b ab 3a 6b 15ab 9a b 9a b Từ giả thiết 10a2 3b2 5ab 5ab 3b2 10a2 3a 6b2 9b2 30a 27a 3b2 3 Từ suy P 9a b 9a b Bài Số lớn hơn: A 20202 20152 2020 2015 B 20202 20152 2020 2015 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có A 2020 2015 20202 20152 20202 20152 2020 2015 2020 20152 20202 20152 A B Bài Với giá trị x thì: a ) Giá trị phân thức A dương; x2 b) Giá trị phân thức B 3 âm; x 3 c) Giá trị phân thức C x 1 dương x 5 Hướng dẫn giải – đáp số a) A x x x2 b) B 3 x x x 3 c) C x 1 x x dấu; mà x x nên x x 1 x x 5 x Bài Chứng minh với số nguyên dương n thì: a) n3 phân số không tối giản n5 n b) 6n phân số tối giản 8n Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có n n 1 n2 n 1 n5 n n n n 1 n2 n 1 n 1 n n 1 n 1 n2 n 1 n2 n3 1 n2 n 1 với số nguyên dương n n2 n nên tối giản b) Đặt ƯCLN 6n 1;8n 1 d với d N * 6n d 24n d 8n d 24n d 24n 24n 3 d d d ƯCLN 6n 1;8n 1 Phân số tối giản Bài Tìm giá trị lớn phân thức sau: n3 phân số không n5 n A ; x 2x B 4x 4x Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có A x 1 3 1 Giá trị lớn A x 1 b) Ta có B x 1 2 Giá trị lớn B x 2 Bài Cho x y 11z;3x y z Tính giá trị Q x 3xy x2 y Hướng dẫn giải – đáp số Từ x y 11z 3x y z suy 5x 15z x 3z Từ x y 11z x 3z suy y 5z Thay vào biểu thức: Q x 3xy 18 z 45 z 9 x2 y z 75 z 28 Bài Cho a, b thỏa mãn 5a2 2b2 11ab a 2b Tính giá trị biểu thức A 4a 5b2 a 2ab Hướng dẫn giải – đáp số 5a b thoû a maõ n Từ giả thiết: 5a 2b2 11ab 5a b a 2b a 2b (loaï i) Thay 5a b vào A ta được: A 4a 125a 11 a 10a Bài 10 Cho 4a2 b2 5ab 2a b Tính giá trị P ab 4a b 2 Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết: 4a2 b2 5ab 4a b 5ab 4a 4ab ab b 4a b( KTM ) 4a b a b a b(TM ) Suy a b Thay vào P ta được: P a2 3a x 3x3 18 x x Bài 11 Cho x thỏa mãn Tính giá trị biểu thức P x 2x2 x x x 1 Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết: x suy x2 x x x2 3x x x 1 2 Ta có: x4 3x2 18x x2 3x 1 x2 1 15x x3 x2 x x 3x 1 x 1 x x 3x 1 x 1 15x 15x 3x ta có P x 3x 1 x 1 x x Với x 2 Bài 12 Cho x,y thỏa mãn x2 xy y x y Tính giá trị biểu thức N 3x y xy Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: x2 xy y x y x xy y y x y y x y 1 y 2 Dấu xảy x y y hay y 2; x 1 1 2 Từ suy N 1 2 Bài 13 Cho a, b hai số nguyên dương khác nhau, thỏa mãn 2a2 a 3b2 b Chứng minh a b phân số tối giản 2a 2b ( Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 20132014) Hướng dẫn giải – đáp số Từ 2a2 a 3b2 b 2a 2b2 a b b2 a b 2a 2b 1 b2 (1) Đặt ƯCLN (a b;2a 2b 1) d a b d ;2a 2b d b d 2a 2b a b d 4b d mà b d hay d a b 2a 2b nguyên tố suy a b phân số tối giản 2a 2b