PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX. Giaûi caùc phöông trình sau :.[r]
(1)PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1 Hai cung đối nhau: -x x cos( ) cos
sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
2 Hai cung bù nhau: x x sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
3 Hai cung phụ nhau: x
x
sin cos cos sin
2
tan cot cot tan
2
x x x x
x x x x
4 Hai cung Pi: x x sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
5 Các đẳng thức lượng giác
2
2
2
1
sin cos tan
cos
cot tan cot
sin
a x x b x
x
c x d x x
x
6 Công thức cộng lượng giác
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
x y x y x y
x y x y x y
sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos
x y x y y x
x y x y y x
7 Công thức nhân đôi
2 2
sin 2sin cos : sin 2sin cos
2
cos cos sin 2cos 1 2sin
nx nx
x x x TQ nx
x x x x x
8 Công thức nhân ba:
3
sin 3x3sinx 4sin x cos3x4cos x 3cosx 9 Công thức hạ bậc:
2 cos 2 cos
sin cos
2
x x
x x
10 Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
cos cos cos( ) cos( )
2
sin sin cos( ) cos( )
2
sin cos sin( ) sin( )
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
(2)11 Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
2
cos cos 2sin sin
2
x y x y
x y
x y x y
x y
sin sin 2sin cos
2
sin sin 2cos sin
2
x y x y
x y
x y x y
x y
A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Bài 1:Cho
3
sin < < Tính cos ,tan ,cot
5
p
a=- ổỗỗỗốp a ửữữữứ a a a Bài 2: Cho 5cosa + = (180 < a < 270o o).Tính sina , tana, cota Bài 3: Cho tan15o = -2 Tính sin15 ,cos15 ,cot15 o o o
Bài 4: Tính
tan x cot x A
tan x cot x + =
- biết
1 sinx =
3 Tính
2sin x 3cos x B
3sin x 2cos x
+ =
- biết tanx = -2
Tính
2
2
sin x 3sin x cos x 2cos x C
1 4sin x
+
-=
+ biết cotx = -3
Bài 5: Chứng minh: a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x4 2 6 2 (sử dụng công thức)
2 2 2
c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx
Bài 6: Chứng minh đẳng thức sau:
2
1-2cos x 2 2 1+sin x 2 cosx
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
2 2 1+sinx cosx
sin x.cos x 1-sin x
sinx 1+cosx 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx
d/ + = ; e/ = ; f/ =
1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosx
g/
( )( )
2
1-cosx 4cotx sin x cos x
- = ; h/1- - = sinx.cosx;
1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
2 2
1 tan x-tan y sin x-sin y
i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ 2 2 = 2 2
1+cosx tan x.tan y sin x.sin y Bài 7:* Chứng minh biểu thức sau độc lập x:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
6 4 4
A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3
4 2 8 8 6
C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x
6
sin x+cos x-1
4
E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F= 4 4 ;
sin x+cos x-1
4
sin x+3cos x-1
G= 6 6 4
sin x+cos x+3cos x-1
2
H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; )
2
p
é ù
ê ú
ê ú
ë û
Ỵ
I I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT
* Biết HSLG khác:
Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với
3
x 2
p
p
ổ ửữ
ỗ < < ữ
ỗ ữ
(3)a/ Tớnh cosx ; b/ Tính ( ) ( ) sin x , cos x , tan x , cot x
2 p p p p ỉ ư÷ ỉ ửữ ỗ + ữ - ỗ + ữ -ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ
Bài 2: Tính:
( )
( )
2cos sin tan
2 2
A 2cos ;
cot 2 sin
p a p a p a
a
p a p a
ổ ửữ ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ữữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ố ứ - + -= -+ -( ) ( ) ( ) ( ) 3 3
sin tan sin cot
2 2 2 2
B cot cot tan
3 cos 2 tan
cos cot
2
p a p b p b p a
b b b
p p b p a
p a b
ỉ ư÷ ỉ ổ ửữ ổ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + + - + = - +
-Bài 3: Đơn giản biểu thức:
( ) ( )
( )
( ) ( )
9
A sin 13 cos cot 12 tan
2
7 3
B cos 15 sin tan cot
2 2
5
C sin cos cot tan 2tan
2 2
p p
p a a p a a
p p p
p a a a a
p p p
p a a p a a a
ổ ửữ ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ổ ửữ ổ ửữ ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ç ç è ø è ø è ø ỉ ư÷ ổ ửữ ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç ç è ø è ø è ø = + - - + - + -= - + - - + -= + + - - - + - +
-Bài 4: Đơn giản biểu thức:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A sin a sin a sin a sin 100 a
o o o o o
B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x
p p p p
= + + + + + + + +
= - - - + + + - +
-Bài 5: Đơn giản biểu thức:
( ) ( )
( )
( )
o o
o o o
19
tan x cos 36 x sin x 5 2sin 2550 cos 188
1 2
A B
9 tan368 2cos638 cos98
sin x cos x 99
2
p p p
p p ổ ửữ ỗ - ữ - -ỗ ữ -ỗố ứ = ổ ử = + + ữ ỗ - ữ -ỗ ữ ỗố ứ
Bi 6: Chng minh:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o o o o o o
a / sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245
85 2 2
b / sin x cos 207 x sin 33 x sin x
2 p p p p - + - + = + + + + + + - = ổ ửữ ổ ửữ ỗ ữ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç è ø è ø
Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh:
A B C
a / sin(A B) sin A; b / cos A cos(B C) 0; c / sin cos ;
2
3A B C
d / cosC cos(A B 2C) 0; e / sin A cos
2
+
+ = + + = =
+ +
+ + + = + =
III/ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 8:Tính giá trị HSLG cung sau: 15 ,75 ,105 ,285 ,3045o o o o o Bài 9:Tính giá trị HSLG cung sau:
7 13 19 103 299
, , , ,
12 12 12 12 12
(4)Bài 10: Tính cos x p ổ ữử ỗ - ữ
ỗ ữ
ỗố ứ bit
12
sin x , ( < x < )
13
p p
=-Bài 11: Cho góc nhọn a b, có
1
tan , tan
2
a= b=
a/ Tính tan(a b+ ) b/ Tính a+b
Bài 12: Cho góc nhọn x y thoả : x y
4
tan x.tan y 2
p
ìïï + = ïí
ïï =
-ïỵ
a/ Tính tan x( +y ; tan x) +tan y b/ Tính tanx , tany c/ Tính x y Bài 13: Tớnh tan x
p ổ ửữ ỗ - ữ
ỗ ữ
ỗố ứ bit
40 sin x
41
3 < x <
2 p p
Bài 14: Tính tan
4
p a
ổ ửữ ỗ + ữ
ỗ ữ
ỗố ứ theo tana p dng: Tớnh tg15o
Bi 15: Tính:
o o o
o o o o
o o o
o o o
o o o o
o o
tan 25 tan 20 tan15
A sin 20 cos10 sin10 cos 20 B C
1 tan 25 tan 20 tan15
3 tan 225 cot81 cot 69 D sin15 cos15 E sin15 cos15 F
3 cot 261 tan 201
+ +
= + = =
-
-= - = + =
+
Bài 16: Tính:
3 a / A cos x cos x cos x cos x
3
2
b / B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x
3 3
p p p p
p p p p
ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ ửữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
= ỗỗ - ữữ ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ ỗỗ + ữữ
è ø è ø è ø è ø
ổ ửữ ổ ổữ ửữ ổ ửữ
ỗ ç ç ç
= çç + ÷÷+ çç + ữữ ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ
ố ứ è ø è ø è ø
Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập x:
2 2 2 2
A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x
3 3
p p p p
ỉ ư÷ ỉ ửữ ổ ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
= + ỗốỗ + +ứữữ ốỗỗ - ứữữ = + ỗỗố + +ứữữ ỗỗố - ữữứ Bi 18: Chng minh:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
a / cos a b cos a b cos a sin b cos b sin a
b / sin a b sin a b sin a sin b cos b cos a c / sin a b cos a b sin a cosa sin bcos b
d /sin a sin a sin a
4
p p
+ - = - =
-+ - = - =
-+ - = +
ổ ửữ ổ ửữ ỗ + -ữ ỗ - ữ=
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ
ố ø è ø
(5)
1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
A B C B C
3/ sin cos cos sin sin
2 2 2
A B C B C
4/ cos sin cos cos sin
2 2 2
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C
A B B
6/ tan tan tan
2
p
=
-=
-ổ ửữ
ỗ ạ ữ
ỗ ữ
ỗ
ố ứ
+ tanC tanCtan A
2 2
A B C A B C
7/ cot cot cot cot cot cot
2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA =
+ =
+ + =
( học thuộc kết )
Công thức biến đổi:
Bài 20: Biến đổi tích thành tổng
( o) ( o)
2
a / sin sin b / cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30
5
p p
+
-( ) ( ) ( )
d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8cos x.sin 2x.sin 3x;
f / sin x sin x cos 2x; g / 4cos a b cos b c cos c a
6
p p
æ ữử ổ ửữ
ỗ + ữ ỗ - ữ - -
-ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ç
è ø è ø
Bài 21: Biến đổi tổng thành tích
( ) ( ) ( )
a / cos 4x cos3x; b / cos3x cos 6x; c / sin 5x sin x d / sin a b sin a b ; e / tan a b tan a; f / tan 2a tan a
+ - +
+ - - + +
-Bài 22: Hệ thức lượng tam giác
Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh học thuộc kết sau :
A B C
9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos cos
2 2 2
A B C
10 / cosA + cosB + cosC = + 4sin .sin sin
2 2 2
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 12/ cos2A + cos2B + cos2C =
-( )
2 2
2 2
4cosA.cosB.cosC 13/ sin A + sin B + sin C = +cosA.cosB.cosC 14/ cos A + cos B + cos C = - 2cosA.cosB.cosC
A B C
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos
2 2 2
( Loại 5- Trang 8) Bài 23: Chứng minh DABC vuông nếu:
2 2
sin B sin C
a / sin A ; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C
cos B cos C +
= = + + + =
+
Bài 24: Chứng minh DABC cân nếu:
C 2 sin B
a / sin A 2sin B.cosC; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2tan B tan A.tan B; d / 2cos A
2 sin C
(6)Bài 25: Chứng minh DABC nếu:
1
a / cos A.cos B.cos C ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cos A cos B cosC
8
= + + = + + + + =
Bài 26: Chứng minh DABC cân vuông nếu:
( ) ( )
2
2 2 2
sin B C sin B C
C tan B sin B
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C
+
-= = =
+
-Bài 27: Hãy nhận dạng DABC biết:
sin A
2 2
a / sin 4A sin 4B sin 4C b / cos A cos B cos C c / 2sin C
cosB
+ + = + + = =
B HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I Tìm tập xác định hàm số lượng giác
Chú ý : 1)
A
B có nghĩa B0 (A có nghĩa) ; A có nghĩa A0
2) 1 sinx ; -1 cosx 1
3) sinx x k ; sinx = x = k2 ; sinx = -1 x = k2
4) c xos x k ; osx = 1c x = ; osx = -1k c x = k2
5) Hàm số y = tanx xác định x k
Hàm số y = cotx xác định xk
Bài 1:Tìm tập xác định hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
x x
3) y = sin x4
4) y = cos x2 3x 2
5) y =
2 os2x
c 6) y = sinx
7) y =
1 osx
1-sinx
c
8) y = tan(x +
) 9) y = cot(2x - 3)
10) y =
1
sinx osxc
II Xét tính chẵn, lẻ hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin2(-x) =
2
sin(-x) = (-sinx)2 = sin2x
Phương pháp: Bước : Tìm TXĐD ; Kiểm tra x D x D x,
Bước : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) Có khả
0
( ) ( ) chẵn
( ) ( ) lẻ
Cú x để ( ) ( ) không chẳn, không lẻ
f x f x f
f x f x f
f x f x f
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 4) y =
1
(7)III Xét biến thiên hàm số lượng giác
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến khoảng k2 ;2 k2
Hàm số y = sinx nghịch biến khoảng
3
2 ;
2 k k
Hàm số y = cosx đồng biến khoảng k2 ; 2 k Hàm số y = cosx nghịch biến khoảng k2 ; k2 Hàm số y = tanx đồng biến khoảng k ;2 k
Hàm số y = cotx nghịch biến khoảng k ; k Bài 3* Xét biến thiên hàm số
1) y = sinx 3;
2) y = cosx khoảng
2 ;
3) y = cotx khoảng ;
4) y = cosx đoạn
13 29 ;
5) y = tanx đoạn
121 239 ;
6) y = sin2x đoạn
3 ; 4
7) y = tan3x khoảng 12 6;
8) y =sin(x + 3
) đoạn
4 ; 3
Bài 4: * Xét biến thiên hàm số Hàm số Khoảng ;
3;
23 25 ; 4 362 481 ;
y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx
Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến K y = A.f(x) +B
đồng biến K A > nghịch biến K A <
Bài 5* Lập bảng biến thiên hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – đoạn ; 2) y = -2cos 2x
đoạn
2 ; 3
IV Tìm GTLN, GTNN hàm số lượng giác
Chú ý : 1 s inx ; -1 cosx 1 ; sin2 x 1 ; A2 + B B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN hàm số
1) y = 2sin(x-2
) + 2) y = –
2cos2x 3) y = -1 -
os (2x + )
(8)4) y = 1cos(4x )2 - 5) y = sinx 3 6) y = 5cos x
7) y = sin2x 4sinx + 8) y = os 3 c x 1
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến đoạn a b; ma ;ax ( )b f x f b( ) ; ( )a ;b f x f a( )
Hàm số y = f(x) nghịch biến đoạn a b; ma ;ax ( )b f x f a( ) ; ( )a ;b f x f b( )
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN hàm số
1) y = sinx đoạn 2;
2) y = cosx đoạn 2;
3) y = sinx đoạn 2;0
4) y = cosx đoạn
;
C.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. I:LÍ THUYẾT
1/Phương trình lượng giác bản
sin u = sin v
u=v+k2π ¿
u=π − v+k2π ¿ ¿ ¿ ¿
( k Z )
cos u = cos v u = v + k2 ( k Z )
tanu = tanv u = v + k ( k Z )
cotu = cotv u = v + k ( k Z )
2/ Phương trình đặc biệt :
sinx = x = k , sinx = x = π2 + k2 ,sinx = -1 x = - π2 + k2
cosx = x = π2 + k , cosx = x = k2 , cosx = -1 x = + k2
3/ Phương trình bậc sinx cosx
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) a2 + b2
Cách 1: acosx + bsinx = c √a2+b2 cos(x −ϕ) = c với cosϕ= a
√a2+b2
asinx +bcosx = c √a2+b2 sin(x+ϕ) = c với cosϕ= a
√a2+b2
Caùch :
Xét phương trình với x = + k , k Z
(9)(c + b)t2 – 2at + c – a =
Chú ý : pt(1) pt( 2) có nghiệm a2 + b2 - c2
Bài tập :Giải phương trình sau:
1 √3 cosx −sinx=√2 , cosx −√3 sinx=−1
3 sin 3x −√3 cos 9x=1+4 sin33x , sin4x+cos4(x+π4)=14
5 cos 7x −sin 5x=√3(cos 5x −sin7x) , 6.tanx 3cotx4(sinx cos )x
7
3(1 cos ) cos 2sin
x
x x
8
2
sin sin
x x
4/ Phương trình chứa hàm số lượng giác :
Phương trình chứa hàm số lượng giác phương trình có dạng : f[u(x)] = với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx
Đặt t = u(x) ta phương trình f(t) = Bài tập: Giải phương trình sau:
1 2cos2x +5sinx – = , 2 2cos2x – 8cosx +5 = 3 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1 5 sin42x + cos42x = – 2sin4x
4x 2
cos cos x
3
7
2
3
3 tan
cosx x 8 5tan x -2cotx - = 0
9 6sin 32 x cos12x 4
10 4sin4x12cos2x7
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x =
Caùch :
Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm
Xeùt cosx0 chia hai vế phương trình cho cos2x đặt t = tanx
Caùch 2: Thay sin2x =
2 (1 – cos 2x ), cos2x =
2 (1+ cos 2x) ,
sinxcosx = 12 sin2x ta phương trình bậc theo sin2x cos2x
b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau xét phương trình trường hợp cos x = hay x = π2 + k ,kZ
Bài tập :
1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = -
2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8
√3 - 9)cos2x =
3 4sin2x +3
√3 sin2x – 2cos2x =
4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx.
5
2
sin sin 2cos
2
(10)6/ Phương trình daïng : a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c =
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện −√2≤t ≤√2 sinxcosx = t 2−1
2
Ta đưa phưong trình cho phương trình bậc hai theo t
Chú ý : phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = Đặt t = cosx - sinx , điều kiện −√2≤t ≤√2 sinxcosx = 1−t
2
Bài tập : Giải phương trình sau : 3(sinx + cosx ) +2sin2x + = sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = cosx –sinx – 2sin2x – = 7 Các phương trình lượng giác khác. Bài 1: Giải phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ – 4cos2x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = , 5/ 2tg2x + =
cosx , 6/ 4sin4 +12cos2x =
Bài : Giải phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx 2/ cos4x
3 =cos
2
x ÑS : x = k3 , x= π
4 +k3 , x = 5π
4 +k3
3/ 1+ sin x2 sinx - cos x2 sin2x = 2cos2 ( π
4−
x
2 ) ÑS: sinx =1 v sin
x
2 =
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - π4 + k
5/ 2cos 2x – 8cosx + = cos1x ÑS : x = k2 , x = π3 +k2
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ÑS : cosx = , cos 2x =
2
7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x
8/ cos 3x – cos 2x =
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan x2 10/ sin2x+ 2tanx =
11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x
12/ tan3( x - π
4 ) = tanx - ÑS : x = k v x =
π
4 + k
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – HD : Đưa PT bậc hai theo sinx 14/ sin2x + cos 2x + tanx = ÑS : x = π4 + k
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx =
(11)1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x =
2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx.
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ÑS : x= π
4 +
kπ
2
5/ sin3(x - π
4 ) = √2 sinx ÑS : x =
π
4 +k
6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = ÑS :x =
π3 + k v x= π4 + kπ2
7/ 3sin4x +5cos4x – =
8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG Giải phương trình sau :
1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx =
3/ + sin3x + cos3x =
2 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + =
5/ sin3x – cos3x = + sinxcosx 6/
cosx +
1
sinx+sinx+cosx=
10
7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6
8/ sin22
x + 2tan
2x + 5tanx + 5cotx + = 0
9/ + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = -
11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ).
IV PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Giải phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x +
4
5/ sin4 x
2 + cos4
x
2 = – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx =
7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = – 2sin2x cos2x
9/ 3sin3x - √3 cos 9x = + 4sin3x 10/ cos1−x+cossinxx=sinx
11/ sin2 (x
2−
π
4) tan2x – cos2
x
2 = 12/ cotx – tanx + 4sinx =
sinx
13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x)
15/ 5(sinx+cos 3x+sin 3x
1+2sin 2x )=cos 2x+3 16/ sin
23x – cos24x = sin25x – cos26x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – = 18/
2
4
(2 sin )sin tan
cos
x x
x
x
19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan x
2 )
20/ cotx – =
2
cos
sin sin
1 tan
x
x x
x
(12)