Công thức lượng giác 10

CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I.GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT CUNG: Từ đònh nghóa ta có: 1 1; 1 1 tan ; cot Sin Cos α α α α − ≤ ≤ − ≤ ≤   −∞ < < +∞ −∞ < < +∞  II.CÁC HỆ THỨC LƯNG GIÁC: • 2 2 1Sin a Cos a+ = ; • tan .cot 1a a =  1 tan cot a a = ; 1 cot tan a a = • 2 2 1 1 tan a Cos a + = 4 4 2 2 1 2 .Sin a Cos a Sin a Cos a + = − • 2 2 1 1 Cot a Sin a + = 6 6 2 2 1 3 .Sin a Cos a Sin a C os a+ = − III.GTLG CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT: (Cung liên kết)  Cung đối: a và –a Cos(-a) = Cosa; Sin(-a) = -Sina tan(-a) = - tana cot(-a) = -cota  Cung bù: a và a π − : Sin( a π − ) = Sina Cos( a π − ) = -Cosa tan( a π − ) = -tana cot( a π − ) = -cota  Cung phụ: a và 2 a π − Sin( 2 a π − ) = Cosa Cos( 2 a π − ) = Sina tan( 2 a π − ) = Cota Cot( 2 a π − ) = tana  Cung hơn kém:a và a π + : Sin( a π + ) = -Sina Cos( a π + ) = -Cosa tan( a π + ) = tana cot( a π + ) = cota  Cung hơn kém:a và 2 a π + Sin( 2 a π + ) = Cosa Cos( 2 a π + ) =- Sina tan( 2 a π + ) =- Cota Cot( 2 a π + ) = -tana  Cung hơn kém n π : Sin(a+k2 π ) = Sina Cos(a+k2 π ) = Cosa tan(a+k π ) = tana cot(a+k π ) = Cota IV.CÔNG THỨC LƯNG GIÁC:  Công thức nhân đôi: 2 2 2 2 2 1Cos a Cos a Sin a Cos a= − = − = 2 1 2Sin a− Sin2a = 2Sina.Cosa tan2a = 2 2 tan 1 tan a a− cot2a = 2 1 2cot Cot a a −  Công thức nhân ba: Sin3a = 3Sina – 4Sin 3 a Cos3a = 4Cos 3 a – 3Cosa tan3a = 3 2 3tan tan 1 3tan a a a − −  Công thức cộng: Cos(a+b) = Cosa.Cosb – Sina.Sinb Cos(a-b) = Cosa.Cosb + Sina.Sinb Sin(a+b) = Sina.Cosb + Sinb.Cosa Sin(a-b) = Sina.Cosb – Sinb.Cosa Tan(a+b) = tan tan 1 tan .tan a b a b + − Tan(a-b) = tan tan 1 tan .tan a b a b − +  Công thức tính theo t = tan 2 a Sina = 2 2 1 t t+ ; Cos = 2 2 1 1 t t − + tana = 2 2 1 t t− ; Cota = 2 1 2 t t −  Công thức hạ bậc: 2 1 2 2 Cos a Sin a − = ; 2 1 2 2 Cos a Cos a + = ; 2 1 2 tan 1 2 Cos a a Cos a − = + ; 3 3 3 4 Sina Sin a Sin a − = ; 3 3 3 4 Cosa Cos a Cos a + = ; 3 3 3 tan 3 3 Sina Sin a a Cosa Cos a − = + .  Công thức biến đổi tích thành tổng: Cosa.Cosb = 1 [ ( ) ( )] 2 Cos a b Cos a b− + + Sina.Sinb = 1 [ ( ) ( )] 2 Cos a b Cos a b− − + Sina.Cosb = 1 [ ( ) ( )] 2 Sin a b Sin a b− + + Cosa.Sinb = 1 [ ( ) ( )] 2 Sin a b Sin a b+ − −  Công thức biến đổi tổng thành tích: 2 2 2 a b a b Cosa Cosb Cos Cos + − + = 2 2 2 a b a b Cosa Cosb Sin Sin + − − = − 2 2 2 a b a b Sina Sinb Sin Cos + − + = 2 2 2 a b a b Sina Sinb Cos Sin + − − = ( ) tan tan . Sin a b a b Cosa Cosb + + = ( ) tan tan . Sin a b a b Cosa Cosb − − = ( ) . Sin a b Cota Cotb Sina Sinb + + = ( ) . Sin a b Cota Cotb Sina Sinb − − − =  Các công thức hay sử dụng: 2 ( ) 4 Sina Cosa Sin a π + = + tan α = Sin Cos α α (Cos 0 α ≠ ) ( 0) Cos Cot Sin Sin α α α α = ≠ 2 ( ) 4 Cos a π = − 2 ( ) 4 Sina Cosa Si n a π − = − 2 ( ) 4 Cos a π = − + V.QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC: • Sina = tana.Cosa = 2 1 Cos a± − = 1 2 2 Cos a− ± = 2 2 tan 2 1 tan 2 a a + • Cosa = Cota.Sina = 2 1 Sin a± − = 1 2 2 Cos a+ ± = 2 2 1 tan 2 1 tan 2 a a − + • Tana Sina Cosa = = 2 1 2 Sin a Cos a− = 1 2 2 Cos a Sin a − = 1 2 1 2 Cos a Cos a − ± + = 2 2 tan 2 1 tan 2 a a − • Cota Cosa Sina = = 2 1 2 Sin a Cos a− = 1 2 2 Cos a Sin a + = 1 2 1 2 Cos a Cos a + ± − = 2 2 1 tan 2 2 tan 2 a a − VI.CÁC HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC:  Đònh lí Cosin: 2 2 2 2 .a b c bc CosA= + − 2 2 2 2 .b a c ac CosB= + − 2 2 2 2 .c b a ba CosC= + −  Đònh lí Sin: 2 a b c R SinA SinB SinC = = =  Diện tích trong tam giác: 1 1 1 . . . 2 2 2 a b c S a h b h c h= = = 1 1 . . 2 2 1 . 2 S bc SinA ac SinB ab SinC = = = . . 4 a b c S R = ; S pr= ( )( )( )S p p a p b p c= − − − VI.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC: 1) Phương trình lượng giác cơ bản: Cosx = Cos α 2 2 x k x k α π α π = +  ⇔  = − +  Sinx = Sin α 2 2 x k x k α π π α π = +  ⇔  = − +  Tanx = tan x k α α π ⇔ = + Cotx = Cot x k α α π ⇔ = +  Các phương trình đặc biệt: 0 2 Cosx x k π π = ⇔ = + 1 2Cosx x k π = ⇔ = 1 2Cosx x k π π = − ⇔ = + …………………………………………………………. 0Sinx x k π = ⇔ = 1 2 2 Sinx x k π π = ⇔ = + 1 2 2 Sinx x k π π = − ⇔ = − + ………………………………………………………… tan 0x x k π = ⇔ = tan 1 4 x x k π π = ⇔ = + tan 1 4 x x k π π = − ⇔ = − + …………………………………………………………. 0 2 Cotx x k π π = ⇔ = + 1 4 Cotx x k π π = ⇔ = + 1 4 Cotx x k π π = − ⇔ = − + 2) Phương trình bậc hai đối với Sinx và Cosx: +) 2 0aCos x bCosx c+ + = > Đặt t = Cosx ( 1 1t− ≤ ≤ ) +) 2 0aSin x bSinx c+ + = > Đặt t = Sinx ( 1 1t − ≤ ≤ ) +) 2 tan tan 0a x b x c+ + = > Đặt t = tanx ( 2 x k π π ≠ + ) +) 2 0aCot x bCotx c+ + =  Đặt t = Cotx ( x k π ≠ ) 3) Phương trình bậc nhất đối với Sinx và Cosx: Phương trình có nghiệm : a 2 +b 2 ≥ c 2 Cách 1:Chia hai vế cho tan b Sin a Cos α α α = = Biến đổi phương trình về dạng: Sin(x+a) = c Sin aCos β α =  x? Cách 2:Chia hai vế cho 2 2 a b+ rồi đặt: 2 2 a Cos a b α = + ; 2 2 b Sin a b α = + (1) 2 2 ( ) c Sin x Sin a b α β ⇔ + = = + x=? Cách 3: Xét x = 2k π π + có là nghiệm?, sau đó dặt t = tan (2) 2 x (x 2k π π ≠ + ) Thay 2 2 1 t Sinx t = + ; 2 2 1 1 t Cosx t − = + Ta có: (1) ⇔ (c+b)t 2 -2at+c-b =0  t = t 0 , thay vào (2)  x = ? 4) Phương trình 2 2 . 0(1) ( , , ) aSin x bSinx Cosx cCos x a b c R + + = ∈ Cách 1: aSinx +bCosx = c (1) (a,b ≠ 0) • A= 0 : Phương trình(1) ( ) 0Cosx bSinx c⇔ + = x=? • a ≠ 0: Chia hai vế của (1) cho Cos 2 x ta được: (1) 2 tan tan 0(2)a x b x c⇔ + + = Giải phương trình(2) ta được tanx x=? Cách 2: Biến đổi phương trình (1) theo Sin2x và Cos2x 1 2 (1) ( ) 2 2 2 1 2 ( ) 0 2 Cos x b a Sin x Cos x c − ⇔ + + + = Rồi giải phương trình bậc nhất đối với Sin2x và Cos2x. 5)Phương trình đối xứng: Dạng: Đặt t = Sinx + Cosx = 2 ( ) 4 Sin x π + Điều kiện 2 2t− ≤ ≤ Sinx.Cosx = 2 1 2 t − . Thay vào phương trình (1): bt 2 + 2at + 2c –b = 0  t = t 0 Rồi giải: 0 2 ( ) 4 Sin x t π + = Dạng: Đặt t = Sinx - Cosx = 2 ( ) 4 Sin x π − Điều kiện 2 2t− ≤ ≤ Sinx.Cosx = 2 1 2 t− . Rồi giải tương tự như trường hợp trên. a(Sinx+Cosx)+bSinx.Cosx+c =0(1) a(Sinx-Cosx)+bSinx.Cosx+c =0(1) . Cota IV.CÔNG THỨC LƯNG GIÁC:  Công thức nhân đôi: 2 2 2 2 2 1Cos a Cos a Sin a Cos a= − = − = 2 1 2Sin a− Sin2a = 2Sina.Cosa tan2a = 2 2 tan 1 tan a a− cot2a = 2 1 2cot Cot a a −  Công thức nhân. CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I.GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT CUNG: Từ đònh nghóa ta có: 1 1; 1 1 tan ; cot Sin Cos α α α α − ≤ ≤ − ≤ ≤   −∞ < < +∞ −∞ < < +∞  II.CÁC HỆ THỨC LƯNG GIÁC: •. tan tan 1 tan .tan a b a b − +  Công thức tính theo t = tan 2 a Sina = 2 2 1 t t+ ; Cos = 2 2 1 1 t t − + tana = 2 2 1 t t− ; Cota = 2 1 2 t t −  Công thức hạ bậc: 2 1 2 2 Cos a Sin a − = ; 2 1