CMR tam giác cân 6.. CMR ∆ cân hoặc vuông.. CMR tam giác vuông.. Cho tam giác ABC... Tam gi¸c ABC kh«ng vu«ng cã: tgA tgB tgC... Tam giác ABC không vuông có: cot gA cot gB cot gC tgA.tgB
Trang 1
Giải tam giác
I- Cho tam giác ABC có
1 A=60 0 , b=6, c=5 Tính a, R và các góc B, C
2. a= 6,b 2,c= = 3 1+ Tính các góc A,B,C,R
3. a 2 3,b 2 2,c= = = 6 − 2 Tính A,B,C và R
4 Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2h a = +h b h cCMR:2 1 1
a b c= + , 2 1 1
sin A sin B sinC= +
5 Cho tam giác ABC có:
− CMR tam giác cân
6 ∆ ABC thỏa mãn: a.cos B b.cos A a.sin A b.sin B− = − CMR ∆ cân hoặc vuông.
7 Tam giác ABC thỏa mãn: 1
4
= + − − + CMR tam giác vuông.
8 Cho tam giác ABC CMR: 2 4S 2 2
tan A
= + − ,
C p(p c) cot
−
=
a(cot tan A) b(tan B cot )
2 − = − 2 thì tam giác cân.
9 CMR tam giác ABC thỏa mãn: r a = + +r r b r c thì tam giác vuông.
10 CMR tam giác ABC thỏa mãn:
2 2
sin B tgB sin C tgC= thì tam giác cân hoặc vuông.
11 CMR tam giác ABC thỏa mãn: 3 3 3
2
a 2.b.cosC
a
b c a
=
thì tam giác đều.
12 CMR tam giác ABC thỏa mãn: b c a
cos B cosC+ = sin B.sinC thì tam giác vuông.
13 CMR tam giác ABC thỏa mãn: 1 a
cot A sin A + = c b
− với b c≠ thì tam giác vuông.
14 CMR tam giác ABC thỏa mãn: 1 b c
cot A
+ + = thì tam giác vuông.
15 CMR ∆ ABC thỏa mãn:
sin B sinC
sin A.cos B.cosC
cos B cosC
+ thì tam giác vuông.
c (a b) 4.S.
sinC
−
= − + 17 a 2 b 2 c 2 3 2 2 2
4
18
4
S
+ +
19.Cho tam giác ABC có l a là phân giác trong góc A CMR:
a
l (b c) bc
+
=
Hệ thức l ợng trong tam giác Bài 1: Cho tam giác ABC chứng minh rằng:
Trang 2
2. cos2A+cos2B+cos2C = − −1 4 cos cos cosA B C
3. tgA tgB tgC tgA tgB tgC+ + =
4. cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA=1
6. cot +cot +cot =cot cot cot
Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC chøng minh r»ng:
1. cos A cos B cos C 1 2cos.Acos B.cos C 2 + 2 + 2 = −
2. cos 2A cos 2B cos 2C 1 2cos 2A.cos 2B.cos 2C 2 + 2 + 2 = +
3. sin3Acos(B C− ) sin+ 3Bcos(C A− +) sin3Ccos(A B− ) 3sin .sin sin= A B C
5.
A
p sin 2 a
cos cos
= 6
2 2 a
(b c)
+
= + −
2
(b c)+ −2(a +2l )(b c)+ +a (a +4h ) 0=
8. a 2bc A
=
+ 10
3
4
10.
a.sin sin
r
A cos 2
= 12 A B C
r p.tg tg tg
=
13.
p R
4.cos cos cos
= 14 r A B C
sin sin sin
15. r
R
+ = + + 16 2pr
a.cos A b.cos B c.cosC
Trang 3
19.
r = h + h + h = + +r r r 20 2 2
p + =r 2R(h + +h h )
21 a b C A B
r r 4R cos sin
−
− = 22 r a + + =r b r c 4R r+ 23
a
A
r r 4R sin
2
− = 24 r a +r b− =r c 4 cosR C r−
abc
r a + r b + r c = 26 a a
tg tg
−
+
a.tg tg r(tg tg )
28
2 cos 2 cos 2 cos ) 2 ( 4 sin ) ( sin ) ( sin )
r R r C c
p B b
p A a
29 2p = +(a b)cosC+ +(b c)cosA+ +(c a) cosB
30 3 ( )cos2 ( )cos2 ( )cos2
4
ABC
33 (b2 −c2)cotgA+(c2 −a2)cotgB+(a2 −b2)cotgC =0
34 ( )cot ( )cot ( )cot 0
36 a.sin(B C− )+b.sin(C A− )+c.sin)(A B− ) 0=
37 (b c p a− )( − )cosA+ −(c a p b)( − )cosB+ −(a b p c)( − )cosC =0
38.
+ +
39 2 ( )2 4
2
C
c = −a b + S tg 40 ( )( )
tg
p p a
=
−
41.
4
S
+ +
Trang 4
43.
44.sin sin sin
45. sin sin sin
Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y lµ c¸c tam gi¸c c©n.
40. cossinA sincosB 12(tgA tgB)
+
(sin A sin B)cot g
42. A 3 B B 3 A
2 2 2 2
= cotg
43. 2tgA +tgC = tg A.tgC 2 2 2 2 A + B
tg A +tg B = 2tg
2
a.tgA b.tgB (a b).cot g
2
+ = + a.sin(B C) b.sin(C A) 0− + − =
45.
−
a sin 2B b sin 2A c cot g
2
46. sin C 2sin A 2sin B 2sin C.(sin A sin B) 4 + 4 + 4 = 2 2 + 2
47 Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC vu«ng c©n khi vµ chØ khi: 1 2 2
4
2
= 2 C
cos A.cos B sin
2
=
tgA tgB 2cot g
2
+ = r : r : R 2 : 6 : 5 a = sinC
2cos B sin A =
50 Tam gi¸c ABC cã tÝnh chÊt g× nÕu ba gãc tháa m·n: 1
sin 2x sin x cos x
2
Chøng minh tam gi¸c vu«ng
51. sin A sin B sinC 1 cos A cos B cosC+ + = − + + sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B+ =
52 cos2A+cos2B+cos2C+1=0
53. 3(cos B 2sinC) 4(sin B 2cosC) 15+ + + =
sin B sinC+
Trang 5
55.
sin A cos B
tgA sin B cos A
+
56. cos(B C)
tgB sin A sin(B C)
− −
1 cot g2C (cot gC cot gB)
2
57. B a c
sin
−
= B a c
cos
+
=
58. B c a
tg
−
=
+
(a b b c a a c b) ( ) ( )
cos B
2abc
=
59. a (p a) b (p b) c (p c) 2 2 2
sin B cos B
abc
2bc cos B C
a
− = B = a c+
cot g
cos B cosC+ = sin B.sinC 1 a
cot gA sin A+ = c b
−
cot gA
+ + = 1 2
S a sin 2B 4
=
63. r a = + +r b r c r r a + + + = + +r b r c r a b c
64. r a r
5r 2R
=
=
r(sin A sin B) 2.c.sin cos
−
cos B cosC
a
+
Chứng minh tam giác đều
sin 3A sin 3B sin 3C 0
C cos A.cos B sin
2
1 cos B.cos C
4
a
a b c
=
2
3 sin B.sinC
4
a
b c a
=
sin B sinC 2sin A
tgB tgC 2tgA
bc 3 R 2(b c) a= [ + − ]
68. a.cos A b.cos B c.cosC 1
+ +
2sinC(cos(A B) 1) 2sin A(cos(B C) 1) 2sin B(cos(C A) 1) 0
sin A sin B sinC
2
Trang 6
2 3 sin B sin C 2 sin B 2 sin C sin A 2 3 sin B sin C 2 sin C 2 sin B sin(B C)
6
6
π
π
⇔
ữ
70. P= 3 cos B 3 cos A cosC+ ( + ) đạt Max
1 cos A cos B cosC
2
72.tgA tgB tgC 3 3 tam giác ABC nhọn+ + ³
73. cotgA+cotgB+cotgC³ 3 2 A 2B 2C 9
4
74 2 A 2 B 2C 3
4
75.tg A tg B tg C2 + 2 + 2 ³ 9 với tam giác ABC nhọn
77. 3 2 A 2 B 2 C
< + + Ê A B C
8
Ê
8
Ê A B C 1
sin sin sin
81. A B C 3 3
cos cos cos
2 2 2 Ê 2 A B C
tg tg tg 1
m m m a b c .cos cos cos
a
.cos
Trang 7
l l l a b c .cos cos cos
a
l
b c
2
.cos 2
= +
88.l l l a b c £ p S
89. (l b l a) (l a l c) (l c l b)
3 3
ç
£
víi tam gi¸c ABC nhän
ç
ç
99.
2 3
100.
2 3
102 Tam gi¸c ABC kh«ng vu«ng cã:
tgA tgB tgC
Trang 8
ỗ
106 CMR mọi tam giác ABC có:
tg tg tg cotg cotg cotg
107.
108 Tam giác ABC không vuông có:
cot gA cot gB cot gC tgA.tgB.tgC
cot gA cot gB cot gC
thì ∆ ABC đều.
Bài toán về cấp số
114.Cho ∆ ABC có các cạnh a,b,c lập thành cấp số cộng CMR: 2 B
sin A.sinC 3.sin
2
=
115.Cho ∆ ABC có A, B, C lập thành CSC và 3
sin A.sin B.sinC
4
= Tính các góc A, B, C 116.Cho ∆ ABC có A B C
cot g ,cot g ,cot g
2 2 2 lập thành CSC thì:
cot g cot g 3
117.Cho ∆ ABC có A B C
cot g ,cot g ,cot g
2 2 2 lập thành CSC thì: a
2 ; b 2 ; c 2 cũng lập thành CSC
118.Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c lập thành cấp số cộng CMR A C
cot g cot g 3
119.Cho ∆ ABC có A B C
t g ,t g ,t g
2 2 2 lập thành CSC CMR cosA, cosB, cosC cũng lập thành
CSC