Hệ thống bài tập hệ thức lượng trong tam giác( Sưu tầm)

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác; ra, rb, rc lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C của tam giác.. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

Hệ thức lượng trong tam giác

Câu 1 Cho tam giác ABC có: a=10, b=14, c=15 Tính diện tích tam giác SABC, ha, ma

Câu 2 Cho tam giác ABC Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

ra, rb, rc lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C của tam giác Chứng minh rằng:

2

B tan ) ( 2

A tan )

2

C tan

; 2

B tan

; 2

A tan r b p r c p

p

a

Câu 3 Tính các góc của tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thoã mãn hệ thức: b(b2 –a2)=c(c2 –a2) (b c)

Câu 4 Cho tam giác ABC thoã mãn điều kiện:

















C b a

b b c a

b c a

cos 2

2 3 3 3

CMR tam giác ABC là tam giác đều

Câu 5 CMR trong tam giác ta có:

S c b a C B A

4

2 2 2 cot cot

Câu 6 Cho tam giác ABC thoã mãn: a4 b4c4

a CMR tam giác ABC có ba góc nhọn

b Chứng minh rằng: 2sin2A=tanB.tanC

Câu 7 Cho tam giác ABC với các đường trung tuyến thoã mãn:   1

c m b m b c

CMR: 2cotA = cotB + cotC

Câu 8.Chứng minh rằng với tam giác bất kỳ ta có:

2

C tan 2

B tan 2

A tan

p

r 

Câu 9 CMR nếu: (cot cot )

2

1 cotB A C thì ( 2 2)

2

1

Câu 10 Giả sử các góc của tam giác ABC thoã mãn hệ thức:

sinB = 2sinC.cosA

a) CMR ta có: b =2c.cosA

b) Suy ra tam giác ABC cân tại B

Câu 11 Tam giác ABC có AB =8, AC= 9 và BC =10 Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM =7 Tính độ dài đoạn thẳng AM

Câu 12

a) Tam giác ABC có b = 7, c = 5 và cosA =2/5 Tính ha và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác R

b) Tám giác ABC có A =7, b =8, c =6 Tính ha và ma

Câu 13 Các cạnh của tam giác ABC lần lượt là 2, 6 , 3  1 Tính các góc của tam giác

Câu 14 Trong tam giác ABC ta có a =13, b =4 và cosC =-5/13 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác

Câu 15 Tính các cạnh và góc của tam giác, biết rằng độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên tiếp và góc lớn nhất gấp 2 lần góc nhỏ nhất

Câu 16 Gọi S là diện tích tam giác ABC, CMR:

a) S  2R2sinA sinB sinC b) c a b S C C

sin

cos 1 4 2 ) (







c).S  Rr(sinA  sinB  sinC) d) S p(p a) tanA2

Câu 17 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

2

cos 2 cos

p 

2

sin 2 sin

.

r 

Câu 18 Cho tam giác ABC có b + c =2a CMR:

a sinB + sinC = 2sinA b hb hc

a

1 1 2



 Câu 19 Cho tam giác ABC Giả sử 4A=2B=c

a Tính các góc A, B, C

b CMR: a1 b1c1

Câu 20 Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC thoã mãn điều kiện a4 b4c4

a CMR b2c2 a2 suy ra các góc của tam giác đều nhọn

b CMR tanB.tanC =2sin2A

Câu 21 Cho tam giác ABC, Ia là đường phân giác trong của góc A CMR:

) (

2

a p bcp c b

a





Câu 22 Cho tam giác ABC có B =600, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2 Tính bán kính đương tròn qua A, C và tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Câu 23 Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC, ICA, IAB CMR: R1R2R3 =2R2.r

Ngày 3

Câu 1 Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu:

1

4

S  a b c a c b   

Câu 2 Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu:

1 osB 2

a c





Câu 3 Chứng minh rằng tam gác ABC cân nếu:

sin sin

c A c B

g A g B





Câu 4 Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu:

36

S  a b c 

Câu 5 Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu thoã mãn điều kiện sau:

2 1 1 osAcosB=

4

a b c

b a ab

c











Câu 6 Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu:

3S  2R (sin A sin B sin C)

Câu 7 Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu thoã mãn điều kiện sau:

3 2

a

b c   ha

Câu 8 Cho tam giác ABC thoã mãn:

osB osC sin sin

c c  B C

Câu 9 CMR trong mọi tam giác ta có:

a osA+ac.cosB+ba.cosC=

2

b c

Câu 10 CMR: cot 2 2 2

4

b c a gA

S



Câu 11 Cho tam giác ABC Ba đường trung tuyến AM, BN, CP gặp nhau tại G Đặt gócAGB  Chứng minh rằng: cot cot 2 2 2

6

a b c C

S

Câu 12 Cho tam giác ABC (B>C) Gọi M là trung điểm của BC Đặt

AMB  CMR: cotgC cotgB 2cotg

Câu 13 Cho tam giác ABC M là một điểm trong tam giác sao cho

MAB MBC MCA    Chứng minh rằng:

cotg  cotgA cotgB cotgC

Câu 14 Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy 3 điểm M, N, P sao cho:

BM = MN =NP Đặt BAM   ;MAN   ; NAC  CMR:

2 (cotg  cotg )(cotg  cotg ) 4(1 cot   g  )

Câu 15 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có:

1 2( sin 2 2sin 2 )

2

S  b C c B

Câu 16 Chứng minh rằng trong tam giác ABC:

cotgA=2(cotgB + cotgC)

là điều kiện cần và đủ để hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau

Câu 17 Cho tam giác ABC thoã mãn hệ thức:

h a  p p a

Chứng minh rằng ABC là tam giác cân

Câu 18 Cho tam giác thoã mãn:

r c  r r ar b

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

Câu 19 CMR nếu a2b2c2 4 3  S thì tam giác ABC đều

Câu 20.CMR: r r ar b r c  4 osCRc

Câu 21 CMR: r ar br c  4R r

Câu 22 CMR: 1r h1 h1 h1

a b c

Câu 23 CMR: 2pr acosA+bcosB+ccosC

R 

Câu 24 1 r cosA+cosB+cosC

R

Câu 25 CMR: S r r r r .a b c

Câu 26.CMR:

2

ab bc ca

h a h b h c

R

Câu 27.CMR: r r a br r b cr r c a p2

Câu 28 CMR: .

4

abc

r r r a b c p

R



Câu 29 CMR: h a h b h c 2 p a p b p c

r a r b r c a b c

Câu 30 CMR: 2 tan A tan B tan C

a b c

r a r b r c

Câu 31 CMR: a2b2c2 4r2 16Rr 2(ab bc ca  )

Ngày 4

Chứng minh tam giác cân hoặc vuông:

Câu 1.Cho tam giác ABC có: a b3 2(  c2) b c3 2(  a2) c a3 2(  b2) 0 

Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Câu 2 Cho tam ABC có: h h a h h b h h c h h b h h c h h a

b  c  a  a  b  c

Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Câu 3 Cho tam giác ABC có 4 r r c  c2 Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Câu 4 Cho am giác ABC có: os2 os2 1(cot 2 cot 2 )

sin sin

c A c B

g A g B





Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Câu 5 Cho am giác ABC có 1sinBosB 22 2

4

a c



 Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Câu 6 Cho tam giác ABC có: a =2bcosC CMR tam giác ABC cân

Câu 7 Cho tam giác ABC có: h a  p p a(  )

Câu 8 Cho tam giác ABC có: 1( 2 2)

4

S a b Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân

Câu 9 Cho tam giác ABC có: p  (1 2)R Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân

Câu 10 Cho tam gi ác ABC có h a  r r b c chứng minh rằng tam giác ABC cân

Câu 11 Cho tam giác ABC có a b2 2  4 (p p c R ) 2 Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Câu 12 Cho tam giác ABC có: 22 22 sin sin

sin sin

C B

c b







Chứng minh rằng tam

gi ác ABC vuông hoặc cân

Câu 13 Cho tam giác ABC có: osA=(a+b)(a+c-b)(b+c-a)

2

c

abc CMR tam giác ABC vuông

Câu 14 Cho tam giác ABC có: S p p c(  ) CMR tam giác ABC vuông Câu 15 Cho tam giác vuông có: S  (p b p c )(  ) CMR tam giác ABC vuông

Câu 16 Cho tam giác ABC có: r a  r r br c CMR tam giác ABC vuông Câu 17.Cho tam giác ABC có: 1cos2A c os2B c os2C0 CMR tam giác ABC vuông

Câu 18 Cho tam giác ABC có R 3r và r a 3r CMR tam giác ABC vuông Câu 19 Cho tam giác ABC có: 2R + r = p CMR tam giác ABC vuông

Câu 20 Cho tam giác ABC có 1 2.sin2

4

S  b C CMR tam giác ABC vuông Câu 21 Cho tam giác ABC có osA+cosB=a+b

c

Câu 22 Cho tam giác ABC có: r r br c p CMR tam giác ABC vuông Câu 23 Cho tam giác ABC không nhọn và có: R  (1 2)r CMR tam giác ABC vuông cân

Chứng minh tam giác đều

Câu 1 Cho tam giác ABC có: 3

3

r a r

m a r









 Chứng minh rằng ta giác ABC đều Câu 2 Cho tam giác ABC có:

3 sin sin

4

2

B C

a b c a

a b c











 







Chứng minh rằng tam giác

ABC đều

Câu 3 Cho tam giác ABC có: 2(p2 r2 4 )Rr ab bc ca  CMR tam giác ABC đều

Câu 4 Cho tam giác ABC có: sinB+sinC=2sinAcosB+cosC=2cosA

ABC đều

Câu 5 Cho tam giác ABC có: ( )( )( )

4

a b b c c a R

abc r

 CMR tam giác ABC đều

Câu 6 Cho tam giác ABC có: cotgA cotgB cotgC 2R2 r2

S



Câu 7 Cho tam giác ABC có R=1 và sinA sinB sinC 3

m a  m b  m c  CMR tam giác ABC đều

Câu 8 Cho tam giác ABC có: p2 h h a bh h b ch h c a CMR tam giác ABC đều

Câu 9 Cho tam giác ABC có: p2R2 31r2 CMR tam giác ABC đều Câu 10 Cho tam giác ABC có: a2b2c2 p2r2 4  Rr CMR tam giác ABC đều

Câu 11 Cho tam giác ABC có: p2 5r2 16Rr CMR tam giác ABC đều Câu 12 Cho tam giác ABC có: a2b2c2 12 (  r R r ) CMR tam giác ABC đều

Câu 13 Cho tam giác ABC có: ab bc ca 2S

a b b c c a      R CMR tam giác ABC đều

Câu 14 Cho tam giác có: a2 b2 c2 9R

r a r r b rr c r  CMR tam giác ABC đều Câu 15 Cho tam giác ABC có: ab bc R ca

c r b r a

18 1

1 1

CMR tam giác ABC đều

Câu 16 Cho tam giác ABC có: a3 b3 c3 abc

r a  r b  r c  r CMR tam giác ABC đều Câu 17.Cho tam giác ABC có: r ar br c h ah bh c CMR tam giác ABC đều

Câu 18 Cho tam giác ABC có: r r ra b cm m m a b c CMR tam giác ABC đều Câu 19 Cho tam giác ABC có: 2 2 2 27 2

4

m am b m c  R CMR tam giác ABC đều

Câu 20 Cho tam giác ABC có: 2 2 2 27 2

4

r a r b r c  R CMR tam giác ABC đều

Câu 21.Cho tam giác ABC có: 2 2 2 4 

3

a b c

r a r b r c

h a h b h c    CMR tam giác ABC đều

Câu 22 Cho tam giác ABC có: 1 1 1 12

3

h h a b h h b c h h c a  r CMR tam giác ABC đều

Câu 23 Cho tam giác ABC có: a2b2c28R24r2 CMR tam giác ABC đều

Câu 24 Cho tam giác ABC có: 3 3R2r2  5S

  CMR tam giác ABC đều

Câu 25 Cho tam giác ABC có: h h a2 h h b2 h h c2 1r

c a b

   CMR tam giác ABC đều

Bài tập về đường trung tuyến

Câu 1 Cho tam giác ABC có:   1

c m b m b

c CMR: 2cotagA=cotgB + cotagC Câu 2 Cho tam giác ABC, cmr hai đường trung tuyến BB ' CC' thì cotgA=2(cotgB + cotagC)

Bài tập về đường cao trong tam giác

c h b a

1 1 1 1







Câu 2 Chứng minh rằng:

a a r

a a

r a





 2 2

Câu 3 CMR: h  a r b r c

Câu 4 CMR: a bh c  9r

Câu 5 CMR:    3

c h c r b

b r a

a r

Câu 6.CMR: p2r2  2R( a bh c  2r)

Câu 7 CMR: p2  a bh h ch c a

3 4 2 2 2

c r b r a r c h

c b

b a

a











Câu 9.CMR: 2 2 2 9 22

R

r ab c h ca

b bc

Bài toán về diện tích tam giác

Câu 1 Cho tam giác có 2b =a + c CMR: 6Rr=ac

Câu 2 Cho tam giác CMR: Rr

c b

1 2

1 2

1 2

1







4

1 2

1 2

1 2

1

r c b

a   

1 2 ) (

1 2

) (

1 2

) (

1

r c p b p a p













ab c ca b bc

1 2

1 2













Câu 6 CMR:

Rr c

b

3 1

1 1







Câu 7 CMR: 4 a2

a

rr 

Câu 8 CMR: R 2r

Bài tập về đường kính các đường tròn trong

tam giác

Câu 1 Chứng minh rằng: ( 2 2)( ) 4 2

a Rr r

a r p a

Câu 2 CMR: S  rr a r b r c

Các bài tập sử dụng hàm số cosin

Câu 1 CMR: bc(b2  c2) cosAca(c2 a2) cosBab(a2 b2) cosC 0 Câu 2 CMR: abc(cos A  cosB cosC)  a2(p a) b2(p b)  c2(p c) Câu 3 Cho tam giác ABC CMR: A=2B  a2b2c2

Câu 4 Cho tam giác ABC có trọng tâm G

Đặt GAB  ;GBC  ;GCA 

CMR:

S

c b a

4

) 2 2 2 ( 3 cot cot cot        

Câu 5 Cho tam giác ABC và góc 











 2 ,

0 



1 Tìm điểm M trong tam giác sao cho MAB=MBC=MCA=

2 CMR: cot =cotA + cotB + cotC

3 CMR:

C B

1 2

sin

1 2

sin

1 2

sin

1









4 CMR: sin 2 2 22 2 2 2

a c c b b a

S









Câu 6 Trong tam giác ABC CMR: cosA cosB cosC23

Câu 7 Cho tam giác ABC bất kỳ CMR:

3 cos ) 1

( cos ) 1

( cos ) 1

( ab ab C ac ac B bc bc A Câu 8 CMR: r ar br c  4Rr

Câu 9