Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 7. Một hộp có dựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh hoàn toàn giống nhau về hình thức. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra ba viên bi.Tìm xác suất của các biến cố sau:. a) Lấy được một viên bi mà[r]
(1)Trần Đình Cư 1
BÀI 1. HAI QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM
Ví dụ Từ thành phố A đến thành phố B có đường đường thuỷ Cần chọn đường để từ A đến B Hỏi có cách chọn ?
Giải
Có : + = cách chọn
Ví dụ Một nhà hàng có loại rượu, loại bia loại nước Thực khách cần chọn loại thức uống Hỏi có cách chọn ?
Giải
Có : + + = 13 cách chọn
Ví dụ Giữa thành phố Hồ Chí Minh Hà Nội có loại phương tiện giao thông : đường bộ, đường sắt đường hàng khơng Hỏi có cách chọn phương tiện giao thơng để từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội quay về?
Giải
Có : × = cách chọn
Ví dụ Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, uỷ ban thư ký không bầu người vào hay chức vụ Hỏi có cách ?
Vấn đề 1: Đếm số phần tử (cách chọn) dựa quy tắc cộng :
* Quy tắc cộng : Nếu cơng việc có m cách xảy ra, cơng việc có n cách xảy hai cơng việc không xảy đồng thời số cách xảy cơng
việc hay cơng việc : m + n cách
*Quy tắc cộng dạng tổng :Chúng ta mở rộng quy tắc cộng tổng qt có nhiều cơng việc Giả sử việc T1, T2, , Tm làm tương ứng n1, n2, , nm cách giả sử khơng có hai việc làm đồng thời.Khi số cách làm m việc là:
n1+ n2+ + nm
Vấn Đề 2: Đếm số phần tử (cách chọn) dựa quy taéc nhân :
* Quy tắc nhân : Nếu cơng việc có m cách xảy ra, ứng với cách xảy ra
cơng việc1 rồitiếp đến cơng việc có n cách xảy số cách xảy cơng việc1 “rồi”cơng việc : m × n
* Quy tắc nhân tổng quát: Chúng ta mở rộng quy tắc nhân tổng quát có nhiều công việc Giả sử việc T1, T2, , Tm Nếu việc Ticó thể làm ni
sau việc T1, T2, , Ti-1 làm, có :
(2)Giải
Có 15 cách chọn chủ tịch Với cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ tịch Với cách chọn chủ tịch phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký
Vậy có : 15 14 × × 13 = 2730 cách chọn
Ví dụ Trong lớp học, thầy giáo muốn biết ba mơn Tốn, Lý, Hóa học sinh thích mơn theo thứ tự giảm dần Số cách mà học sinh ghi
L T
L T
L
H H
H T
Sơ đồ cây
Bài tốn đếm giải biểu đồ
Một bao gốc cành từ gốc, cành phụ từ điểm cuối cành khác
Để sử dụng toán đếm dùng cành biểu diễn
lựa chọn,các kết cục lá, điểm cuối cành khơng có cành khác bắt đầu
Người ta dùng sơ đồ để liệt kê trường hợp xảy tốncó tượng liên tiếp tượng có trường hợp Chú ý ta dùng sơ đồ để kiểm tra kết
Các dấu hiệu chia hết
– Chia hết cho : số tận 0, 2, 4, 6,
– Chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho (ví dụ : 276)
– Chia hết cho : số tận 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho
4 (ví dụ : 1300, 2512, 708)
– Chia hết cho : số tận 0,
– Chia hết cho : số chia hết cho chia hết cho
– Chia hết cho : số tận 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết
cho (ví dụ : 15000, 2016, 13824)
(3)Trần Đình Cư 3 Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số
đôi khác không chia hết cho Giải
Gọi : n = abc số cần laäp.
m = a'b'c' số gồm chữ số khác
m′ = a b c1 1 số gồm chữ số khác mà chia hết cho Ta có : tập số n = tập số m – tập số m′
* Tìm m : có cách chọn a′ (vì a′ ≠ 0), có cách chọn b′ (vì 'b a' ), có cách chọn (vì 'c a' 'c b') Vậy có :
5 × × = 100 số m
* Tìm m′ : chữ số cho, chữ số có tổng chia hết cho {0,4,5} , {1, 3,5}, {2,3,4}
•Với {0,4,5} : có cách chọn a1, cách chọn b1, cách chọn c1, × × = số m′
•Với {1, 3,5} : có 3! = số m′ •Với {2,3,4} : có 3! = số m′ Vậy có : + + = 16 số m′ Suy có : 100 – 16 = 84 số n
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài Trong lớp học có 25 học sinh nam 20 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn được:
a) Một bạn học sinh lớp
b) Một đội song ca nam – nữ lớp
Bài Từ số 3; 5; viết số khác có chữ số khác
Bài Từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, viết được: a) Bao nhiêu số có hai chữ số
b) Bao nhiêu số có chữ số khác nhau? Trong có số chẵn? Bài Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Từ chữ số ta thành lập được:
a) Bao nhiêu số có chữ số
b) Bao nhiêu số có chữ số khác nhau? Trong có số chia hết cho 5? số chẵn?
c) Bao nhiêu số có chữ số,trong chữ số cách đề chữ số đứng giống nhau?
Bài Có số tự nhiên có chữ số khác và: a) Là số chẵn lớn 5000?
Chú ý : Qua ví dụ trên, ta thấy số cách chọn thỏa tính chất p quá nhiều, ta làm sau :
(4)b) Nằm khoảng (2000,4000)
Bài Trong nhóm học sinh gồm có học sinh có học lực trung bình, học sinh có học lực học sinh có học lực loại giỏi Có cách để chọn từ
nhóm đó:
a) Một học sinh có học lực b) hai học sinh có học lực khác
c) Ba học sinh có học lực khác đôi
Bài Một cơng ty có cổng vào Hỏi người khách đến cơng ty chọn
được:
a) Bao nhiêu cách vào cổng đó?
b) Bao nhiêu cách vào cơng ty bàng hai cổng khác ( cổng khác cổng vào)
Bài Số điện thoại huyện A gồm chữ số bắt đầu hai số 85 Hỏi huyện có tối đa máy điện thoại?
Bài Từ số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5, a) Có số chẵn có chữ số
b) Có số chẵn có chữ số khác
c) Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 4000
d) Có socos4 chữ số khác nhau,trong thiết phải có mặt chữ số Bài 10 Từ tập hợp số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
a) Có số có chữ số khác nhau? Trong có số mà không
được chữ số 123?
b) Có số có chữ số khác chữ số ln cạnh nhau?
c) Có số có chữ số khác khơng lớn 4567? Bài 11 Từ tập hợp số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
a) Có số có5 chữ số?
(5)Trần Đình Cư 5
BÀI 2. HỐN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP
Ví dụ : a) 5! = 1.2.3.4.5 = 120; b) 9!
5! = 9.8.7.6 = 3024; c) 3!4 = 4! = 1.2.3.4 = 24; d)
! ! n n
= (n + 2)(n + 1)n(n – 1)(n – 2)
Ví dụ Từ chữ số 1, 2, tạo số gồm chữ số khác ?
Giaûi
Mỗi số gồm chữ số khác tạo từ 1, 2, hốn vị phần tử Vậy có : P3 = 3! = số
(các số : 123, 132, 213, 231, 312, 321)
Ví dụ Trong lớp học, thầy giáo phát phiếu thăm dò yêu cầu học sinh ghi thứ tự mơn Tốn, Lý, Hóa học theo mức độ u thích giảm dần Hỏi có cách ghi khác ?
Giải
Đây hốn vị phần tử Vậy có: P3 = 3! = cách, có cách ghi là:
Vấn đề 1: Giai thừa
Với số nguyên dương n, ta định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n!, tích số nguyên liên tiếp từ đến n
n! = 1.2.3…(n – 2) (n – 1)n Vì tiện lợi, người ta qui ước : 0! =
Từ định nghĩa, ta có : n(n – 1) … (n – r + 1) =
! ! n
n r vaø (n – 1)!n = n!
Vấn đề : Hốn vị
Có n vật khác nhau, vào n chỗ khác Mỗi cách gọi hoán
vị n phần tử
Theo qui tắc nhân, chỗ thứ có n cách (do có n vật), chỗ thứ nhì có n– cách (do cịn n – vật), chỗ thứ ba có n – cách (do n – vật),…, chỗ thứ n có cách (do cịn vật)
(6)(T,L,H), (T,H,L), (L,T,H), (L,H,T), (H,T,L), (H,L,T)
Ví dụ Có sách tốn khác nhau, sách lý khác sách hóa khác Cần xếp sách thành hàng cho sách mơn đứng kế Hỏi có cách ?
Giaûi
Trước tiên, ta theo mơn có P3 = 3! = cách
Tiếp đến, sách môn đổi chỗ cho nhau, tốn có P2 = 2! = cách, lý có P3 = 3! = cách, hóa có P4 = 4! = 24 cách Vậy, theo qui tắc nhân, có :
6 × × × 24 = 1728 cách
Ví dụ Một nhà hàng có ăn chủ lực, cần chọn ăn chủ lực khác cho ngày, buổi trưa buổi chiều Hỏi có cách chọn ?
Giải Đây chỉnh hợp chập phần tử, có :
5
5! ! A
= 4.5 = 20 cách chọn
(Giả sử ăn đánh số 1, 2, 3, 4, 5; ta có cách chọn sau : (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4))
Ví dụ Trong trường đại học, ngồi mơn học bắt buộc, có mơn tự chọn, sinh viên phải chọn môn mơn đó, mơn mơn phụ
Vấn đề 3: Chỉnh Hợp
Có n vật khác nhau, chọn k vật khác (1 ≤ k ≤ n), vào k chỗ khác Mỗi cách chọn gọi chỉnh hợp chập k n phầntử
Chỗ thứ có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ có (n – 1) cách chọn (do cịn n – vật), chỗ thứ có n – cách chọn (do n – vật), …, chỗ thứ k có n – (k – 1) cách chọn (do n – (k – 1) vật) Vậy, theo qui tắc nhân, số cách chọn :
n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n – k + 1) =
! ! n n k Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử k
n
A , ta coù : ! !
k n
n A
n k
(7)Trần Đình Cư 7
2
3! ! A
= cách chọn
(Giả sử mơn tự chọn a, b, c cách chọn theo yêu cầu (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b))
Ví dụ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, tạo số gồm chữ số khác ?
Giải Đây chỉnh hợp chập phần tử Vậy có :
5
5! ! A
=.5 = 20 số
(Các số : 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54)
Ví dụ Có học sinh, cần chọn học sinh để trực lớp, hỏi có cách chọn ?
Giải Đây tổ hợp chập phần tử Vậy có :
2
5! 5.4 10 2!3!
C cách chọn
(Giả sử học sinh {a, b, c, d, e} 10 cách chọn : {a, b} , {a, c} , {a, d} , {a, e} , {b, c} , {b, d} , {b, e} , {c, d} , {c, e} , {d, e}
Ví dụ Một nơng dân có bị, heo Một nông dân khác đến hỏi mua bị heo Hỏi có cách chọn mua ?
Giải
Chọn mua bị bò tổ hợp chập phần tử, có : C cách chọn
Vấn đề 4: Tổ Hợp
Có n vật khác nhau, chọn k vật khác (0 ≤ k ≤ n) không để ý đến thứ tự chọn Mỗi cách chọn gọi tổ hợp chập k n phần tử
Ta thấy tổ hợp chập k n phần tử tạo Pk = k! chỉnh hợp chập k n phần tử
Do đó, kí hiệu số tổ hợp chập k n phần tư k n
C ta coù : ! ! ! ! k k n n A n C
k k n k
Tính chất :
1
1
0 2
k n k n n
k k k
n n n
n n
n n n
C C
C C C
C C C
(8)Chọn mua heo heo tổ hợp chập phần tử, có : C cách chọn
Vậy, theo qui tắc nhân, số cách chọn mua bò heo :
4 C
4
C = × × = 90 cách chọn
Ví dụ Trong kì thi, sinh viên phải trả lời câu hỏi. a) Có cách chọn.
b) Có cách chọn câu hỏi có câu hỏi bắt buộc. Giải
a) Chọn câu hỏi tổ hợp chập phần tử. Vậy có
5
5! 5.4 10 3!2!
C cách chọn
b) Chọn câu hỏi lại tổ hợp chập phần tử Vậy có :
4
4! 4.3 6 2!2!
C cách chọn Chú ý :
– Có thể xem tổ hợp chập k n phần tử tập gồm k phần tử tập n phần tử cho
– Cần phân biệt tốn chọn k vật từ n vật, có hay khơng hàm ý thứ tự Nếu có thứ tự, chỉnh hợp, khơng có thứ tự, tổ hợp
BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài Có bạn học sinh xếp thành hàng ngang Có cchs xếp
như vậy?
Bài Có sách tham khảo mơn tốn, sách tham khảo mơn Lý 6 sách tham khảo mơn Hóa Xếp sách vào ngăn giá sách theo mơn Hỏi có cách xếp vậy?
Bài Trong dám cưới, cô dâu rể mời người bạn đứng thành hàng để chụp ảnh với Có cách xếp
a) Co dâu đứng cạnh rể
b) Co dâu không đứng cạnh rể c) Cô dâu đứng bên trái rể Bài Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Có thể có số có chữ số khác từ tập chữ số trên? Có số chẵn?
b) Tính tổng tất số tạo thành ỏ câu a Bài Cho số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a) Có thể có số có chữ số khác nhau? Trong có số chẵn? Bao nhiêu số chia hết cho 5?
b) Có số có chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số
(9)Trần Đình Cư 9
c) Chia hết cho
Bài Có hộp đựng cầu màu đỏ cầu màu xanh Lấy từ hộp cầu
a) Có cách lấy
b) Có cách lấy để có cầu đỏ
c) Có cách lấy để dó có nhiều cầu đỏ d) Có cách lấy để có nhiều cầu đỏ?
Bài Một lớp có 20 học sinh nữ có bạn Mai 16 học sinh nam có bạn Thắng
1 Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp? a) Có cách chọn
b) Có cách để chọn học sinh phái c) Có bai nhiêu cách đêt có học sinh khác phái ? Chia lớp thành tổ, tổ có học sinh
a) Có cách chia vậy?
b) Có bai nhiêu cách chia đẻ số học sinh nam nữ tổ đề Chọn ban cán lớp gồm em học sinh, có nam nữ
a) Có cách chọn
b) Có cách chọn Thắng Mai khơng chịu làm chung? c) Có cách chọn Thắng Mai không chịu rời nhau?
Bài Trong chương trình văn nghệ cần chọn hát 10 baì hát tiết mục múa tiết mục xếp thứ tự biểu diễn Hỏi có cách khác hát xếp kề tiết mục múa xếp kề nhau?
Bài 10 Có cách bầu ban chấp hành chi đoàn người : bí thư, phó bí
thư, ủy viên chi đồn có 20 đồn viên
Bài 11 Từc số 0,1, 2, 3, lập số tự nhiên khơng có chữ số lặp lại
Bài 12.Một tập thể nhà khoa học có: nhà toán học 10 nhà kinh tế học Lập một
đồn người cơng tác có nhà toán học
Bài 13 Một đội công nhân 15 người bao gồm nam, nữ.
a) Có cách thành lập tổ công tác nam,2 nữ từ độ công tác b) Trong có vợ chồng anh Thu chị Chi có nhỏ nên khơng
(10)Ví dụ Giải phương trình :
*
! 1 ! 1
, ! x x x x Giaûi *
! 1 ! 1
, ! x x x x
6[ x! – (x – 1)!] = (x + 1)!
6[x(x – 1)! – (x – 1)!] = (x + 1)! 6(x – 1)!(x – 1) = (x + 1)x(x – 1)! 6(x – 1) = x(x + 1)
x2 5x 6 x x Ví dụ Giải bất phương trình :
2
15 (*)
.n
n n n
P
P P P Giải: Điều kiện : n1,n
Ta có:
Vấn đề 5: Giải phương trình bất phương trình – hệ phương trình liên quan đến P A Cn, nk, nk
* Phương pháp:
Áp dụng cơng thức tính P A Cn, nk, nk
Thay biểu thức dó vào phương trình, bất phương trình hay hệ
phương trình cho thực biến đổi rút gọn biểu thức để đưa dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
học
Chú ý: Điều kiện công thức
!
! , ;0
!
! , ;0
! ! n k n k n P n n
A k n k n
n k n
C k n k n
k n k
(11)Trần Đình Cư 11
2
1 ! 15
(*)
! ! !
4 ! 15
1 ! ! !
4
15 12 15
8 12
n
n n n
n n n
n n n n
n n
n
n n n
n n n
Kết hợp điều kiện ta n=3,4,5 Ví dụ 3:
Giải:
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
(12)BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 15 Giải phương trình:
3
14 14
1 3
2
1
2 1
3 2
2
) ; )
) 6 14 ; ) 14
10
)P 72 ; )
1
) ; )
2
) 14 ; )
x x
x x
x
x x x x x
n
x x x x
n
n n x x x
y
y y x x
a C C b C C
c C C C x x d A C x
P
e A A P e
P n
f A A g C C C x
h A A y i C P x A
Bài 16 Giải bất phương trình:
3 1
1
2 2
1
4
4
4
1
2
4
1
10 10
3
) 14 )
10
1
) 30 ) 10
2
15
) )
4 143
) )
2 !
x x
x x
x
x x x x x
x
n n n
x x
y y x
x
C
a A C x b x
C
c C A d A A C
x A
e f C C A
P P
A
g C C h
x P
Bài 17 Giải hệ phương trình:
5 5 1
2 5 90 : 1: 7
) )
5 2 80 : 4 : 7
. 126
3 50
) )
2 40 720
y y y y
x x x x
y y y y
x x x x
y y x
y y
x x y
x x
y y
x x x
A C A A
a b
A C C C
A P C
A C
c d
(13)Trần Đình Cư 13 BÀI NHỊ THỨC NIUTON
Ví dụ 1:
Giải:
Ví dụ 2:
Giải:
Ví dụ 3:
Giải:
Vấn đề 1: Xác định số hạng tổng quát nhị thúc Niuton
* Phương pháp:
Áp dụng kết số hạng tổng quát thứ k+1 khai triển
a b n
1 k n k k
k n
(14)BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài Cho khai triển 1 2x 12
a) Tìm tổng số hạng theo lũy thừa tăng dần x khai triển b) Tìm số hạng thứ khai triển
(Thứ tự số hạng tính từ trái sang phải) Bài Cho khai triển
12 3 3 x x
a) Tìm hệ số số hạng x4 khai triển
b) Tìm số hạng khai triển khơng chứa x ( độ lập với x) Bài Cho biết hệ số số hạng thứ trongkhai triển
3 n
x
Tìm số hạng khai triển Bài Cho khai triển
1 n x x
a) Xác định số hạng 1; 2; khai triển
b) Biết tổng ba hệ số ba số hạng nói 11 TÌm hệ số số hạng chứa x2
Bài Tìm số hạng khai triển
9
3 số nguyên Bài Cho khai triển
13 a a
a) Tìm số hạng thứ 4, thứ khai triển
b) Tìm số hạng khai triển chứa a với số mũ tự nhiên Bài Tìm số hạng x8 khai triển 13 x5
x
biết
1
4 7 3
n n
n n
C C n
Bài Tính An2 biết số hạng thứ khai triển n
x x
không phụ thuộc vào x
(15)Trần Đình Cư 15 Bài 10 Tìm số nguyên dương x biết khai triển
3
1 2
3
tỉ số số hạng thứ 17 kể từ số hạng đầu số hạng thứ kể từ số hạng cuối
6
Ví dụ 1:
Giải:
Vấn đề 2: Tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thúc
dụa vào nhị thức Newton
Chú ý: Trong khai triển nhị thức Newton
1 Số số hạng khai triển a b n lớn số mũ n đơn vị
n1
2 Tổng số mũ a b số hạng khai triển n:
n k k n
3 Số hạng tổng quát kí hiệu Tk1C ank n k k b
4 Các hệ số cuả nhị thức Newton cách hai đầu khai triển nhau,điều suy tù quy tắc đối xứng: Cnk Cnn k nên
0 n 1; n 1
n n n n
C C C C n
5. Cnk số hạng thứ hai Cnk Cnk 1n k 1
k
6 Nếu n=2p số hạng 2p+1 hệ số p+1 số hạng đầu : C20pC21p C22p C2pp
Nên từ công thức quy tác đối xứng ta suy C2pp C2pp1 C22pp Nếu n = 2p+1 số hạng p+1 số hạng đầu
0 1
2p 2p 2pp 2pp 2pp C C C C C
(16)Ví dụ 2:
Giải:
Ví dụ 3:
(17)Trần Đình Cư 17
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 11 Tính giá trị biểu thức:
0 2007
2007 2007 2007 2007
0 2007
2007 2007 2007 2007
0 2 2007 2007
2007 2007 2007 2007
0 2008 2007
2007 2007 2007 2007
)
)
) 2 2 2
) 3 3 3 3
a A C C C C
b B C C C C
c C C C C C
d C C C C C
Bài 12 Tính giá trị biểu thức :S C 116 C117 C118 C119 C1110 Bài 13 Với n số nguyên dương chứng minh hệ thức
1
1 2
2 2 2
0 1 2
2 4 2006 2006 2006 2007
2007 2007 2007 2007
)2
)
)4 4
) 3 2
n n n
n n n n
n n
n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n n
a C C C C
b C C C C C C
c C C C C C C C
d C C C C
Bài 14 Chứng minh với số ngun dương n chẵn ta ln có:
1
1 1
1! ! 3! ! 5! ! 3! 1! !
n
n n n n n
Bài 15 Chứng minh với b số tự nhiên n1 ta có:
1 1
n
b n b ( Bất đẳng thức Becnuli)
Bài 16 Chứng minh rằng b: 0 b n ta có bất đẳng thức
11
n
b
n b
Bài 17 Chứng minh với n: 1 n
n
(18)BÀI PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Bài 1: Gieo xúc xắc cân đối đồng chất Mô tả không gian mẫu phép thử
Bài Trong hai xúc xắc cân đối đồng chất Tìm khơng gian mẫu của phép thử
Bài Trong hộp có chứa ba vien bi đỏ,2 viên bi xanh.Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra hai bi Mô tả không gian mẫu phép thử Khơng gian đơcs phần tử Bài Gieo đồng tiền xu cân đối, đồng chất lần quan sát xuất mạt sấp (S) mặt ngửa (N) đồng xu Xây dựng không gian mẫu
Vấn đề 1: Tìm khơng gian mẫu phép thử: * Phương pháp:
(19)Trần Đình Cư 19 BÀI XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Bài Sắp xếp ngẫu nhiên ba bạn nam – có bạn Nguyên bạn nữ - trong
đó có bạn Mai ngồi vào ghế có chỗ Tìm xác xuất để :
a) Xếp học sinh nam nữ ngồi xen kẽ
b) Xếp học sinh nam ngồi vào phía học sinh nữ ngồi vào phía
c) Xếp học sinh cho Nguyên Mai ngồi cạnh
Bài Gieo hai xúc xắc cân đối, đồng chất quan sát số chấm xuất mặt hai xúc xắc dó Tìm xác suất để
a) Tổng số chấm xuất hai xúc xắc b) Số chấm xuất hai mặt xúc xắc c) Tích số chấm xuất hai xuc xắc chẵn, lẻ
Bài Gieo ba đồng xu cân đối đồng chất nhuw Tìm xác suất biến cố sau:
a) Có dúng hai mạt sấp xuất b) Có mặt sấp xuất c) Có nhiều mặt sấp xuất
Bài Một hộp có đựng thẻ có đánh số 1, 2, 3, , đó.
1 Rút ngẫu nhiên ba thẻ thu số có chữ số Tìm xác suất: a) Để thu số chẵn
b) Để thu số chia hết cho
2 Rút ngẫu nhiên thẻ nhân hai số ghi thẻ với Tìm xác suất: a) Để tích nhận số lẻ
b) Để tích nhận số chẵn
Bài Có nam nữ xếp ngẫu nhiên vào quanh bàn trịn.Tìm xác suất để nam nữ ngồi xen kẻ
Bài Trong nhóm gồm 20 học sinh, 10 học sinh thích mơn tốn,12 học sinh thích mơn lý học sinh hai mơn Tốn, Lý Gọi ngẫu nhiên học
sinh.Tìm xác suất để:
Vấn đề 1: Tìm xác suất biến cố * Phương pháp:
Cách 1: Áp dụng định nghĩa
Tìm số khả phép thử: n ( số phàn tử
khơng gian mẫu)
Tìm số khả thuận lợi cho biến cố A: m Khi đó,áp dụng kết : ( )P A m
n Cách 2: Áp dụng tính chất
( ) ( ) ( )
P A B P A P B
Chú ý: A B hai biến cố xung khắc ( tức hai biến cố không xảy ra
(20)a) Học sinh dó thích hai mơn Tốn Lý b) Học sinh khơng thích mơn hai mơn
Bài Một hộp có dựng viên bi đỏ viên bi xanh hồn tồn giống hình thức Lấy ngẫu nhiên từ hộp ba viên bi.Tìm xác suất biến cố sau:
a) Lấy viên bi màu đỏ
b) Lấy vien bi màu đỏ c) Lấy màu viên bi d) Lấy viên bi màu
Bài Trong lớp có 20 học sinh nữ, coa bạn Mai 16 học sinh nam
trong có bạn Thắng
1 Chia lớp thành tổ, tổ học sinh Tìm xác suất để học sinh nam học sinh nữ tổ
2 Chọn ban cán lớp gồm học sinh để có nam nữ
a) Tìm xác suất biến cố chọn từ ban cán lớp mà Mai Thắng
được làm việc chung ban cán
b) Tìm xác suất biến cố chọn ban cán mà Mai với Thắng không làm việc chung
Bài Một đội văn nghệ trường gồm có 10 học sinh lớp 11A có em,lớp 11B có em, lớp 11 C có em.Gặp ngẫu nhiên học sinh nhóm đó.Tìm Xác suất để:
a) Ba học sinh ba lớp khác b) Trong có học sinh lớp 11A c) Có ba em đề học sinh lớp 11A
Bài 10 Chọn ngẫu nhiên vé xổ số có chữ số từ đến Tìm xác suất để số trên vé khơng có chữ số khơng có chữ số
Bài Gieo xúc xắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác xuất biến cơ tổng số chấm lần gieo không bé 10 nếu:
a) Lần gieo thứ xuất lần b) Mặt chấm xuất lần
Bài Mỗi cỗ tú lu khơ gồm 52 con.Rút liên tiếp khơng hồn trả lại hai bài. Tìm xác suất để lần thứ rút Át với điều kiện lần thứ rút Át
Vấn đề 2: Tính xác suất có điều kiện
* Phương pháp: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện
( )
( / )
( ) P A B P A B
P B
P B( ) 0
( )
( / )
( ) P A B P B A
P A
(21)Trần Đình Cư 21 Bài Một hộp đựng phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm một, không bỏ trở lại để kiểm tra lấy hai phế phẩm thơi Tính xác xuất biến cố việc kiểm tra dừng lại sản phẩm thứ
Bài Lấy hộp gồm viên bi xanh viên bi đỏ
1 Lấy ngẫu nhiên liên tiếp không hồn lại hai bi từ hộp.Tìm xác suất để bi lấy
được đỏ
2 Lấy ngẫu nhiên viên bi,nếu xanh bỏ lại thêm bi xanh nữa, bi đỏ bỏ vào lại thêm bi đỏ nữa.Sau đó, lần thứ lấy ngẫu nhiên viên bi
a) Tìm xác suất để hai viên bi lấy màu xanh b) Tìm xác suất để viên bi lấy khác màu
Bài Hộp có đựng viên bi có bi đỏ bi xanh Hộp có đựng viên
bi có bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tìm xác
suất biến cố sau:
a) Hai bi lấy màu đỏ b) Hai bi lấy màu
Bài Hai người độc lập bắng người viên đạn vào mục tiêu Xác suất bắng trúng bia người thứ nhất,thứ hai là: 0,3; 0,5 Tính xác suất biến cố sau:
a) Cả hai bắng trúng b) Có người bắn trúng
c) Có người bắn trúng
Bài Có hai hộp đựng bi hồn tồn giống hình thức:
Hộp có viên bi trắng ba viên bi đen
Hộp có viên bi trắng viên bi đen
Lấy ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất để viên
bi viên bi trắng
Bài Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm 10 hình thức giống nhưng
trong có chìa khóa mở kho Tìm xác suất để:
a) Anh ta mở kho lần thứ
b) Anh ta mở kho mà không lần mở
Bài Một nồi có van bảo hiểm hoạt động độc lập với xác suất hỏng van 1, van 2,van khoảng thời gian t tương ứng 0,1; 0,2; 0,3 Nồi hoạt động an toàn có van khơng hỏng Tìm xác suất để nồi hoạt động an toàn khoảng thời gian t
Vấn đề 3. Tính xác suất tích biến cố. * Phương pháp: Áp dụng công thức xác suất
Nếu A, B khơng độc lập :
( ) ( / ) ( ) ( / ) P A B P A P B A P B P B A Nếu A, B độc lập :
(22)ÔN TẬP CHƯƠNG II
A BÀI TẬP TỰ LUẬN:
Bài Có học sinh có em nam em nữ 1) Sắp xếp em học sinh thành hàng ngang
a Có cách xếp vậy?
b Tìm xác suất để xếp học sinh nam, nữ xưn kẽ
c Tìm xác suất để xếp học sinh nam đứng phía học sinh nữ xếp phía
2) Sắp xếp học sinh xung quanh bàn trịn a Có cách xếp
b Có cách xếp để khơng có học sinh nữ đứng cạnh
Bài Trên thẻ, thẻ ghi chữ số : 0;1 ; 2; 3; 4; Sắp xếp ngẫu nhiên thẻ thành hàng ngang Tìm xác suất để số xếp là:
1) Số có chữ số 2) Số có chữ số lẻ
3) Số có chữ số chia hết cho 4) Số có chữ số lẻ chia hết cho
5) Số có chữ số chữ số 1,5 ln đứng cạnh
Bài Cho tập X={0;1;2;3;4;5;6;7} Lấy ngẫu nhiên từ tập hợp X chữ số khác nhau
để lập thành số có chữ số
1) Hỏi có số vậy?
2) Tìm xác suất biến cố số tìm
a Số chẵn gồm chữ số khác có chữ số đứng đầu
b Số chẵn gồm chữ số khác cho chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ
Bài Một lớp có 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cần chọn người lớp để tham gia hoạt động tình nguyện hè
1) Có cách chọn vậy? 2) Tìm xác suất biến cố sau:
a Chọn toàn học sinh nam
b Chọn học sinh nam học sinh nữ c Chọn học sinh nam học sinh nữ
Bài Một hộp có viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tìm xác suất biến cố sau:
1) Chỉ chọn cá viên bi màu 2) Chọn viên bi không đủ màu Bài Cho nhị thức 1 x 100
1) Tìm số hạng thứ 9? Số hạng khai triển 2) Dựa cào khai triển chứng minh đẳng thức sau:
a C1000 C1002 C100100 C1001 C1003 C10099
100 99 98 100 2 100 100
(23)Trần Đình Cư 23
Từ suy ra: B C 1001 C1003 C10099 b C2C1000 22C1001 2101C100100 Bài Cho khai triển
28
3 15
n
x x x
Biết rằng: CnnCnn1 Cnn2 79
1) Tìm số hạng thứ khai triển
2) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển 3) Tìm số hạng chứa x khai triển16
4) Tìm số hạng khơng chứa x với số mũ ngun 5) Tìm số hạng khơng chứa x với số mũ tự nhiên
Bài Trong kỳ thi tuyển sinh 35% nữ 65% nam Trong số thí sinh nữ chiếm 225 trúng tuyển, thí sinh nam trúng tuyển có 18%
a) Rút ngẫu nhiên hồ sơ thí sinh dự thi Tìm xác suất để hồ sơ thí sinh trúng tuyển
b) Rút ngẫu nhiên hồ sơ trúng tuyển Tìm xác suất để hồ sơ thí sinh nữ
Bài Một bình đựng viên bi xanh,3 viên bi vàng, viên bi đỏ, viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên đồng thời viên bi Tìm xác suất biến cố:
a) A: Được viên bi khác màu phải có viên bi xanh b) B: Được viên bi khác màu phải có viên bi vàng c) C: Được viên bi khác màu phải có viên bi đỏ d) Tính A B C
Bài 10 Hộp chứa viên bi đen, viên trắng.
a) Lấy ngẫu nhiên lúc viên bi Tính xác suất lấy có viên bi trắng
b) Lấy ngẫu nhiên hai lần lần viên tính xác suất lần viên bi trắng, lần
2 viên bi đen
B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
Bài Cho số 1, 5, 6, lập số có chữ số với chữ số khác
A.12 B 24 C 64 D.256
Bài Cho số 1, 4, 6, lập số có chữ số với chữ số khác
A.16 B 64 C 256 D.24
Bài Có số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chụ lớn chữ số hàng
đơn vị
A.40 B 45 C 50 D.55
Bài Có số tự nhiên có chín chữ số mà chữ số viết theo thứ tự giảm dần:
A.40 B 45 C 50 D.55
Bài Có số tự nhiên có chữ số:
A.900 B 901 C 899 D kết khác
Bài Có số tự nhiên có ba chữ số lập từ số 0, 2, 4, 6, với điều kiện chữ số không lập lại?
(24)Bài Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc Tính tổng số cách chọn người đàn ông và người đàn bà bữa tiệc phát biểu ý kiến cho hai người khơng phải vợ chồng
A.100 B 90 C 10 D.91
Bài Một người vào ửa hàng ăn, người chọn thực đơn gồm ăn 5 món, loại hoa tráng miệng laoij hoa nước uống loại Có cách họn thực đơn vậy?
A.25 B 75 C 100 D.15
Bài Tìm tất số tự nhiên có chữ số khác nhau.
A.648 B A103 A92 C A B D.A B
Bài 10 Từ số 0, 1, 2, 7, 8, tạo số chẵn có chữ số khác nhau?
A.120 B 216 C 312 D.360
Bài 11 Từ số 0, 1, 2, 7, 8, tạo số lẻ có chữ số khác nhau?
A.288 B 360 C 312 D.600
Bài 12 Từ số 0, 1, 2, 7, tạo số lẻ có chữ số khác nhau?
A.360 B 600 C 594 D.504
Bài 13 Từ số 0,1, 2, 3, 7, 5, tạo số lẻ có chữ số khác nhỏ 400?
A.75 B 35 C 25 D.15
Bài 14 Từ số 1, 5, 7, 8, tạo số lẻ có chữ số khác nhau?
A.4 B C 12 D.24
Bài 15 Từ số 1, 3, 5, 7, tạo số có chữ số khác không bắt
đầu từ số 13 ?
A.720 B 114 C 120 D.6
Bài 16 Có cách xếp nữ sinh,3 nam sinh thành hàng dọc cho bạn nam, nữ đứng xen kẽ nhau:
A.6 B 72 C 720 D.144
Bài 17 Trong tủ sách có tất 10 sách Hỏi có cách xếp cho thứ kề quyến thứ hai?
A.10! B 9! C 725760 D.Tất sai
Bai 18 Trong tủ sách có tất 10 sách Hỏi có cách xếp cho thứ không kề quyến thứ hai?
A.10! B 10!- 9! C 10!-9!2! D.9!
Bài 19 Trong hộp bánh có loại bánh có thịt loại bánh có đậu xanh Có bao nhiêu cách lấy bánh để phát cho em thiếu nhi ( lấy tùy ý)?
A.210 B 151200 C 14200 D Kết khác
Bài 20 Số bánh 19 có bánh thịt là:
A.C C106 64 B C C104 42 C C C104 102 D C C104 42
Bài 21 Có sách dịch năm thứ tiếng Anh, Pháp, Đức, Nga, Tây Ban Nha thứ tiếng
(25)Trần Đình Cư 25
C 71887 D Cả A, B
Bài 23 Giá trị tổng S C 170 317C171 4.316C172 32 15 C1717 174 Kết là:
A -1 B C D Kết khác
Bài 24 Cần phân công trực nhật tổ 10 bạn Số cách phân công :
A 120 B A103 C 240 D Kết khác
Bài 25 Hệ số số hạng x y khai triển12 13 x y 25 là:
A C2513 B C2512 C 5200300 D A,B,C
Bài 26 Trong mặt phẳng có đường thẳng song song với đường thẳng khác song song với cắt đường cho Hỏi có hình bình hành tạo 14
đường
A 420 B C C62 82 C C144 D A, B
Bài 27 Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} lập số có chữ số cho chữ số hàng đầu chữ số hàng cuối số chẵn
A 26780 B 6700 C 24078 D Kết khác
Bài 28 Cho hai biến cố A B P(A) = 0,6; P(B)=0,3; P A B( )=0,2 Tính P(A/B) có kết quả:
A ( / )
3
P A B B ( / )
3
P A B C ( / )
2
P A B D ( / )
100 P A B
Bài 29 Cho hai biến cố A B P(A) = 0,5; P(B)=0,2; P A B( )=0,2 Tính
( )
P A B có kết :
A ( )
2
P A B B ( )
3
P A B C ( / )
5
P A B D ( / )
10 P A B
Bài 30 Một tú lơ khơ có 52 on bài, lấy ngẫu nhiên khơng hồn trả lại từng lần lấy át dừng lại Tính xác suất q trình dừng lại lần thứ
A 48 47
52 51 50 B
48 4. .
52 51 50 C
48 4. .
52 52 52 D
(26)GIẢI TÍCH TỔ HỢP QUA CÁC KỲ THI
I.THÀNH LẬP SỐ TỪ CÁC SỐ CHO TRƯỚC
1)Các chữ số đôi khác nhau
Bài 1
Giải:
Bài 2
Giải:
Bài 3:
Giải:
Bài 4
Bài 5:
Giải
Bài 6
Giải:
(27)Trần Đình Cư 27 Bài 8
Giải
Bài 9
Giải
Bài 10
Giải:
Giải:
Giải
Bài 12
Giải
Bài 13
Giải
Baøi 14
Giải
(28)Giải
2)Các chữ số trùng nhau
Bài 16
Giải
Bài 17
Giải
Bài 18
Bài 19
Giải
Bài 20
Giải:
Bài 22
Giải
Bài 23
(29)Trần Đình Cư 29 Bài 24
Bài 25
Giải
Bài 26
Giải
Bài 27
II.BÀI TOÁN CHỌN:
Bài 28
Bài 29
Giải
Bài 30
Giải
Bài 31
(30)Bài 32
Giải
Bài 33
Giải
Bài 34
Giải
Giải
Bài 36
Kết quả
Bài 37
Giải
Bài 38
(31)Trần Đình Cư 31 Bài 39
Giải
Bài 40
Giải
Bài 41
Giải:
Bài 42
Giải
Bài 43
Giải
Bài 44
Giải
Bài 45
(32)Bài 46
Giải
Bài 47
Giải
Bài 48
Giaûi
Giải
Bài 50
Giải
Bài 51
Giải
Bài 52
Giải
(33)Trần Đình Cư 33 Bài 53
Giải
Bài 54
Giải:
Bài 55
Giải
Bài 56
Giải
Bài 57
Giải
Bài 58
Giải
(34)Giải
Bài 60
Giải
Bài 60
Giải
Bài 61
Giải
Bài 62
Giải
Bài 63
Giải
Bài 64
(35)Trần Đình Cư 35 Bài 65
Giải
Bài 66
Giải
Bài 67
Giải
Bài 68
Giải
Bài 69
(36)Bài 70
Giải
Bài 71
Giải
Bài 72
Giải
Bài 73
Giải
Bài 74
Giải
Bài 75
Giải
(37)Trần Đình Cư 37 Bài 77
Giải
Bài 78
Giải
Bài 79
Giải
Bài 80
Giải
Bài 81
Giải
Bài 82
Giải
Bài 83
(38)Giải
Giải
Bài 84
(39)