HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Lượng giác là một bộ phận trong chương trình Toán phổ thông, công thức lượng giác tương đối nhiều và khó nhớ, nếu chỉ học thuộc lòng công thức thì học sinh rất dễ nhầm lẫn.Mặt khác trong tất cả các đề thi Đại học, cao đẳng đều có ít nhất một câu giải phương trình lượng giác và câu này học sinh dễ lấy điểm nếu các em biết cách học và cách nhớ. Theo tôi khi dạy phần lượng giác thì giáo viên cần thực hiện những công việc sau: 1 Giúp học sinh hiểu, thuộc và chứng minh được các công thức lượng giác. 2 Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản để chứng minh một đẳng thức lượng giác hay rút gọn một biểu thức lượng giác. 3 Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản khi nhìn phương trình đã cho biết sử dụng công thức nào để đưa phương trình đó về dạng phương trình đã biết cách giải. 4 Giúp học sinh nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện. Nội dung đề tài này tôi chỉ gợi ý một vài cách nhớ công thức lượng giác và một số phương pháp giải phương trình lượng giác vi tôi nhận thấy công thức lượng giác học sinh thường không nhớ và đa số học sinh rất e ngại phương trình lượng giác có điều kiện. Vì vậy đeå giuùp caùc em hoïc sinh ñaït ñieåm tối ña phần lượng giác trong các kỳ thi toâi maïnh daïn vieát ñeà taøi naøy.

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GV : TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A/ PHẦN MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Lượng giác là một bộ phận trong chương trình Tốn phổ thơng, cơng thức lượng giác tương đối nhiều và khó nhớ, nếu chỉ học thuộc lòng cơng thức thì học sinh rất dễ nhầm lẫn.Mặt khác trong tất cả các đề thi Đại học, cao đẳng đều có ít nhất một câu giải phương trình lượng giác và câu này học sinh dễ lấy điểm nếu các em biết cách học và cách nhớ. Theo tơi khi dạy phần lượng giác thì giáo viên cần thực hiện những cơng việc sau: 1/ Giúp học sinh hiểu, thuộc và chứng minh được các cơng thức lượng giác. 2/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản để chứng minh một đẳng thức lượng giác hay rút gọn một biểu thức lượng giác. 3/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản khi nhìn phương trình đã cho biết sử dụng cơng thức nào để đưa phương trình đó về dạng phương trình đã biết cách giải. 4/ Giúp học sinh nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện. Nội dung đề tài này tơi chỉ gợi ý một vài cách nhớ cơng thức lượng giác và một số phương pháp giải phương trình lượng giác vi tơi nhận thấy cơng thức lượng giác học sinh thường khơng nhớ và đa số học sinh rất e ngại phương trình lượng giác có điều kiện. Vì vậy để giúp các em học sinh đạt điểm tối đa phần lượng giác trong các kỳ thi tôi mạnh dạn viết đề tài này. Tơi rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của q thầy cô cùng đồng nghiệp để bài viết được tổng quát hơn, hay hơn. II/ N Ộ I DUNG : Bài viết gồm các phần sau: 1/ Cách học và ghi nhớ cơng thức lượng giác. 2/ Bài tốn tìm ngọn cung khi biết cung và tìm cung khi biết ngọn cung. 3/ Một số phương pháp biến đổi phương trình lượng giác. 4/ Cách nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện. Đồng Xồi, ngày 21 tháng 2 năm 2011 Giáo viên TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 2 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM B/ PHẦN NỘI DUNG I/ CÁCH HỌC VÀ GHI NHỚ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1/HỆ THỨC CƠ BẢN :( phần này ta ghi nhớ từ định nghĩa giá trị lượng giác ) 1/ sin 2 x + cos 2 x = 1 2/ tanx = x x cos sin 3/ cotx = x x sin cos 4/ tanx . cotx = 1 5/ 1 + tan 2 x = x 2 cos 1 6/ 1 + cot 2 x = x 2 sin 1 K H α M O B' B A' A y x 2 /CUNG LIÊN KẾT : ( để học thuộc cơng thức này trước hết các em phải thuộc định nghĩa các cung đối , bù ,phụ , hơn kém …Sau đó thuộc phần cách nhớ và áp dụng vào bài tập) Hai cung đối nhau là x và – x Hai cung bù nhau là x và Π - x cos ( Π - x) = - cosx sin ( - x) = - sinx tan(- x) = - tanx tan ( Π - x) = - tanx cot (- x) = - cotx cot ( Π - x) = - cotx Hai cung phụ nhau là x và 2 Π – x Hai cung hơn kém nhau Π là x và Π + x cos( 2 Π - x) = sinx cos ( Π + x) = - cosx sin ( 2 Π - x) = cosx sin ( Π + x) = - sinx tan( 2 Π - x) = co tx cot ( 2 Π - x) = tanx NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 3 Khi dạy định nghĩa giá trị lượng giác góc α , giáo viên lưu ý tọa độ điểm ngọn cung M là (x;y) và sin α = y, cos α = x, tan α = ( 0) y x x ≠ , cot α = ( 0) x y y ≠ Từ đó giáo viên cho học sinh tìm toạ độ điểm ngọn cung M ở một vài vị trí đặc biệt, ví dụ : α = 150 0 ; α = -390 0 , α = 3 π ,… Sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hiểu cơng thức 1,2,3 từ định nghĩa , cơng thức 4,5,6 học sinh phải chứng minh được, xem như một ví dụ để giáo viên đi đến dạng tốn chứng minh một đẳng thức lượng giác. cos( - x) = cosx sin ( Π - x) = sinx tan ( Π + x) = tanx cot ( Π + x) = cotx TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Hai cung hơn kém nhau 2 Π là x và 2 Π + x cos( 2 Π + x) = - sinx tan( 2 Π + x) = - co tx cot( 2 Π + x) = - tanx 3/CÔNG THỨC CỘNG :(phần này các em học thuộc cách ghi nhớ , lưu ý ta ln viết cung a trước , cung b sau theo đúng thứ tự ) cos(a – b ) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b ) = cosa.cosb - sina.sinb sin ( a + b) = sina.cosb +sinb .cosa sin ( a – b) = sina.cosb – sinb .cosa tan ( a – b) = ba ba tan.tan1 tantan + − tan ( a + b) = ba ba tan.tan1 tantan − + cot ( a + b) = ab ab cotcot 1cot.cot + − ( cơng thức tan ( a ± b) và cot( a ± b) học sinh tự chứng minh) cot ( a – b) = ab ab cotcot 1cot.cot − + 4/CÔNG THỨC NHÂN: ( phần này các em tự chứng minh , xem như bài tập) cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a cos3a = 4 cos 3 a – 3cosa sin 2a = 2 sina.cosa sin 3a = 3sina – 4sin 3 a tan 2a = a a 2 tan1 tan2 − tan3a = a aa 2 3 tan31 tantan3 − − 5/CÔNG THỨC HẠ BẬC NÂNG CUNG cos 2 a = 2 2cos1 a+ sin 2 a = 2 2cos1 a− tan 2 a = a a 2cos1 2cos1 + − 6/CÔNG THỨC TÍNH sina , cosa , tana THEO t = tan 2 a sina = 2 1 2 t t + , cosa = 2 2 1 1 t t + − , tan a = 2 1 2 t t − 7/CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI : ( phần này các em học thuộc cách nhớ cho cơng thức biến tổng thành tích , sau đó suy ngược lại cơng thức biến tích thành tổng ) NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 4 CÁCH NHỚ : Giáo viên đóng khung những trường hợp đặc biệt và ghi nhớ trường hợp đặc biệt đó , trường hợp nào khơng được nhắc đến thì thêm dấu trừ vào cos đối , sin bù , phụ chéo Hơn kém Π ta có tang và cotang Hơn kém 2 Π , chéo , sin một mình CÁCH NHỚ : cos thì cos cos , sin sin Sin thì sin cos , cos sin đi cùng Cos đổi , sin không sin ( 2 Π + x) = cosx TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BIẾN TÍCH THÀNH TỔNG : cosa.cosb = ( ) ( ) [ ] baba −++ coscos 2 1 sina.sinb = ( ) ( ) [ ] baba −−+− coscos 2 1 sina.cosb = ( ) ( ) [ ] baba −++ sinsin 2 1 BIẾN TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = 2 2 cos 2 cos baba −+ cosa - cosb = - 2 2 sin 2 sin baba −+ sina + sinb = 2 2 cos 2 sin baba −+ sina - sinb = 2 2 sin 2 cos baba −+ tan a + tanb = ba ba cos.cos )sin( + tan a - tanb = ba ba cos.cos )sin( − II/ BÀI TỐN TÌM NGỌN CUNG KHI BIẾT CUNG Ví dụ :Tìm số ngọn cung của cung x : 1/ x = 2 ( ) 6 k k Z π π + ∈ 2/ x = ( ) 6 k k Z π π + ∈ 3/ x = ( ) 6 2 k k Z π π + ∈ Giải: Phương pháp: Vì k ∈ Z nên ta lần lượt chọn các giá trị k = 0,1,2, sau đó biểu diễn ngọn cung trên đường tròn lượng giác đến khi ngọn cung vừa biểu diễn trùng với ngọn cung đầu tiên thì ta dừng laị , đếm số ngọn cung đã biểu diễn trên đường tròn lượng giác và kết luận. 1/ Khi k = 0 thì x = 6 π ⇒ ngọn cung của x nằm ở M ( 6 π ) Khi k == 1 thì x = 2 6 π π + ⇒ ngọn cung của x quay lại M ( 6 π ) Kết luận : x = 2 ( ) 6 k k Z π π + ∈ chỉ có 1 ngọn cung nằm ở M ( 6 π ) NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 5 M( 6 π ) O x y CÁCH NHỚ : tang mình cộng với tang ta Bằng sin hai đứa chia cos ta cos mình CÁCH NHƠ : Ù 1/ Cos cộng cos bằng hai cos cos Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin Sin cộng sin bằng hai sin cos Sin trừ sin bằng hai cos sin 2/ cos nhân cos bằng 2 1 của cos cộng cos Sin nhân sin bằng trừ 2 1 của cos trừ cos Sin nhân cos bằng 2 1 của sin cộng sin TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2/ Khi k = 0 thì x = 6 π ⇒ ngọn cung của x nằm ở M ( 6 π ) Khi k = 1 thì x = 6 π π + ⇒ ngọn cung của x nằm ở N (N là điểm đối xứng của M qua O) Khi k == 2 thì x = 2 6 π π + ⇒ ngọn cung của x quay lại M ( 6 π ) Kết luận : x = ( ) 6 k k Z π π + ∈ có 2 ngọn cung nằm ở M và N. 3/ Khi k = 0 thì x = 6 π ⇒ ngọn cung của x nằm ở M ( 6 π ) Khi k = 1 thì x = 6 2 π π + ⇒ ngọn cung của x nằm ở P Khi k = 2 thì x = 6 π π + ⇒ ngọn cung của x nằm ở N (N là điểm đối xứng của M qua O) Khi k = 3 thì x = 3 6 2 π π + ⇒ ngọn cung của x nằm ở Q (Q là điểm đối xứng của N qua O) Khi k = 4 thì x = 2 6 π π + ⇒ ngọn cung của x quay lại M ( 6 π ) Kết luận : x = ( ) 6 2 k k Z π π + ∈ có 4 ngọn cung nằm ở đỉnh hình vuông MNPQ nội tiếp trong đường tròn lượng giác. Tổng quát: Nếu x = 2k n π α + ( k,n ∈ Z) thì x có n ngọn cung nằm ở đỉnh đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn lượng giác. III/ BÀI TOÁN TÌM CUNG KHI BIẾT NGỌN CUNG Phương pháp: Để viết được cung x ta càn nhớ phần tổng quát ở bài toán tìm ngọn cung khi biết cung , do đó ta nhóm những ngọn cung nào tạo thành một đa giác nội tiếp trong đường tròn lượng giác lại và viết thành một cung, còn các ngọn cung khác nếu không gom lại được thì ta viết riêng Ví dụ : Cho cung x có các ngon cung nằm trên đường tròn lượng giác như hình vẽ .Hãy tìm cung x ? NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 6 A M() N P Q A / y x O y O x N M() O x N M() P Q Hình 1 Bốn đỉnh M,N,P,Q tạo thành một hình vuông nội tiếp trong đường tròn luợng giác nên ta gom chung, hai đỉnh A, A / đối xứng nhau qua O nên ta viết chung thành một cung được Vậy các cung x ở hình 1 là ( , ) 4 2 k x k h Z x h π π π  = +  ∈  =  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP THU GỌN NGHIỆM : 1/ Nếu    Π+= Π+= 2 2 hx kx β α với Π±= βα thì ta ghi x = Π+ l α ( k , h , l Z∈ ) 2/ Nếu       Π += Π += )2( 2 )1( 2 n hx m kx β α với m ngọn cung của (1) hợp với n ngọn cung của (2) lập thành một đa giác đều có m + n cạnh thì ta ghi x = mn l + Π + 2 α (k , h , l,n , m Z∈ ) 3/ Nếu       Π += Π += )2( 2 )1( 2 n hx m kx β α với m ngọn cung của (1) là tập hợp con của n ngọn cung của (2) thì ta ghi x = 2h m β Π + (k , h,n , m Z∈ ) IV/ MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương pháp 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số : 1/ Khi hai vế phương trình có những thừa số giống nhau và có chứa x thì ta phải chuyển về một vế và đưa về phương trình tích . Gi ả i : sinx ( 2 cosx -1 ) = cos 2 x.sinx ⇔ sinx ( cos 2 x – 2cosx – 1 ) = 0 NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 7 Ví dụ 1: Giải phương trình : sinx ( 2 cosx +1 ) = cos 2 x.sinx M() A A / N B B / y x O Hình 2 Bốn đỉnh A,B,A / ,B / tạo thành một hình vng nội tiếp trong đường tròn luợng giác nên ta gom chung, Hai đỉnh M,N hợp với đỉnh B / tạo thành tam giác đều nội tiếp trong đường tròn luợng giác nên ta viết chung thành một cung được.Vậy các cung x ở hình 2 là 2 ( , ) 6 3 k x k h Z h x π π π  =  ∈   = +   TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ⇔ 2 sin 0 cos 2cos 1 0 x x x =   − + =  ⇔ sin 0 cos 1 x x =   =  ⇔ 2 x k x k x h π π π =  ⇔ =  =  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x k π = ( k Z∈ ) 2/ Nếu các góc trong phương trình có dạng u , 2u , thì ta thường dùng công thức nhân đôi hoặc công thức hạ bậc nâng cung để đưa về phương trình chỉ theo một góc Gi ả i : sin 2x = 2 cos 2 x ⇔ 2 sinx cosx - 2 cos 2 x = 0 ⇔ 2cosx ( sinx – cosx ) = 0 ⇔ cos 0 sin cos 0 x x x =   − =  ⇔ cos 0 sin( ) 0 4 x x π =    − =  ⇔ 2 4 x k x h π π π π  = +    = +   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : 2 4 x k x h π π π π  = +    = +   ( k,h Z∈ ) hoặc sin 2x = 2 cos 2 x ⇔ sin2x = 1 + cos2x ⇔ sin2x – cos2x = 1 Gi ả i : cos 4 x - sin 4 x + cos4x = 0 ⇔ (cos 2 x + sin 2 x)( cos 2 x – sin 2 x) + cos4x = 0 ⇔ cos2x + cos4x = 0 ⇔ 2cos3x.cosx = 0 ⇔ cos3 0 6 3 ( , ) cos 0 2 k x x k h Z x x h π π π π  = +  =  ⇔ ∈   =   = +   3/ Nếu trong phương trình có chứa cos 2 x , sin 2 x thì ta dùng công thức hạ bậc nâng cung NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 8 Ví dụ2 : Giải phương trình : sin 2x = 2 cos 2 x Ví dụ 3: Giải phương trình : sin 2 x + sin 2 2x = sin 2 3x + sin 2 4x Ví dụ2 : Giải phương trình : cos 4 x - sin 4 x + cos4x = 0 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Gi ả i : sin 2 x + sin 2 2x = sin 2 3x + sin 2 4x ⇔ 1 cos 2 1 cos4 1 cos6 1 cos8 2 2 2 2 x x x x− − − − + = + ⇔ cos2x + cos4x = cos6x + cos8x ⇔ 2 cos3x cosx = 2 cos7x cosx ⇔ cosx ( cos7x – cos3x) = 0 ⇔ cos 0 cos7 cos3 x x x =   =  ⇔ 2 7 3 2 7 3 2 x k x x h x x h π π π π  = +   = +   = − +   ⇔ 2 2 5 x k h x h x π π π π  = +    =    =   ⇔ 2 5 h x h x π π  =    =   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : 2 5 h x h x π π  =    =   ( k,h Z∈ ) 4/ Nếu trong phương trình có dạng tổng thì ta biến thành tích hoặc ngược lại Gi ả i : sinx + sin 2x + sin 3x = 0 ⇔ ( sin3x + sinx) + sin2x = 0 ⇔ 2sin2x cosx + sin2x = 0 ⇔ sin2x ( 2 cosx + 1) = 0 ⇔ sin 2 0 1 cos 2 x x =    = −  ⇔ 2 2 3 k x x h π π π  =    = ± +   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : 2 2 3 k x x h π π π  =    = ± +   ( k,h Z∈ ) NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 9 Ví dụ 4: Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x = 0 Ví dụ 5: Giải phương trình : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Gi ả i : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x ⇔ 1 1 (cos8 cos6 ) (cos8 cos2 ) 2 2 x x x x+ = + ⇔ cos6x = cos2x ⇔ 6 2 2 6 2 2 x x k x x k π π = +   = − +  ⇔ 2 4 4 k x k x k x π π π  =  ⇔ =   =   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : 4 k x π = ( k Z∈ ) Bài tập : Giải các phương trình sau : 1) 2 2 2 2 sin 4x sin 3x sin 2x sin x+ = + 2) 2 sin x(1 cosx) = 1 cosx + cos x+ + 3) 2 2 2 2 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ( ) ( ) 2 cos x cosx 1 4) 2 1 sinx sinx + cosx − = + 5) 2 cos2x 1 cot x 1 sin x sin 2x 1 tan x 2 − = + − + 6) 2 2 cos 3x.cos2x cos x 0− = 7) ( ) ( ) 2cos x 1 2sin x cosx sin 2x sinx− + = − 8/ sin 3 x + cos 3 x = sinx – cos x 9/ 9 – 13 cosx = - x 2 tan1 4 + 10/ 3( sinx – cos x) + sin 2x = 3 11/ sin 2 x – 6 sinx cosx + cos 2 x = - 2 12 / cos 3x – cos 2x = sin 3x 13/ xx x xx 2sin2cos 2cos1 sin3sin += − − 14/ sin 5x – sinx = x2sin3 15/ ( cosx + sinx )(1 – sinx ) = cos 2x 16/ cos 4 x – cos 2x + 2 sin 6 x = 0 17/ cosx - cos 2x = sin 3x 18/ cos 2 2x + 2cos 2 x = 1 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình đại số 1/ Có thể đặt ẩn phụ t = tan 2 x 2 2 2 2 1 sin , cos 1 1 t t x x t t − ⇒ = = + + ( hoặc t = tanx 2 2 2 2 1 sin 2 , cos2 1 1 t t x x t t − ⇒ = = + + ) Giải: Điều kiện : x 2 k π π ≠ + ( k Z∈ ) 6tan 2 x – 2cos 2 x = cos 2x ⇔ 6tan 2 x = 2cos2x + 1 NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 10 Ví dụ 1: Giải phương trình : 6tan 2 x – 2cos 2 x = cos 2x [...]... cos3x = m (1) a/ Giải phương trình khi m = 1 b/ Tìm m để phương trình (1) có đúng 3 nghiệm thuộc đoạn [ 0 : π ] H/ Cho phương trình : 4 ( cosx – sinx ) + sin2x = m (1) a/ Giải phương trình khi m = - 1 b/Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/ Phương trình lượng giác có nhận loại nghiệm : Khi giải một phương trình lượng giác nào đó mà q trình giải cuối cùng dẫn đến việc phải tìm giao... thi Đại Học những năm vừa qua 3/ Sách chun đề lượng giác của Lê Hồng Đức, Phan Huy Khải 4/ Tạp chí Tốn học tuổi trẻ D/ PHẦN KẾT LUẬN Kết quả thực hiện : Nội dung đề tài này,tơi đã áp dụng dạy cho học sinh lớp 10 , 11 trong thời gian 14 tiết, trong đó 8 tiết đầu tơi dạy và khắc sâu phần cơng thức lượng giác, sau đó huớng dẫn cho học sinh những phương pháp cơ bản để giải phương trình lượng giác , phần này... học sinh trung bình có thể tìm T1 ∩ T2 được dễ dàng Thơng thường ta có hai cách làm : C1: Dùng đường tròn lượng giác C2: Tìm nghiệm ngun của phương trình vơ định a/ Việc chọn nghiệm được nảy sinh từ việc giải phương trình lượng giác khơng mẫu mực: Ví dụ 5: Giải phương trình: cos3 x + 2 − cos 2 3 x = 2(1 + sin 2 2 x) (1) Phân tích: Phương pháp bình phương hay đặt ẩn phụ đều khó khăn Ta giải phương trình. .. nghiệm Kết luận: Vậy nghiệm phương trình là x = π mπ + 8 2 b/ Việc chọn nghiệm phương trình được nảy sinh do giải phương trình lượng giác chứa tang, cotang hoặc có chứa ẩn số ở mẫu: Ví dụ 8: Giải phương trình: tan 2 x.tan 3 x.tan 5 x = tan 2 x − tan 3 x − tan 5 x (1) Phân tích: Ngun tắc giải phương trình loại này là: − Đặt điều kiện cho bài tốn có nghĩa − Sau đó, giải phương trình và kiểm tra nghiệm tìm... Giải phương trình khi m = 9 π b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0; ) 2 4m F/ Cho phương trình : 4tan2x + + 5 = 0 (1) cosx a/ Giải phương trình khi m = - 1 π π b/Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( - ; ) 2 2 NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 13 11/ 1 + tanx = 2 2 sinx 12/ sin( 2x - TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG G/ Cho phương trình : sin3x – cos3x = m (1) a/ Giải phương. .. lưu ý với học sinh là các tham số ngun trong mỗi phương trình là khác nhau) + Trên đường tròn lương giác các điểm ngọn cung thuộc tập nghiệm của mỗi phương trình được biểu thị lần lượt bởi các dấu (.) chấm tròn và (□) ơ vng trên hình vẽ Chỉ có 1 điểm ngọn chung tại A + Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: (k ) b Ta cũng có thể chọn giao của hai nghiệm bằng cách tìm nghiệm ngun của phương trình vơ... lượng giác, sau đó huớng dẫn cho học sinh những phương pháp cơ bản để giải phương trình lượng giác , phần này tơi dạy cho các học sinh từ trung bình yếu trở lên, phần phương trình lượng giác có nhận loại nghiệm tơi dạy cho học sinh khá giỏi với thời gian 6 tiết.Khi tôi dạy cho học sinh vấn đề này, tôi thấy các em rất thích thú, khi gặp một đề bài tương tự các em đã vận dụng cách giải một cách linh hoạt,... ích được cho học sinh một số kinh nghiệm NĂM HỌC 2010-2011 23 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM học cơng thức và phương pháp giải phương trình lượng giác để các em hiểu sâu và nắm bắt được vấn đề, qua đó các em sẽ u thích mơn Tốn hơn, sẽ tự tin hơn trong phòng thi và kết quả các kỳ thi sẽ đạt cao hơn Kết quả cá nhân đạt được trong các năm gần đây NĂM HỌC MÔN TOÁN 3... 1)  6 3  c/ Việc chọn nghiệm được nảy sinh do biến đổi phương trình ban đầu về phương trình hệ quả Ví dụ 11: Giải phương trình: cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 1 (1) 16 Phân tích : vế trái của (1) là biểu thức có dạng tích các cos mà góc sau gâp đơi góc trước nên ta thường nhân hai vế của (1) cho sin góc nhỏ nhất Giải: a/ Xét sinx = 0 ⇔ x = l π khơng thỏa phương trình (1) b/ Xét sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ l π Nhân... SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM + Biểu diễn các điểm ngọn cung thuộc tập nghiệm của hai phương trình trên đường tròn lượng giác chúng có 1 điểm ngọn chung là B Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = π + m2π 2 Nhận xét: Ta nghĩ tới C1 khi việc biểu diễn các điểm ngọn cung thuộc tập nghiệm mỗi phương trình trên đường tròn lưỡng giác là ít vị trí Trong trường hợp số điểm ngọn của chúng có q nhiều vị trí và . của phương trình lượng giác có điều kiện. Đồng Xồi, ngày 21 tháng 2 năm 2011 Giáo viên TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN NĂM HỌC 2010 -2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 2 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM B/. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010 -2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH. ( 2 Π - x) = cosx sin ( Π + x) = - sinx tan( 2 Π - x) = co tx cot ( 2 Π - x) = tanx NĂM HỌC 2010 -2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 3 Khi dạy định nghĩa giá trị lượng giác góc α , giáo viên lưu ý tọa