Các công thức toán lớp 11_ Phương trình lựơng giác

Tài liệu tham khảo tóan học lớp 11_ Chuyên đề về phương trình lượng giác dành cho các bạn học sinh THPT.Tài liệu tham khảo tóan học lớp 11_ Chuyên đề về phương trình lượng giác dành cho các bạn học sinh THPT.

CHUYÊN Đ 1 Ề

PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢ NG GIÁC

A CÔNG TH C L Ứ ƯỢ NG GIÁC C N NH Ầ Ớ

I M t s công th c l ộ ố ứ ượ ng giác c n nh ầ ớ

sin x cos x 1;1 tan ;1 cot

tanx ;cot x ; tan

x

3) Công th c c ng: ứ ộ

sin( ) sin cos cos cos( ) cos cos sin sin

4) Công th c nhân đôi: ứ sin2x = 2sinxcosx

cos2x = cos 2 x – sin 2 x = 2 cos 2 x – 1 = 1 - 2 sin 2 x 5) Công th c h b c: ứ ạ ậ

2 1 cos 2 2 1 cos 2

6) Công th c nhân ba: ứ

Sin3x = 3sinx – 4sin 3 x; cos3x = 4cos 3 x – 3cosx.

7) Công th c bi u di n theo tanx: ứ ể ễ

2

sin 2 ;cos 2 ; tan 2

−

8) Công th c bi n đ i tích thành t ng: ứ ế ổ ổ

1 cos cos cos( ) cos( )

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2 1 sin cos sin( ) sin( )

2

9) Công th c bi n đ i t ng thành tích: ứ ế ổ ổ

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

cos cos 2cos cos

cos cos 2sin sin

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

− = −

B M T S D NG BÀI T P VÊ PH Ộ Ố Ạ Ậ ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢ NG GIÁC

D ng 1 Ph ạ ươ ng trình b c hai ậ

Bài 1 Gi i các phả ương trình sau:

1) 2cosx - 2 = 0 2) 3 tanx – 3 = 0

3) 3cot2x + 3 = 0 4) 2 sin3x – 1 = 0

5) 2 cosx + sin2x = 0

Bài 2 Gi i các phả ươn trình sau:

1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2) cos2x + sinx + 1 = 0

3) 2cos2x + 2 cosx – 2 = 0 4) cos2x – 5sinx + 6 = 0

5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos2x - 4 3 cosx + 3 = 0

7) 2sin2x – cosx + 7

2 = 0 8) 2sin

2x – 7sinx + 3 = 0 9) 2sin2x + 5cosx = 5

Bài 3 Gi i các phả ương trình:

1)2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0 3) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0

3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3 4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0

5) 3cos2x + 2(1 + 2 + sinx)sinx – (3 + 2) = 0

6) tan2x + ( 3 - 1)tanx – 3 = 0 7) 23 3cot 3

sin x = x+ 8) 4sin 22 6sin2 9 3cos 2 0

cos

x

9) cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2) 1

sin 2 1

x

D ng 2 Ph ạ ươ ng trình b c nh t đ i v i sinx và cosx ậ ấ ố ớ

Bài 1 Gi i các phả ương trình sau:

1) 4sinx – 3cosx = 2 2) sinx - 3 cosx = 1

3) 3 sin3x + cos3x = 1 4) sin4x + 3 cos4x = 2

5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5

Bài 2 Gi i các phả ương trình:

1) 3 cos3x+sin 3x= 2 2) 3sin3x− 3 cos9x= +1 4sin 33 x

3)cos7 cos5x x− 3 sin 2x = −1 sin 7 sin 5x x 4) cos7x− 3 sin 7x= − 2 5) 2 2(sinx+cos )cosx x= +3 cos 2x

D ng 3 Ph ạ ươ ng trình đ ng c p b c hai đ i v i sin và côsin ẳ ấ ậ ố ớ

1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0 2) sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0.

3) 4 3 sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + 5

2. 4) 3sin (32 ) 2sin(5 ) cos( )

2 x

π

D ng 4 Ph ạ ươ ng trình đ i x ng đ i v i sinx và cosx: ố ứ ố ớ

Bài 1 Gi i các phả ương trình sau:

1) (2+ 2)(sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 2 + 1

2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6

3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0

4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0

5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

Bài 2 Gi i các phả ương trình:

1) 2(sinx + cosx) - sinxcosx = 1

2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) =

2

2

3) cos 1 sin 1 10

4) sin3x + cos3x =

2

2 5) sinx – cosx + 7sin2x = 1

6) (1+ 2)(sinx−cos ) 2sin cosx + x x= +1 2

7) sin 2 2 sin( ) 1

4

8) sinx−cosx +4sin 2x=1

9) 1 + tgx = 2 2sinx

10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2

11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0

C BÀI T P T LUY N Ậ Ự Ệ

Bài 1 Gi i các phả ương trình sau:

1) sin3x = 1

2 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1) 2) cos2x = - 2

2 12) tan(3x + 2) + cot2x = 0 3) tan(x + 60o) = - 3 13) sin3x = cos4x

4) cot 5

π

1

5) sin2x = sin 3

4

o) = cos(x + 120o)

6) tan 2

3

  = tan 6 3x

π

  16) 3 - 2sin2x = 0

7) cos(3x + 20o) = sin(40o - x) 17) 2cos3x+π4

8) tan

4

  = - cot 2x 3

π

2 20 3

o

x

9) sin(2x - 10o) = 1

2 v i -120ớ o < x < 90o 19) 2sinx - 2sin2x = 0 10) cos(2x + 1) = 2

2 v i - ớ π < x < π 20) 8cos3x - 1 = 0

Bài 2 Gi i các phả ương trình:

1) sin2x = 1

2 11) sin2x + sin22x = sin23x 2) cos23x = 1 12) sin (2cos 2)

4

3) sin4x + cos4x = 1

2 13) (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx - 3

2) = 0 4) sinx + cosx = 1 14) sinx + sin2x + sin3x = 0

5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

6) cos2x.cos5x = cos7x 16) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x

7) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 17) cos7x + sin22x = cos22x - cosx

8) sin4x.sin3x = cosx 18) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x 9) 1 + 2cosx + cos2x = 0 19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x

10) cosx + cos2x + cos3x = 0 20) cosx - cos2x + cos3x = 1

2

Bài 3 Gi i các phả ương trình:

3) tan 2

6 x

π

  + 2cot 6 2x

π

  - 3 = 0 4)

2

2

+ (3 - 3)cot2x - 3 - 3 = 0

sin 2x

5) cot2x - 4cotx + 3 = 0 6) cos22x + sin2x + 1 = 0

7) sin22x - 2cos2x + 3

4 = 0 8) 4cos

2x - 2( 3 - 1)cosx + 3 = 0 9) tan4x + 4tan2x + 3 = 0 10) cos2x + 9cosx + 5 = 0

11) 12

cos x + 3cot

2x = 5

Bài 5 Gi i các phả ương trình sau:

1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x = 2

3) 2sin

4

  + sin x 4

π

3 2 2 4) 3cos + 4sinx + 2 = 3

3cos + 4sinx - 6

x

x

5) 2sin17x + 3 cos5x + sin5x = 0

6) cos7x - sin5x = 3 (cos5x - sin7x)

7) 4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx

Bài 6 Gi i các phả ương trình:

1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0 3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos3x + sin3x = 1

5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3 3 (sinx + cosx) + 5 = 0 7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x + 2 sin(x - 45o) = 1

9) 2sin2x + 3|sinx + cosx| + 8 = 0

10) (sinx - cosx)2 + ( 2 + 1)(sinx - cosx) + 2 = 0

Bài 7 Gi i các phả ương trình

1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0 2) cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0 3) cos2x - sin2x - 3 sin2x = 1

4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 3 - 9)cos2x = 0

5) 4sin2x + 3 3 sin2x - 2cos2x = 4

6) 2sin2x + (3 + 3 )sinxcosx + ( 3 - 1)cos2x = 1

7) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0 8) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3

Bài 8 Gi i các phả ương trình

1) 4cos2x - 2( 3 + 1)cosx + 3 = 0 2) tan2x + (1 - 3 )tanx - 3 = 0 3) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin22x - 2cos2x + 3

4 = 0 5) 2cos6x + tan3x = 1 6) 12

cos x + 3cot

2x = 5

Bài 9 Gi i các phả ương trình

1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1

2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1

3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx

4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1

5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x

6) sin(4x + π

4)sin6x = sin(10x +

π

4) 7) (1 + tan2)(1 + sin2x) = 1

8) tan(2π

3 - x) + tan(

π

3 - x) + tan2x = 0 Bài 10 Gi i các phả ương trình

1) (1 - cos2x)sin2x = 3 sin2x

2) sin4x - cos4x = cosx

3) 1 + 1πcos(x - ) = 1 - cotx

1 + cosx 2 4 2(1 + cotx)

4) 1 - (2 + 2 )sinx = 2 22

1 + cot x

−

5) tan2x = 1 - cosx

1 - sinx 6) 2(sin3x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) = 2

7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx

8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x

Bài 10 Gi i các phả ương trình

1) sinx + cosx - sin2x

3 - 1 = 0 2) (1 + 2 )(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 + 2 ) = 0

3) tanx + tan2x = tan3x

4)

1 cosx sinx

=

x 1 - cosx cos

2 +

D M T S BÀI THI Đ I H C VÊ PH Ộ Ố Ạ Ọ ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢ NG GIÁC

Bài 1 Gi i các phả ương trình

1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x

2) tan2x - tanxtan3x = 2

3) 5 - 3sin x - 4cosx = 1 - 2cosx2

4) cos3xtan5x = sin7x

5) tanx + cotx = 4

6) sin 2

1 + sinx

x

+ 2cosx = 0

7) 2tanx + cotx = 3 + 2

sin2x 8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)

9) 2sin3x(1 - 4sin2x) = 1

10)

cot x - tan x

= 16(1 + cos4x) cos2x

11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 1

16 12) cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x

13) sin2xcosx = 1

4 + cos

3xsinx 14) sin6x + cos6x = cos4x

15) sin4x + cos4x = 7

8cot(x +

π

3)cot(

π

6 - x) 16) sinxcot5x = 1

cos9x 17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x

18) 2sin3x - 1

sinx = 2cos3x +

1 cosx 19) cos3xcos3x + sin3xsin3x = 2

4 20)

sin + cos x 1

= sin 2 2

x

x (tanx + cotx)

21) 1 + tanx = 2 2 sinx

22) cosx - sinx = 2 cos3x

23) 3 sin 2 - 2cos x = 2 2 + 2cos2xx 2

24) sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin2x

25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1

26) 2sin(3x +

4

1 + 8sin2xcos 2x

Bài 2 Gi i các phả ương trình

1) sin4 x

3

 

 

  + cos

4 x 3

 

 

  =

5 8 2) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0

3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0

4)

(1 - cosx) + (1 + cosx) 1 + sinx

- tan xsinx = + tan x

5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3

6) cos6x + sin6x = 7

16

Bài 3 Gi i các phả ương trình

1) cos 2 + 3cot2x + sin4x = 2

cot 2 - cos2x

x

4sin 2x + 6sin x - 9 - 3cos2x

= 0 cosx

3)

2

cosx(2sinx + 3 2) - 2cos x - 1

= 1

1 + sin2x 4) sin4x = tanx 5) cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0 6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0

7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3

2 8) 2 + cos2x + 5sinx = 0 9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx

Bài 4 Gi i phả ương trình lượng giác

1) cosx + 3 sinx = 3 - 3

cosx + 3sinx + 1 2) 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin33x

3) cos7xcos5x - 3 sin2x = 1 - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1) 5) 4(sin4x + cos4x) + 3 sin4x = 2 6) 4sin3x - 1 = 3sinx - 3 cos3x 7) 3 sin2x + cos2x = 2 8) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x

9) cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x

Bài 5 Gi i các phả ương trình (bi n đ i đ a v d ng tích)ế ổ ư ề ạ

1) sin3x - 2

3sin

2x = 2sinxcos2x

2) sin22x + cos28x = 1

2cos10x 3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos2x

4) cosxcosx

2 cos

3x

2 - sinxsin

x

2sin

3x

2 =

1 2 5) tanx + tan2x - tan3x = 0

6) cos3x + sin3x = sinx - cosx

11) cos 1 sin

1 sin

x

x

− 12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0

13) cos4x

2 - sin

4x

2 = sin2x 14) 3 - 4cos2x = sinx(2sinx + 1)

15) 2sin3x + cos2x = sinx

16) sin2x + sin22x + sin23x = 3

2 17) cos3x + sin3x = sinx - cosx

18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)

19) sin2x = cos22x + cos23x

20) sin23x - sin22x - sin2x = 0

21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0

22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x

23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0

24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

25) 2cos2x = 6 (cosx - sinx)

26) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx

27) sin3x + sin2x = 5sinx

Bài 6 Gi i các phả ương trình

1) sin3x - sinx

1 - cos2x = cos2x + sin2x v i 0 < x < 2ớ π 2) sin(2x + 5π

2 ) - 3cos(x -

7π

2 ) = 1 + 2sinx v i ớ π

2 < x < 3π 3) cos7x - 3 sin7x = - 2 v i ớ 2π < x < 6π

Bài 7 Tìm gi tr l n nh t, giá tr nh nh t c a:ả ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ

1) y = 2sin2x + 3sinxcosx + 5cos2x

2) y = cosx + 2sinx + 3

2cosx - sinx + 4 trong kho ng ( -ả π ; π) 3) y = 4sin2x + 2sin(2x + )π

4 4) y = sinx - cos2x + 1

2

Bài 8 (Các đ thi ĐH, CĐ m i) ề ớ

1) A_02 Gi i phả ương trình: 5 sin + cos3x + sin3x

1 2sin2x

x

2) D_02 Tìm các nghi m thu c [0; 14] c a phệ ộ ủ ương trình:

cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0

3) A_03 Gi i phả ương trình: cotx - 1 = cos2x

1 + tanx + sin

2x - 1

2sin2x 4) D_03 Gi i phả ương trình: sin2(x

2 -

π

4)tan

2x - cos2x

2 = 0 5) D_04 Gi i phả ương trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx

6) A_05 Gi i phả ương trình: cos23xcos2x - cos2x = 0

7) D_05 Gi i phả ương trình: cos4x + sin4x + cos(x - π

4)sin(3x -

π

4) -

3

2 = 0 8) A_05_d b 1 Tìm nghi m trên kho ng (0 ; ự ị ệ ả π) c a phủ ương trình:

4sin2x

2 - 3 cos2x = 1 + 2cos2(x - 3π

4 ) 9) A_05_d b 2 ự ị Gi i pt: ả 2 2 cos3( x - π

4) - 3cosx - sinx = 0 10) D_05_d b 1 Gi i pt: ự ị ả tan(3π

2 - x) +

sin

1 cos

x x

11) D_05_d b 2 Gi i pt:ự ị ả sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0

12) A_06_d b 1 Gi i pt: ự ị ả cos3xcos3x - sin3xsin3x = 2 + 3 2

8 13) A_06_d b 2 Gi i pt: ự ị ả 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0

14) B_06_d b 1 Gi i pt: ự ị ả (2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = 0

15) B_06_d b 2 Gi i pt: ự ị ả cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0

16) D_06_d b 1 Gi i pt: ự ị ả cos3x + sin3x + 2sin2x = 1

17) D_06 Gi i pt:ả cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0

18) A_07 Gi i phả ương trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 19) B_07 Gi i phả ương trình: 2sin22x + sin7x - 1 = sinx

21) D_07 Gi i phả ương trình: (sin2 x

2 + cos

2x

2)

2 + 3 cosx = 2 22) CĐ_07 Gi i phả ương trình: 2sin2(π

4 - 2x) + 3 cos4x = 4cos2x - 1 23) A_08 Gi i phả ương trình:

+ = 4sin - x

3π sinx sin x - 4

2

24) B_08 Gi i phả ương trình: sin3x - 3 cos3x = sinxcos2x - 3 sin2xcosx 25) D_08 Gi i phả ương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

26) CĐ_08 Gi i pt:ả sin3x - 3 cos3x = 2sin2x