Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

CHƯƠNG I- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG  A - Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông 1) 2) 3) 4) 5) 6) BC = AB + AC AC = CH BC AB = BH BC AH = HB.HC AH BC = AB AC 1 = + 2 AH AC AB A c b' c' B b h H a a2 = b2 + c2 b2 = a.b′ c2 = a.c′ h2 = b′ c′ 5) h.a = b.c 1 6) = + h b c 1) 2) 3) 4) C 1.1 Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Trong đoạn thẳng sau: AB, AC, BC, AH, BH, CH tính độ dài đoạn thẳng lại biết: a) AB = 15cm; BC = 25 cm b) BH = 18 cm; CH = 32 cm c) AB = cm; BH = 3,6 cm d) AC = 12 cm; AH = 7,2 cm e) AH = 7,2 cm; CH = 9,6 cm f) BC = 25cm; AH = 12cm (AB AC) có đường cao AH đường trung tuyến AM Chứng minh: · cot B − cot C HAC HC · = a) tan MAH b) tan = 2 AH + AC 1.84 Cho∆ABC cân A, đường cao AH Biết AB = 10cm, AH = 8cm a) Tính BC diện tích ∆ABC b) Gọi I trung điểm AC Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HI K Chứng minh: AKCH hình chữ nhật c) Đường thẳng BI cắt AH G cắt CK M Cmrằng : i ∆BGH # BMC ii BG BC = BM BH d) Chứng minh : BG2 + AH2 = AC2 + GH2 µ = 900 ) Gọi M trung điểm AD Kẻ MK ⊥ BC K Biết 1.85 Cho hình thang ABCD ( µA = D AB = 9cm, BC = 25cm, CD = 16cm a) Tính AD, MB, MC b) Chứng minh : ∆MBC vuông M c) Tính MK diện tích ∆MKC 1.86 Các đường cao ∆ABC có ba góc nhọn cắt H Trên đoạn HB, HC lấy điểm M N cho ·AMC = ·ANB = 900 Chứng minh : AM = AN 1.87 Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh: a) cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = b) t anA + tan B + tan C = t anA.tan B.tan C c) S ABC = AB AC.sin A · 1.88 Cho ∆ABC đều, gọi O trung điểm cạnh BC, xOy = 600 có cạnh Ox, Oy cắt AB, AC M N Chứng minh : a) ∆OBM #∆NOC suy OB2 = BM CN · · b) ∆OBM #∆ONM suy MO, NO tia phân giác BMN CNM c) BM CN = BC2 1.89 Cho ∆ABC cân A có H trung điểm BC Gọi I hình chiếu H lên cạnh AC O trung điểm HI Chứng minh : a) ∆BIC #∆AOH b) AO ⊥ BI 1.90 Cho∆ABC cân A có đường cao AH, BK Chứng minh : 1 = + 2 BK BC AH F.HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN A: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO 1.1 a) Tính AC,CH,BH,AH? +) Áp dụng định lý pytago vào tam giác ABC vng A ta có : AC = BC − AB = 252 − 152 = 400 = 202 ⇒ AC = 20(cm) +) Áp dụng hệ thức lượng ta có: *) AC2= BC.CH 202= 25 CH ⇒ CH = 400: 25 = 16(cm) *) BH = BC – CH = 25 – 16 = 9(cm) *) AH.BC = AB AC AH 25 = 15 20 ⇒ AH = 300: 25 = 12(cm) b) Tính BC, AH, AB, AC? *)Ta có : BC = BH + CH = 18 + 32 = 50 (cm) *) AH2 = BH CH = 18.32 = 576 ⇒ AH = 24 (cm) *)AB2 = BC BH = 50 18 = 900 ⇒ AB = 30(cm) *)AC2 = BC CH = 50 32 = 1600 ⇒ AC = 40(cm) c) Tính CH, BC, AC, AH? +) AB2 = BC BH 62 = BC 3,6 ⇒ BC = 36 : 3,6 = 10(cm) +)CH = BC - BH = 10 – 3,6 = 6,4(cm) +) AH2 = BH CH = 3,6 6,4 = 4,8(cm) +) AC2 = BC CH = 10 6,4 = 64 ⇒ AC = 8(cm) d) Tính AB, BC, BH, CH? HC = AC − AH = 122 − 7, 22 = 92,16 = 9, +) ⇒ HC = 9, 6(cm) +) AH2 = BH CH 7,22 = BH.9,6 ⇒ BH = 5,4(cm) +) BC = BH + HC = 5,4 + 9,6 = 15(cm) +) AB2 = BC BH = 15 5,4 = 81 ⇒ AB = 9(cm) e) Tính AB, AC, BH, BC? +) AH2 = BH CH 7,22 = BH.9,6 ⇒ BH = 5,4(cm) +) BC = BH + HC = 5,4 + 9,6 = 15(cm) +) AB2 = BC BH = 15 5,4 = 81 ⇒ AB = 9(cm) +) AC2 = BC CH = 15 9,6 = 144 ⇒ AC = 12(cm) f) Tính AB,AC,BH,CH? Đặt BH = x , CH = y ( ĐK : x < y AB< AC) +) BC = BH + CH ⇒ x + y = 25 ⇒ x = 25 – y +)Áp dụng hệ thức lượng ta có: AH2 = BH CH ⇒ x y = 144 ⇔ (25 – y).y = 144 y − 25 y + 144 = ⇒ x1 = 9; x2 = 16 ⇒ y1 = 16; y2 = Vì x < y nên x = 9; y = 16 hay BH = 9(cm); CH = 16(cm) +) AB = BC BH = 25 = 225 ⇒ AB = 15(cm) +) AC2 = BC CH = 25 16 = 400 ⇒ AC = 20(cm) 1.2 Ta có BC = BD + DC = 15 + 20 = 35(cm) Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác ta có : AB BD 15 AB AC AB AC AB + AC BC 352 = = = ⇒ = ⇒ = = = = = 49 AC DC 20 4 16 + 16 25 25 ( Định lý pytago dãy tỉ số nhau) ⇒ Do AB = 49 AB = 21 (cm) ⇒ AC = 16.49 AC = 28(cm) *) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vng A, đường cao AH ta có: +) AH.BC = AB AC 21.28 = 16,8 (cm) AH 35 = 21 28 ⇒ AH = 35 +) AB2 = BC BH 212 = 35 BH ⇒ BH = 12,6(cm) Vì BH < BD nên H nằm B D ⇒ HD = BD – BH = 15- 12,6 = 2,4 (cm) +) Áp dụng định lý pytago vào tam giác AHD vuông H ta có : AD = AH + HD = 16,82 + 2, 42 = 12 (cm) 1.3 Giả sử theo gt tam giác ABC vuông A có BC – AB = (1) AB +AC – BC = (2) ⇒ Từ (1) BC = + AB thay vào (2) ta : AB + AC – – AB = Do AC = (cm) Mặt khác theo định lý py-ta-go ta có : BC − AB = AC = 25 ⇔ ( BC − AB ).( BC + AB ) = 25 Thay BC – AB = ⇒ BC+ AB = 25 (3) Từ (1) (3) ta có : BC = 13 (cm) ; AB = 12 (cm) Vậy : BC = 13 (cm) ; AB = 12 (cm); AC = (cm) 1.4 A B C H Giả sử tam giác ABC vuông A có đường cao AH vng góc với BC Theo GT ta có BH = 1; HC = ⇒ BC = BH + HC = + = Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vng A, đường cao AH ta có: +) AB2 = BC BH = 3.1 = ⇒ AB = +) AC2 = BC CH = 2= ⇒ AC = Vậy AB = ; AC = 6 ; BC = 1.5 A B H C Giải: Cách 1:Xét ∆ABC vuông A có AB < AC ; AH = 2; BC = Đặt BH = x ( Điều kiện < x < 2,5 ) ⇒ HC = - x Theo định lý 2: BH CH = AH2 ⇒ x ( − x ) = 22 ⇔ x − x = ⇔ x − x + =  x −1 =  x =1 ⇔ ( x − 1) ( x − ) = ⇔  ⇔ x − = x = x = ( thỏa mãn); x = ( không thỏa mãn) Theo định lý ta có: AB = BC.BH = 5.1 = ⇒ AB = Cách Giả sử tam giác ABC vuông A , đường cao AH có BC = 5cm, AH = cm Đặt AB = x ; AC = y ( ĐK: x >0; y > 0) *) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông A, đường cao AH ta có: AH.BC = AB AC ⇒ x y = 10 (1) Áp dụng định lý pytago ta có x + y = 25 ⇔ ( x + y ) − xy = 25 ⇔ ( x + y ) − 2.10 = 25 ⇔ ( x + y ) = 45 ⇒ x + y = ⇒ x=3 5− y Thay x = − y vào (1) ta có : ( − y ).y = 10 ⇔ y − y + 10 = y1 = 5; y2 = Từ x1 = 5; x2 = Vậy cạnh nhỏ tam giác vuông 1.6 Xét ∆ABC vng A có AB:AC=3:4 BC = 125cm A AB AC = = k ( với k > 0) Ta có AB:AC=3:4 ⇒ ⇒ AB = 3k; AC= 4k C ∆ABC vuông A Theo định lý Py ta go ta có: H B AB2 + AC2 = BC2 ⇒(3k)2 + (4k)2 = 1252 ⇔ 9k + 16k = 15625 ⇔ 25k = 15625 ⇔ k = 625 ⇔ k = 25 ( k > 0) AB = 3.25 =75cm; AC = 4.25 =100cm Theo định lý 1: AB 752 AB = BC.BH ⇒ BH = = = 45cm BC 125 CH = BC - BH=125 - 45 = 80cm 1.7 A C H B AB AB AC = ⇒ = = k ( với k > 0) AC 6 ⇒ AB = 5k; AC= 6k ∆ABC vuông A Theo định lý Py ta go ta có: AB2 + AC2 = BC2 ⇒(5k)2 + (6k)2 = BC2 Ta có ⇔ 25k + 36k = BC ⇔ BC = 61k ⇒ BC = k 61 Theo định lý 3: AB.AC = BC.AH ⇒ 5k 6k = k 61.30 ⇒ k = 61 AB = 61 (cm); AC = 61 (cm) BC = 61 61 = 61 Theo định lý 1: ( 61 ) = AB BC CH = BC - BH=61 - 25 = 36 cm AB = BC.BH ⇒ BH = 61 = 25cm 1.8 A B H C AB AB AC = ⇒ = = k ( với k > 0) AC 7 ⇒ AB = 3k; AC= 7k ∆ABC vuông A Theo định lý Py ta go ta có: AB2 + AC2 = BC2 ⇒(3k)2 + (7k)2 = BC2 Ta có ⇔ 9k + 49k = BC ⇔ BC = 58k ⇒ BC = k 58 Theo định lý 3: AB.AC = BC.AH ⇒3k 7k = k 58.42 ⇒ k = 58 AB = 58 (cm); AC = 14 58 (cm) BC = 58 58 = 116 (cm) Theo định lý 1: AB ( 58 ) = BC.BH ⇒ BH = 116 CH = BC - BH=116 - 18 = 98 cm 1.9: Giải: A D B C = 18cm ... cot20 D - Hệ thức cạnh góc tam giác vng Các hệ thức: 1) 2) 3) 4) b = a.sinB = a.cosC c = a.sinC = a.cosB b = c.tanB = c.cotC c = b.tanC =b.cotB A c B b a C Giải tam giác vuông: Giải tam giác vuông. .. = 5.1 = ⇒ AB = Cách Giả sử tam giác ABC vuông A , đường cao AH có BC = 5cm, AH = cm Đặt AB = x ; AC = y ( ĐK: x >0; y > 0) *) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông A, đường cao AH ta có:... AC = (cm) 1.4 A B C H Giả sử tam giác ABC vng A có đường cao AH vng góc với BC Theo GT ta có BH = 1; HC = ⇒ BC = BH + HC = + = Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông A, đường cao AH ta có: