S6 CHUYÊN đề 4 CHỦ đề 2 CHỨNG MINH HAI số NGUYÊN tố CÙNG NHAU

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Ước Bội số nguyên Với a, b  Z b  Nếu có số nguyên q cho a  bq ta nói a chia hết cho b Ta cịn nói a bội b b ước a Nhận xét - Nếu a  bq ta nói a chia cho b q viết a : b  q - Số bội số nguyên khác Số khơng phải ước số nguyên - Các số -1 ước số nguyên Ước chung hai hay nhiều số ước tất số Ước chung số a, b, c kí hiệu ƯC(a, b, c) Ước chung lớn - Ước chung lớn hai hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung số Các tính chất - ¦ CLN(a,1)  1; BCNN  a,1  a - Nếu aMb  ¦ CLN(a, b)  b; BCNN  a, b  a - Nếu a, b nguyên tố  ( a, b)  1;  a, b  a.b - ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) BC(a ,b) = B(BCNN(a, b)) a  dm ¦ CLN(a, b)  d;   ¦ CLN(mn , )  1; b  dn - Nếu TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN 10  2.5 ¦ CLN(10,15)  5;  ¦ CLN(2,3)  15  3.5 Ví dụ c  am BCNN  a, b  c;  ¦ CLN(mn , )  1; c  bn - Nếu 30  10.3 BCNN  10,15  30;  ¦ CLN(2,3)  30  15.2 Ví dụ - ab ¦ CLN(a,b).BCNN  a,b PHẦN II BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm ƯCLN số: I Phương pháp giải Bài tốn: Tìm ¦ CLN  a1, a2, , an  Phương pháp giải thường dùng: Giả sử ¦ CLN  a1, a2, , an   d a1 Md a Md   d ?  an Md II.Bài toán * Bài 1: Cho n  N Chứng minh a) ¦ CLN  n  3,2n  5  b) ¦ CLN  3n  3,4n  9  Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN * a) Gọi ¦ CLN(n  3,2n  5)  d(d  N ) n  3Md 2n  6Md   2n  5Md 2n  5Md   2n     2n    Md   2n   2n   Md 1Md  d  Vậy  n  3; 2n  5  4(3n  7)M7 12n  28Md ¦ CLN(3n  3,4n  9)  d(d  N * )    3(4 n  9) M d  12n  27Md b) Gọi   12n  28    12n  27   Md   12n  28  12n  27  Md  1Md  d  Vậy ¦ CLN  3n  3,4n  9  Bài 2: Cho a, b số tự nhiên lẻ, b  N Chứng minh ¦ CLN(a, ab 128)  Lời giải:  a Md  Đặt d  ¦ CLN(a, ab  128)  ab  128Md d lẻ  128Md d lẻ  27 Md d lẻ  2Md d lẻ  d  Vậy (a, ab  128)  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN * Bài 3: Chứng tỏ 17 n  1M6( n  N ) ¦ CLN(n,2)  1;¦ CLN(m,3)  Lời giải: 2   (n, 2)  +) Theo đầu ta có: 17 n  1M6  17 n  1M2  17 n  chẵn  n lẻ  n M 2   ( n,3)  +) Vì 17 n  1M6  17 n  1M3  n M 2 (nếu nM3 17n M3 17n  1M3 lo¹i  nM3) Bài 4: Cho hai số nguyên tố a b Chứng tỏ 11a  2b 18a  5b số nguyên tố có ước chung 19 Lời giải Gọi d  (11a  2b,18a  5b)  5(11a  2b)  2(18a  5b)Md  19a Md 19 d M 19a  dk (k  N * )  d k M 19    k M 19  Đặt đpcm 19  k  19q  19a  dk  d 19.q  a  dq  a Md - Nếu k M 2bMd   bMd  d  ¦ C(a, b)  1 d  5bMd Bài 5: Chứng minh rằng: ¦ CLN(a, b)  a, b khác tính chẵn lẻ ¦ CLN(am  bn, am  bn )  1mn ,  N * a m  b n  Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN m n m a  b Md 2a Md d  ¦ CLN(am  bn, am  bn )   m n   n a  b Md 2b Md a) Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ m  a Md  n  b Md Giả sử d   d có ước số số ngun tố, giả sử ước nguyên tố p  amMp aMp  p ¦ C(a, b);ma :(a, b)  1 1Mp  p  1  n   b Mp  bMp vô lý Vậy d   d   đpcm Bài 6: Tìm ƯCLN 2n  3n  với n  N Lời giải: Gọi d  ¦ CLN  2n  1,2n  3  d N * 3  2n  1 Md 2n  1Md 6n  3Md    3n  2Md 6n  4Md   3n   Md Khi ta có :    6n     6n  3 Md  1Md  d¦ Do  1   1;1 ¦ C  2n  1,3n  1 ước d, ước Vì ước hay ước -1 có chung tập hợp Vậy ¦ C  2n  1,3n  1  ¦  1   1;1 Bài 7: Tìm ƯCLN 9n  24 3n  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Lời giải: ¦ CLN  9n 24,3n 4  d  d N * Gọi 9n  24Md 9n  24Md   9n  12Md Khi ta có: 3n  4Md   9n  24    9n  12   d  12Md  d  ¦  12   1;2;3;4;6;12 Do  3n   Md , mà 3n  Do khơng chia hết cho 3, nên d   3;6;13 (loại) d   1; 2; 4 - Để d  n phải chẵn - Để d  n phải chia hết cho - Để d  n số lẻ Vậy n  4k   k  N  n  4k  k  N  n  k  1 k  N  ¦ CLN  9n  24,3n  4  ¦ CL N  9n  24,3n  4  ¦ CL N  9n  24,3n  4  Bài 8: Cho n số tự nhiên, tìm ƯCLN 21n  14n  Lời giải: a) Gọi ¦ CLN  21n  5,14n  3  d N * TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Khi ta có: 3  14n  3 Md 14n  3Md 42n  9Md     21n  4Md  42n  8Md   21n   Md   42n     42n   Md  1Md  d  Vậy ¦ CLN  21n,14n 3  Bài 9: Cho n số tự nhiên, tìm ƯCLN 18n  30n  Lời giải: Gọi ¦ CLN  18n  2,30n  3  d  N * 5  18n   Md 18n  2Md 90n  10Md    30n  3Md 90n  9Md 3  30n  3 Md Khi ta có:    90n  10    90n   Md  1Md  d  Vậy ¦ CLN  18n  2,30n  3  Bài 10: Cho n số tự nhiên, tìm ƯCLN 24n  18n  Lời giải: Gọi ¦ CLN  24n  7,18n  5  d  N * 3  24n   Md  24n  Md 72n  21Md    18n  5Md 72n  20Md   18n   Md Khi ta có:    72n  21   72n  20  Md  1Md  d  Vậy ¦ CLN  24n  7,18n  5  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Bài 11: Biết ¦ CLN  a, b  95 Tìm ¦ CLN  a  b, a  b Lời giải:  a  b, a  b   d  d  N * Gọi a  bMd  2bMd  d  ¦  a  bMd  2 a  bMd  2a Md   d ¦ a  b M d  mà  a, b   95, Vậy d ¦  2  b d¦  a nên d  95 d   a  b, a  b   d  95 Bài 12: Cho m, n hai số tự nhiên Gọi A tập hợp ước số chung m n , B tập hợp ước số chung 11m  5n 9m  4n Chứng minh A  B Lời giải: Gọi d  ¦ CLN  11m 5n,9m 4n  d  N * Khi ta có: 11m  5n Md 99m  45n Md 9  11m  5n  Md    9m  4n Md 99m  44n Md 11 9m  4n  Md   99m  45n    99m  44n  Md  nMd (1)   11m  5n  Md 11m  5nMd  44m  20nMd    9m  4nMd  45m  20n Md 5  9m  4n  Md Tương tự ta có:    45m  20n    44m  20n   m Md TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC (2) Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN , )  d  ¦ (A) Từ (1) (2) ta có : d  ¦ C(mn B  ¦  d  ¦  A Vậy A B Bài 13: Tìm ƯC 2n 3n với n N Lời giải: Gọi d  ¦ CLN  2n  1,3n  1  d  N * Khi ta có : 3  2n  1 Md  2n  1Md 6n  3Md    3n  2Md 6n  4Md 2  3n   Md   6n  4   6n  3 Md  1Md  d  ¦  1   1; 1 Do ¦ C  2n  1,3n  1 ước d , ước Vì ước hay ước -1 có chung tập hợp Vậy ¦ C  2n  1,3n  1  ¦  1  (1, 1) ¦ CLN  3n  1,5n  4 Bài 14: Cho hai số 3n 5n 4là hai số khơng ngun tố nhau, tìm Lời giải: Gọi ¦ CLN  3n  1,5n  4  d Khi 5 3n  1 Md 3n  1Md   5n  4Md 3 5n  4 Md  3 5n  4  5 3n  1 Md  7Md  d   1;7 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Mà d  nên d  Bài 15: Tìm ¦ CLN  2n  1,9n  4 với n N Lời giải: Gọi d  ¦ CLN  2n  1,9n  4   d  N * , Khi ta có : 2n  1Md 18n  9Md 9  2n  1 Md     9n  4Md 18n  8Md 2  9n   Md   18n  8   18n   Md  17Md  d  ¦  17   1;17 Mà số dương nên ta có : d  d  17 Vậy ¦ CLN  2n  1, 9n  4  17 Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố I Phương pháp giải Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố nhau: Phương pháp giải: Giả sử ¦ CLN  a, b  d  ¦ CLN  a,b Cách 1: Chỉ d  Cách 2: +) Giả sử d  1( d  2) (phương pháp phản chứng) +) Gọi p ước nguyên tố d TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN +) Chỉ p  (vô lý) +) Kết luận d  II Bài toán 3n   n  N  Bài 1: Chứng minh hai số n  hai số nguyên tố Lời giải: Gọi d  ¦ CLN  n  1,3n  4  d  N * , nên ta có:  n  1Md 3n  3Md    3n     3n  3 Md  1Md  3n  4Md 3n  4Md  nN  Vậy hai số n  3n  hai số nguyên tố với Bài 2: Chứng minh 2n  2n  hai số nguyên tố Lời giải: Gọi d  ¦ CLN  2n  1,2n  3  d N * 2n  1Md   2n  3   2n  1 Md  2Md  d ¦  Khi ta có: 2n  3Md Mà ta lại có  2n  1 Md  2   1;2 mà 2n  số lẻ nên d  (loại), d  Vậy hai số 2n  2n  hai số nguyên tố Bài 3: Chứng minh 14n  21n   n  N  hai số nguyên tố Lời giải: Gọi d  ¦ CLN  2n  1,2n  3  d N * TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Khi ta có: 14n  3Md 42n  9Md 3  14n  3 Md    21n  4Md 42n  8Md   21n   Md   42n     42n   Md  1Md Vậy hai số 14n  21n  hai số nguyên tố Bài 4: Cho m số tự nhiên lẻ, n số tự nhiên Chứng minh m mn  hai số nguyên tố Lời giải: Giả sử m ( mn  ) chia hết cho số tự nhiên d , ta có: mMd  m.n Md   m.n  4Md  m.n  4Md  4Md  d   2; 4;1 , mMd m lẻ  d  d  (loại) Vậy d  Khi m mn  hai số nguyên tố Bài 5: Cho ¦ CLN  a, b  Chứng tỏ 8a  5b  nguyên tố Lời giải: Gọi ¦ CLN  8a  3,5b  1  d  d N * 8a  3b Md 5(8a  3b)Md 40a  15b Md     8(5a  b)Md 40a  8b Md  5a  bMd   40a  15b    40a  7b   7b Md TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN 8a  3b Md 8a  3b Md   15a  3bMd 3  5a  b  Md   15a  3b    8a  3b  Md  a Md Vì ¦ CLN  a, b  nên d  d  Bài 6: Chứng minh 2n  6n  hai số nguyên tố Lời giải: Gọi d  ¦ CLN  2n  1,6n  5 ,  d  N * Khi ta có : 3  2n  1 Md  2n  1Md 6n  3Md    6n  5Md 6n  5Md 6n  5Md   6n  5   6n  3 Md  2Md  d  ¦ (2)= 1;2 Do 2n  1Md , mà 2n lại số lẻ nên d  loại, d  Vậy hai số 14n+3 21n+4 hai số nguyên tố Bài 7: Chứng minh với n N số 7n 10 5n ngyên tố Lời giải: Gọi d  ¦ CLN  7n  10,5n  7 ,  d  N * Khi dó ta có :   35n  50    35n  49  Md  1Md Do d  Vậy hai số 7n 10 5n hai số nguyên tố TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Bài 8: Chứng minh với n N số 2n 4n ngyên tố Lời giải: 2n  3Md 4n  6Md 2  2n  3 Md    4n  8Md d  ¦ CLN  2n  3, 4n  8 ,  d  N 4n  8Md 4n  8Md Gọi Khi ta có:  *   4n     4n   Md  2Md  d   1; 2 Vì 2n  3Md , mà 2n số lẻ nên d  (loại) Khi d  Vậy hai số 2n 4n hai số nguyên tố Bài 9: Cho ¦ CLN  a, b  ¦ CLN  a, a  b  Chứng minh Lời giải: Ta có đặt d  ¦ CLN  a  b, a , d  N * a  b Md  a  b  a Md  bMd  d  ¦ C  a, b d ¦  a Md mà a Md nên hay Bài 10: CMR: ¦ CLN  12n  1,30n  1   1  d  với số tự nhiên n Lời giải: Gọi ¦ CLN  12n  1,30n  1  d * , suy d  N ta có : 5  12n  1 Md 12n  1Md 60n  5Md    30n  1Md 60n  2Md   30n  1 Md   60n    60n   Md  3Md  d   1;3 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Vì 12n số không chia hết d  loại ¦ CLN  12n  1,30n  1  Vậy d  , Bài 11: Cho a, b hai số nguyên tố CMR số sau nguyên tố : a) a a  b b) ab a  b Lời giải: a) Giả sử a a  b chia hết cho số nguyên tố d Khi aMd , bMd  a, b chia hết cho số nguyên tố d , trái với giả thiết ¦ CLN  a;b =1 Vậy a a  b hai số nguyên tố b) Giả sử ab a  b chia hết cho số nguyên tố d Suy tồn hai số a b chia hết cho d Khi aMd  bMd , bMd  aMd a b chia hết cho d , trái với  a, b  Vậy ab a  b nguyên tố Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố Bài 1: Tìm n  N để: 7n  10 5n  hai số sau ngyên tố Lời giải: Gọi d   7n  10;5n    d  N * Khi dó ta có: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN 5  n  10  Md 7 n  10Md 35n  50Md    5n  Md 35n  49Md 7  5n   Md   35n  50    35n  49  Md  1Md Do d  Vậy với n  N hai số 7n  10 5n  hai số nguyên tố  2n  3  4n  8 hai số sau ngyên tố Bài 2: Tìm n  N để: Lời giải : Gọi d   2n  3; 4n    d  N * Khi ta có:  2n  3Md 4n  6Md 2  2n  3 Md     4n  8Md 4n  8Md 4n  8Md   4n     4n   Md  2Md  d   1; 2 Vì  2n  3 Md , mà  2n  3 số lẻ nên d  (loại) Khi d   2n  3  4n   hai số nguyên tố Vậy với n  N hai số Bài 3: Tìm n  N để: 18n  21n  hai số nguyên tố Lời giải: Gọi UCLN  18n  3, 21n    d  d  N * TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Khi ta có: 7  18n  3 Md 18n  3Md   21n  Md 6  21n   Md   126n  42    126n  21 Md  21Md  d  ¦  21   1; 3; 7; 21 Do  21n   M7 , mà 21n  không chia hết d  d  Để hai số 18n  21n  hai số nguyên tố d khác 7, hay   18n   21M   18n  18 M   18  n  1 M   n  1M   n   7k  n  7k  18n  M Vậy n  7k  với k số tự nhiên 18n  21n  hai số nguyên tố * Bài 3: Tìm ¦ CLN(7n  3,8n  1) với (n N ) Khi hai số ngun tố Lời giải: Gọi d  ¦ CLN  7n  3,8n  1 , d  N * Khi ta có: 8  n  3 Md 7 n  3Md 56n  24Md    8n  1Md 56n  Md 7  8n  1 Md  56n  24  56n  Md  31Md  d  d  31 Để d  d  31 hay 7n 3M31 7n 3 31M31 7n  28M31  7 n  4 M31 n  4M31 Hay n   31k  n  31k  ( k số tự nhiên) Vậy để 7n 8n hai số nguyên tố n  31k  ( k số tự nhiên) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Bài 4: Tìm n để 9n 24 3n hai số nguyên tố (n N ) Lời giải: Gọi d  ¦ CLN  9n  24,3n  4 9n  24Md 9n  24Md   3n  4Md 3(3n  4)Md   9n  24   9n  12 Md  12Md  d  1;2;3;4;6;12 Nếu d   2; 4; 6; 12  9n  24 d   2; 4; 6; 12 chẵn và, 3n  chẵn  loại Nếu d  3  3n  4M3 Vô lý  d=3(loại) Nếu d   9n  24,3n  số lẻ  9n  24 lẻ  n lẻ 3n lẻ  nlẻ Vậy n lẻ Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 4n  2n nguyên tố Lời giải: Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d,  d  N* 4n  3Md  4n  3Md   2n  3Md 4n  6Md   4n     4n  3 Md  3Md  d   1;3 Để 4n  2n hai số nguyên tố d khác hay   2n M 3 nM   n  3k (k  ¥ ) 2n  M TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Vậy n  3k (k  ¥ ) 4n 2n 3là hai số nguyên tố Bài 6: Tìm số tự nhiên n để 7n 13 2n nguyên tố Lời giải: b, Gọi ¦ CLN  7n  13, 2n  4  d  d  N * , 7n  13Md 14n  26Md   14n  28Md  2n  4Md   14n  28    14n  26  Md  2Md  d   1; 2 Để 7n 13 2n hai số nguyên tố d khác hay   nM2  nM2  n chẵn n  13 M Vậy n chẵn 7n 13 2n hai số nguyên tố Bài 7: Tìm số tự nhiên n để số 18n 21n nguyên tố Lời giải: Gọi d  ¦ CLN  18n  3,21n  7 7(18n  3)Md 18n  3Md  126n  21Md    6 21n  7 Md 126n  42Md 21n  7Md    126n  42   126n 21 Md  21Md  d ¦  21   1;3;7;21 Nếu d   21n  M3 (Vô lý) d   1;7 Nếu , để số nguyên tố   18n   21M   n  1M   n  7k  d   18n  M TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Vậy với n  k  1 k  N  hai số nguyên tố Bài 8: Chứng minh rằng: có vơ số số tự nhiên nđể n  15 n  72 số nguyên tố Lời giải: Gọi d  ¦ C  n  15,n  72  57Md , n  15Md , 57 Md , Nên tồn n cho n  15  57k  d  , với k  1;2;3; Vậy có vơ số n  HẾT TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 ... cho số nguyên tố d Khi aMd , bMd  a, b chia hết cho số nguyên tố d , trái với giả thiết ¦ CLN  a;b =1 Vậy a a  b hai số nguyên tố b) Giả sử ab a  b chia hết cho số nguyên tố d Suy tồn hai số. ..   1;17 Mà số dương nên ta có : d  d  17 Vậy ¦ CLN  2n  1, 9n  4  17 Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố I Phương pháp giải Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố nhau: Phương pháp... có  2n  1 Md  2   1;2 mà 2n  số lẻ nên d  (loại), d  Vậy hai số 2n  2n  hai số nguyên tố Bài 3: Chứng minh 14n  21n   n  N  hai số nguyên tố Lời giải: Gọi d  ¦ CLN  2n  1,2n