yourbooks tom tat cac cong thuc toan lop 12 internet

đây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệu

TÓM TẮT GIẢI TÍCH 12

@ Bổ túc về đại số:

1 phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, x2 là nghiệm thì

ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2); =b2-4ac (’=b’2-ac với b’=b/2)

2 1,2

2

,

1

nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0 thì x1=1; x2= -c/a;

S=x1+x2= - b/a; P=x1.x2= c/a (đl Vieet)

0)(

02

0)(

02

sin- );

2sin(

cos

x x

1

x

2sin

1cotg

1 cấp số cộng: a,b,c,… d = c – b = b – a

cấp số nhân: a,b,c,…

a

b b

uv

'

uu

u ' (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu

(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu

(tgx)’ =

xcos

1

2 (tgu)’ =

ucos

'

u2(cotgx)’ =

xsin

12

 (cotgu)’ =

usin

'u2

(ex)’ = ex (eu)’ = u’eu

(ax)’ = ax.lna (au)’ = u’au.lna

(logax)’ =

aln

x

1

(logau)’ =

alnu

'u

II KHẢO SÁT HÀM SỐ:

1 Hàm bậc ba y = ax 3 +bx +cx+d: 2

 Miền xác định D=R

 Tính y’= 3ax2+2bx+c

 y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)

 tính y’’ tìm 1 điểm uốn

'

'

y

a y

'

'

y

a y

- để hs có cực trị trên D y’=0 có 2 n0 pb

- để hs không có cực trị y’=0 VN hoặc có nghiệm kép

- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị

- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị thì giá trị cựctrị là: yi=mxi+n

- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu

- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau  ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc  y’=0 có

2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox

- để hs có điểm uốn  y’’=0 có 2 n0 pb

- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb  >0; P>0; S>0

- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc  >0; P>0; S>0; x2 = 9x1 và sử dụng đlý Vieet

3 Hàm nhất biến

d cx

b ax y

bc ad y

 TCN y  a c vì y a c



lim

x e

dx

c bx ax y

e dx

p nx mx e

- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng

- có 2 cực trị hoặc không  y’= 0 có 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN

- nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là

d

b ax

y i 2 i 

và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị

- đthị cắt ox tại 2 điểm pb  ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm pb

* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS:

1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt)

@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0)  y=f(x)

tính: y’=

y’(x0)=

pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0

@ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước

ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm được y0 từ đó ta có pttt là:

thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k thế vào pttt d

ở trên

2/ Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và y= g(x)

+ ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm

+ bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m)

đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị

)()(

g x f

x g x f

d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng

m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x))

e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x0} thì

 tăng trên (,+) y’0; x0

 giảm trên (,+) y’0; x0

4 Cực trị:

* y = f(x) có cực trị  y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”0)

* y=f(x) có cực đại tại x0   

0'

0

0

x y

x y

* y=f(x) có cực tiểu tại x0  

0'

0

0

x y

x y

c bx ax y

Tính

 / /2

b x a

x g y





Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/ = 0 có hai nghiệm pb thuộc D

0 / / /

a

b g

III Hàm số mũ và logarit:

1 Công thức lũy thừa :

loga b = ca c =b ( 0< a1; b>0)

Với 0< a1, 0<b1; x, x1 , x2>0; R ta có: loga (x1 x2)=loga x1+loga x2 ; loga 2

1

x

x

= loga x1loga x2;

VI NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:

   Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)

1

2

7.  dx Cotgxc

x Sin2

ax a dx b ax

1

1

1.1

3.      Sinaxbc

a dx b ax

4.      Cosaxbc

a dx b ax

1

1

1

2

7.    e  c

a dx

a mx n mx n

ln

1

Các phương pháp tính tích phân:Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc

hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức

Phương pháp đổi biến số :

       

b a

x d x x

b t b x

b a

t F dt t f

dx I

int

a x

e x P

b a

x

.)

P( ) ( )

Phương pháp:

Đặt u = Ln(ax+b)  dx

b ax

2a Cos a

2

21



 (a < b)

Hoành độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0

Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn a; b thì:



b a

dx x f

)(

f ).( + 



b

dx x

a x

 

b a

b a

dx x f dx x f

z  với mọi z , z   0 z  0

 (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i

 (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i

 (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i



o Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : 1,2

2

b x

Nếu hai số z z1, 2 có tổng z1 z2  S và z z1 2  P thì z z1, 2 là nghiệm của phương trình :

HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12

I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG

1 Tam giác thường:

a) S = 1

ah

2 b) S = p(p a)(p b)(p c)    (Công thức Hê-rông)

c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)

2 Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = a 3

2 ; b) S =

2

a 3 4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

3 Tam giác vuông: a) S = 1

2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):

a) S = 1

2a

2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2

5 Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

b) BC = 2AB c) AC = a 3

2 d) S =

2

a 3 8

6 Tam giác cân: a) S = 1

ah

2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

8 Hình thoi: S = 1

2d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

9 Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2

10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

11 Đường tròn: a) C = 2R (R: bán kính đường tròn)

b) S = R2 (R: bán kính đường tròn)

VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

1 Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác

a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

N M

C B

A

60 o 30 o

C B

A

G

N M

C B

A

b) * BG = 2

3BN; * BG = 2GN; * GN =

1

3BN

2 Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm

3 Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau

Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)

Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2 Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Chân

đường cao trùng với tâm của đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

3 Đường thẳng d vuông góc với mp():

a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp() Tức là:

d a; d b

a b a,b

Nếu AH () thì d(A, ()) = AH (với H ())

IX KHỐI ĐA DIỆN:

1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)

2 Thể tích khối chóp: V = 1

Bh

3 (diện tích đáy là đa giác)

3 Tỉ số thể tích của khối chóp: S.A B C

A

 O H

A

d' d



5 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 1

Bh

3 (diện tích đáy là đường tròn)

6 Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2 Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

7 Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh =  R2h ( h: chiều cao khối trụ)

8 Diện tích của mặt cầu: S = 4 R2 (R: bk mặt cầu )

9 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 4 3

R

3  (R: bán kính mặt cầu)

PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN

2 2

1 1

b a

b a

b a

II TOẠ ĐỘ ĐIỂM:

Trog không gian Oxyz cho Ax A;y A;z A

C B

A G

C B

A G

C B

A G

z z

z z

y y

y y

x x

x x

4) G là trọng tâm tứ diện ABCD

D C

B A

G

D C

B A

G

D C

B A

G

z z

z z

z

y y

y y

y

X x

x x

z

k ky y

y

k kx x

x

B A

M

B A

M

B A

M

1 1

1

,1

2

z z

z

y y

y

x x

x

A I

B A

I

B A

3 ; ; ,

b a b a b a

b

2) Phương trình tổng quát của mp   có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0Với 2 2 2 0

Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng P.Pháp:

 Tìm VTPT nA;B;C và điểm đi quaM0x0;y0;z0

 Tính AB, AC

 Mp    AB Nên có VTPT là AB đi

qua I là trung điểm của AB

 Kết luận

Vấn Đề 5: Viết phương tình mp   đi qua

điểm M0x0;y0;z0 và song song với mặt

 Mp (P) có cặp VTCP là: AB và VTPT của (Q) là n Q

 Mp (P) có VTPT là nAB,nQvà qua A

* Phương trình mp   là: 1

0 0

y x x

Vấn Đề 8: Viết phương trình mp   đi qua điểm M0 và vuông góc với hai mặt phẳng (P)

 Mặt phẳng   : Mp tiếp diện có VTPT : IA

 Viết phương trình tổng quát

2 2

2 2

1 1

1 1

D z C y B x

A

D z C y B x

A

với A1 : B1 : C1 

A2 : B2 : C2

2) Phương trình

tham số của đường

thẳng đi qua điểm

z

t a y

y

t a x

x

3 0

2 0

1 0

0 1

0

a

z z a

y y a

2 2

2 2

1 1

1

1

D z C y B

x

A

D z C y B

từ phương trình chính tắc , ta có phương trình tổng quát:

0

2 0 1

0

a z z a

x x

a y y a

x x

 Rút gọn về dạng (1)

 Chú ý:

Viết phương trình tổng quát về phương trình tham số Hoặc chính tắc

- Có điểm thuộc đường thẳng

- Kết luận

 Vấn Đề 3: Viết ptr

đường thẳng  đi qua điểm

 0 0 0

0 x ;y ;z

vuông góc với mặt phẳng

 Vấn Đề 4: Viết

phương trình hình chiếu của d trên mp

 

P.Pháp:

Q P

 Vấn Đề 7: Viết

phương trình đường thẳng d  P cắt cả hai đường 1 và 2 P.Pháp:

 Gọi (P) là mặt phẳng chứa 1 và

(P) // d1

 Gọi (Q) là mặt phẳng chứa 2 và (Q) //

d1

 d   P  Q

 Phương trình đường thẳng d

Q P

 Vấn Đề 9: Viết

phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 P.Pháp:

 Gọi u1 và u2lần

VTCP là v Nên cóVTPT là

u v

nP  1, 

phương trình mặt

có một VTCP là v Nên có VTPT là

u v

nQ  2, 

phương trình mặt phẳng (Q)

 Phương trình đường vuông góc chung của 1

Q P

 Vấn Đề 10: Viết

phương trình đường thẳng d vuông góc (P)

và cắt hai đường thẳng 1 và 2

P.Pháp:

  là mặt phẳng chứa 1 và có một VTCP là n P

( VTPT của (P) )

  là mặt phẳng chứa 2 và có một VTCP là n P

P.Pháp:

 Gọi   là mặt phẳng đi qua M0 vàvuông góc 1

 Gọi   là mặt phẳng đi qua điểm M0 và chứa 2

 Gọi

 A    

 Gọi   là mặt phẳng điqua A và vuông góc với  Nên

  có VTPT là VTCP của

b ; c) Bán kính

d c b a

R 2  2  2 

 Vấn Đề 1: Viết

phương trình mặt cầu P.Pháp: Cần:

 Xác định tâm I(a ;

b ; c) của mặt cầu

 Bán kính R

 Viết phươngtrình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2+ (z-c)2 = R2

 Vấn Đề 2: Viết

phương trình mặt cầu đường kính AB P.Pháp: 

 Gọi I là trung điểm của AB Tính toạ độ I

=> I là tâm

2 B C

A

D Cz By

2 2

CI AI

BI AI

1) Khoảng cách giữa hai điểm AB

x B x A2 y B y A2 z B z A2

2) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0)đến mặt phẳng  

D Cz By Ax M

 Lấy M0 d

 Tìm VTCP của đường thẳng d là

u

u

u M M d

M

 ,

1 

4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và

/ /

,

, ,

u u

M M u u d

Gọi  là góc giữa hai

2 Góc giữa hai đường

3 3 2 2 1 1

.

.

b b b a a a

b a b a b a b

a

b a Cos



2 / 2 / 2 / 2 2 2

/ / /

C B A

CC BB AA Cos

2 2 2 2 2

2 B C . a b c A

Cc Bb Aa Sin

* Viết phương trình đường  về dạng

phương trình tham số

* Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta

được phương trình (  ) theo t

 Nếu ptr () vô nghiệm =>  không

cắt mặt cầu (S)

 Nếu ptr () có nghiệm kép =>  cắt

(S) tại một điểm

Nếu ptr () có hai nghiệm =>  cắt (S)

tại hai điểm Thế t = vào phương trình

tham số của  => Tọa độ giao điểm

 Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M/ đối xứng

 Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M/ đối

xứng của M0 qua đường thẳng d

 M/ là điểm đối xứng của M0 qua

đường thẳng d Nên H là trung điểm của

/ 0

/ 0

z z

z

y y

y

x x