đây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệuđây là tài liệu
www.tailieuthamkhao.edu.vn TĨM TẮT GIẢI TÍCH 12 @ Bổ túc đại số: phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, x2 nghiệm ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2); ∆=b2-4ac (∆’=b’2-ac với b’=b/2) −b± ∆ − b'± ∆' x1, = x1, = 2a a a+b+c=0 x1=1; x2=c/a; a-b+c=0 x1=1; x2= -c/a; S=x1+x2= - b/a; P=x1.x2= c/a (đl Vieet) tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c + ∆ a < + f ( x) > ⇔ + f ( x) < ⇔ ∆ < ∆ < ∆ > ∆ > + α < x1 < x ⇔ af (α ) > + x1 < x < α ⇔ af (α ) > S S −α > −α < 2 2 3 phương trình bậc ba: ax +bx +cx+d=0 a+b+c+d=0 x1=1; a-b+c-d=0 x1= -1; dùng Hoocner ax3+bx2+cx+d=(x-1)(ax2 + βx + γ) = với β=a+b; γ=β+c cơng thức lượng giác, cấp số lơgarit: π π cos x = sin( x + ); - sin x = cos( x + ); 2 cos x = (1 + cos x); 1 sin x = (1 − cos x) ; 1+tg2x= + cotg x = − 2 cos x sin x cấp số cộng: ÷a,b,c,… d = c – b = b – a c b q= = cấp số nhân: a,b,c,… b a I ĐẠO HÀM: Qui Tắc: (u ± v)’ = u’ ± v’ (u.v)’ = u’v + v’u ' u u' v − v' u = v2 v (ku)’ = ku’ (k:const) Cơng thức: (xn)’ = nxn-1 (un)’ = nun-1u’ ' ' u' 1 1 =− =− x u x u www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn ( x) ' = x (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx (tgx)’ = cos x ( u) ' = u' u (sinu)’ = u’cosu (cosu)’ = - u’sinu u' (tgu)’ = cos u u' (cotgx)’ = − (cotgu)’ = − sin x sin u x x u u (e )’ = e (e )’ = u’e x x (a )’ = a lna (au)’ = u’au.lna u' (lnx)’ = (lnu)’ = x u u' (logax)’ = (logau)’ = x ln a u ln a II KHẢO SÁT HÀM SỐ: Hàm bậc ba y = ax3+bx2+cx+d: • Miền xác định D=R • Tính y’= 3ax2+2bx+c • y' = tìm cực trị khơng (nếu có) • tính y’’ tìm điểm uốn • bảng biến thiên • điểm đặc biệt (2điểm) • đồ thị (đt) * Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: a > - để hs tăng D ⇔ y ' ≥ ⇔ ∆ y ' ≤ a < - để hs giảm D ⇔ y ' ≤ ⇔ ∆ y ' ≤ - để hs có cực trị D ⇔y’=0 có n0 pb - để hs khơng có cực trị ⇔y’=0 VN có nghiệm kép - hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng tiếp tuyến qua đthị - chia y cho y’ dư mx+n đthẳng y=mx+n đthẳng qua điểm cực trị, xi cực trị giá trị cực trị là: yi=mxi+n - đồ thị cắt ox điểm phân biệt hai giá trị cực trị trái dấu - đồ thị cắt ox điểm pb cách ⇔ ax3+bx2+cx+d=0 có nghiệm lập thành csc ⇔ y’=0 có nghiệm pb điểm uốn thuộc ox Hàm trùng phương y = ax4+bx2+c: • Miền xác định D=R • Tính y’ • y' = tìm 3cực trị cực trị • bảng biến thiên • điểm đặc biệt (2điểm) • đồ thị * Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương: - đt nhận oy làm trục đối xứng www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn để hs có (hoặc 1) cực trị D ⇔y’=0 có n0 pb (hoặc n0) để hs có điểm uốn ⇔ y’’=0 có n0 pb đồ thị cắt ox điểm pb ⇔ ∆>0; P>0; S>0 đồ thị cắt ox điểm pb lập thành csc ⇔ ∆>0; P>0; S>0; x2 = 9x1 sử dụng đlý Vieet ax + b Hàm biến y = cx + d • Miền xác định D=R\ { − d c } ad − bc • Tính y ' = ( cx + d ) (>0, 0; − 2a b ≤ α ; g(α)≤0 b/ g(x) = ax2+bx+c ≤ (α,+∞) ⇔ a h(x) (hoặc m giá trị lớn h(x) (m T.Hợp 1: Hàm số y = ax + bx2 + cx + d P.Pháp: Tập xác định D = R • Tính y/ Để hàm số có cực trị y/ = có hai n pb a ≠ ⇔ ∆〉 T.Hợp 2: Hàm số y = P.Pháp: Tập xác định ax + bx + c a/ x + b/ b / D =R \ / a www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn / Tính y = (a g( x ) / x +b/ ) ∆g / 〉0 ⇔ b/ g(− / ) ≠ a Để hàm số có cực đại cực tiểu y/ = có hai nghiệm pb thuộc D GTLN, GTNN: a Trên (a,b) • Tính y’ • Lập bảng biến thiên (a ; b ) • KL: max y = yCD , y = yCT ( a ;b ) ( a ;b ) b Trên [a;b] • Tính y’ • Giải pt y’ = tìm nghiệm x0 ∈ ( a; b ) • Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn M KL: max y = M [ a ;b ] y=m Chọn số nhỏ m , KL: [ a ;b ] III Hàm số mũ logarit: Cơng thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, n∈R ta có: anam =an+m ; an = a n −m ; m a ( =a−m ; an a0=1; a a−1= ); (an)m =anm ; n (ab)n=anbn; an a = ; bm b m a n = n am Cơng thức logarit: logab = c⇔ac=b ( 0< a≠1; b>0) Với 0< a≠1, 00; α∈R ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; logax1−logax2; α a log a x = x ; logax =α logax; log aα x = log a x ; (logaax=x); α logax= log b x ; (logab= ) log b a log b a logba.logax=logbx; alogbx=xlogba Phương trình mũ- lơgarít * Dạng ax= b ( a> , a ≠ ) b ≤ : pt vơ nghiệm x b>0 : a = b ⇔ x = log a b * Đưa số: Af(x) = Bg(x) ⇔ f(x) = g(x) * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x = b ( a> , a ≠ ) Điều kiện : x > log a x = b ⇔ x = a b • logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x) www.tailieuthamkhao.edu.vn x1 loga x = www.tailieuthamkhao.edu.vn • Đặt ẩn phụ; mũ hóa… Bất PT mũ – logarit: * Dạng ax > b ( a> , a ≠ ) b ≤ : Bpt có tập nghiệm R x b>0 : a > b ⇔ x > log a b , a>1 a x > b ⇔ x < log a b , < a < * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x > b ( a> , a ≠ , x>0 ) log a x > b ⇔ x > a b , a >1 log a x > b ⇔ x < a b , < x < • Đặt ẩn phụ; mũ hóa… VI NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: ΙΙΙ Định nghĩa: F(x) đgl ngun hàm hàm số y=f(x) khoảng (a;b) ⇔ F / ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a; b ) Ngun hàm hàm số sơ cấp ∫ 1.dx = x + c ∝ ∫ x dx = ∫ x dx = ln x + c ∫ Cosx.dx = Sinx + c ∫ Sinx.dx = −Cosx + c 1 ∫ Cos ∫ Sin x x ∝ +1 + c( ∝≠ −1) ∝ +1 dx = tgx + c dx = −Cotgx + c x x x ∫ e dx = e + c ax ∫ a dx = +c ln a x Ngun hàm hàm số thường gặp: ∝ +1 ( ax + b ) α ∫ ( ax + b ) dx = +c a ∝ +1 1 ∫ ax + b dx = a ln ax + b + c Cos ( ax + b ) dx = Sin( ax + b ) + c ∫ a ∫ Sin( ax + b ) dx = − Cos( ax + b ) + c a www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn 1 ∫ Cos ( ax + b ) dx = a tg( ax + b ) + c ∫ Sin ( ax + b ) dx = − a Cotg( ax + b ) + c 1 dx = e ax + b + c a a mx + n mx + n ∫ a dx = +c m ln a ∫e ax + b Các phương pháp tính tích phân:Tích phân tích, thương phải đưa tích phân tổng hiệu cách nhân phân phối chia đa thức Phương pháp đổi biến số : b A = ∫ f [ ϕ( x ) ].ϕ / ( x ) d ( x ) a P.Pháp: Đặt : t = ϕ( x ) ⇒ dt = ϕ / ( x ) d ( x ) x = b ⇒ t = ϕ( b ) Đổi cận: x = a ⇒ t = ϕ( a ) Do đó: A = ϕ( b ) ∫( ) f ( t ) dt = [ F ( t ) ] ϕ a ϕ( b ) ϕ( a ) Các dạng đặc biệt bản: dx a + x a I =∫ P.Pháp: Đặt: x = a.tgt • ⇒ dx = • π π − 〈t〈 2 a dt = a(1 + tg t ).dt Cos t Đổi cận: a 2 2.Tính J = ∫ a − x dx P.Pháp: • π π ≤t≤ 2 ⇒ dx = a.Cost.dt Đặt x = a.S int − • Đổi cận Phương pháp tính tích phân phần Loại 1: Có dạng: e x b A= ∫ P( x). Sinx .dx a Cosx www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn Trong P(x)là hàm đa thức Phương pháp: ⇒ du = P(x).dx Đặt u = P(x) ex ∫ dv = ∫ Sinx dx ⇒ v = Cosx ∫ Áp dụng cơng thức tích phân phần b A = [ u.v] a − ∫ v.du b a b Loại 2: B = ∫ P ( x ).Ln(ax + b).dx a Phương pháp: Đặt u = Ln(ax+b) dv = P(x).dx ⇒ du = ⇒ v = [ u.v] Áp dụng: B = a dx ax + b b b a − ∫ v.du a -Dạng : A = ∫ Sin n x.dx B = ∫ Cos n x.dx Hay Nếu n chẵn: Áp dụng cơng thức Sin a = − Cos2a ; Cos a = + Cos2a 2 Nếu n lẻ: A = ∫ Sin n−1 x.Sinx.dx Đặt t = Cosx (Đổi sin n −1 x thành Cosx ) Dạng : A = ∫ tg m x.dx Hay B = ∫ Cotg m x.dx PP:Đặt tg làm thừa số Thay tg = −1 Cos x IV Diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn (c): y = f(x) hai đường x = a; x = b: P.Pháp: DTHP cần tìm là: b S = ∫ f ( x ) dx (a < b) a • Hồnh độ giao điểm (c) tục ox nghiệm phương trình: f(x) = www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn ΣNếu p.trình f(x) = vơ nghiệm Hoặc có nghiệm khơng thuộc đoạn [ a; b] thì: S= b ∫ f ( x ).dx a ΣNếu p.trình f(x) = có nghiệm thuộc đoạn [ a; b] Giả sử x = α , x = β β α b S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx a S= α β α β b a α β ∫ f ( x ).dx + ∫ f ( x ).dx + ∫ f ( x ).dx Diện tích hình phẳng giới hạn (c): y =f(x) trục hồnh: P.Pháp: x = a x = b ♦ HĐGĐ (c) trục hồnh nghiệm phương trình: f(x) = ⇔ b S = ∫ f ( x ) dx = a b ∫ f ( x ).dx a Diện tích hình phẳng giới hạn đường (c ): y = f(x) và(c ): y = g(x) hai đường x = a; x = b: P.Pháp b • DTHP cần tìm là: S = ∫ f ( x ) − g( x ) dx a • HĐGĐ hai đường (c1) (c2) nghiệm p.trình: f(x) – g(x) = Lập luận giống phần số V Thể tích vật thể: Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox y = f(x) liên tục đoạn [ a; b] Khi (H) quay quanh trục ox tạo vật thể tích: b V = π.∫ [ f ( x )] dx a Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy x = g(x) liên tục đoạn [ a; b] Khi (H) quay quanh trục oy tạo vật thể tích: b V = π.∫ [ g( y )] dy a IV SỐ PHỨC: • Số i : i2 = -1 • Số phức dạng : z = a + bi ; a,b∈R • Modun số phức : z = a + b • Số phức liên hợp z = a + bi z = a − bi z = z ; z + z ' = z + z ' ; z.z ' = z.z ' ; z′ z ′ ÷= z z www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn z ≥ với z ∈£ , z = ⇔ z = z = z ; zz′ = z z′ ; z′ z′ = ; z + z′ ≤ z + z′ z z z số thực ⇔ z = z ; z số ảo ⇔ z = − z • • • • • a = c a+ bi = c + di ⇔ b = d (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i a + bi ( a + bi ) ( c − di ) = c + di c2 + d Ta có: i1 = i, i = −1, i = −i, i = i n = 1, i n +1 = i, i n +2 = −1, i n+3 = −i (1+ i) = 2i ; ( − i ) = −2i Các bậc hai số thực a < : ±i a Xét phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = ( a khác ; a, b, c ∈ R ) Đặt ∆ = b − 4ac −b 2a −b ± ∆ o Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm thực : x1,2 = 2a −b ± i ∆ o Nếu ∆ < phương trình có hai nghiệm phức : x1,2 = 2a o Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép(thực) : x = Định lý Viet : z1 , z2 : Nếu phương trình bậc hai az + bz + c = ( a, b, c ∈ £ , a ≠ ) có hai nghiệm www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn z1 + z2 = − b c z1 z2 = a a Định lý đảo định lý Viet : Nếu hai số z1 , z2 có tổng z1 + z2 = S z1 z2 = P z1 , z2 nghiệm phương trình : z − Sz + P = HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 12 I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VNG AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) cos α = (KỀ chia HUYỀN) BC BC A AB AC tan α = (ĐỐI chia KỀ) cot α = (KỀ chia ĐỐI) AC AB sin α = II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG B www.tailieuthamkhao.edu.vn α H C www.tailieuthamkhao.edu.vn BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2 AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH 1 = + 2 AH AB AC2 III ĐỊNH LÍ CƠSIN a2 = b2 + c2 – 2bccosA c2 = a2 + b2 – 2abcosC a b c = = = 2R sin A sin B sin C IV ĐỊNH LÍ SIN V ĐỊNH LÍ TALET a) b2 = a2 + c2 – 2accosB A MN // BC AM AN MN = = ; AB AC BC b) N M AM AN = MB NC B C VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG Tam giác thường: a) S = ah b) S = p(p − a)(p − b)(p − c) (Cơng thức Hê-rơng) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) Tam giác cạnh a: a) Đường cao: h = a ; b) S = a2 c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Tam giác vng: a) S = ab (a, b cạnh góc vng) b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền Tam giác vng cân (nửa hình vng): a) S = a (2 cạnh góc vng nhau) b) Cạnh huyền a Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vng có góc 30o 60o b) BC = 2AB c) AC = a d) S = a2 Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) A B 60 o 30 o C b) Đường cao hạ từ đỉnh đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Hình chữ nhật: S = ab (a, b kích thước) Hình thoi: S= d1.d2 (d1, d2 đường chéo) Hình vng: a) S = a2 b) Đường chéo a 10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11 Đường tròn: a) C = π R (R: bán kính đường tròn) b) S = π R2 (R: bán kính đường tròn) VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC Đường trung tuyến: G: trọng tâm tam giác A N M www.tailieuthamkhao.edu.vn B G P C www.tailieuthamkhao.edu.vn a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN 3 Đường cao: Giao điểm của đường cao tam giác gọi trực tâm Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Hình tứ diện đều: Có mặt tam giác Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Hình chóp đều: Có đáy đa giác Có mặt bên tam giác cân Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Đường thẳng d vng góc với mp( α ): d ⊥ a; d ⊥ b ⇒ d ⊥ (α ) a) Đt d vng góc với đt cắt nằm mp( α ) Tức là: a ∩ b a,b ⊂ α (α) ⊥ (β) b) (α) ∩ (β) = a ⇒ d ⊥ ( α ) d a ⊥ d ⊂ (β) A c) Đt d vng góc với mp( α ) d vng góc với đt nằm mp( α ) Góc ϕ đt d mp( α ): d cắt ( α ) O A∈ d O ϕ AH ⊥ (α) d' ˆ =ϕ Nếu góc d ( α ) ϕ hay AOH H α H ∈ (α ) Góc mp( α ) mp( β ): (α) ∩ (β) = AB Nếu FM ⊥ AB;EM ⊥ AB EM ⊂ (α),FM ⊂ (β) ˆ =ϕ góc ( α ) ( β ) ϕ hay EMF β F E B ϕ M α A Khoảng cách từ điểm A đến mp( α ): Nếu AH ⊥ ( α ) d(A, ( α )) = AH (với H ∈ ( α )) IX KHỐI ĐA DIỆN: Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) Thể tích khối chóp: Bh (diện tích đáy đa giác) VS.A′B′C′ SA′ SB′ SC′ = VS.ABC SA SB SC Sxq = πRl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) V= Tỉ số thể tích khối chóp: Diện tích xq hình nón tròn xoay: www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn Thể tích khối nón tròn xoay: Diện tích xq hình trụ tròn xoay: Thể tích khối trụ tròn xoay: Diện tích mặt cầu: Thể tích khối nón tròn xoay: Bh (diện tích đáy đường tròn) Sxq = πRl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) V = Bh = πR h ( h: chiều cao khối trụ) S = πR (R: bk mặt cầu ) V = πR (R: bán kính mặt cầu) V= www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN x A +x B +x C x G = y + y A B +yC y G = z A +zB +zC zG = I CƠNG THỨC VECTƠ: ℵ Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho a = ( a1 ; a ; a3 ) b = ( b1 ; b2 ; b3 ) k ∈ R Ta có: 1) a ± b = ( a1 ± b1 ; a ± b2 ; a ± b3 ) 3) a.b = a1 b1 + a b2 + a b3 4) a = a12 + a 22 + a 32 2) ka = ( ka1 ; ka ; ka ) 4) G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = x A + x B + xC + X D x G = y + y B + yC + y D ⇔ y G = A z A + z B + zC + z D zG = 5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k Ta có: 5) Tích có hướng hai vectơ a b [a, b] = ab ba a a1 a1 a ; b3 b1 b1 b2 a, b = a b Sin a, b 6) ; [ ] ( ) a1 = b1 7) a = b ⇔ a = b a = b 8) a phương b ⇔ a , b = 9) a ⊥ a , b hay b ⊥ a , b 10) a , b , c đồng phẳng ⇔ a , b c = 11) a ⊥b ⇔ a1 b1 + a b + a b3 = x A −kx B x M = −k y A −ky B y M = −k z A −kz B z M = −k [ ] [ ] [ ] [ ] ↑ Ứng dụng vectơ: [ AB, AC ] • S ∆ABC = • VHộpABCD A B C D = AB, AD AA / • VTứdiệnABCD = / / / / [ [ ] 6) I trung điểm đoạn AB thì: xA + xB x I = y A + yB y I = z A + z2 z I = III MẶT PHẲNG: 1) Giả sử mp ( α ) có cặp VTCP : ] AB, AC AD a = ( a1 ; a ; a ) b = ( b1 ; b2 ; b3 ) II TOẠ ĐỘ ĐIỂM: Trog khơng gian Oxyz cho A( x A ; y A ; z A ) Nên có VTPT là: B( x B ; y B ; z B ) a a a a1 a1 a ; ; n = a, b = b b b b b1 b2 3 2) Phương trình tổng qt mp ( α ) có [ ] 1) AB = ( x B − x A ; y B − y A ; zB − z A ) 2) − x A ) + ( y B − y A ) + ( zB − z A ) 3) G trọng tâm ∆ABC , ta có: AB = ( xB 2 , k ≠1 dạng: Ax + By + Cz + D = www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn Với A + B + C ≠ ; n = ( A; B; C ) VTPT mp ( α ) 3) Phương trình mặt phẳng toạ độ: ♦ (Oxy) : z = ; (Ozy) : x = ♦ (Oxz) : y = 4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau: ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( α ) : A2 x + B2 y + C z + D = P.tr chùm mp xác định ( α ) ( α ) là: λ ( A1 x + B1 y + C1z + D1 ) + µ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = với λ2 + µ ≠ 5) Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng: Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng P.Pháp: • Tìm VTPT n = ( A; B; C ) điểm qua M ( x0 ; y ; z ) • dạng: [ ] Mp (ABC) có VTPT n = AB, AC qua A • Kết luận Vấn Đề 3: Viết phương trình mp ( α ) qua điểm A vng góc BC P.Pháp: Mp ( α ) ⊥ BC Nên có VTPT BC qua A Chú ý: • Trục Ox chứa i = ( 1;0;0 ) • Trục Oy chứa j = ( 0;1;0 ) Trục Oz chứa k = ( 0;0;1) Vấn Đề 4: Viết phương tình mp ( β ) mặt phẳng trung trực AB • / Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C P.Pháp: • Tính AB, AC • M ∈ ( β) ⇒ D • Kết luận Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) qua hai điểm A, B vng góc với mp (Q) P.Pháp: • Mp (P) có cặp VTCP là: AB VTPT (Q) n Q A( x − x ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = • P.Pháp: • Mp ( β ) ⊥ AB Nên có VTPT AB qua I trung điểm AB • Kết luận Vấn Đề 5: Viết phương tình mp ( β ) qua điểm M ( x ; y ; z ) song song với mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = P.pháp: • ( β ) // ( α ) Nên phương trình ( β ) có dạng: Ax + By + Cz + D / = [ ] • Mp (P) có VTPT n = AB, n Q qua A • Kết luận Vấn Đề 7: Viết phương trình mp ( α ) qua điểm hình chiếu điểm M ( x ; y ; z ) trục toạ độ P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 hình chiếu điểm M Ox, Oy, Oz Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0) y x z + + =1 x0 y z0 * Phương trình mp ( α ) là: Vấn Đề 8: Viết phương trình mp ( α ) qua điểm M0 vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q) P.Pháp: (P) có VTPT n P • • • • (Q) có VTPT n Q [ ] Mp ( α ) có VTPT n P , n Q qua Mo Kết luận • ϑ Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) tiếp điểm A P.Pháp: • Xác định tâm I mặt cầu (S) www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn • • Mặt phẳng ( α ) : Mp tiếp diện có VTPT : IA Viết phương trình tổng qt www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn x − x0 y − y0 = a a2 x − x = z − z0 a1 a3 IV ĐƯỜNG THẲNG: ϑ Phương trình đường thẳng: 1) Phương trình tổng qt đường thẳng: A1 x + B1 y + C z + D1 = A2 x + B y + C z + D = với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 2) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M ( x ; y ; z ) có VTCP a ( a1 ; a ; a ) là: x = x + a1 t y = y + a t z = z + a t ( t ∈ R) 3) Phương trình tắc đường thẳng qua điểm M0 có VTCP: a ( a1 ; a ; a ) x − x y − y z − z0 = = a1 a2 a3 Với a12 + a 22 + a 32 ≠ Σ Qui ước: Nếu = x – x0 = ϑ Vấn Đề 1: Tìm VTCP đường thẳng tổng qt A1 x + B1 y + C z + D1 = ∆: A2 x + B y + C z + D = P.Pháp: B1C1 C1 A1 A1 B1 ; ; B C C A A B 2 2 ϑ Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ : P.Pháp: • Cần biết VTCP a = ( a1 ; a ; a ) điểm M ( x ; y ; z ) ∈ ∆ • Viết phương trình tham số theo cơng thức (2) • Viết phương trình tắc theo cơng thức (3) • Viết phương trình tổng qt từ phương trình tắc , ta có phương trình tổng qt: ∆ có VTCP : a = • Rút gọn dạng (1) Σ Chú ý: Viết phương trình tổng qt phương trình tham số Hoặc tắc Ta tìm: - VTCP u = ( a1 ; a ; a ) vấn đề 11 - Cho ẩn Hoặc giá trị Giải hệ tìm x, y => z - Có điểm thuộc đường thẳng - Kết luận ϑ Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng ∆ qua điểm M ( x ; y ; z ) vng góc với mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = P.Pháp: Mp ( α ) có VTPT n = ( A; B; C ) Đường thẳng ∆ qua điểm M0 có VTCP n • Viết phương trình tắc => Ptr tổng qt ϑ Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu d mp ( α ) P.Pháp: • Gọi d/ hình chiếu d trê mp ( α ) • Gọi ( β ) mặt phẳng chứa d ( β ) ⊥( α ) • Nên ( β ) có cặp VTCP • VTCP d u d n α VTPT mặt phẳng ( α ) • • • • Mp ( β ) có VTPT n β = [ u d , n α ] Mp ( β ) qua điểm M0 ∈ d Viết phương trình tổng qt Mp ( β) ( α ) : ( β) : Phương trình đường thẳng d/: ϑ Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M ( x ; y ; z ) vng góc với hai đường ∆ ∆ P.Pháp: • ∆ có VTCP u1 • ∆ có VTCP u www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn d vng góc với ∆ ∆ Nên d có VTCP u d = [ u1 , u ] ϑ Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cắt hai đường ∆ ∆ P.Pháp: • Thay toạ độ A vào phương trình ∆ ∆ • ⇒ A ∉ ∆1 , A ∉ ∆ • Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A chứa ∆1 • Gọi (Q) mặt phẳng qua điểm A chứa • P.tr đường thẳng d: ∆2 ( P ) : ( Q ) : ϑ Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d ⊂ ( P ) cắt hai đường ∆ ∆ P.Pháp: • Gọi A = ∆ ∩ ( P ) • Gọi B = ∆ ∩ ( P ) • Đường thẳng đường thẳng AB ϑ Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng d // d1 cắt hai đường ∆ ∆ P.Pháp Gọi (P) mặt phẳng chứa ∆ (P) // d1 • • Gọi (Q) mặt phẳng chứa ∆ (Q) // d1 • d = ( P) ∩ (Q) • Phương trình đường thẳng d ( P ) : ( Q ) : ϑ Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo ∆ ∆ P.Pháp: • Gọi u1 u VTCP ∆ ∆ • Gọi v = [ u1 , u ] • Gọi (P) mặt phẳng chứa ∆ có VTCP v Nên có VTPT n P = [ u1 , v ] ⇒ phương trình mặt phẳng (P) • Gọi (Q) mặt phẳng chứa ∆ có VTCP v Nên có VTPT n Q = [ u , v ] ⇒ phương trình mặt phẳng (Q) • Phương trình đường vng góc chung ( P ) : ( Q ) : ∆ ∆ : ϑ Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d vng góc (P) cắt hai đường thẳng ∆ ∆2 P.Pháp: • Gọi ( α ) mặt phẳng chứa ∆ có VTCP n P ( VTPT (P) ) • Gọi ( β ) mặt phẳng chứa ∆ có VTCP n P ( VTPT (P) ) • Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β ) ϑ Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0 vng góc với đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆ P.Pháp: • Gọi ( α ) mặt phẳng qua M0 vng góc ∆ • Gọi ( β ) mặt phẳng qua điểm M0 chứa ∆2 • Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β ) ϑ Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm đường thẳng ∆ mặt phẳng ( α ) d ⊂ ( α ) , d⊥∆ P.Pháp: Gọi { A} = ∆ ∩ ( α ) Gọi ( β ) mặt phẳng qua A vng góc với ∆ Nên ( β ) có VTPT VTCP ∆ Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β ) V MẶT CẦU: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = với đk a2 + b2 + c2 –d > (S) có : Tâm I(a ; b ; c) Bán kính R = a + b + c − d ϑ Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu P.Pháp: Cần: • Xác định tâm I(a ; b ; c) mặt cầu • Bán kính R www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn • Viết phương trình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 ϑ Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB P.Pháp: • Gọi I trung điểm AB Tính toạ độ I => I tâm mặt cầu • Bán kính R = AB • Viết phương trình mặt cầu ϑ Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) tiếp xúc với ( α ) : Ax + By + Cz + D = P.Pháp: • Mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với ( α ) Nên có bán kính R = d ( I , ( α) ) • = Ax I + By I + Cz I + D A2 + B2 + C • Viết phương trình mặt cầu ϑ Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD P.Pháp: • Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = • A, B, C, D thuộc (S) Ta có hệ phương trình • Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D • Kết luận ϑ Vấn Đề 5: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng Oxy P.Pháp: • Gọi I(xI ; yI ; 0) tâm mặt cầu, I ∈ ( Oxy ) • 2 Ta có AI = BI = CI AI = BI • Ta có Hpt 2 AI = CI ⇒ IA = R • Giải Hpt ⇒ I • Kết luận VI KHOẢNG CÁCH: 1) Khoảng cách hai điểm AB AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( zB − z A ) 2 2) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = Ax + By + Cz + D d ( M , ( α) ) = A2 + B2 + C 3) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d • Lấy M0 ∈ d • Tìm VTCP đường thẳng d u d ( M1 , d ) = [M M , u] u 4) Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ ∆/ • Gọi u u / VTCP ∆ ∆/ ∆ qua điểm M0 , M 0/ ∈ ∆/ u , u / M M 0/ d ( ∆ , ∆/ ) = u, u / • [ ] [ ] VII.GĨC: Góc hai vectơ a Gọi ϕ góc hai vectơ a.b Cosϕ = = a.b b a b a1 b1 + a b2 + a b3 a12 + a 22 + a 32 b12 + b22 + b32 Góc hai đường thẳng (a) (b) Gọi ϕ góc hai đường thẳng (a) (b) ( ≤ ϕ ≤ 90 ) Đường thẳng (a) (b) có VTCP : a = ( a1 , a , a ) b = ( b1 , b2 , b3 ) a.b Cosϕ = = a.b a1 b1 + a b2 + a b3 a12 + a 22 + a 32 b12 + b22 + b32 Đặc biệt: a⊥b ⇔ a.b = Góc hai mặt phẳng ( α ) ( α / ) ( α ) : Ax + By + Cz + D = ( α / ) : A/x + B/y + C/z + D/ = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( α ) ( α / ) www.tailieuthamkhao.edu.vn www.tailieuthamkhao.edu.vn Cosϕ = AA / + BB / + CC / A2 + B2 + C A/ + B/ + C / Góc đường thẳng (d) mặt phẳng ( α ) (d): có VTCP u = (a, b, c) ( α ) : Ax + By + Cz + D = Gọi ϕ góc nhọn (d) ( α ) Aa + Bb + Cc Sinϕ = A2 + B2 + C a2 + b2 + c2 Vị trí tương đối mp ( α ) mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R P.Pháp: • Tính d(I, ( α ) ) • Nếu d(I, ( α ) ) > R => ( α ) khơng cắt (S) • Nếu d(I, ( α ) ) = R => ( α ) tiếp xúc (S) • Nếu d(I, ( α ) ) < R => ( α ) cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có bán kính r = R − [ d( I , ( α) ) ] Gọi d/ đường thẳng qua tâm I d / ⊥( α ) Gọi { H } = d / ∩ ( α ) ⇒ H tâm đường tròn giao tuyến www.tailieuthamkhao.edu.vn Tọa độ giao điểm đường thẳng ∆ mặt cầu (S) P.Pháp: * Viết phương trình đường ∆ dạng phương trình tham số * Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta phương trình ( ) theo t ♦ Nếu ptr () vơ nghiệm => ∆ khơng cắt mặt cầu (S) ♦ Nếu ptr () có nghiệm kép => ∆ cắt (S) điểm Nếu ptr () có hai nghiệm => ∆ cắt (S) hai điểm Thế t = vào phương trình tham số ∆ => Tọa độ giao điểm ϑ Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M/ đối xứng M qua mặt phẳng ( α ) P.Pháp: • Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) điểm đối xứng M qua ( α ) • Gọi d đường thẳng qua M d⊥( α ) Nên d có VTCP n • Viết phương trình tham số d • Gọi { H } = d ∩ ( α ) • Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương ( d ) : => Tọa độ điểm H ( α ) : trình • Vì H trung điểm MM/ => Tọa độ điểm M/ ϑ Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng M0 qua đường thẳng d P.Pháp: Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M0 ( P ) ⊥d Nên (P) nhận VTCP d làm VTPT Gọi { H } = d ∩ ( P ) M/ điểm đối xứng M0 qua đường thẳng d Nên H trung điểm đoạn M0M/ x0 + x / x H = y0 + y / Ta có: y H = z0 + z / z = H => M/ 22 WWW.ToanCapBa.Net [...]... gúc gia hai vect a.b Cos = = a.b b a v b a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 a12 + a 22 + a 32 b12 + b22 + b32 2 Gúc gia hai ng thng (a) v (b) Gi l gúc gia hai ng thng (a) v (b) ( 0 90 ) 0 ng thng (a) v (b) cú VTCP ln lt l : a = ( a1 , a 2 , a 3 ) b = ( b1 , b2 , b3 ) a.b Cos = = a.b a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 a12 + a 22 + a 32 b12 + b22 + b32 c bit: ab a.b = 0 3 Gúc gia hai mt phng ( ) v ( /...www.tailieuthamkhao.edu.vn z1 + z2 = b c v z1 z2 = a a nh lý o ca nh lý Viet : Nu hai s z1 , z2 cú tng z1 + z2 = S v z1 z2 = P thỡ z1 , z2 l nghim ca phng trỡnh : z 2 Sz + P = 0 HèNH HC 12 CC KIN THC CN NH V HèNH HC GII TON HèNH HC 12 I T S GểC NHN TRONG TAM GIC VUễNG AB AC (I chia HUYN) 2 cos = (K chia HUYN) BC BC A AB AC 3 tan = (I chia K) 4 cot = (K chia I) AC AB 1 sin = II H THC LNG TRONG TAM GIC VUễNG... VTCP a ( a1 ; a 2 ; a 3 ) l: x = x 0 + a1 t y = y 0 + a 2 t z = z + a t 0 3 ( t R) 3) Phng trỡnh chớnh tc ca ng thng i qua im M0 cú VTCP: a ( a1 ; a 2 ; a 3 ) l x x 0 y y 0 z z0 = = a1 a2 a3 Vi a12 + a 22 + a 32 0 Qui c: Nu ai = 0 thỡ x x0 = 0 Vn 1: Tỡm VTCP ca ng thng tng quỏt A1 x + B1 y + C 1 z + D1 = 0 : A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 P.Phỏp: B1C1 C1 A1 A1 B1 ; ; B C C A A B 2... Rỳt gn v dng (1) Chỳ ý: Vit phng trỡnh tng quỏt v phng trỡnh tham s Hoc chớnh tc Ta tỡm: - VTCP u = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) bng vn 11 - Cho mt n bng 0 Hoc bng mt giỏ tr no ú Gii h tỡm x, y => z - Cú im thuc ng thng - Kt lun Vn 3: Vit ptr ng thng i qua im M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) v vuụng gúc vi mt phng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 P.Phỏp: Mp ( ) cú VTPT l n = ( A; B; C ) ng thng i qua im M0 v cú... 11: Vit phng trỡnh ng thng d i qua im M0 vuụng gúc vi ng thng 1 v ct ng thng 2 P.Phỏp: Gi ( ) l mt phng i qua M0 v vuụng gúc 1 Gi ( ) l mt phng i qua im M0 v cha 2 ng thng d = ( ) ( ) Vn 12: Vit phng trỡnh ng thng d i qua giao im ca ng thng v mt phng ( ) v d ( ) , d P.Phỏp: Gi { A} = ( ) Gi ( ) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi Nờn ( ) cú VTPT l VTCP ca ng thng d = ( ) (... = Ax I + By I + Cz I + D A2 + B2 + C 2 Vit phng trỡnh mt cu Vn 4: Vit phng trỡnh mt cu (S) ngoi tip t din ABCD P.Phỏp: Phng trỡnh mt cu (S) cú dng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = 0 A, B, C, D thuc (S) Ta cú h phng trỡnh Gii h phng trỡnh tỡm A, B, C, D Kt lun Vn 5: Lp phng trỡnh mt cu i qua ba im A, B, C cú tõm nm trờn mt phng Oxy P.Phỏp: Gi I(xI ; yI ; 0) l tõm ca mt cu, I ( Oxy ) 2... I CễNG THC VECT: Trong khụng gian vi h trc Oxyz cho a = ( a1 ; a 2 ; a3 ) b = ( b1 ; b2 ; b3 ) v k R Ta cú: 1) a b = ( a1 b1 ; a 2 b2 ; a 3 b3 ) 3) a.b = a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 4) a = a12 + a 22 + a 32 2) ka = ( ka1 ; ka 2 ; ka 3 ) 4) G l trng tõm t din ABCD GA + GB + GC + GD = 0 x A + x B + xC + X D x G = 4 y + y B + yC + y D y G = A 4 z A + z B + zC + z D zG = 4 5) im M chia... P ) d Nờn (P) nhn VTCP ca d lm VTPT Gi { H } = d ( P ) M/ l im i xng ca M0 qua ng thng d Nờn H l trung im ca on M0M/ x0 + x / x H = 2 y0 + y / Ta cú: y H = 2 z0 + z / z = H 2 => M/ 22 WWW.ToanCapBa.Net ... = S z1 z2 = P z1 , z2 nghiệm phương trình : z − Sz + P = HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 12 I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VNG AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) cos α... hai vectơ a Gọi ϕ góc hai vectơ a.b Cosϕ = = a.b b a b a1 b1 + a b2 + a b3 a12 + a 22 + a 32 b12 + b22 + b32 Góc hai đường thẳng (a) (b) Gọi ϕ góc hai đường thẳng (a) (b) ( ≤ ϕ ≤ 90... a = ( a1 , a , a ) b = ( b1 , b2 , b3 ) a.b Cosϕ = = a.b a1 b1 + a b2 + a b3 a12 + a 22 + a 32 b12 + b22 + b32 Đặc biệt: a⊥b ⇔ a.b = Góc hai mặt phẳng ( α ) ( α / ) ( α ) : Ax +