S6 CHUYÊN đề 5 CHỦ đề 2 số NGUYÊN tố, hợp số

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ ĐỂ TÌM SỐ NGUN TỐ PHẦN I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1,chỉ có ước -Số ngun tố nhỏ vừa số nguyên tố chẵn số -Không thể giới hạn số nguyên tố tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố vô hạn -Khi số nguyên tố nhân với tích chúng khơng số phương -Ước tự nhiên nhỏ khác số tự nhiên coi số nguyên tố -Để kết luận số tự nhiên a số nguyên tố ( a  ),chỉ cần chứng minh a không chia hết cho số nguyên tố mà bình phương khơng vượt q a a Mp ab Mp    b Mp (p số nguyên tố) -Nếu tích n -Đặc biệt a Mp  a Mp (p số nguyên tố) * -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 4n  1(n  N ) * -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 6n  1(n  N ) -Hai số nguyên tố sinh đôi hai số nguyên tố đơn vị PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm số nguyên tố để hay nhiều biểu thức đồng thời số nguyên tố I Phương pháp giải -Dựa vào dấu hiệu chia hết tính chất số nguyên tố ,hợp số, để giải toán chứng minh giải thích - Trong n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n - Nắm tính chất đặc trưng số nguyên tố để giải toán II Bài toán Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố a, p  10, p  14 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ b, p  2, p  6, p  8, p  12, p  14 Lời giải: a, - Với p   p   hợp số, nên p  không thỏa mãn đề - Với p   p  10  13, p  14  17 số nguyên tố Do p  thỏa mãn đề p  3k  2,  k  N  - Với p  , p số nguyên tố nên p có dạng p  3k  hợp số  p  3k  không thỏa mãn đề + Nếu p  3k   p  14  3k  15  3(k  5) M hợp số  p  3k  không thỏa mãn đề + Nếu p  3k   p  10  3k  12  3(k  4) M Vậy p  p  10, p  14 số nguyên tố b, - Với p   p   hợp số, nên p  không thỏa mãn đề - Với p   p   hợp số, nên p  không thỏa mãn đề - Với p   p   7, p   11, p   13, p  12  17, p  14  19 số nguyên tố, nên p  thỏa mãn đề * - Với p  p số nguyên tố nên nên p có dạng 5k  1,5k  2,5k  3,5k  4, (k  N ) + Nếu p  5k   p  14  5k  15M5 hợp số  p  5k  không thỏa mãn đề + Nếu p  5k   p   5k  10M5 hợp số  p  5k  không thỏa mãn đề + Nếu p  5k   p  12  5k  15M5 hợp số  p  5k  không thỏa mãn đề + Nếu p  5k   p   5k  10M5 hợp số  p  5k  không thỏa mãn đề Vậy p  p  2, p  6, p  8, p  12, p  14 số nguyên tố Bài 2: Tìm số lẻ liên tiếp số nguyên tố Lời giải: * Gọi số lẻ liên tiếp là: 2k  1, 2k  3, 2k  5(k  N ) Trong số lẻ liên tiếp ln có số chia hết cho 3  kM mà 2k  số nguyên tố Mà không số nguyên tố nên - Nếu 2k  3M3  2k M TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ  2(k  1) M  (k  1) M Mà 2k  số nguyên tố  k  1 trái với điều - Nếu 2k  5M3  2k  M kiện  2k   (vì 2k  số nguyên tố)  k   2k   5; 2k   số - Nếu 2k  1M nguyên tố  k  thỏa mãn đề Vậy số tự nhiên lẻ cần tìm 3, 5, Bài 3: Tìm số nguyên tố p cho p vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố Lời giải: Giả sử p số nguyên tố cần tìm ta có p  p1  p  p3  p ( p1 , p , p3 , p số nguyên tố p3  p ) Để p số ngun tố p1 , p có hai số số chẵn p3 , p có hai số số chẵn Giả sử p1  p2  p  p  Ta có: p  p 2  p3   p3  p1  Ta thấy p1 , p1  2, p1  số nguyên tố lẻ liên tiếp Theo câu  p1   p  p1   Thử lại: p       Vậy số cần tìm Bài 4: Tìm k  N để dãy số k  1, k  2, , k  10 chứa nhiều số nguyên tố Lời giải: -Nếu k   Ta có dãy số 1; 2;3; ;10 có số nguyên tố 2;3;5;7  Có số nguyên tố -Nếu k   Ta có dãy số 2;3; 4; ;11 có số nguyên tố 2;3;5; 7;11  Có số nguyên tố -Nếu k   Ta có dãy số 3; 4;5; ;12 có số nguyên tố 3;5; 7;11  Có số nguyên tố -Nếu k   Dãy số k  1, k  2, , k  10 gồm số lớn bao gồm số lẻ liên tiếp sô chẵn liên tiếp TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vì số dãy lớn nên suy số chẵn liên tiếp hợp số số lẻ liên tiếp tồn số chia hết cho số hợp số Vậy k  giá trị cần tìm Bài 5: Tìm số nguyên tố p cho: p  94, p  1994 số nguyên tố Lời giải: - Với p  số nguyên tố nên p  94  96 hợp số Do p  khơng thỏa mãn đề - Với p  số nguyên tố  p  94  97, p  1994  1997 số nguyên tố Do p  thỏa mãn đề p  3k  2,  k  N , k   - Với p  , p số nguyên tố nên p có dạng p  3k  + Nếu p  3k   p  1994  3k   1994M3 hợp số  p  3k  không thỏa mãn đề + Nếu p  3k   p  94  3k   94M3 hợp số  p  3k  không thỏa mãn đề Vậy p  số nguyên tố cần tìm Bài 6: Tìm số nguyên tố p cho p  18, p  24, p  26, p  32 số nguyên tố Lời giải: - Với p  ta có p  94  96 hợp số  p  không thỏa mãn đề - Với p  ta có p  94  97, p  1994  1997 số nguyên tố, p  thỏa mãn đề p  3k  2,  k  N , k   - Với p  , p số nguyên tố nên p có dạng p  3k  hợp số  p  3k  không thỏa mãn đề + Nếu p  3k   p  1994  3k   1994M Nếu p  3k   p  94  3k   94M3 hợp số,  p  3k  khơng thỏa mãn đề + Vậy p  số nguyên tố cần tìm Bài 7: Tìm số nguyên tố p cho: p  2, p  8, p  16 số nguyên tố Lời giải: - Với p  số nguyên tố  p  94  96 hợp số  p  không thỏa mãn đề - Với p  số nguyên tố  p  94  97, p  1994  1997 số nguyên tố  p  thỏa mãn đề p  3k  2, k  N * - Với p  , p số nguyên tố nên p có dạng p  3k    + Nếu p  3k   p  1994  3k   1994M3 hợp số  p  3k  không thỏa mãn đề + Nếu p  3k   p  94  3k   94M3 hợp số,  p  3k  không thỏa mãn đề Vậy p  số ngun tố cần tìm TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 8: Tìm số nguyên tố p cho: a, p  1, p  số nguyên tố b, p  1, p  số nguyên tố Lời giải: a, - Với p   p   3, p   số nguyên tố  p  thỏa mãn đề - Với p   p   5, p   11 số nguyên tố  p  thỏa mãn đề   p  3k  2, k  N * - Với p  , p số nguyên tố nên p có dạng p  3k   p    3k  1   12 k  3M + Nếu p  3k  hợp số  p  3k  không thỏa mãn đề  p    3k     6k  3M + Nếu p  3k  hợp số nên  p  3k  không thỏa mãn đề Vậy p  p  số nguyên tố cần tìm b, - Với p  số nguyên tố  p   hợp số  p  không thỏa mãn đề - Với p  số nguyên tố  p   7, p   13 số nguyên tố  p  thỏa mãn đề p  3k  2, k  N * - Với p  , p số nguyên tố nên p có dạng p  3k     p    3k  1   6k  3M + Nếu p  3k  hợp số  p  3k  không thỏa mãn đề  p    3k     12k  9M + Nếu p  3k  hợp số nên  p  3k  không thỏa mãn đề Vậy p  số nguyên tố cần tìm Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n để n  , n  , n  , n  , n  13 , n  15 số nguyên tố Lời giải: n  n   hợp số Do n  khơng thỏa mãn đề n  n   hợp số Do n  khơng thỏa mãn đề n  n  13  15 hợp số Do n  khơng thỏa mãn đề n  n   hợp số Do n  không thỏa mãn đề - Với n  thì n   5, n   7, n   11, n   13, n  13  17, n  15  19 số nguyên tố Do n  thỏa mãn đề * - Với n  n có có dạng n  4k  1, n  4k  2, n  4k  3, (k  N ) - Với - Với - Với - Với + Với n  4k  n   4k  hợp số Do n  4k  không thỏa mãn + Với n  4k  n   4k  hợp số Do n  4k  khơng thỏa mãn + Với n  4k  n  13  4k   13  4k  15 hợp số Do n  4k  khơng thỏa mãn TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Do n  thỏa mãn đề Bài 10: Tìm tất số nguyên tố p , q cho p  q pq  11 số nguyên tố Lời giải: Nếu pq  11 số nguyên tố phải số lẻ số ngun tố lớn Suy pq số chẵn, số p q Giả sử p   p  q  14  q số nguyên tố + Nếu q   p  q  7.2   16 hợp số,  p  2, q  không thỏa mãn + Nếu q   p.q  11  2.3  11  17 p  q  7.2   17 số nguyên tố,  p  2, q  thỏa mãn đề   q  3k  2, k  N * q  q q  k  + Nếu , số nguyên tố nên có dạng  q  3k  không thỏa mãn q  k   p  q  14  k  M + Với hợp số q  3k   pq  11  2q  11   3k    11  6k  15M + Với hợp số  q  3k  không thỏa mãn Vậy p  2, q  Xét tiếp TH q  làm tương tự ta p  Vậy p  2, q  p  3, q  Bài 11: Tìm số nguyên tố p cho p  số nguyên tố Lời giải: - Nhận thấy p  số nguyên tố, p   17 số nguyên tố p  2k  1,  k  N *  - Với p  p số nguyên tố p có dạng p  2k   p    2k  1   10k  12M2 Nếu hợp số, nên p  2k  không thỏa mãn Vậy p  số nguyên tố cần tìm Bài 12: Ta gọi p, q hai số tự nhiên liên tiếp, p q khơng có số nguyên tố khác Tìm số 2 nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p  q  r số nguyên tố Lời giải: 2 Nếu số nguyên tố p, q, r khác p, q, r có dạng 3k  suy p  q  r chia cho dư 2 2 2 2 Khi p  q  r M3 p  q  r  nên p  q  r hợp số Vậy p  3, q  5, r  , p  q  r  32  52   83 số nguyên tố Bài 13: Tìm số nguyên tố a cho 6a  13 số nguyên tố 25  6a  13  45 Lời giải: Ta có : Từ 25 đến 45 có số nguyên tố : 29;31;37; 41; 43 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Nên ta có bảng sau : 6a  13 29 31 37 41 43 14 a 3 Mà a số nguyên tố nên a  a  Vậy a  a  Bài 14: Tìm số nguyên tố a, b, c cho a.b.c  3(a  b  c) Lời giải: Vì a.b.c  3(a  b  c )  abc M3 Giả sử aM3 , a số nguyên tố  a  Ta có 3.b.c  3(3  b  c )  bc   b  c  bc  b   c  b(c  1)   c  b(c  1)   (c  1)  (b  1)(c  1)   (b, c)   (3,3);(2,5) Vậy (a, b, c)   (3,3,3); (2,3,5) Bài 15: Ta gọi p, q số nguyên tố liên tiếp p q khơng có số nguyên tố khác.Tìm số 2 nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p  q  r số nguyên tố Lời giải: +Nếu p, q, r khác mà p, q, r số nguyên tố  p, q, r chia dư dư ( hay dư -1 )  p ,q , r chia dư  p  q  r chia hết cho Vậy tồn số 2 + TH1: Bộ số p, q, r tương ứng là: 2;3;5 Khi    38 hợp số Do ba số khơng thỏa mãn TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 2 + TH2: Bộ số p, q, r tương ứng là: 3;5; Khi    83 số nguyên tố Do ba số thỏa mãn đề Vậy số nguyên tố liên tiếp cần tìm là: 3, 5, q p Bài 16: Tìm số nguyên tố p, q, r cho: p  q  r Lời giải: q p Vì p  q   r   r số lẻ ( r số nguyên tố )  p q , q p có số lẻ số chẵn q q Giả sử p số chẵn  p chẵn  p  ( p số nguyên tố )   q  r + Nếu q   q  1(mod 3)  q  1(mod 3) q p Mặt khác q số lẻ   (1)  1(mod 3)  2q  q  0(mod 3)  2q  q M3  r M3  r  ( Vì r số nguyên tố )  2q  q  ( Loại q số nguyên tố nên q   r  ) +Nếu q   r    17 số nguyên tố ( Thỏa mãn ) Vậy (p, q, r)   (2, 3,17);(3, 2,17) Bài 17: Tìm tất ba số nguyên tố liên tiếp cho tổng bình phương ba số số nguyên tố Lời giải: Gọi ba số nguyên tố liên tiếp p,s, r, (p  s  r) 2 2 2 Nếu p,s,r không chia hết cho p ,s , r chia dư  p  s  r M 2 2 2 Mà p  s  r  nên p  s  r hợp số ( Trái với GT, loại ) Do có số p,s,r chia hết cho + Nếu p  s  3, r  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 2 2 2 Khi p  s  r     83 số nguyên tố ( Thỏa mãn ) + Nếu s  p  2, r  2 2 2 Khi p  s  r     28 không số nguyên tố ( Trái với GT, loại ) +Nếu r  s  2;p  (Vơ lí p số ngun tố, loại ) Vậy số nguyên tố cần tìm : 3;5;7 Bài 18: Tìm tất ba số a,b,c cho abc  ab  bc  ac Lời giải: Vì a,b,c có vai trị nên giả sử a  b  c ab  bc  ac  3bc  abc  3bc  a   a  a số nguyên tố Với a  ta có 2bc  2b  2c  bc  bc  2(b  c)  4c b  b4   b  ( p số nguyên tố ) + Nếu b  4c   4c thỏa mãn với c số nguyên tố + Nếu b  6c   5c  c   c   3;5 Vậy cặp số (a,b,c) cần tìm (2, 2,p);(2,3,3);(2,3,5) hốn vị chúng, với p số nguyên tố Bài 19: Tìm tất số tự nhiên n để : a, n  12n số nguyên tố n b,  số nguyên tố Lời giải: a, Ta có : n  12n  n  n  12  , Vì n  12   n  n  12  có thêm ước n n  12 n  n  12  số nguyên tố n   n  12n  13 số nguyên tố  n  thỏa mãn đề n b, Nếu n     số nguyên tố Để TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ n Nếu n    6M3 hợp số n0 Vậy Bài 20: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r Tìm r biết r không số nguyên tố Lời giải: * Gọi số nguyên tố p ( p  N ) * * Ta có: p  30k  r  2.3.5.k  r(k  N , r  N ,  r  30) Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,5 Số nguyên dương không số nguyên tố nhỏ 30 khơng chia hết cho 2, 3,5 có số Vậy r  Bài 21: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r Tìm r biết r hợp số Lời giải: * Gọi số nguyên tố p ( p  N ) Ta có: p  42k  r  2.3.7.k  r(k  N* , r  N* ,  r  42) Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2, 3, Số nguyên dương hợp số nhỏ 42 khơng chia hết cho 2, 3, có số 25 Vậy r  25 Bài 22: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số ngun tố chẵn 2, cịn 24 số nguyên tố lại số nguyên tố lẻ Do tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn p Bài 23: Tìm tất số nguyên tố p để  p số nguyên tố Lời giải: p 2 Với p  ta có  p    không số nguyên tố p Với p  ta có  p    17 số nguyên tố TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p p Với p  ta có p   ( p  1)  (2  1) Vì p lẻ p không chia hết ( p  1) M3 (2 p  1)M , p  p hợp số Vậy với p  p  p số nguyên tố Dạng : Các toán chứng minh số nguyên tố n n Bài 24: Chứng minh với n  N , n   1,  khơng thể đồng thời số nguyên tố Lời giải: n n n Xét dãy số:  1;2 ;2  số tự nhiên liên tiếp n Vì (2,3)   (2 ,3)  Vì dãy số:  1;2 ;  số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho n n n Mà (2 ,3)  nên hai số  1;2  chia hết cho n n n n n Suy n  N , n   1,  đồng thời số nguyên tố Bài 25: Chứng minh với số tự nhiên n, (n  1) ln tìm n số tự nhiên liên tiếp hợp số Lời giải: Chọn số tự nhiên a  2.3.4 n  n  1 a  2, a  3, a  4, , a  n, a   n  1 Khi ta có n số tự nhiên liên tiếp là hợp số n số chia hết cho 2,3,4, , n, n  ( điều phải chứng minh) Bài 26: Chứng minh a, a  m, a  2m số gnuyeen tố lớn m chia hết cho Lời giải: Các số nguyên tố lớn số lẻ Nếu m số lẻ a  m số chẵn lớn nên không số nguyên tố Suy m số chẵn * Đặt m  p, ( p  N ) Nếu p  3k  1, (k  N ) ba số cho là: a, a  6k  2, a  12k  Nếu a chia cho dư a  6k  2M3 , khơng thỏa mãn đề Nếu a chia cho dư a  12k  4M3 , khơng thỏa mãn đề Vậy p khơng có dạng p  3k  1, (k  N ) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh p khơng có dạng p  3k  2, ( k  N ) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Do p  3k , (k  N )  m  6k  m M6 Vậy m chia hết cho Bài 27: a) Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Khi chia cho 60 kết sao? b) Chứng minh tổng n lũy thừa bậc số nguyên tố lớn số nguyên tố (n,30)  Lời giải: a) Giả sử p số nguyên tố p  30  r với  r  30 Nếu r hợp số r có ước ngun tố q  30  q  2;3;5 Nhưng với q  2;3;5 r chia hết cho 2; 3; (vơ lí) Vậy r  r số nguyên tố Khi chia cho 60 kết khơng cịn nữa, chẳng hạn p  109  60.1  49 mà 49 hợp số b) Số nguyên tố p chia cho 30 dư 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Với r  1,11,19, 29 p  (mod 30) Với r  7,13,17, 23 p  19 (mod 30) Suy p  (mod 30) Giả sử p1, p2, , pn số nguyên tố lớn 4 Khi q  p1  p2   pn  n (mod 30)  q  30k  n số nguyên tố nên (n,30)  n n Bài 28: Hai số  1,  1(n  N, n  2) số ngun tố hay khơng ? Vì ? Lời giải: n n n Vì  1, ,  số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 3.Mà (2,3)  số n nguyên tố nên không chia hết cho (1) n n Mà n  nên   3,   (2) n n Từ (1) , (2) suy số  1,  phải chia hết cho n n  Hai số  1,  1(n  N, n  2) số nguyên tố TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 29: Cho số nguyên tố lớn 3,trong số sau lớn số trước d đơn vị.Chứng minh d M6 Lời giải: * Các số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k  3k  (k  N ) Có số mà có dạng nên tồn hai số thuộc dạng, hiệu chúng ( d 2d ) chia hết cho Mặt khác d chia hết cho d hiệu hai số lẻ.Vậy d chia hết cho Bài 30: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp.Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số ngun tố sinh đơi chia hết cho Lời giải: Gọi p số nguyên tố lơn p lẻ nên p  1M2 (1) Mà p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k  1, 3k  2(k  N) Dạng p  3k  khơng xảy p  3k  p   3k  3M3 hợp số (Loại)  p  3k   p   3k  3M3 (2) Từ (1) , (2)  p  1M6  ĐPCM Bài 31: Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Lời giải: p số nguyên tố p có dạng p  30k  r  2.3.5.k  r(k  N* , r  N* ,  r  30) Giả sử r hợp số r có ước nguyên tố q cho q  30  q   2,3,5 u Nế Nhưng với q   2,3,5 p chia hết cho 2,3,5 ( Vô lý ) Vậy r  r số nguyên tố Bài 32: Cho dãy số nguyên dương a1 , a2 , , an xác định sau: a1  2, an ước nguyên tố a1a2 a3 an 1  với n  Chứng minh ak  5, k  N * Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Ta có a1  2, a2  , giả sử với n  mà có số ước nguyên tố lớn số A  2.3.a3 an 1  A chia hết cho 2, cho Vậy xảy A  5m với m  m Suy A    1M4 Mà A   2.3.a3 an 1 không chia hết cho a3 an 1 số lẻ (vơ lí) Vậy A khơng có ước nguyên tố 5, tức a  5, k  N * Bài 33: Trong dãy số tự nhiên tìm 1997 số liên tiếp mà khơng có số ngun tố hay không ? Lời giải: Chọn dãy số: a1  1998! a1 M2 a  1998! a M3 a  1998! a M4 …… ………… a1997  1998! 1998 a1997 M 1998 Như vậy: Dãy số a1 ; a ;a ; ;a1997 gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp khơng có số số ngun tố Bài 34: Trong dãy số tự nhiên tìm n số liên tiếp (n  1) mà khơng có số nguyên tố hay không ? Lời giải: Chọn dãy số: a1  (n  1)! a1 M2, a  nên a1 hợp số a  (n  1)! a M3, a  nên a hợp số a  (n  1)! a M4, a  nên a hợp số …… a n  (n  1)! (n  1) ………… a n M(n  1), a n  n  nên a n hợp số TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Như vậy: Dãy số a1 ;a ;a ; ;a n gồm có n số tự nhiên liên tiếp khơng có số số nguyên tố PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài 1: Cho p p  số nguyên tố lớn Chứng minh p  hợp số ( Trích đề HSG lớp Trực Ninh năm học 2017-2018) Lời giải: Do p số nguyên tố lớn nên có dạng p  3k  1; p  3k  với k  1, k  N + Nếu p  3k  p   6k   3(2k  1) Suy p  hợp số (vơ lí) + Nếu p  3k  1, k  p   12k   3.(4k  1) Do k  nên (4k  1)  Do p  hợp số Bài 2: Biết abcd nguyên tố có bốn chữ số thỏa mãn ab; cd số nguyên tố b  cd  b  c Hãy tìm abcd ( Trích đề HSG lớp Sơng Lơ năm học 2018-2019) Lời giải: Vì ab; cd số nguyên tố nên b, d lẻ khác Ta lại có b  b  cd  b  c  b  b  9c  d  b(b  1)  9c  d Nếu b 1 ( Không thỏa mãn) Nếu b3 nên Nếu Nếu ( Không thỏa mãn) b   9c  d  42  d  42  9c  c  4; d  b   9c  d  72  d  72  9c  c  7, d  Suy Vậy 9c  d   c  0, d  a  {1; 2; 7} ( Loại) ( thỏa mãn) abcd  {1979; 2979;7979} TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ c b a Bài 3: Cho số p  b  a, q  a  c, r  c  b số nguyên tố Chứng minh số p, q, r có số ( Trích đề HSG lớp TP Bắc Ninh năm học 2018-2019) Lời giải: Trong số a, b, c có số tính chẵn lẻ Giả sử hai số tính chẵn lẻ a b c Suy p  b  a số nguyên tố chẵn nên p  Suy a  b  Khi q  c  r  c  nên q  r Vậy ba số p, q, r có số Bài 4: Giả sử p p  số nguyên tố Chứng tỏ p  p  số nguyên tố ( Trích đề HSG lớp Gia Bình năm học 2018-2019) Lời giải: +) Với p  p   không số ngàyên tố +) Với p  p   11 p  p   37 số nguyên tố +) Với p   p  3k  1(k  N , k  2)  p   (3k  1)   9k  6k   3(3k  2k  1)M3 nên p  hợp số Vậy có p  p  p  p  số nguyên tố 20 Bài 5: Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p  chia hết cho 100 ( Trích đề HSG lớp huyện Lục Nam năm học 2018-2019) Lời giải: 20 16 12 Ta có p   ( p  1)( p  p  p  p  1) Do p sốnguyên tố lớn nên p số lẻ  p  p  số chẵn TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ  p  chia hết cho  p 20  chia hết cho Vì p số nguyên tố lớn  p số không chia hết cho Lập luận ta p  chia hết cho 16 12 Lập luận ta p  p  p  p  chia hết cho 20 Suy p  chia hết cho Mà  4; 25  nên ( p 20  1)M100 ( đpcm) Bài 6: Chứng minh hai số 2n  10n  số nguyên tố với số tự nhiên n ( Trích đề HSG lớp Như Thanh năm học 2018-2019) Lời giải: Đặt d  UCLN (2n  1,10n  7)  (2n  1) Md Vì 5(2n  1) Md  2Md Do d  d  +) Nếu d  (2n  1)M2 ( Vô lý)  d  1  UCLN (2n  1,10n  7) Vậy 2n  10n  hai nguyên tố với số tự nhiên n Bài 7: Cho p số nguyên tố lớn 3.Chứng minh p  1M24 ( Trích đề HSG lớp huyện Kim Thành năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có p   ( p  1)( p  1) Vì p số nguyên tố lớn nên p lẻ Do p  p  hai số chẵn liên tiếp Từ suy ( p  1)( p  1) M8 (1) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Xét ba số tự nhiên liên tiếp p  1; p; p  Ta có ( p  1) p( p  1) M3 Mà p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho Mà số nguyên tố nên suy ( p  1)( p  1) M3 (2)  3;8   3.8  24 ta suy p  1M24 (đpcm) Từ (1) (2) kết hợp với 2 Bài 8: Tìm tất cặp số nguyên tố ( p; q) cho p  2q  Lời giải: 2 2 Từ p  2q  ta p  2q  Do ta suy p số nguyên tố lẻ Từ ta đặt p  2k  với k  N * 2 2 Khi ta (2k  1)  2q   4k  4k   q   k ( k  1)  q Do q số chẵn nên q số chẵn Mà q số nguyên tố nên q  2 Thay vào p  2q  ta suy p  Vậy cặp sô nguyên tố ( p, q)  (3, 2) thỏa mãn yêu cầu tốn Bài 9: Tìm số ngun tố có hai chữ số khác có dạng xy ( x  y  0) cho hiệu số với số viết theo thứ tự ngược lại cuả số số phương ( Trích đề HSG lớp huyện Thái Thụy năm học 2018-2019) Lời giải: Theo đề ta có: xy  yx số phương Khi 10x  y  (10 y  x)  10.( x  y )  ( x  y )  9( x  y ) số phương Suy x  y số phương Vì x  y  nên x, y  {1, 2, ,9} Ta xét trường hợp sau: + TH1: x  y  xy số nguyên tố nên xy  43 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ + TH2: x  y  xy số nguyên tố nên xy  73 + TH3: x  y  xy số nguyên tố nên khơng có số thỏa mãn Vậy xy  {43;73} Bài 10: Tìm số nguyên tố p, q số nguyên x thỏa mãn x  px  3q  ( Trích đề HSG lớp huyện Kiến Xương năm học 2016-2017) Lời giải: Ta có x  px  3q   x( x  p)  3q Vì q số nguyên tố x số nguyên nên từ phương trình ta suy x {  1; 3; q; 3q} Ta xét trường hợp sau: + Nếu x  1 , từ phương trình ta  p  3q Do q số nguyên tố nên: - Khi q  ta p  Khi q  3q số lẻ nên p số nguyên tố chẵn Do p  nên q  số nguyên tố + Nếu x  3 , từ phương trình ta p  81  q Do p số nguyên tố chẵn q số nguyên tố lẻ Từ ta p  2; q  83 + Nếu x  q từ phương trình ta p  p =3 Trường hợp không xảy p q số nguyên tố nên p  p  + Nếu x  3q , phương trình ta p  81 p  Trường hợp không xảy p q số nguyên tố nên p  81 p  Vậy số ( x; p; q ) thỏa mãn yêu cầu toán (1;5; 2), (3; 2;83) n n Bài 11: Chứng minh  số nguyên tố (n  2)  hợp số ( Trích đề HSG lớp huyện Thanh Hà năm học 2015-2016) Lời giải: n n n Xét số tự nhiên liên tiếp  , ,  Trong ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ n n n Do n  nên   , mà theo giả thiết  số nguyên tố,  khơng chia hết cho n n Lại có khơng chia hết cho Do suy  chia hết cho n n Mà n  nên   Từ ta  hợp số Bài 12: Tìm số nguyên tố p, q, r thỏa mãn điều kiện sau  p  q  r ; 49  p  r ; 2q  r  193 ( Trích đề HSG lớp huyện Nam Sách năm học 2012-2013) Lời giải: 2 2 2 2 Từ 49  p  r ; p  r  193 ta có 2q  193  r  p  49 q  p  72 Mặt khác từ điều kiện  p  q  r ta r  11 , p  49  121  170 hay p  11 Vì ( q  p)( q  p)  72 nên q  p  q  p  Xét hai trường hợp sau: + Với q  p  q  p  36 , ta p  11, q  13 p  17, q  19 - Nếu p  11, q  13 145  r  193 , suy r  13  q ( loại) Nếu p  17, q  19 529  r  529 , suy r  23 ( nhận) Với q  p  q  p  18 khơng tồn p  11 Vậy ba số nguyên tố cần tìm p  17; q  19; r  23 Bài 13: Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c đôi khác thỏa mãn điều kiện: 20abc  30( ab  bc  ca)  21abc ( Trích đề HSG lớp huyện Gia Lộc năm học 2017-2018) Lời giải: 1     Từ giả thiết suy a b c 10 Để không giảm tính tổng quát giả sử a  b  c  Suy   2c  c   2;3 c , TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 1 1 1 1            a b b b Với c  suy b c 10 Do b   7;11 1 1 1       a   19; 23; 29;31;37; 41 + Với b  , từ a b suy 42 a 35 1 1      + Với b  11 từ a b suy 66 a 55  a  13 a  b 1 11      b6b5 b Với c  từ giả thiết suy a b 30 (do b  c ) 1 11 15    6a a7 Thay b  vào a b 30 ta Vậy ba số nguyên tố khác  a; b; c  thỏa mãn là:  19;7;  ,  23; 7;  ,  29; 7;  ,  31; 7;  ,  37; 7;  ,  41;7;  ,  13;11;  ,  7;5;3 hốn vị Bài 14: Tìm tất ba nguyên tố ( p; q; r ) cho pqr  p  q  r  160 ( Trích đề HSG lớp Ninh Bình năm học 2018-2019) Lời giải: Khơng tính tổng qt giả sử p  q  r Với p  2qr  q  r  162  4qr  2q  2r  324  2q(2r  1)  (2r  1)  325  (2q  1)(2r  1)  325  52.13  2q   2r    (2q  1)  (2r  1)(2q  1)   (2 q  1)  325   q   18 2q  1  5;13 Do 2q  ước 13 nên Nếu 2q    q   r  33 ( loại) Nếu 2q   13  q   r  13 ( thỏa mãn) pqr  p  q  r  160  p (qr  1)  q  r  160 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ  ( qr  1)( p  1)  qr   q  r  160  ( qr  1)( p  1)  q(r  1)  ( r  1)   160  ( qr  1)( p  1)  ( q  1)( r  1)  162 Nếu p lẻ  q; r lẻ  (qr  1)( p  1)  (q  1)(r  1) M4 mà 162 không chia hết cho  ( vô lí) Vậy ba số ngun tố cần tìm  2; 7;13 hoán vị Bài 15: Tìm hai số nguyên tố p, q cho 8q   p ( Trích đề HSG lớp Phú Yên năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có p chia cho dư Xét p chia cho dư , p số nguyên tố nên p  , suy q  (vơ lí) Ta có p chia cho dư suy 8q chia hết cho mà (8;3)  nên q   p  ( thỏa mãn) Vậy p  5; q   HẾT  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 ... có số 25 Vậy r  25 Bài 22 : Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố cịn lại số ngun... đề + Nếu p  5k   p   5k  10M5 hợp số  p  5k  không thỏa mãn đề + Nếu p  5k   p  12  5k  15M5 hợp số  p  5k  không thỏa mãn đề + Nếu p  5k   p   5k  10M5 hợp số  p  5k... Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 2 + TH2: Bộ số p, q, r tương ứng là: 3 ;5; Khi    83 số nguyên tố Do ba số thỏa mãn đề Vậy số nguyên tố liên tiếp cần tìm là: 3, 5, q p Bài 16: Tìm số nguyên