MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Trong quá trình dạy toán ở bậc THPT tôi nhận thấy đa số học sinh rất e ngại bài toán hình học không gian, tình trạng này có nhiều lý do : 1 Để học tốt phân môn HHKG đòi hỏi người học phải có tư duy nhại bén, óc tưởng tượng phong phú, phải nắm được các qui ước vẽ hình. Nhưng hiện nay đa số học sinh lại lười tư duy, ít suy nghĩ, bài toán nào hơi khó là bỏ qua không kiên trì tìm kiếm phương pháp giải. 2 Phân môn HHKG được học phần cơ bản ở lớp 11 và phần tổng hợp ở lớp 12. Do đó đa số học sinh không chú ý, không nắm vững vấn đề cốt lõi của chương trình lớp 11, không rèn luyện kỹ năng giải toán từ lớp 11 nên khi lên lớp 12 hầu hết các em đều sợ phần HHKG này. Mặt khác trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi ĐH luôn có một bài toán HHKG ở phần bắt buộc,vì vậy đeå giuùp caùc em hoïc sinh làm tốt hơn bài toán HHKG trong các kỳ thi toâi maïnh daïn vieát ñeà taøi naøy.Nội dung đề tài này tôi chỉ gợi ý một vài dạng toán chủ lực và phương pháp giải để từ đó học sinh vận dụng vào giải đề toán trong các kỳ thi.

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN ĐỀ TÀI:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN GV : TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN NĂM HỌC 2011 - 2012 NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM A/ PHẦN MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Trong q trình dạy tốn bậc THPT nhận thấy đa số học sinh e ngại tốn hình học khơng gian, tình trạng có nhiều lý : 1/ Để học tốt phân mơn HHKG địi hỏi người học phải có tư nhại bén, óc tưởng tượng phong phú, phải nắm qui ước vẽ hình Nhưng đa số học sinh lại lười tư duy, suy nghĩ, tốn khó bỏ qua khơng kiên trì tìm kiếm phương pháp giải 2/ Phân mơn HHKG học phần lớp 11 phần tổng hợp lớp 12 Do đa số học sinh không ý, không nắm vững vấn đề cốt lõi chương trình lớp 11, khơng rèn luyện kỹ giải toán từ lớp 11 nên lên lớp 12 hầu hết em sợ phần HHKG Mặt khác đề thi tốt nghiệp THPT đề thi ĐH ln có tốn HHKG phần bắt buộc,vì để giúp em học sinh làm tốt tốn HHKG kỳ thi mạnh dạn viết đề tài này.Nội dung đề tài tơi gợi ý vài dạng tốn chủ lực phương pháp giải để từ học sinh vận dụng vào giải đề tốn kỳ thi Tơi mong nhận ý kiến đóng góp chân thành q thầy cô đồng nghiệp để viết tổng quát hơn, hay II/ NỘI DUNG : Bài viết gồm phần sau: 1/ Cách xác định đoạn vng góc hạ từ điểm đến mặt phẳng Từ dạng tốn học sinh tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó, khoảng cách hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, tính góc đường thẳng mặt phẳng 2/ Cách vẽ mặt phẳng qua M vaø song song với hai đường thẳng a b cho trước, tìm thiết diện Từ dạng tốn học sinh vẽ mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng cho trước, vẽ mặt phẳng qua M vng góc với đường thẳng a cho trước, vẽ mặt phẳng chứa đường thẳng a vng góc với mặt phẳng cho trước Đồng Xoài, ngày 26 tháng năm 2012 Giáo viên TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM B/ PHẦN NỘI DUNG Dạng : Cách xác định đọan vuông góc hạ từ điểm M đến mặt phẳng ( α ) TH1 : Ta có định lý : « Nếu từ M có đọan xiên dài hình chiếu chúng phải ngược lại », vào định lý ta xác định chân đường vng góc hạ từ điểm M TH2 : Nếu từ M đọan xiên dài : + Chọn mặt phẳng ( β ) qua Mvaø ( α ) ⊥ ( β ) + Tìm c = ( α ) ∩ ( β ) + Từ M hạ đường vuông góc MH đến đường giao tuyến c ⇒ MH ⊥ (α ) Ứng dụng : Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( α ): độ dài MH Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác cạnh a , SA = SB = SC = 2a 3 a/ Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) ? b/ Tính góc SA mặt phẳng ( ABC) ? Giải: S Nhận xét:Do SA = SB = SC nên toán thuộc TH1 Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) Do SA = SB = SC nên HA = HB = HC ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do tam giác ABC nên H trọng tâm tam giác ABC ⇒ d( S, (ABC)) = SH a Ta có HA = Xét tam giác SAH: SH = SA2 − AH = a A a S ABC SH = 12 · b/ ( SA, ( ABC ) ) = ( SA, AB ) = SAH H C VSABC = B AH · = ⇒ SAH = 600 SA Từ cách xác định TH1 ta đến nhận xét cho hình chóp đa giác đều: “ Trong hình chóp đa giác hình chiếu vng góc đỉnh mặt phẳng đáy phải trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy” · cos SAH = Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên a ,Tính thể tích khối chóp S.ABCD NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM Nhận xét Vì S.ABCD hình chóp nên hình chiếu S mặt phẳng (ABCD) phải trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Từ ta có cách vẽ sau: * Bước 1: Vẽ hình vng ABCD, lấy giao điẻm hai đường chéo O * Bước 2: Từ O dựng đường vng góc với mặt phẳng (ABCD), chọn đỉnh S khác O đường vng góc * Bước 3: Nối S với đỉnh A, B, C, D ta hình chóp S.ABCD Giải: S Vì S.ABCD hình chóp nên SO ⊥ (ABCD) với O = AC ∩ BD VSABCD = S ABCD SO SABCD = a Xét tam giác SAO vuông O có SA = a , 1 OA = AC = a 2 a2 a 2 A ⇒ SO = SA − OA = 2a − = D 2 Vậy VSABCD a a3 = a = O B C Ví dụ 3: Cho tø diƯn ABCD có BCD tam giác cạnh a, AB (BCD) AB = a Tính khoảng cách: 1) Từ D ®Õn (ABC) 2) Tõ B ®Õn (ACD) Giải: A 1/ Nhận xét : ta cần xác định đoạn vuông góc hạ từ D đến mặt phẳng ( ABC) DB = DC = a, DA = a ( xét tam giác ABD vng B) ⇒ ta tìm hai mặt phẳng vng góc có mặt phẳng qua D Ta có : AB ⊥ (BCD) ⇒ (ABC) ⊥ (BCD) Mà (ABC) ∩ (BCD) = BC B Kẻ DH ⊥ BC ⇒ DH ⊥ ( ABC) Vậy khoảng cách từ D đến (ABC) DH = a ( DH đường cao tam giác BCD) 2/ Tính d( B,(ACD))? Cách : Gọi M trung điểm CD, ta có : NĂM HỌC 2011-2012 K D H M C GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM BM ⊥ CD   AB ⊥ CD  ⇒ CD ⊥ ( ABM ) ⇒ (ACD) ⊥ (ABM) BM , AB ⊂ ( ABM )   Mà (ABM) ∩ (ACD) = AM Kẻ BK ⊥ AM ⇒ BK ⊥ ( ACD) Vậy khoảng cách từ B đến (ACD) BK Xét tam giác ABM vuông B 1 1 a = + = + = ⇒ d( B,(ACD)) = BK = 2 BK BA BM a 3a 3a Cách : Nhận xét : ta có BA = BC = BD = a ⇒ K hình chiếu vng góc B (ACD) KA = KC = KD ⇒ K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD a Do AC = AD = a nên K nằm AM, tính BK = Ứng dụng : Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng ( α ) song song với a Ví dụ 3: Cho h×nh chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SA = h Gọi O tâm hình vuông ABCD Tính khoảng cách: 1) Từ B đến (SCD) 2) Tõ O ®Õn (SCD) 3)Giữa SC BD 4) Giữa AB SC Giải: 1/ Tính d(B,(SCD)) ? Nhận xét : Từ B ta khơng có đoạn xiên đến mặt phẳng (SCD) không tìm mặt phẳng chứa B vng góc với (SCD), B nằm cạng AB AB//CD nên AB//(SCD) Do d(B,(SCD)) = d(AB,(SCD))= d(A,(SCD)) Ta có : CD ⊥ AD   CD ⊥ SA  ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ ( SCD ) ⊥ ( SAD ) AD, SA ⊂ ( SAD)   Mà (SAD) ∩ (SCD) = SD Kẻ AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ ( SCD) Vậy khoảng cách từ B đến (SCD) AH Xét tam giác SAD vuông A B 2 ah 1 1 a +h = + = + = 2 ⇒ AH = a + h2 AH SA AD h a a h 2/ Tính d(O,(SCD)) ? Nhận xét : OI//SA OI = SA với I trung điểm SC NĂM HỌC 2011-2012 S H I E A D O K C GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM OK//AD OK = AD với K trung điểm CD ⇒ (OIK) //(SAD) CD ⊥ (SAD) nên CD ⊥ (OIK) ⇒ (SCD) ⊥ (OIK) Mà (OIK) ∩ (SCD) = IK Kẻ OE ⊥ IK ⇒ OE ⊥ ( SCD) Vậy khoảng cách từ O đến (SCD) OE Xét tam giác OIK vuông O ah 1 4 4( a + h ) ⇒ OE = = + = + = a + h2 OE OI OK h a a h2 Ứng dụng :Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b độ dài đoạn vng góc chung a b khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng chứa đường b song song với đường a Cách tìm đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b : +Chọn mặt phẳng ( β ) ⊃ b , ( β ) // a +Từ điểm M thích hợp đường a hạ MH ⊥ ( β ) +Từ H dựng a/ // a ⇒ a / ∩ b = I +Từ I dựng IJ // MH ( J nằm đường a) ⇒ IJ đọan vuông góc chung a b THĐB : Nếu a chéo b a vuông góc với b : + Chọn mặt phẳng ( β ) ⊃ b , (β ) ⊥ a + Tìm H giao điểm a ( β ) +Từ H dựng HI vuông góc với b ⇒ IH đọan vuông góc chung a b Giải tiếp ví dụ 3: 3/ Tính khoảng cách SC BD BD ⊥ AC   Ta có BD ⊥ SA  ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC AC , SA ⊂ ( SAC )   Như BD SC hai đường thẳng chéo vng góc với nhau, hình chiếu vng góc B mặt phẳng (SAC) điểm O Ta có : BO ⊥ (SAC) Từ O dựng OH ⊥ SC ⇒ OH đoạn vng góc chung SC BD AE Xét tam giác SAC có OH // AE OH = 2 1 1 2a + h = + = + = B 2 AE SA AC h 2a 2a h ah ⇒ AE = 2a + h NĂM HỌC 2011-2012 S H I E A D O K C GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM Vậy khoảng cách SC BD OH = ah 2a + h 4/ Tính khoảng cách AB SC Ta có AB // (SCD) nên d ( AB,SC) = d( AB, (SCD)) = d( A, (SCD)) Vì CD ⊥ (SAD) ⇒ (SCD) ⊥ (SAD) ( SAD ) ∩ ( SCD ) = SD , kẻ AI ⊥ SD ⇒ AI ⊥ (SCD) 1 1 a + h2 = + = + = 2 AI SA AD h a a h ah Vậy d ( AB,SC) = d( A, (SCD)) = AI = a + h2 Xét tam giác SAD : Ứng dụng 4:xác định tính góc đường thẳng mặt phẳng Để xác định góc đường thẳng a mặt phẳng (P)thì : Bước1:Xác định giao điểm cuả a (P) , giả sử điểm A Bước2:Trên a chọn điểm M khác điểm A, từ M ta xác định đoạn vng góc MH đến mặt phẳng (P) Bước3:Xác định hình chiếu a mặt phẳng (P)là b, từ xác định góc đường thẳng a mặt phẳng (P) Ví dụ 4: Cho h×nh chãp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SA = a a/ SD (ABCD) Gọi O tâm hình vuông ABCD Tớnh gúc to b/ SC (SAB) c/ SB (SAC) Giải: a/ Nhận xét : SD (ABCD) có điểm chung D, chọn điểm S Từ S ta có SA ⊥ (ABCD) SD đường xiên có hình chiếu (ABCD) AD · ⇒ ( SD, ( ABCD)) = ( SD, AD) = SDA Xét tam giác SAD vuông A SA a · · tan SDA = = = ⇒ SDA = 600 AD a b/ Nhận xét : SC (SAB) có điểm chung S, chọn điểm C Từ C ta tìm đường vng góc với mặt phẳng (SAB) CB ⊥ AB   Ta có CB ⊥ SA  ⇒ CB ⊥ ( SAB ) SA, AB ⊂ ( SAB )   SC đường xiên có hình chiếu (SAB) SB · ⇒ ( SC , ( SAB)) = ( SC , SB ) = CSB Xét tam giác SBC vng B có SB = S A D O SA2 + AB =B2a C BC a 1 · · tan CSB = = = ⇒ CSB = arctan SB 2a 2 NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM c/ Nhận xét : SB (SAC)có điểm chung S, chọn điểm B Từ B ta tìm đường vng góc với mặt phẳng (SAC) BO ⊥ AC   Ta có BO ⊥ SA  ⇒ BO ⊥ ( SAC ) SA, AC ⊂ ( SAC )   SB đường xiên có hình chiếu (SAC) SO · ⇒ ( SB, ( SAC )) = ( SB, SO) = OSB Xét tam giác SBO vuông O a OB 1 · · sin OSB = = = ⇒ OSB = arcsin SB 2a 2 2 Ví dụ 5: Cho h×nh chãp S.ABCD cã đường cao SO = h, tạo với mặt bên (SCD) góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải: Nhận xét:Ta cần xác định góc 300 góc SO với mặt phẳng (SCD) SO (SCD)có điểm chung S, chọn điểm O Từ B ta tìm đường vng góc với mặt phẳng (SAC) Từ O ta khơng có đoạn xiên nên ta cần tìm mặt phẳng chứa O vng góc với (SCD) Gọi K trung điểm CD CD ⊥ OK   Ta có CD ⊥ SO  ⇒ CD ⊥ ( SOK ) A SO, OK ⊂ ( SOK )   CD ⊂ ( SCD) ⇒ ( SOK ) ⊥ ( SCD) ( SOK ) ∩ ( SCD) = SK B Kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SCD) SO đường xiên có hình chiếu (SCD) SH · ⇒ ( SO, ( SCD)) = ( SO, SH ) = OSH = 300 h 2h ⇒ AD = 2OK = Xét tam giác SOK ta có OK = SO.tan 30 = 3 1 4h 4h Vậy VSABCD = S ABCD SO = h = 3 S H D O K C Dạng 2: Vẽ mặt phẳng thỏa điều kiện song song hay vuông góc Trong dạng tốn ta cần nắm vững dạng vẽ mặt phẳng ( α ) qua M vaø ( α ) // a , NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM α ) // b , dạng khác ta đưa dạng để vẽ Phương pháp giúp học sinh học tốt ( khơng cần phải nhớ nhiều, ngồi dạng hình thành từ định lý quen thuộc với em đường thẳng song song với mặt phẳng , định lý “ Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa a cắt (P) theo giao tuyến b b//a” Dạng bản: Vẽ mặt phẳng ( α ) qua M vaø ( α ) // a , ( α ) // b tìm thiết diện ? Phương pháp: +Chọn mặt phẳng ( β ) qua M ( β ) chứa đường thẳng a ⇒ (α ) ∩ ( β ) = c Vaäy a// c + làm tương tự cho đường thẳng b Ví duù 1: Cho hình chóp S.ABCD cú đáy ABCD hình vuông cạnh a; mặt bên SAB tam giác ®Ịu; SC = SD = a M lµ điểm cạnh AD Mặt phẳng (P)qua M song song với AB SC cắt BC , SB, SA tại N, P, Q a/Chøng minh MQ//SD b/ T giỏc MNPQ hỡnh gỡ? c/ Đặt AM = x ( ≤ x ≤ a ) TÝnh diÖn tích tứ giác MNPQ theo a x Tìm x ®Ĩ diƯn tÝch nµy nhá nhÊt Giải: Nhận xét:Để vẽ mặt phẳng (P) trước hết ta chọn mặt phẳng chứa M AB SC, ta thấy mặt phẳng (ABCD) thỏa điều kiện chứa M AB , nên ta sử dụng (P)//AB a/Chøng minh MQ//SD  ( P ) // AB  * ( ABCD ) ⊃ AB  ⇒ ( P ) ∩ ( ABCD ) = MN // AB  M ∈ ( P ) ∩ ( ABCD )  ( N ∈ BC ) Nhận xét:Lúc ta có hai điểm M, N nằm (P), tiếp tục ta chọn mặt phẳng chứa M hay N chứa AB SC, ta thấy mặt phẳng (SBC) thỏa điều kiện chứa N SC , nên ta sử dụng (P)//SC  ( P ) // SC S  * ( SBC ) ⊃ SC  ⇒ ( P ) ∩ ( SBC ) = NP // SC ( P ∈ SB )  N ∈ ( P ) ∩ ( SBC )  Q Nhận xét:Lúc ta có ba điểm M, N,P nằm (P), P tiếp tục ta chọn mặt phẳng chứa ba điểm M, N, P chứa AB SC, ta thấy mặt phẳng (SAB) thỏa điều kiện chứa P AB , nên ta sử dụng (P)//AB  ( P ) // AB M  A * ( SAB ) ⊃ AB  ⇒ ( P ) ∩ ( SAB ) = PQ // AB (Q ∈ SA)  P ∈ ( P ) ∩ ( SAB )  ⇒ ( P ) ∩ ( SCD ) = MQ B N C Bây ta chứng minh MQ//SD MN // AB  Do  ⇒ MN // CD AB // CD  NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN D TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG  NP // SC  Mà MN , NP ⊂ ( P )  ⇒ ( P ) // ( SCD )  SC , CD ⊂ ( SCD )  ( SAD ) ∩ ( SCD ) = SD   Ta lại có  ⇒ MQ // SD ( SAD ) ∩ ( P ) = MQ   SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM b/ Tứ giác MNPQ hình gì? PQ // AB   ⇒ MN // PQ MN // AB  · · SCD = SDC   SD // MQ  · · · · Mặt khác SC = SD nên  ⇒ PNM = SCD , QMN = SDC SC // NP  MN // CD   Ta có Vậy tứ giác MNPQ hình thang cân c/ Tính diện tích MNPQ? MN + PQ S MNPQ = QK với QK đường cao hình thang MNPQ Ta có MN = AB = a NP BN = Xét tam giác SBC có NP//SC nên SC BC Xét hình vng ABCD có MN//AB nên BN AM = BC AD NP AM SC AM = ⇒ NP = =x SC AD AD PQ SQ = Xét tam giác SAB có PQ//AB nên AB SA SQ DM = Xét tam giác SAD có MQ//SD nên SA DA PQ DM AB.DM = ⇒ PQ = =a−x Suy AB AD AD Suy Kẻ đường cao QK hình thang MNPQ, ta có MK = Xét tam giác MQK : QK = Vậy S MNPQ = ( 2a − x ) x MQ − MK = MN − PQ x = 2 x 11 với MQ = NP 11 */ Tìm x để diện tích MNPQ nhỏ ? Ta có ≤ x ≤ a ⇒ 2a − x > NĂM HỌC 2011-2012 10 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM  2a − x + x  Theo bất đẳng thức Cơ Si ta có ( 2a − x ) x ≤  ÷ =a   a 11 Dấu « = » xảy 2a – x = x ⇔ x = a, M trùng D ⇒ S MNPQ ≤ Vấn đề : Veõ mặt phẳng ( α ) qua M ( α )// ( β ) ø.tìm thiết diện ? (α ) //( β ) ⇒ a //(α ) quay dạng Phương pháp : + Sử dụng tính chất :  a ⊂ ( β ) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AB = a, AD = 2a, tam giác SAB vuông cân A.M điểm cạnh AD cho AM = x (0< x< a) Mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD N, P, Q a/ Tứ giác MNPQ hình gí? b/ Tính diện tích MNPQ theo a x Giải : a/ Do (P) //( SAB) nên (P)//SA, (P)//SB (P)//AB  ( P ) // AB  * ( ABCD ) ⊃ AB  ⇒ ( P ) ∩ ( ABCD ) = MN // AB ( N ∈ BC )  M ∈ ( P ) ∩ ( ABCD )   ( P ) // SB  * ( SBC ) ⊃ SB S  ⇒ ( P ) ∩ ( SBC ) = NP // SB ( P ∈ SC )  N ∈ ( P ) ∩ ( SBC )   ( P ) // SA  * ( SAD ) ⊃ SA  ⇒ ( P ) ∩ ( SAD ) = MQ // SA  M ∈ ( P ) ∩ ( SAD )  ⇒ ( P ) ∩ ( SCD ) = PQ Vì MN//AB, AB//CD nên MN//CD, suy  ( P ) // CD  ( SCD ) ⊃ CD  ⇒ PQ // CD suy MN//PQ ( P ) ∩ ( SCD ) = PQ   SA // MQ   Mặt khác MN // AB  ⇒ MN ⊥ MQ SA ⊥ AB   Vậy tứ giác MNPQ hình thang vng NĂM HỌC 2011-2012 11 (Q ∈ SD ) Q P A B M D N C GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM b/ Tính diện tích MNPQ theo a x MN + PQ S MNPQ = MQ Ta có MN = AB = a MQ DM SA.DM a (2a − x) 2a − x = ⇒ MQ = = = Xét tam giác SAD có MQ//SA nên SA DA DA 2a PQ SQ = Xét tam giác SCD có PQ//CD nên CD SD SQ AM = Xét tam giác SAD có MQ//SA nên SD AD PQ AM CD AM a.x x = ⇒ PQ = = = Suy CD AD AD 2a x a+ 2 Vậy ( 2a − x ) = ( 2a + x ) ( 2a − x ) = 4a − x S MNPQ = 2 8 α ) qua M vaø ( α ) ⊥ a : Vấn đề : Vẽ mặt phẳng ( b ⊄ (α )   Ta có định lý: b ⊥ a  ⇒ b //(α ) , vào định lý ta có phương pháp vẽ mặt phẳng sau: (α ) ⊥ a   Phương pháp: + Tìm b ⊥ a , c ⊥ a + Nếu b không qua M b// ( α ),nếu b qua M b ⊂ (α ) +Làm tương tự cho đường thẳng c + quay dạng Ví dụ 3: Cho h×nh chãp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B víi AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) vµ SA = 2a Gäi M lµ điểm cạnh AB; () mặt phẳng qua M vuông góc với AB Đặt x = AM (0 < x < a) a) T×m thiÕt diƯn cđa h×nh chóp S.ABCD với mặt phẳng () Thiết diện hình g×? b) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn Giải : Nhận xét : Trước hết ta phải xác định mặt phẳng(α ) Muốn ta tìm hai đường thẳng khơng phương vng góc với AB BC ⊥ AB  Ta có  ⇒ BC //(α ) M ∉ BC  Mặt khác SA ⊥ AB   ⇒ SA //(α ) M ∉ SA  Vậy mặt phẳng (α) mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng BC SA NĂM HỌC 2011-2012 12 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM S  ( α ) // BC  * ( ABCD ) ⊃ BC  ⇒ ( α ) ∩ ( ABCD ) = MN // BC ( N ∈ CD )  M ∈ ( α ) ∩ ( ABCD )  Q P  ( α ) // SA  * ( SAB ) ⊃ SA  ⇒ ( α ) ∩ ( SAB ) = MQ // SA (Q ∈ SB )  M ∈ ( α ) ∩ ( SAB )   ( α ) // BC  I A * ( SBC ) ⊃ BC  ⇒ ( α ) ∩ ( SBC ) = QP // BC ( P ∈ SC ) E M  Q ∈ ( α ) ∩ ( SBC )  B D N ⇒ ( α ) ∩ ( SCD ) = NP Suy thiết diện to bi hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (α)là MNPQ MN // BC  Ta có  ⇒ MN // PQ PQ // BC  C SA ⊥ AD   Mặt khác: MN // BC // AD  ⇒ MQ ⊥ MN  MQ // SA  Vậy MNPQ hình thang vng MN + PQ MQ b/ S MNPQ = Xét hình thang ABCD , gọi I trung điểm AD, E giao điểm MN CI ⇒ MN = ME + EN , ME = a = AI = ID = CI EN CE CE BM = = Xét tam giác CID: , mà ID CI CI BA ID.BM ⇒ EN = = a − x ⇒ MN = 2a – x BA MQ BM SA.BM = ⇒ MQ = = 2( a − x) Xét tam giác SAB: SA BA BA PQ SQ = Xét tam giác SBC: BC SB SQ AM = Xét tam giác SAB: SB AB PQ AM BC AM = ⇒ PQ = =x Suy BC AB AB MN + PQ MQ = 2a ( a − x ) Vậy S MNPQ = Vấn đề : Vẽ mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng a vaø ( α ) ⊥ ( β ) : NĂM HỌC 2011-2012 13 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM (α ) ⊥ ( β )  M ∈ (α )    ⇒ b ⊂ (α ) , vào định lý ta có phương pháp vẽ mặt phẳng Ta có định lý: M ∈b  b ⊥ (β )   sau: Phương pháp: + Tìm b ⊥ ( β ) + Nếu b a có điểm chung b ⊂ (α ) + Nếu b a điểm chung b// ( α ) + quay dạng Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD) vµ SA = a Gọi () mặt phẳng chứa AB vuụng gúc vi (SCD) a) Xác định rõ mặt phẳng () mặt phẳng () cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện h×nh g×? b) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn Giải : Nhận xét : Để xác định mặt phẳng(α )ta tìm đường thẳng vng góc với mặt phẳng (SCD) S CD ⊥ AD  Ta có  ⇒ CD ⊥ ( SAD) CD ⊥ SA   ( SCD ) ⊥ ( SAD )  Suy ( SCD ) ∩ ( SAD ) = SD  ⇒ AH ⊥ ( SCD) H K   Vậy mặt phẳng (α) mặt phẳng (ABH) Do AB//CD nên (ABH)// CD  A ( α ) // CD  ( SCD ) ⊃ CD  ⇒ ( α ) ∩ ( SCD ) = HK // CD  H ∈ ( α ) ∩ ( SCD )  B HK // CD  Ta có  ⇒ HK // AB AB // CD  AH ⊥ (SCD) ⇒ AH ⊥ KH Vậy thiết diện tạo (α) hình chóp S.ABCD hình thang vng ABKH b/ TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn 1 1 a Xét tam giác SAD : = + = + = ⇒ AH = 2 AH AD SA a 3a 3a SA SA = SH.SD ⇒ SH = = a SD Ke AH ⊥ SD NĂM HỌC 2011-2012 14 D C GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM a KH SH 3 Xét tam giác SCD : = = = ⇒ KH = CD = a CD SD 2a 4 AB + KH a+ a AH = Vậy S ABKH = ( a ) = a 2 16 M ỘT S Ố ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH TỰ LUYỆN Bµi 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) đáy SA = SB = b Tính khoảng cách: a) Từ S đến (ABCD) b) Từ trung điểm I CD đến (SHC), H trung ®iĨm cđa AB c) Tõ AD ®Õn (SBC) Bµi 2: Cho tứ diện ABCD có BCD tam giác cạnh a, AB (BCD) AB = a Tính khoảng cách: a) Từ D đến (ABC) b) Từ B ®Õn (ACD) Bµi 3: Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác vuông A , SA = SB = SC = a , BC = a a/ Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) ? b/ Tính góc SA mặt phẳng ( ABC) ? Bµi 4: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc A 600 , 2a SA = SB = SD = a/ Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) độ dài cạnh SC ? b/ Chứng minh (SAC) ⊥ ( ABCD) SB BC ? c/ Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) , tớnh tan ? Bài 5: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang với đáy lớn BC = 2a; AD = a AB = b Mặt bên SAD tam giác đều, (P) mặt phẳng qua điểm M đoạn AB song song với SA BC, mt phng (P) cắt CD; SC; SB lần lợt I; J; K a, Chứng minh MIJK hình thang cân b, Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mp(P) theo a x = AM Bài 6: Cho hình chóp SABCD Gọi M N hai điểm AB CD (P) mặt phẳng qua MN song song với SA a, Tìm giao tuyến (P) với (SAB) (SAC) b, Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(P) c, Tìm điều kiện M; N để thiết diện hình thang Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O; M điểm di động SC (P) mặt phẳng qua AM vµ song song víi BD a, Chøng minh (P) chứa đờng thẳng cố định SB SD SC b, Tìm giao điểm H K (P) víi SB vµ SD Chøng minh lµ mét h»ng sè + − SH SK SM c, ThiÕt diƯn cđa hình chóp với mp(P) hình thang đợc hay không Bài 8: Cho tứ diện ABCD cạnh a; M P hai điẻm di động cạnh AD BC cho AM=CP=x (0 < x < a) Một mặt phẳng qua MP song song víi CD c¾t tø diƯn theo mét thiÕt diƯn a, Chứng minh thiết diện hình thang cân NM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 15 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG b, TÝnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn nhá nhÊt SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM ∧ BAØI : Tứ diện SABC có ABC = 90 , AB = 2a , BC = a , SA ⊥ ( ABC), SA = a.Gọi M trung điểm AB a/ Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) ? b/ Tính đường cao AK tam giác AMC ? c/ Tính góc ϕ hai mặt phẳng (SMC) (ABC) ? d/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMC) ? BÀI 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA=SB=SC=SD= a Gọi I K trung điểm AD BC a/ Chứng minh (SIK) ⊥ (SBC) ? b/ Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB ? BÀI 11 : Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ a/ Chứng minh BC/ ⊥ (A/B/CD) b/ Tính đô dài đọan vuông góc chung AB/ BC/ c/ Tính góc hai đường thẳng : AB/ BC/ , AC/và CD/ C/ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Sách giáo khoa hình học lớp 11 nâng cao 2/ Dạy học với máy tính HHKG lớp 11 12 3/ Tuyển tập tốn HHKG Lê hồnh Phị 4/ Phương pháp giải toán HHKG trường chuyên Lê Hồng Phong D/ PHẦN KẾT LUẬN Kết thực : NĂM HỌC 2011-2012 16 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM Nội dung đề tài này,tôi áp dụng dạy cho học sinh lớp 11 thời gian 14 tiết, tiết đầu tơi dạy khắc sâu phần tính khoảng cách tính góc, thời gian tiết sau tơi hướng dẫn cho học sinh phương pháp vẽ dạng mặt phẳng quan hệ song song vng góc , phần tơi dạy cho học sinh từ trung bình yếu trở lên.Khi dạy cho học sinh vấn đề này, thấy em thích thú, gặp đề tương tự em vận dụng cách giải cách linh hoạt Tơi hy vọng với nội dung đề tài tơi giúp ích cho học sinh số kinh nghiệm học hình học không gian tuý để em hiểu sâu nắm bắt vấn đề, qua em giải đề HHKG tổng hợp, em tự tin phòng thi kết kỳ thi đạt cao Kết cá nhân đạt năm gần NĂM HỌC MÔN TOÁN KHỐI 2006-2007 2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 BP 182 217 192 202 198 ĐIỂM TỪ – 10 ĐIỂM TỪ 8-10 SL % SL % 104 198 178 191 193 57,1 91,2 92,7 94,5 97.6 18 21 20 24 38 17,3 9,6 10,4 11,8 19.2 HỌC SINH GIỎI TOÁN KHEN THƯỞNG Bằng khenUBND TỈNH Giấy khen SỞ GD-BP CSTĐCS- SỞ GD-BP CSTĐCS-Bằng khenBỘ GD CSTĐCS-Giấy khen SỞ GD- Kiến nghị : Nhiệm vụ hàng đầu người giáo viên dạy Toán cho học sinh yêu thích môn Toán, chăm nghe giảng dạy đạt kết cao kỳ thi Hiện có nhiều học sinh cảm thấy môn Toán trừu tượng, khó hiểu, khơng nhớ cơng thức liên quan đến đời sống thực Do trực tiếp giảng dạy môn Toán cố gắng tìm phương pháp hay để em tiếp cận vấn đề Toán học dễ dàng Sáng kiến phần nhỏ suy nghó tôi, hy vọng q thầy cô tìm kiếm nhiều phương pháp hay, trực quan, dễ hiểu để học sinh ngày giỏi hơn, thi đậu nhiều Dù cố gắng nhiều việc phân tích ví dụ khó tránh khỏi sai sót.Rất mong nhận ý kiến đóng góp q thầy cô để viết hoàn hảo NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ TOÁN NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 17 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2011-2012 18 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011-2012 19 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN ... dạy cho học sinh lớp 11 thời gian 14 tiết, tiết đầu tơi dạy khắc sâu phần tính khoảng cách tính góc, thời gian tiết sau tơi hướng dẫn cho học sinh phương pháp vẽ dạng mặt phẳng quan hệ song song... ước vẽ hình Nhưng đa số học sinh lại lười tư duy, suy nghĩ, tốn khó bỏ qua khơng kiên trì tìm kiếm phương pháp giải 2/ Phân môn HHKG học phần lớp 11 phần tổng hợp lớp 12 Do đa số học sinh khơng... DO CHỌN ĐỀ TÀI : Trong q trình dạy tốn bậc THPT tơi nhận thấy đa số học sinh e ngại tốn hình học khơng gian, tình trạng có nhiều lý : 1/ Để học tốt phân mơn HHKG địi hỏi người học phải có tư nhại