Trong quá trình dạy toán ở bậc THPT tôi nhận thấy đa số học sinh rất e ngại bài toán hình học không gian, tình trạng này có nhiều lý do : 1 Để học tốt phân môn HHKG đòi hỏi người học phải có tư duy nhại bén, óc tưởng tượng phong phú, phải nắm được các qui ước vẽ hình. Nhưng hiện nay đa số học sinh lại lười tư duy, ít suy nghĩ, bài toán nào hơi khó là bỏ qua không kiên trì tìm kiếm phương pháp giải. 2 Phân môn HHKG được học phần cơ bản ở lớp 11 và phần tổng hợp ở lớp 12. Do đó đa số học sinh không chú ý, không nắm vững vấn đề cốt lõi của chương trình lớp 11, không rèn luyện kỹ năng giải toán từ lớp 11 nên khi lên lớp 12 hầu hết các em đều sợ phần HHKG này. Mặt khác trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi ĐH luôn có một bài toán HHKG ở phần bắt buộc,vì vậy đeå giuùp caùc em hoïc sinh làm tốt hơn bài toán HHKG trong các kỳ thi toâi maïnh daïn vieát ñeà taøi naøy.Nội dung đề tài này tôi chỉ gợi ý một vài dạng toán chủ lực và phương pháp giải để từ đó học sinh vận dụng vào giải đề toán trong các kỳ thi.
Trang 1TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN
HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT QUAN HỆ VUƠNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
GV : TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
GV : TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
NĂM HỌC 2011 - 2012
Trang 2TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
A/ PHẦN MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Trong quá trình dạy tốn ở bậc THPT tơi nhận thấy đa số học sinh rất e ngại bài tốn hình học khơng gian, tình trạng này cĩ nhiều lý do :
1/ Để học tốt phân mơn HHKG địi hỏi người học phải cĩ tư duy nhại bén, ĩc tưởng tượng phong phú, phải nắm được các qui ước vẽ hình Nhưng hiện nay đa số học sinh lại lười tư duy, ít suy nghĩ, bài tốn nào hơi khĩ là bỏ qua khơng kiên trì tìm kiếm phương pháp giải.
2/ Phân mơn HHKG được học phần cơ bản ở lớp 11 và phần tổng hợp ở lớp 12.
Do đĩ đa số học sinh khơng chú ý, khơng nắm vững vấn đề cốt lõi của chương trình lớp 11, khơng rèn luyện kỹ năng giải tốn từ lớp 11 nên khi lên lớp 12 hầu hết các
em đều sợ phần HHKG này.
Mặt khác trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi ĐH luơn cĩ một bài tốn HHKG
ở phần bắt buộc,vì vậy để giúp các em học sinh làm tốt hơn bài tốn HHKG trong các kỳ thi tôi mạnh dạn viết đề tài này.Nội dung đề tài này tơi chỉ gợi ý một vài dạng tốn chủ lực và phương pháp giải để từ đĩ học sinh vận dụng vào giải đề tốn trong các kỳ thi.
Tơi rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của quí thầy cô cùng đồng nghiệp để bài viết được tổng quát hơn, hay hơn
II/ NỘI DUNG :
Bài viết gồm các phần sau:
1/ Cách xác định đoạn vuơng gĩc hạ từ một điểm đến một mặt phẳng Từ dạng tốn này học sinh tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nĩ, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, tính gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
2/ Cách vẽ mặt phẳng qua M và song song với hai đường thẳng a và b cho trước,
tìm thiết diện.
Từ dạng tốn này học sinh vẽ được mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng cho trước, vẽ được mặt phẳng qua M và vuơng gĩc với đường thẳng a cho trước,
vẽ được mặt phẳng chứa đường thẳng a và vuơng gĩc với mặt phẳng cho trước.
Đồng Xồi, ngày 26 tháng 1 năm 2012 Giáo viên
TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
Trang 3
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
B/ PHẦN NỘI DUNG
D ạ ng 1 : Cách xác định đọan vuông góc hạ từ điểm M đến mặt phẳng ( )
TH1 : Ta cĩ định lý : « Nếu từ M có các đọan xiên dài bằng nhau thì hình chiếu của chúng
phải bằng nhau và ngược lại », căn cứ vào định lý này ta xác định chân đường vuơng gĩc hạ từ điểm M
TH2 : Nếu từ M không có các đọan xiên dài bằng nhau thì :
+ Chọn mặt phẳng ( ) qua Mvà ( ) ( )
+ Tìm c = ( ) ( )
+ Từ M hạ đường vuông góc MH đến đường giao tuyến c MH ( )
Ứng dụng 1 : Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ): là độ dài MH
Giải:
Nhận xét:Do SA = SB = SC nên bài tốn này thuộc TH1
Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của S trên mặt phẳng (ABC)
Do SA = SB = SC nên HA = HB = HC
H là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Do tam giác ABC đều nên H là trọng tâm tam giác ABC
d( S, (ABC)) = SH
Ta cĩ HA = 3
3
a
Xét tam giác SAH: SH SA2 AH2 a
VSABC = 1
3S ABC SH = 3 3
12
a
b/ SA ABC, SA AB, SAH
60 2
AH
SAH
Từ cách xác định ở TH1 ta đi đến một nhận xét cho hình chĩp đa giác đều:
“ Trong hình chĩp đa giác đều thì hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh trên mặt phẳng đáy phải trùng với tâm của đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy”
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a , SA = SB = SC =
3
3
2a
a/ Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) ?
b/ Tính góc giữa SA và mặt phẳng ( ABC) ?
S
A
B
C H
Ví dụ 2: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh
bên bằng a 2,Tính thể tích khối chĩp đều S.ABCD
Trang 4TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẫN KINH NGHIỆM
Nhận xột Vỡ S.ABCD là hỡnh chúp đều nờn hỡnh chiếu của S trờn mặt phẳng (ABCD) phải trựng với
tõm đường trũn ngoại tiếp hỡnh vuụng ABCD Từ đú ta cú cỏch vẽ hỡnh như sau:
* Bước 1: Vẽ hỡnh vuụng ABCD, lấy giao điẻm hai đường chộo là O
* Bước 2: Từ O dựng đường vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD), chọn đỉnh S khỏc O trờn đường vuụng gúc này
* Bước 3: Nối S với cỏc đỉnh A, B, C, D ta được hỡnh chúp S.ABCD
Giải:
Vỡ S.ABCD là hỡnh chúp đều nờn SO (ABCD) với O = ACBD
VSABCD = 1
3S ABCD SO
SABCD = a 2
Xột tam giỏc SAO vuụng tại O cú SA = a 2,
OA = 1 1 2
2AC2a
2
Vậy
3 2
SABCD
Giải:
1/ Nhận xột : ta cần xỏc định đoạn vuụng gúc hạ từ D
đến mặt phẳng ( ABC)
DB = DC = a, DA = a 2 ( xột tam giỏc ABD vuụng tại B)
ta tỡm hai mặt phẳng vuụng gúc nhau trong đú cú một
mặt phẳng đi qua D
Ta cú :
AB (BCD) (ABC)(BCD)
Mà (ABC)(BCD) = BC
Kẻ DH BC DH ( ABC)
Vậy khoảng cỏch từ D đến (ABC) là DH = a 3
2 ( do DH là đường cao trong tam giỏc đều BCD)
2/ Tớnh d( B,(ACD))?
Cỏch 1 : Gọi M là trung điểm CD, ta cú :
Vớ duù 3: Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB (BCD)BCD)
và AB = a Tính khoảng cách:
1) Từ D đến (BCD)ABC) 2) Từ B đến (BCD)ACD)
A
B
C
D M
H
K
S
A
B
C
D O
Trang 5TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẫN KINH NGHIỆM
(ACD)(ABM)
Mà (ABM)(ACD) = AM
Kẻ BK AM BK ( ACD)
Vậy khoảng cỏch từ B đến (ACD) là BK
Xột tam giỏc ABM vuụng tại B
12 12 1 2 12 42 72
BK BA BM a a a d( B,(ACD)) = BK =
3 7
a
Cỏch 2 : Nhận xột : ta cú BA = BC = BD = a nếu K là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn (ACD) thỡ KA = KC = KD K là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ACD
Do AC = AD = a 2 nờn K nằm trờn AM, tớnh BK = 3
7
a
Ứng dụng 2 : Khoảng cỏch từ đường thẳng a đến maởt phaỳng ( ) song song với a
Giải:
1/ Tớnh d(B,(SCD)) ?
Nhận xột : Từ B ta khụng cú cỏc đoạn xiờn bằng nhau đến
mặt phẳng (SCD) và cũng khụng tỡm được một mặt phẳng chứa
B và vuụng gúc với (SCD), nhưng B nằm trờn cạng AB và
AB//CD nờn AB//(SCD)
Do đú d(B,(SCD)) = d(AB,(SCD))= d(A,(SCD))
Ta cú :
AD SA SAD
Mà (SAD)(SCD) = SD
Kẻ AH SD AH ( SCD)
Vậy khoảng cỏch từ B đến (SCD) là AH
Xột tam giỏc SAD vuụng tại A
a h
2/ Tớnh d(O,(SCD)) ?
Nhận xột : OI//SA và OI = 1
2SA với I là trung điểm SC
Vớ duù 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA (BCD)ABCD), SA = h Gọi O là tâm hình vuông ABCD Tính khoảng cách:
1) Từ B đến (BCD)SCD) 2) Từ O đến (BCD)SCD)
3)Giữa SC và BD 4) Giữa AB và SC
S
B
A
D
C
O
K
I H
E
Trang 6TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
OK//AD và OK = 1
2AD với K là trung điểm CD (OIK) //(SAD)
CD(SAD) nên CD (OIK) (SCD) (OIK)
Mà (OIK)(SCD) = IK
Kẻ OEIK OE ( SCD)
Vậy khoảng cách từ O đến (SCD) là OE
Xét tam giác OIK vuơng tại O
2
ah
a h
Ứng dụng 3 :Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài đoạn vuơng gĩc chung của a và b hoặc bằng khoảng cách từ đường thẳng a đến một mặt phẳng chứa đường b và song song với đường a
Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b :
+Chọn mặt phẳng ( ) b , ( ) //a
+Từ điểm M thích hợp trên đường a hạ MH ( )
+Từ H dựng a/ // a a/bI
+Từ I dựng IJ // MH ( J nằm trên đường a)
IJ là đọan vuông góc chung của a và b
THĐB : Nếu a chéo b và a vuông góc với b thì :
+ Chọn mặt phẳng ( ) b , ( ) a
+ Tìm H là giao điểm của a và ()
+Từ H dựng HI vuông góc với b IH là đọan vuông góc chung của a và b
Giải tiếp ví dụ 3:
3/ Tính khoảng cách giữa SC và BD
AC SA SAC
Như vậy BD và SC là hai đường thẳng chéo nhau nhưng
vuơng gĩc với nhau, hình chiếu vuơng gĩc của B trên mặt
phẳng (SAC) là điểm O
Ta cĩ : BO (SAC) Từ O dựng OH SC
OH là đoạn vuơng gĩc chung của SC và BD
Xét tam giác SAC cĩ OH // AE và OH = AE
2
2
ah AE
Vậy khoảng cách giữa SC và BD là OH = 2 2
2 2
ah
a h
S
B
A
D
C
O
K
I H
E
Trang 7TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẫN KINH NGHIỆM
4/ Tớnh khoảng cỏch giữa AB và SC
Ta cú AB // (SCD) nờn d ( AB,SC) = d( AB, (SCD)) = d( A, (SCD))
Vỡ CD (SAD) (SCD) (SAD)
SADSCD SD , kẻ AI SD AI (SCD)
Xột tam giỏc SAD :
Vậy d ( AB,SC) = d( A, (SCD)) = AI = 2ah 2
a h
Ứng dụng 4:xỏc định và tớnh gúc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xỏc định gúc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)thỡ :
Bước1:Xỏc định giao điểm cuả a và (P) , giả sử là điểm A
Bước2:Trờn a chọn điểm M khỏc điểm A, từ M ta xỏc định đoạn vuụng gúc MH đến mặt phẳng (P)
Bước3:Xỏc định hỡnh chiếu của a trờn mặt phẳng (P)là b, từ đú xỏc định gúc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)
Giải:
a/ Nhận xột : SD và (ABCD) cú điểm chung là D, chọn điểm S
Từ S ta cú SA (BCD)ABCD)
SD là đường xiờn cú hỡnh chiếu trờn (ABCD) là AD
(SD ABCD,( )) ( SD AD, )SDA
Xột tam giỏc SAD vuụng tại A
SA a
SDA
b/ Nhận xột : SC và (SAB) cú điểm chung là S, chọn điểm C
Từ C ta tỡm đường vuụng gúc với mặt phẳng (SAB)
CB AB
SA AB SAB
SC là đường xiờn cú hỡnh chiếu trờn (SAB) là SB
(SC SAB,( )) (SC SB, ) CSB
Xột tam giỏc SBC vuụng tại B cú SB = SA2 AB2 2a
CSB
arctan 2
CSB
c/ Nhận xột : SB và (SAC)cú điểm chung là S, chọn điểm B
Từ B ta tỡm đường vuụng gúc với mặt phẳng (SAC)
Vớ duù 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA (BCD)ABCD), SA = a 3 Gọi O là tâm hình vuông ABCD Tớnh gúc tạo bởi a/ SD và (ABCD) b/ SC và (SAB) c/ SB và (SAC)
S
B
A
D
C O
Trang 8TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
SA AC SAC
SB là đường xiên cĩ hình chiếu trên (SAC) là SO
(SB SAC,( )) ( SB SO, )OSB
Xét tam giác SBO vuơng tại O
a OB
Giải:
Nhận xét:Ta cần xác định gĩc 300 là gĩc giữa SO với mặt phẳng (SCD)
SO và (SCD)cĩ điểm chung là S, chọn điểm O
Từ B ta tìm đường vuơng gĩc với mặt phẳng (SAC)
Từ O ta khơng cĩ các đoạn xiên bằng nhau nên ta cần tìm một mặt
phẳng chứa O và vuơng gĩc với (SCD)
Gọi K là trung điểm CD
SO OK SOK
CD(SCD) (SOK)(SCD)
(SOK)(SCD)SK
Kẻ OH SK OH (SCD)
SO là đường xiên cĩ hình chiếu trên (SCD) là SH
(SO SCD,( )) ( SO SH, )OSH 300
Vậy
SABCD ABCD
Dạng 2:Vẽ mặt phẳng thỏa điều kiện về song song hay vuơng gĩc
Trong dạng tốn này ta chỉ cần nắm vững một dạng cơ bản là vẽ mặt phẳng ( ) qua M và ( ) // a , ( ) // b , các dạng khác ta đều đưa về dạng cơ bản để vẽ Phương pháp này giúp học sinh học tốt hơn vì khơng cần phải nhớ nhiều, ngồi ra dạng cơ bản được hình thành từ một định lý rất quen thuộc với các em
Ví dụ 5: Cho h×nh chãp đều S.ABCD cã đường cao SO = h, tạo với mặt bên
(SCD) một gĩc 300 Tính thể tích khối chĩp S.ABCD
S
A
B
C
D
H
Trang 9TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẫN KINH NGHIỆM
trong bài đường thẳng song song với mặt phẳng , đú là định lý “ Nếu một đường thẳng a song song với
một mặt phẳng (P) thỡ bất kỳ mặt phẳng (Q) nào chứa a và cắt (P) theo một giao tuyến b thỡ b//a”
Dạng cơ bản: Veừ maởt phaỳng ( ) qua M vaứ ( ) // a , ( ) // b tỡm thieỏt dieọn ?
Phương phỏp: +Choùn maởt phaỳng ()qua M vaứ ()chửựa ủửụứng thaỳng a
( ) ( ) c.Vaọy a// c
+ laứm tửụng tửù cho ủửụứng thaỳng b
Giải: Nhận xột:Để vẽ được mặt phẳng (P) trước hết ta chọn một mặt phẳng chứa M và AB
hoặc SC, ở đõy ta thấy mặt phẳng (ABCD) thỏa điều kiện chứa M và AB , nờn ta sử dụng (P)//AB
a/Chứng minh MQ//SD
*
//
P AB
Nhận xột:Lỳc này ta cú hai điểm M, N nằm trong (P), tiếp tục ta chọn một mặt phẳng chứa
M hay N và chứa AB hoặc SC, ở đõy ta thấy mặt phẳng (SBC) thỏa điều kiện chứa N và SC , nờn ta sử dụng (P)//SC
*
//
P SC
Nhận xột:Lỳc này ta cú ba điểm M, N,P nằm trong (P),
tiếp tục ta chọn một mặt phẳng chứa một trong ba điểm M, N,
P và chứa AB hoặc SC, ở đõy ta thấy mặt phẳng (SAB) thỏa
điều kiện chứa P và AB , nờn ta sử dụng (P)//AB
*
//
P AB
P SCD MQ
Bõy giờ ta chứng minh MQ//SD
//
MN AB
MN CD
AB CD
Vớ duù 1: Cho hình chóp S.ABCD cú đáy ABCD là hình vuông cạnh a; mặt bên
SAB là tam giác đều; SC = SD = a 3 M là điểm trên cạnh AD Mặt phẳng
(BCD)P)qua M song song với AB và SC cắt BC , SB, SA lần lượt tại tại N, P, Q
a/Chứng minh MQ//SD
b/ Tứ giỏc MNPQ hỡnh gỡ?
c/ Đặt AM = x 0 x a Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x Tìm x để
diện tích này nhỏ nhất
S
A
B
C
D M
N P
Q
Trang 10TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
Mà
//
,
NP SC
SC CD SCD
Ta lại có
MQ SD
b/ Tứ giác MNPQ hình gì?
//
PQ AB
MN PQ
MN AB
Mặt khác SC = SD nên
//
, //
//
SCD SDC
SD MQ
SC NP
MN CD
Vậy tứ giác MNPQ là hình thang cân
c/ Tính diện tích MNPQ?
2
MNPQ
MN PQ
S QK với QK là đường cao của hình thang MNPQ
Ta có MN = AB = a
Xét tam giác SBC có NP//SC nên NP BN
SC BC
Xét hình vuông ABCD có MN//AB nên BN AM
BC AD
Suy ra NP AM NP SC AM. x 3
Xét tam giác SAB có PQ//AB nên PQ SQ
AB SA
Xét tam giác SAD có MQ//SD nên SQ DM
SA DA
Suy ra PQ DM PQ AB DM. a x
Kẻ đường cao QK của hình thang MNPQ, ta có MK =
MN PQ x
Xét tam giác MQK : QK = 2 2 11
2
x
Vậy 2 11
4
MNPQ
a x x
*/ Tìm x để diện tích MNPQ là nhỏ nhất ?
Ta có 0 x a 2a x 0
Trang 11TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
Theo bất đẳng thức Cơ Si ta cĩ
2 2 2
2
2
a x x
a x x a
4
MNPQ
a S
Dấu « = » xảy ra khi 2a – x = x x = a, khi đĩ M trùng D
V ấ n đề : Vẽ mặt phẳng ( ) qua M và ( )//()ø.tìm thiết diện ?
Phương pháp : + Sử dụng tính chất : //( )
) ( ) //(
) (
a
quay về dạng cơ bản
Giải :
a/ Do (P) //( SAB) nên (P)//SA, (P)//SB và (P)//AB
*
//
P AB
*
//
P SB
*
//
P SA
P SCD PQ
Vì MN//AB, AB//CD nên MN//CD, suy ra
//
//
P CD
suy ra MN//PQ
Mặt khác
//
//
SA MQ
SA AB
Vậy tứ giác MNPQ là hình thang vuơng
b/ Tính diện tích MNPQ theo a và x
Ví dụ 2: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, AD
= 2a, tam giác SAB vuơng cân tại A.M là điểm trên cạnh AD sao cho AM = x
(0< x< a) Mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần
lượt tại N, P, Q
a/ Tứ giác MNPQ hình gí?
b/ Tính diện tích MNPQ theo a và x
S
A
B
C
D M
N P
Q
