Giải tam giác I- Cho tam giác ABC có 1. A=60 0 , b=6, c=5. Tính a, R và các góc B, C. 2. a 6,b 2,c 3 1= = = + . Tính các góc A,B,C,R 3. a 2 3,b 2 2,c 6 2= = = . Tính A,B,C và R 4. Cho tam giác ABC thỏa mãn: a b c 2h h h= + CMR: 2 1 1 a b c = + , 2 1 1 sin A sin B sinC = + 5. Cho tam giác ABC có: 2 2 1 cos B 2a c sinC 4a c + + = . CMR tam giác cân 6. ABC thỏa mãn: a.cos B b.cos A a.sin A b.sin B = . CMR cân hoặc vuông. 7. Tam giác ABC thỏa mãn: 1 S (a b c)(a b c) 4 = + + . CMR tam giác vuông. 8. Cho tam giác ABC. CMR: 2 2 2 4S tan A a c b = + , C p(p c) cot 2 S = CMR nếu: C C a(cot tan A) b(tan B cot ) 2 2 = thì tam giác cân. 9. CMR tam giác ABC thỏa mãn: a b c r r r r= + + thì tam giác vuông. 10. CMR tam giác ABC thỏa mãn: 2 2 sin B tgB sin C tgC = thì tam giác cân hoặc vuông. 11. CMR tam giác ABC thỏa mãn: 3 3 3 2 a 2.b.cosC b c a a b c a = + = + thì tam giác đều. 12. CMR tam giác ABC thỏa mãn: b c a cos B cosC sin B.sinC + = thì tam giác vuông. 13. CMR tam giác ABC thỏa mãn: 1 a cot A sin A c b + = với b c thì tam giác vuông. 14. CMR tam giác ABC thỏa mãn: 1 b c cot A sin A a + + = thì tam giác vuông. 15. CMR ABC thỏa mãn: sin B sinC sin A.cos B.cosC 1 1 cos B cosC + = + thì tam giác vuông. 16. 2 2 1 cosC c (a b) 4.S. sinC = + 17. 2 2 2 2 2 2 a b c 3 m m m (a b c ) 4 + + = + + 18. 2 2 2 cot cot cot 4. a b c gA gB gC S + + + + = 19.Cho tam giác ABC có a l là phân giác trong góc A. CMR: 2 2 a 2 2 l (b c) bc (b c) a + = + Hệ thức l ợng trong tam giác Bài 1: Cho tam giác ABC chứng minh rằng: Chuyên đề Hệ thức lợng trong tam giác 21 1. + + =sin sin sin 4cos .cos .cos 2 2 2 A B C A B C + + =sin 2 sin 2 sin 2 4sin .sin .sinA B C A B C + + = +cos cos cos 1 4sin sin sin 2 2 2 A B C A B C 2. + + = − −cos2 cos2 cos2 1 4 cos .cos .cosA B C A B C + + = − −cos2 cos2 cos2 1 4 cos .cos .cosA B C A B C 3. + + = . .tgA tgB tgC tgA tgB tgC 4. + + =cot .cot cot .cot cot .cot 1gA gB gB gC gC gA 5. + + =. . . 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tg tg tg tg tg tg 6. + + =cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 A B C A B C g g g g g g Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC chøng minh r»ng: 1. 2 2 2 cos A cos B cos C 1 2cos.Acos B.cosC+ + = − 2. 2 2 2 cos 2A cos 2B cos 2C 1 2cos2A.cos 2B.cos 2C+ + = + 3. 3 3 3 sin cos( ) sin cos( ) sin cos( ) 3sin. .sin .sinA B C B C A C A B A B C − + − + − = 4. 3 3 3 sin sin( ) sin sin( ) sin sin( ) 0A B C B C A C A B− + − + − = 5. A p sin 2 a B C cos .cos 2 2 = 6. 2 2 a 2 2 (b c) bc .l (b c) a + = + − 2 2 2 a b sin(A B) c sinC − − = 7. 2 2 2 2 2 2 2 a a (b c) 2(a 2l )(b c) a (a 4h ) 0+ − + + + + = 8. a 2bc A l cos b c 2 = + 10. 2 2 2 2 2 2 a b c 3 m m m (a b c ) 4 + + = + + 9. c a b 1 1 1 1 1 1 A B C l l l 2 cos cos cos a b b c c a 2 2 2 + + + + + = + + ÷ ÷ ÷ ÷ 10. B C a.sin sin 2 2 r A cos 2 = 12. A B C r p.tg .tg .tg 2 2 2 = 13. p R A B C 4.cos .cos .cos 2 2 2 = 14. r A B C sin .sin .sin 4R 2 2 2 = 15. r 1 cos A cos B cosC R + = + + 16. 2pr a.cos A b.cos B c.cosC R = + + 17. r 4R A B C tg tg tg p 2 2 2 + = + + 18. 2.(r R) a.cot gA b.cot gB c.cot gC+ = + + Chuyªn ®Ò HÖ thøc lîng trong tam gi¸c 22 19. a b c a b c 1 1 1 1 1 1 1 r h h h r r r = + + = + + 20. 2 2 a b c p r 2R(h h h )+ = + + 21. a b C A B r r 4R cos sin 2 2 − − = 22. a b c r r r 4R r+ + = + 23. 23. 2 a A r r 4R sin 2 − = 24. 4 cosr r r R C r a c b + − = − 25. 1 1 1 4 2 2 2 2 2 2 A B C R tg tg tg abc r r r a c b + + = 26. a a a a a h 2r h B C tg .tg 2 2 h 2r h − = = + 27. B C B C a.tg .tg r(tg tg ) 2 2 2 2 = + 28. 2 cos. 2 cos. 2 cos)2(4sin)(sin)(sin)( 222 CBA rRrCcpBbpAap −=−+−+− 29. 2 ( )cos ( )cos ( )cosp a b C b c A c a B= + + + + + 30. 2 2 2 3 ( )cos ( )cos ( )cos 2 2 2 C A B p a b b c c a= + + + + + 31. 2 2 2 2 . .cos . .cos . .cos 2 2 2 A B C p b c c a a b= + + 32. ( ) 2 2 1 .sin 2 .sin 2 4 ABC S a B b A= + V 33. 2 2 2 2 2 2 ( )cot ( ) cot ( ) cot 0b c gA c a gB a b gC− + − + − = 34. ( )cot ( ) cot ( ) cot 0 2 2 2 A B C b c g c a g a b g− + − + − = 35. 2 1 1 1 3 . .cot . .cot . .cot 4 . 2 2 2 A B C b c g c a g a b g R p a b c p + + = + + − ÷ 36. .sin( ) .sin( ) .sin)( ) 0a B C b C A c A B− + − + − = 37. ( )( )cos ( )( )cos ( )( ) cos 0b c p a A c a p b B a b p c C− − + − − + − − = 38. 2 2 2 cos cos cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos 2 . . A B C a b c b C c B a C c A b A a B a b c + + + + = + + + 39. 2 2 ( ) 4. . 2 C c a b S tg= − + 40. ( )( ) 2 ( ) A p b p c tg p p a − − = − 41. 2 2 2 cot cot cot 4. a b c gA gB gC S + + + + = 42. 1 1 1 1 cot .cot .cot sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C tg tg tg g g g A B C + + = + + + ÷ Chuyªn ®Ò HÖ thøc lîng trong tam gi¸c 23 43. sin sin sin 2 2 2 2 cos .cos cos .cos cos .cos 2 2 2 2 2 2 A B C B C C A A B + + = 44. sin sin sin cot .cot sin sin sin 2 2 A B C A B g g A B C + + = + 45. sin sin sin t .cot .cot cos cos cos 1 2 2 2 A B C A B C g g g A B C + = + + 46 sin . cos . cos sin . cos . cos sin . cos . cos sin . sin . sin . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C B C A C A B A B C A B B C C A tg tg tg tg tg tg + + = + + + Chứng minh rằng tam giác ABC thoả mãn các điều kiện sau đây là các tam giác cân. 40. ( ) sin sin 1 cos cos 2 A B tgA tgB A B + = + + 41. 2 2 sin A sin B C (sin A sin B)cot g cos A cos B 2 + = + 42. 3 3 A B B A sin cos = sin cos 2 2 2 2 2sinA.sinB C = cotg sinC 2 43. 2 2tgA+tgC = tg A.tgC 2 2 2 A+ B tg A +tg B = 2tg 2 44. C a.tgA b.tgB (a b).cot g 2 + = + a.sin(B C) b.sin(C A) 0 + = 45. 2 2 1 cos B 2a c sin B 4a c + + = 2 2 2 C a sin 2B b sin 2A c cot g 2 + = 46. 4 4 4 2 2 2 sin C 2sin A 2 sin B 2sin C.(sin A sin B)+ + = + 47. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân khi và chỉ khi: 2 2 1 S (a b ) 4 = + 48. a A h bc.cos 2 = 2 C cos A.cos B sin 2 = 49. C tgA tgB 2cot g 2 + = a r : r : R 2 : 6 : 5= sinC 2cos B sin A = 50. Tam giác ABC có tính chất gì nếu ba góc thỏa mãn: 1 sin 2x sin x cos x 2 + = Chứng minh tam giác vuông 51. sin A sin B sin C 1 cos A cos B cosC+ + = + + sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B+ = 52. cos2A+cos2B+cos2C+1=0 53. + + + =3(cos B 2sinC) 4(sin B 2cosC) 15 54. sin B sinC sin A.cos B.cosC 1 1 cos B cosC + = + Chuyên đề Hệ thức lợng trong tam giác 24 55. sin A cos B tgA sin B cos A + = + 56. cos(B C) tgB sin A sin(B C) − = − − 1 cot g2C (cot gC cot gB) 2 = − 57. B a c sin 2 2a − = B a c cos 2 2c + = 58. B c a tg 2 c a − = + ( ) ( ) ( ) a b b c a a c b cos B 2abc + + − + − = 59. 2 2 2 a (p a) b (p b) c (p c) sin B cos B abc − + − + − + = 60. ( ) 2 2bc cos B C a − = + = B a c cot g 2 b 61. b c a cos B cosC sin B.sin C + = 1 a cot gA sin A c b + = − 62. 1 b c cot gA sin A a + + = 2 1 S a sin 2B 4 = a A C h 2p 2.sin .sin 2 2 = 63. a b c r r r r= + + a b c r r r r a b c+ + + = + + 64. a r r 5r 2R = = 65. B A B r(sin A sin B) 2.c.sin .cos 2 2 − + = b c cos B cosC a + + = Chøng minh tam gi¸c ®Òu 66. 2 sin 3A sin 3B sin 3C 0 C cos A.cos B sin 2 + + = = 3 3 3 2 1 cos B.cosC 4 a b c a a b c = + + = + + 67. 3 3 3 2 3 sin B.sinC 4 b c a a b c a = + − = + − sin B sinC 2 sin A tgB tgC 2tgA + = + = [ ] bc 3 R 2(b c) a= + − 68. a.cos A b.cos B c.cosC 1 a b c 2 + + = + + 2sin C(cos(A B) 1) 2sin A(cos(B C) 1) 2sin B(cos(C A) 1) 0⇔ − − + − − + − − = 69. 3 3 sin A sin B sin C 2 + + ≤ Chuyªn ®Ò HÖ thøc lîng trong tam gi¸c 25 ( ) ( ) 2 3 sin B sin C 2 sin B 2 sin C sin A 2 3 sin B sin C 2 sin C 2 sin B sin(B C) sin B 3 sin C cos C 2 sin C 3 sin B cos B 2 0 2 sin B sin C 1 2 sin C sin B 1 0 6 6 sin C 1 6 sin B 1 6 π π π π ⇔ = + − ⇔ = + − + ⇔ + − + + − = ⇔ + − + + − = + = ⇔ + = ÷ ÷ ÷ ÷ 70. ( ) P 3 cos B 3 cos A cosC= + + ®¹t Max 71. 3 1 cos A cos B cosC 2 < + + ≤ 72. tgA tgB tgC 3 3 tam gi¸c ABC nhän+ + ³ 73. gA gB gCcot cot cot 3+ + ³ A B C 2 2 2 9 sin sin sin 4 + + £ 74. A B C 2 2 2 3 cos cos cos 4 + + ³ 75. tg A tg B tg C 2 2 2 9 víi tam gi¸c ABC nhän+ + ³ 76. A B C tg tg tg 3 2 2 2 + + ³ 77. A B C 2 2 2 3 sin sin sin 1 4 2 2 2 £ + + < 78. A B C c c c 2 2 2 9 2 os os os 2 2 2 4 < + + £ A B C tg tg tg 2 2 2 1 2 2 2 + + ³ 79. A B C 3 3 sin .sin .sin 8 £ 80. A B C 1 cos .cos .cos 8 £ A B C 1 sin .sin .sin 2 2 2 8 £ 81. A B C 3 3 cos .cos .cos 2 2 2 2 £ A B C tg tg tg 1 . . 2 2 2 3 3 £ 82. A B C g g gcot .cot .cot 3 3 2 2 2 ³ 83. a b c A B C m m m a b c. . . . .cos .cos .cos 2 2 2 = sö dông a b c a A m bc 2 2 2 2( ) .cos 4 2 + - = ³ 84. ( ) a b c m m m p p a p b p c+ + ³ - + - + - 85. a b c m m m p S. . .³ Chuyªn ®Ò HÖ thøc lîng trong tam gi¸c 26 86. a b c A B C l l l a b c. . . . .cos .cos .cos 2 2 2 = sử dụng a bc A l b c 2 .cos 2 = + 87. ( ) a b c l l l p p a p b p c+ + Ê - + - + - 88. a b c l l l p S. . .Ê 89. ( ) ( ) ( ) b a a c c b l l l l l l c b a 1 1 1 3 3+ + + + + Ê 90. A B C A B C g g g tg tg tgcot cot cot 3 2 2 2 2 2 2 ổ ử ữ ỗ + + + + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 91. A B C A B Csin .sin .sin cos .cos .cos 2 2 2 Ê 92. A B C A B C 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 sin sin sin cos cos cos 2 2 2 + + + + 93. A B C A B C 1 1 1 1 1 1 với tam giác ABC nhọn cos cos cos sin sin sin 2 2 2 + + + + 94. A B C A B Csin sin sin sin 2 sin 2 sin 2+ + = + + 95. A B C gA gB gC tg tg tgcot cot cot 2 2 2 + + = + + 96. A B C tgA+tgB+tgC cotg cotg cotg 2 2 2 + + 97. A B C tgA tgB tgC g g g A B C 1 1 1 1 cot .cot .cot sin sin sin 2 2 2 2 ổ ử ữ ỗ + + = + + + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 98. A B C g g g A B C 1 1 1 1 3 3 t t t sin sin sin 2 2 2 2 2 ổ ử ữ ỗ + + - + + Ê ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 99. A B C 1 1 1 2 3 sin sin sin + + 100. A B C 1 1 1 2 3 sin 2 sin 2 sin 2 + + 101. ( ) tgA tgB tgC gA gB gC A B C 1 1 1 1 . . cot cot cot sin 2 sin 2 sin 2 2 + + = + + + 102. Tam giác ABC không vuông có: tgA tgB tgC A B C 1 1 1 1 3 . . sin 2 sin 2 sin 2 2 2 + + - 103. ( ) gA gB gC A B C 1 1 1 1 3 3 cot cot cot sin 2 sin 2 sin 2 2 2 + + - + + Chuyên đề Hệ thức lợng trong tam giác 27 104. ( ) gA gB gC A B C 1 1 1 1 cot cot cot 3 sin sin sin 2 + + - + + 105. A B C g g g A B C 1 1 1 t t t 3 sin sin sin 2 2 2 ổ ử ữ ỗ + + - + + = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 106. CMR mọi tam giác ABC có: 1 1 1 A B C A B C tg tg tg cotg .cotg .cotg A B C 4 4 4 4 4 4 sin sin sin 2 2 2 + + = + + + 107. 1 1 1 A B C tg tg tg 3 3 A B C 4 4 4 sin sin sin 2 2 2 + + + + ữ 108. Tam giác ABC không vuông có: ( ) 1 1 1 cot gA cot gB cot gC tgA.tgB.tgC sin 2A sin 2B sin 2C + + + + = 109. ( ) 1 1 1 cot gA cot gB cot gC 3 3 sin 2A sin 2B sin 2C + + + + 110. 1 1 1 1 cot gA cot gB cot gC A B C 2 cos cos cos 2 2 2 ữ + + = + + ữ ữ thì ABC đều. Bài toán về cấp số 114.Cho ABC có các cạnh a,b,c lập thành cấp số cộng. CMR: 2 B sin A.sinC 3.sin 2 = 115.Cho ABC có A, B, C lập thành CSC và 3 sin A.sin B.sinC 4 = . Tính các góc A, B, C 116.Cho ABC có A B C cot g ,cot g ,cot g 2 2 2 lập thành CSC thì: A C cot g cot g 3 2 2 = 117.Cho ABC có A B C cot g ,cot g ,cot g 2 2 2 lập thành CSC thì: a 2 ; b 2 ; c 2 cũng lập thành CSC 118.Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c lập thành cấp số cộng. CMR A C cot g cot g 3 2 2 = 119.Cho ABC có A B C t g ,t g ,t g 2 2 2 lập thành CSC. CMR cosA, cosB, cosC cũng lập thành CSC. Chuyên đề Hệ thức lợng trong tam giác 28 . 19.Cho tam giác ABC có a l là phân giác trong góc A. CMR: 2 2 a 2 2 l (b c) bc (b c) a + = + Hệ thức l ợng trong tam giác Bài 1: Cho tam giác ABC chứng minh rằng: Chuyên đề Hệ thức lợng trong tam. thì tam giác đều. 12. CMR tam giác ABC thỏa mãn: b c a cos B cosC sin B.sinC + = thì tam giác vuông. 13. CMR tam giác ABC thỏa mãn: 1 a cot A sin A c b + = với b c thì tam giác vuông. 14 thì tam giác vuông. 10. CMR tam giác ABC thỏa mãn: 2 2 sin B tgB sin C tgC = thì tam giác cân hoặc vuông. 11. CMR tam giác ABC thỏa mãn: 3 3 3 2 a 2.b.cosC b c a a b c a = + = + thì tam