Rồi giải tương tự như trường hợp trên.
Trang 1CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I.GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA
MỘT CUNG:
Từ định nghĩa ta có:
II.CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC:
Sin a Cos a2 2 1;
tan cot a a 1
1 tan
cot
a
a
1 cot
tan
a
a
1 tan a
Cos a
4 4 1 2 2 . 2
Sin a Cos a Sin a Cos a
1 Cot a
Sin a
6 6 1 3 2 . 2
Sin a Cos a Sin a Cos a
III.GTLG CỦA CÁC CUNG CÓ
LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT:
(Cung liên kết)
Cung đối: a và –a
Cos(-a) = Cosa;
Sin(-a) = -Sina
tan(-a) = - tana
cot(-a) = -cota
Cung bù: a và a:
Sin( a) = Sina
Cos( a) = -Cosa
tan( a) = -tana
cot( a) = -cota
Cung phụ: a và
Sin(
) = Cosa
Cos(
) = Sina
tan(
) = Cota
Cot(
) = tana
Cung hơn kém:a và a
:
Sin( a) = -Sina
Cos( a) = -Cosa
tan( a) = tana
cot( a) = cota
Cung hơn kém:a và
Sin(
) = Cosa
Cos(
) =- Sina
tan(
) =- Cota
Cot(
) = -tana
Cung hơn kém n:
Sin(a+k2) = Sina Cos(a+k2) = Cosa tan(a+k) = tana cot(a+k) = Cota
IV.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
Công thức nhân đôi:
Cos a Cos a Sin a Cos a
=1 2Sin a 2 Sin2a = 2Sina.Cosa tan2a = 2 tan2
1 tan
a a
cot2a =
2 1 2cot
Cot a a
Công thức nhân ba:
Sin3a = 3Sina – 4Sin3a Cos3a = 4Cos3a – 3Cosa tan3a =
3 2
3tan tan
1 3tan
a
Công thức cộng:
Cos(a+b) = Cosa.Cosb – Sina.Sinb Cos(a-b) = Cosa.Cosb + Sina.Sinb Sin(a+b) = Sina.Cosb + Sinb.Cosa Sin(a-b) = Sina.Cosb – Sinb.Cosa Tan(a+b) = tan tan
1 tan tan
Tan(a-b) = tan tan
1 tan tan
Công thức tính theo
t = tan
2
a
Sina = 2 2 1
t t
; Cos =
2
2
1 1
t t
tana = 2 2 1
t t
; Cota =
2 1 2
t t
Công thức hạ bậc:
2
Cos a
2
Cos a
tan
Cos a a
Cos a
4
Sina Sin a
4
Cosa Cos a
tan
Sina Sin a a
Cosa Cos a
Công thức biến đổi tích thành tổng:
Cosa.Cosb =
1
2 Cos a b Cos a b
Sina.Sinb =
1
2 Cos a b Cos a b
Sina.Cosb =
1
2 Sin a b Sin a b
Cosa.Sinb =
1
2 Sin a b Sin a b
Công thức biến đổi tổng thành tích:
2
2
Cosa Cosb Sin Sin
2
Sina Sinb Sin Cos
2
a b a b Sina Sinb Cos Sin
.
Sin a b
Cosa Cosb
.
Sin a b
Cosa Cosb
.
Sin a b Cota Cotb
Sina Sinb
.
Sin a b Cota Cotb
Sina Sinb
Các công thức hay sử dụng:
4
Sina Cosa Sin a
tan = Sin
Cos
(Cos 0 )
Cos
Sin
Trang 22 ( )
4
4
Sina Cosa Sin a
2 ( )
4
V.QUAN HỆ GIỮA CÁC
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC:
Sina = tana.Cosa =
2
1 Cos a
= 1 2
2
Cos a
=
2
2 tan
2
1 tan
2
a a
Cosa = Cota.Sina =
2
1 Sin a
= 1 2
2
Cos a
=
2
2
1 tan
2
1 tan
2
a a
Tana Sina
Cosa
Sin a
Cos a
2
Cos a
Sin a
Cos a Cos a
=
2
2 tan
2
1 tan
2
a a
Cota Cosa
Sina
Sin a
Cos a
2
Cos a
Sin a
Cos a Cos a
=
2
2
1 tan
2
2 tan
2
a a
VI.CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC:
Định lí Cosin:
2 2 2 2
a b c bc CosA
2 2 2 2
b a c ac CosB
2 2 2 2
c b a ba CosC
Định lí Sin:
2
R SinA SinB SinC
Diện tích trong tam giác:
1 2
ab SinC
4
a b c S
R
S p p a p b p c
VI.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC:
1) Phương trình lượng giác cơ bản:
2
Sinx = Sin 2
2
Tanx = tan x k
Cotx = Cot x k
Các phương trình đặc biệt:
0
2
Cosx x k
Cosx x k
Cosx x k
………
0
Sinx x k
2
Sinx x k
2
Sinx x k
………
tan x 0 x k
4
x x k
4
x x k
………
0
2
Cotx x k
1
4
Cotx x k
1
4
Cotx x k
2) Phương trình bậc hai đối với Sinx và Cosx:
+) aCos x bCosx c2 0
> Đặt t = Cosx ( 1 t 1) +) 2
0
aSin x bSinx c
> Đặt t = Sinx ( 1 t 1) +) 2
> Đặt t = tanx (
2
x k ) +) aCot x bCotx c2 0
Đặt t = Cotx (x k )
3) Phương trình bậc nhất đối với Sinx và Cosx:
Phương trình có nghiệm : a2+b2 c2
Cách 1:Chia hai vế cho
tan
Biến đổi phương trình về dạng:
Sin(x+a) = c
Sin aCos x?
Cách 2:Chia hai vế cho a2 b2 rồi đặt:
2 2
a Cos
2 2
b Sin
(1)
2 2
x=?
Cách 3: Xét x = k 2 có là nghiệm?, sau đó dặt t = tan (2)
2
x
(x k 2 ) Thay 2 2
1
t Sinx
t
2
2
1 1
t Cosx
t
Ta có: (1) (c+b)t2-2at+c-b =0
t = t0, thay vào (2) x = ?
4) Phương trình
aSin x bSinx Cosx cCos x
a b c R
Cách 1:
aSinx +bCosx = c (1) (a,b 0)
Trang 3 A= 0 : Phương trình(1)
Cosx bSinx c
x=?
a0: Chia hai vế của (1) cho Cos2x ta được:
(1)
2
Giải phương trình(2) ta được tanx
x=?
Cách 2: Biến đổi phương trình (1)
theo Sin2x và Cos2x
2
Cos x
c
Rồi giải phương trình bậc nhất đối với Sin2x và Cos2x
5)Phương trình đối xứng:
Dạng:
Đặt t = Sinx + Cosx
= 2 ( )
4
Sin x
Điều kiện 2 t 2
Sinx.Cosx =
2 1 2
t Thay vào
phương trình (1):
bt2 + 2at + 2c –b = 0 t = t0 Rồi giải: 2 ( ) 0
4
Sin x t
Dạng:
Đặt t = Sinx - Cosx
= 2 ( )
4
Sin x
Điều kiện 2 t 2
Sinx.Cosx =
2 1 2
t
Rồi giải tương tự như trường hợp trên
a(Sinx+Cosx)+bSinx.Cosx+c =0(1)
a(Sinx-Cosx)+bSinx.Cosx+c =0(1)