Xây dựng công thức tính đường đồng quy và các công thức khác trong tam giác

Xây dựng công thức tính đờng đồng quy, công thức rông, định lý hàm số sin, hàm số cosin tam giác chơng trình THCS việc áp dụng công thức đờng đồng quy, công thức Hêrông, định lý Hàm số lợng giác tam giác phổ biến, công thức đợc chứng minh sử dụng nhiều chơng trình THPT Sau xin giới thiệu cách chứng minh công thức kiến thức THCS Cho tam giác ABC Biết cạnh AB = c, AC = b, BC = a, đờng cao AH = h , đờng phân giác AD = la , đờng trung tuyến AM = ma , p nửa chu vi tam giác A b c h a -x x B H C 1) Công thức tính đờng cao: TH: Góc A nhọn: Đặt BH = x, ®ã CH = a - x Theo định lý Pitago ta có: c x  b  (a  x ) (  h ) � c  x  b  a  x  2ax c2  a2  b2 �x 2a Khi ®ã: h2  c  x c  a  b2 � h  c ( ) (*) 2a 2 c2  a  b2 ) 2a Nh vËy ta cã c«ng thøc tÝnh ®êng cao øng víi ®Ønh A cđa tam giác theo cạnh nó: h c2  ( c  a  b2  c  ( ) (1) T¬ng tù ta có công thức tính đờng cao 2a tơng ứng với đỉnh B đỉnh C TH: Góc A tù ta có kết tơng tự 2) Công thức tính đờng trung tuyến: TH: H nằm B vµ M A c b h a/2-x B a/2+x x H M C Đặt: HM = x, đó: BH = a/2 – x, HC = a/2 + x Theo định lí Pitago ta có: a a c  (  x )  b  (  x ) ( h ) 2 2 b c a b2  c 2 �x � h2  c2  (  ) 2a 2a a b  c 2 b2  c 2 b  c a Ta cã: m a  h  x  c  (  ) ( )   2a 2a Nh ta có công thức tính đờng phân giác ứng với đỉnh A tam giác theo cạnh nã: b2  c a (2) T¬ng tù ta có công thức tính đờng phân giác tơng ứng với đỉnh B đỉnh C Các trờng hợp lại chứng minh tơng tự 3) Công thức tính đờng phân giáctrong tam giác: ma A B D C E Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tia BE (E thuéc tia AD) cho �CBE  �BAD  �CAD Ta cã: ADC : BDE � BD.DC  AD.DE ABE : ADC � AB AC  AD.AE Suy ra: AD AB AC BD.DC Mặt khác: BD AB AB.BC AC.BC  � BD  ; CD  CD AC AB  AC AB  AC a2 a2 ) � l  b c (1  ) a (b  c)2 (b  c ) Nh ta có công thức tính đờng phân giác ứng với đỉnh A Do đó: AD b.c (1 tam giác theo cạnh nã: la  b.c(1  a2 ) (3) T¬ng tù ta (b c )2 tìm đợc trờng hợp lại Đặc biệt với tam giác ABC vuông A : E A B D C Kẻ BE //AD ta có : tam giác ABE vuông cân nên AE = AB, EB = Theo định lý TaLét ta cã: AD CA AD CA CA  �   EB CE AB AE  AC AB  AC � AD  VËy: la  AB.CA AB  AC 2.bc (4) bc 4) Xây dựng công thức Hêrông tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c: c2  a  b2 Tõ (*) ta cã: h  c  ( ) 2a 2ac  a  b  c 2ac  a  b  c = 2a 2a 2 2 (a  b  c)(a  c  b)( a  b  c)(b  c  a ) (a  c )  b b  ( a  c) = = 4a 2a 2a p ( p  a )( p  b)( p  c)  h = p ( p  a )( p  b)( p  c) = a a AB h.a =  S =  p ( p  a )( p  b)( p  c) p ( p a )( p b)( p c) công thức Hêrông 5) Công thức định lý Hàm số sin: Trờng hợp tam giác nhọn (hình bên): Víi AB = c; AC = b; BC = a A B H C AH AH ; SinC  AB AC SinB AC SinB b �  �  SinC AB SinC c b c �  (1) SinB SinC b a  (2) T¬ng tù, ta cã: SinB SinA a b c   Tõ (1) vµ (2) ta có: định lý Hàm số sin SinA SinB SinC SinB 6) Công thức định lý Hàm số cosin Từ công thức tính đờng cao ta có: 2ax  c  a  b � b  c  a  2ax  c  a  2ac.cos B � b  c  a  2ac.cos B VËy: b  c  a  2ac.cos B T¬ng tù: a  c  b  2bc.cos A c  a b 2ba.cos C Đó cônbg thức Định lý hàm số côsin Nh cần biết cạnh ta sẻ tính đợc độ dài đờng đồng quy, diện tích, số đo góc tam giác tác giả: phan đình ánh trờng thcs thạch kim lộc hà - hà tĩnh điện thoại: 0986381089 Email: dinhanhtk@gmail.com ... 2a Nh vËy ta cã công thức tính đờng phân giác ứng với đỉnh A tam giác theo cạnh nó: b2 c a (2) T¬ng tù ta còng cã công thức tính đờng phân giác tơng ứng với đỉnh B đỉnh C Các trờng hợp lại... phân giác tơng ứng với đỉnh B đỉnh C Các trờng hợp lại chứng minh tơng tự 3) Công thức tính đờng phân giáctrong tam giác: ma A B D C E Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chøa ®iĨm A vÏ tia BE (E... Mặt khác: BD AB AB.BC AC.BC  � BD  ; CD  CD AC AB  AC AB  AC a2 a2 ) � l  b c (1  ) a (b  c)2 (b  c ) Nh vËy ta có công thức tính đờng phân giác ứng với ®Ønh A Do ®ã: AD  b.c (1  tam