Các công thức lượng giác và phương trình lượng giác

27 Chuyên đề 7 LƯNG GIÁC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC A. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Đơn vò đo góc và cung: 1. Đo ä: bẹtgóc 0 1 Góc 180 1 = 2. Radian : (rad) ra d 0 180 π = 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng : Độ 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Radian 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 II. Góc lượng giác & cung lượng giác : 1. Đònh nghóa : 2. Đường tròn lượng giác : Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: q AM k2=α+ π M π π π π π ππ π π π k CA k C k A +→ → +→ +→ +→ → 2 DB, k , 2 2 - D 2k 2 2 B 2k x y (tia gốc) Z)(k 2),( ∈+= π α kOyOx + t (tia ngọn) O α . y x o 180 O + − x y O C A B D x y B α M α (điểm gốc) + t O A (điểm ngọn) π α 2kAB + = 28 III. Đònh nghóa hàm số lượng giác : 1. Đường tròn lượng giác : • A: điểm gốc • x ' Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y ' Oy : trục sin ( trục tung ) • t ' At : trục tang • u ' Bu : trục cotang 2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác : a. Đònh nghóa : Trên đường tròn lượng giác cho AM= α . Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x ' Ox vàø y ' Oy T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t ' At và u ' Bu Ta đònh nghóa: cos sin tan cot OP OQ A T B U α α α α = = = = b. Các tính chất : • Với mọi α ta có : 1 sin 1 hay sin 1 αα −≤ ≤ ≤ 1 cos 1 hay cos 1 αα −≤ ≤ ≤ • tan xác đinh 2 k π α απ ∀≠ + • cot xác đinh k α απ ∀≠ c. Tính tuần hoàn sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos tan( ) tan cot( ) cot k k k k α πα α πα α πα απ α += += += += )( Zk ∈ + − x y O C A B D 1 1 1 = R 1 − 1 − 'x 'u u t 't 'y y t 'u 't t x u 'y 'xO t 1 − Q B T α M α A P U Trục cosin Trục tang Trục sin Trục cotang + − 29 IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt -3 -1 -3 / 3 (Điểm gốc) t t' y y' x x' u u' -3 -1 -3 / 3 1 1 -1 -1 - π / 2 π 5 π /6 3 π / 4 2 π / 3 - π /6 - π / 4 - π / 3 -1/2 -2 /2 -3 /2 -1/2-2 / 2-3 / 2 3 / 2 2 / 2 1/2 3 /2 2 /2 1/2 A π / 3 π / 4 π /6 3 / 3 3 B π / 2 3 / 3 1 3 O 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Góc Hslg 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 0 cos α 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 − 2 2 − 2 3 − -1 1 tan α 0 3 3 1 3 kxđ 3− -1 3 3 − 0 0 cot α kxđ 3 1 3 3 0 3 3 − -1 3− kxđ kxđ + − 30 V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : 1. Cung đối nhau : va ø - α α (tổng bằng 0) (Vd: 6 & 6 π π − ,…) 2. Cung bù nhau : va ø - α πα ( tổng bằng π ) (Vd: 6 5 & 6 π π ,…) 3. Cung phụ nhau : và 2 π α α − ( tổng bằng 2 π ) (Vd: 3 & 6 π π ,…) 4. Cung hơn kém 2 π : và 2 π α α + (Vd: 3 2 & 6 π π ,…) 5. Cung hơn kém π : và α πα + (Vd: 6 7 & 6 π π ,…) 1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : sin( ) sin tan( ) cos( ) c tan cot o () s cot α α α α α α α α −=− −=− −=− −= cos( ) cos t sin( ) s an( ) tan cot( ) i ot n c π αα πα α α π α α α π −= − =− −=− −=− 3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 2 π cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 tan( ) cot 2 cot( ) tan 2 π α α π α α π α α π α α −= −= −= −= tan cos( ) sin 2 sin( ) () cot 2 cot( ) ta s 2 co 2 n π α α π α π α α α α π α +=− + +− +=− = = 5. Cung hơn kém π : tan( cos( ) cos sin( ) s ) tan co in t( ) cot π α π αα π α α α α α π + +=− += + − = = Đối cos Bù sin Phụ chéo Hơn kém 2 π sin bằng cos cos bằng trừ sin Hơn kém π tang , cotang 31 VI. Công thức lượng giác: 1. Các hệ thức cơ bản : 22 cos sin 1 sin tan = cos cos cot = sin αα α α α α α α += 2 2 2 2 1 1 tan = cos 1 1 cot = sin tan . cot = 1 α α α α α α + + Ví du ï: Chứng minh rằng: 1. 44 22 cos x sin x 1 2 sin x cos x+=− 2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+ Chứng minh ()() () 22 44 2 2 2 22 22 22 1) cos x sin x cos x sin x cos x sin x 2 sin x cos x 1 2 sin x cos x += + =+ − =− ()() () () 33 66 2 2 3 22 2222 22 2) cos x sin x cos x sin x cos x sin x 3 sin x cos x cos x sin x 1 3sin x cos x += + =+ − + =− 2. Công thức cộng : cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos tan +tan tan( + ) = 1 tan .tan tan tan tan( ) = 1tan.tan α βαβαβ α βαβαβ α βαββα α βαββα αβ αβ αβ αβ αβ αβ += − −= + += + −= − − − − + Ví du ï: Chứng minh rằng: π αα α π αα α += − −= + 1.cos sin 2 cos( ) 4 2.cos sin 2 cos( ) 4 Chứng minh 32 22 1) cos sin 2 cos sin 22 2 cos cos sin sin 44 2 cos 4 22 2) cos sin 2 cos sin 22 2 cos cos si 4 + = + =+ = = = nsin 4 2 cos 4 =+ 3. Coõng thửực nhaõn ủoõi: 22 2 2 44 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos sin sin2 2sin .cos 2tan tan2 1tan = = = = = = 4 Coõng thửực nhaõn ba : 3 3 cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin = = 5. Coõng thửực haù baọc : 22 2 1cos2 1cos2 1cos2 cos ; sin ; tan 221cos2 = = = + + 6.Coõng thửực tớnh sin ,cos ,tg theo tan 2 =t 2 22 2 2t 1 t 2t sin ; cos ; tan 1t 1t 1t = = = ++ 2 1cos2 2 cos + = 2 1cos2 sin 2 = 2sin 2 1 cossin = 4 cos33cos cos 3 + = 4 3sinsin3 sin 3 = 33 7. Công thức biến đổi tích thành tổng : [] [] [] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 α βαβαβ α βαβαβ αβ αβ αβ =++− =−−+ =++− 8. Công thức biến đổi tổng thành tích : cos cos 2cos .cos 22 cos cos 2sin .sin 22 sin sin 2sin .cos 22 sin sin 2cos .sin 22 sin( ) tan tan cos cos sin( ) tan tan cos cos α βαβ αβ α βαβ αβ α βαβ αβ α βαβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ + − += + − −=− +− += +− −= + += − −= 9. Các công thức thường dùng khác : cos sin 2 cos( ) 2sin( ) 44 cos sin 2 cos( ) 2 sin( ) 44 π π αα α α π π αα α α += −= + −= +=− − 44 66 cos 4 cos sin cos 4 c 3 os sin 4 53 8 +α α+ α= +α α+ α= 34 B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có) Bước 4: Kết luận I. Đònh lý cơ bản : ( Quan trọng ) u = v+k2 sinu=sinv u = -v+k2 u = v+k2 cosu=cosv u = v + k2 u = -v+k2 tanu=tanv u = v+k (u;v ) 2 cotu=cogv u = v+k (u;v k ) k π ππ π π π π π π ππ ⎡ ⇔ ⎢ ⎣ ⎡ ⇔⇔± ⎢ ⎣ ⇔≠+ ⇔≠ ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và Zk ∈ ) Ví dụ : Giải phương trình: 1. sin3 sin( 2 ) 4 x x π =− 2. 4 3 cos) 4 cos( π π =−x 3. xx 2sin3cos = 4. 44 1 sin cos (3 cos6 ) 4 x xx+=− Bài giải 2 322 52 4 20 5 4 1) sin3 sin( 2 ) 3 3 4 322 2 2 4 4 4 k xxk x xk xx xxk xk x k π π π π π π π π π π ππ π π ⎡ ⎡ ⎡ =− + =+ =+ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =−⇔ ⇔ ⇔ ⎢ ⎢ ⎛⎞ ⎢ ⎢ ⎢ =− − + =+ =+ ⎜⎟ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ ⎝⎠ ⎣ 3 xk2 xk2 3 44 2)cos(x ) cos 3 xk2 44 xk2 2 44 ⎡ ππ ⎡ =π+ π −= +π ⎢ ⎢ ππ ⎢ −= ⇔ ⇔ ⎢ π ⎢ ππ ⎢ =− + π ⎢ −=− +π ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ k2 3x 2x k2 x 2 10 5 3) cos 3x cos 3x 3x 2x k sin 2x cos 2x 2 2 2 xk2 2 π ⎡ ππ ⎡ =− +π =+ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⇔ = ⇔ ⇔ ⎢ ⎢ π π ⎢ ⎢ = π ⎛⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ −+ + π =− + π ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ 35 () 44 13cos43cos6 4) sin cos (3 cos6 ) cos6 cos6 444 2 6 cos4 cos 4 42 10 5 642 2 x x xx x x x k x xxk xxk xk x x ππ ππ ππ π π π + − +=− ⇔ = ⇔= ⇔= ⎡ =+ ⎢ =− + ⎡ ⇔⇔ ⎢ ⎢ =− + + ⎣ ⎢ = − ⎣ − −+ ⎢ II. Các phương trình lượng giác cơ bản: 1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( Rm ∈ ∀ ) * Gpt : sinx = m (1) • Nếu 1m > thì pt(1) vô nghiệm • Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = sin α và ta có x = +k2 (1) sinx=sin x = ( - )+k2 απ α π απ ⎡ ⇔⇔ ⎢ ⎣ * Gpt : cosx = m (2) • Nếu 1m > thì pt(2) vô nghiệm • Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = cos β và ta có x = +k2 (2) cosx=cos x = +k2 β π β β π ⎡ ⇔⇔ ⎢ − ⎣ * Gpt: tanx = m (3) ( pt luôn có nghiệm Rm ∈ ∀ ) • Đặt m = tan γ thì (3) tanx = tan x = +k γ γπ ⇔⇔ * Gpt: cotx = m (4) ( pt luôn có nghiệm Rm ∈ ∀ ) • Đặt m = cot δ thì (4) cotx = cot x = +k δ δπ ⇔⇔ 36 Các trường hợp đặc biệt: sin 1 x = 2 2 sinx = 0 x = k sin 1 x = 2 2 cos 1 x = 2 cosx = 0 x = + k 2 cos 1 x = 2 x k xk xk x k π π π π π π π π π π =− ⇔ − + ⇔ =⇔ + =− ⇔ + ⇔ =⇔ Ví dụ : Giải các phương trình : 1) = 1 sin2 2 x 2) 2 cos( ) 42 x π −=− 3) 12cos2sin =+ xx 4) xxx 2cossincos 44 =+ Bài giải: 1 1) sin2 sin2x=sin 26 22 6 22 6 12 5 12 x xk x k xk xk π π π π π π π π π π =⇔ ⎡ =+ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ =− ⎢ ⎣ ⎡ =+ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ =+ ⎢ ⎣ 23 2) cos( ) cos( ) cos 42 4 4 3 2 44 3 2 44 2 2 2 xx xk x k xk xk π ππ ππ π ππ π ππ π π −=− ⇔ −= ⎡ −= + ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ −=− + ⎢ ⎣ =+ ⎡ ⎢ ⇔ ⎢ =− + ⎣ + − x y O C A B D [...]... x 4 Ví dụ : Giải phương trình : sin 2 x − 2 2(sin x + cos x ) − 5 = 0 Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : a(cos x − sin x ) + b sin x cos x + c = 0 Ví dụ : Giải phương trình : sin 2 x + 4(cos x − sin x ) = 4 4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết Ví dụ: Giải phương trình: 3 =0 2 2)... : * Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) Ví dụ : Giải các phương trình : a cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 b 4 cos 3 x − cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0 * Phương trình có chứa (cos x ± sin x ) và sinx.cosx 3 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x Ví dụ : Giải phương trình : 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau ⎛ 7π ⎞ 1 1 ⎟ ⎜ 1) + = 4 sin ⎜ − x⎟ ⎟ ⎝4... b Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây: ⎡ A=0 A.B = 0 ⇔ ⎢ ⎣ B=0 hoặc A.B.C = 0 Ví dụ : Giải các phương trình : a sin2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x = 2 b 2 sin3 x + cos 2 x − cos x = 0 43 ⎡ A=0 ⇔ ⎢ B=0 ⎢ ⎢C=0 ⎣ c Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ Một số dấu hiệu nhận biết : * Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng. .. x.cos x + c cos2 x = 0 (a;c ≠ 0) (1) Cách giải 1: 1 − cos2 x 1 + cos 2 x và cos2 x = 2 2 1 và công thức nhân đôi : sin x.cos x = sin 2 x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3 2 p dụng công thức hạ bậc : sin2 x = Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang ) Chia hai vế của pt (1) cho cos2 x ta được pt: a tan2 x + b tan x + c = 0 Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải Chú ý: Trước khi chia phải... Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau 1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = 1 + s in2x 2) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x x ⎞2 ⎛ x ⎜sin + cos ⎟ + 3 cos x = 2 3) ⎜ ⎟ ⎝ 2 2⎠ Bài giải 1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = 1 + s in2x Bài giải: 2) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x 45 Bài giải: x x ⎞2 ⎛ 3) ⎜sin + cos ⎟ + 3 cos x = 2 ⎟ ⎜ ⎝ 2 2⎠ Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau... các phương trình lượng giác sau 1) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0 2) 1 + sin x + cos x + s in2x+cos2x=0 π⎞ π⎞ 3 ⎛ ⎛ 3) cos 4 x + sin 4 x + sin ⎜3x − ⎟ cos ⎜x − ⎟ − = 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ 4⎠ 4⎠ 2 Bài giải: 1) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0 Bài giải: 47 2) 1 + sin x + cos x + s in2x+cos2x=0 Bài giải: π⎞ π⎞ 3 ⎛ ⎛ 3) cos4 x + sin 4 x + sin ⎜3x − ⎟ cos ⎜x − ⎟ − = 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 4 4⎠ 2 Bài 5: Giải các phương trình lượng. .. π + kπ có phải là nghiệm của (1) không? 2 Ví dụ : Giải phương trình: 3 sin 2 x + (1 − 3 ) sin x cos x − cos 2 x + 1 − 3 = 0 42 d Dạng 5: a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = 0 Cách giải : (1) π Đặt t = cos x + sin x = 2 cos( x − ) với - 2 ≤ t ≤ 2 4 t2 −1 2 Do (cos x + sin x ) = 1 + 2 sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= 2 • Thay vào (1) ta được phương trình : t2 − 1 at + b + c = 0 (2) 2 • • Giải (2) tìm t ... in2x = − 4 (VN) ⎢⎣ 3 π ⇔ 2x = + k2π 2 π ⇔ x = + kπ 4 5π So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình (1) là x = + k2π 4 40 3 Dạng 3: a cos x + b sin x = c (1) ( a;b ≠ 0) Cách giải: • • Chia hai vế của phương trình cho a2 + b2 thì pt a b c (1) ⇔ cos x + sin x = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Đặt a 2 a +b 2 = cosα và b = sin α với α ∈ [ 0;2π ) thì : a + b2 2 (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) = c... 8 2 2 Dạng 2: π π 8 2 + k 2π + kπ 2 a sin 2 x + b sin x + c = 0 a cos2 x + b cos x + c = 0 a tan2 x + b tan x + c = 0 Cách giải: ) a cot 2 x + b cot x + c = 0 38 ( a ≠ 0) Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) Ta được phương trình : at 2 + bt + c = 0 (1) Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) Ví dụ : 1) 2 cos2 x + 5sin x − 4... 0;2π ) thì : a + b2 2 (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) = c a + b2 Pt (3) có dạng 1 Giải pt (3) tìm x Chú ý : (2) 2 c 2 a + b2 (3) Pt acosx + bsinx = c có nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c 2 Ví dụ : Giải các phương trình : 1) cos x + 3 sin x = −1 2) 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2 Bài giải 1 3 1 cos x + sin x = − 2 2 2 2π π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = cos 3⎠ 3 ⎝ 1) cos x + 3 sin x = −1 ⇔ ⎡ π 2π ⎢ x − 3 = 3 + k . 4 x xx+−= 4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a. Phương pháp 1 : Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết Ví dụ : Giải phương trình: . Cách giải 1: p dụng công thức hạ bậc : 22 1cos2 1cos2 sin và cos 22 x x xx − + == và công thức nhân đôi : 1 sin .cos sin2 2 x xx= thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3 Cách. 34 B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương