S6 CHUYÊN đề 2 CHỦ đề 4 PPBĐTĐ để tìm THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT của lũy THỪA

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT n Lũy thừa bậc số a tích n thừa số nhau, thừa số a a n = a{ a a ( n ≠ 0) a n n thừa số gọi số, gọi số mũ Chú ý: a2 a3 gọi gọi Quy ước: a a bình phương (hay bình phương lập phương (hay lập phương a a ) ) a1 = a a m a n = a m + n Nhân hai luỹ thừa số Chia hai luỹ thừa số a m : a n = a m− n ( a ≠ 0, m >  n) a0 = ( a ≠ 0) Quy ước (a ) m n = a m×n Luỹ thừa luỹ thừa ( a.b ) m = a m b m Luỹ thừa tích Một số luỹ thừa - Một nghìn: 10 : 000 = 103 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - Một vạn: - Một triệu: - Một tỉ: 10 000 = 104 000 000 = 106 000 000 000 = 109 Tổng quát: n số tự nhiên khác thì: 10n = 1000 …00 (có n chữ số ) PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm số mũ, thành phần số mũ lũy thừa I Phương pháp giải - Đưa hai luỹ thừa số - Sử dụng tính chất * am = an m = n ( a ∈ N ; a ≠ 1, m, n ∈ N ) Nếu II Bài tốn Bài 1: Tìm số tự nhiên x thoả mãn x = 216 a) 32 x = 81 b) c) d) 73 x−2 − 3.73 = 73.4 x 3 = 32 x+1 Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN a) x = 216 ⇔ x = 63 ⇔ x=3 Vậy b) x=3 32 x = 81 ⇔ 32 x = 92 = 34 ⇔ 2x = ⇔ x=2 x=2 Vậy c) 73 x− − 3.73 = 3.4 ⇔ 73 x− = 73 (3 + 4) ⇔ 73 x− = ⇔ x=2 Vậy d) x=2 x 3 = 32 x+1 ⇔ 33.3x = 32 x+1 ⇔ 3x +3 = 32 x +1 ⇔ x + = 2x +1 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ⇔ x=2 Vậy x=2 Bài 2: Tìm số tự nhiên x thoả mãn x− − 32 = 24 − ( 68 : 66 − 62 ) a) 3x + 16 = 196 : ( 193.192 ) − 3.12005 + b) Lời giải: x− − 32 = 24 − ( 68 : 66 − 62 ) a) ⇔ x− − = 16 − ( 62 − 62 ) ⇔ x− − = 16 − ⇔ x− = 25 ⇔ x− = 25 ⇔ x−2= ⇔x=4 Vậy x=4 3x + 16 = 196 : ( 193.192 ) − 3.12005 + b) ⇔ 3x + 16 = 196 :195 − + TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ⇔ 3x + 16 = 19 − + ⇔ 3x + 16 = 17 ⇔ 3x = ⇔ x=0 x=0 Vậy Bài 3: Tìm số tự nhiên x thoả mãn a) 15 x 152 x = b) x = 52 x x 81x = 729 c) d) 117 x = 11x 1112 Lời giải: a) 15x 152 x = ⇔ 15 x +2 x = 150 ⇔ x2 + 2x = ⇔ x( x + 2) = TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x = ⇔ ⇔ x=0 x + = x=0 Vậy b) x = 52 x ⇔ 5x +1 = 52 x ⇔ x2 + = 2x ⇔ x2 − x + = ⇔ x2 − x − x + = ⇔ x( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1)( x − 1) = ⇔ x −1 = ⇔ x =1 x =1 Vậy c) x 81x = 729 ⇔ x 92 x = 93 ⇔ 9x +2 x = 93 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ⇔ x2 + 2x = ⇔ x2 + x − = ⇔ x + 3x − x − = ⇔ x( x + 3) − ( x + 3) = ⇔ ( x + 3)( x − 1) = x + = ⇔ ⇔ x =1  x −1 = Vậy x =1 d) 117 x = 11x 1112 ⇔ 117 x = 11x +12 ⇔ x = x + 12 ⇔ x − x + 12 = ⇔ x − x − x + 12 = ⇔ x( x − 4) − 3( x − 4) = ⇔ ( x − 4)( x − 3) = x − = x = ⇔ ⇔ x − = x = TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x = 4; x = Vậy Bài 4: Tìm số tự nhiên x thoả mãn x + x +1 + x + + x +3 = 480 a) 5x +1 − 5x = 2.2 x + 8.2x b) x + x +1 = x +2.2 x + 4.2 x c) 3x + 25 = 26.23 + 2.30 d) Lời giải: a) x + x +1 + x + + x +3 = 480 ⇔ x (1 + + 22 + 23 ) = 480 ⇔ x.15 = 480 ⇔ x = 25 ⇔ x =5 Vậy b) x=5 5x +1 − 5x = 2.2 x + 8.2x ⇔ x (5 − 1) = x (2 + 8) ⇔ 22.5 x = x+1.5 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 22.5 x x+1.5 ⇔ = 2 5 ⇔ x −1 = x −1 ⇔ x −1 = ⇔ x = Vậy c) x =1 x + x +1 = x +2.2 x + 4.2 x ⇔ 7.6 x = 7.2 x ⇔ 6x = 2x ⇔ x=0 x=0 Vậy d) 3x + 25 = 26.23 + 2.30 ⇔ 3x = 185 Vì 185 khơng viết dạng luỹ thừa x Vậy khơng có giá trị thoả mãn nên khơng có sơ tự nhiên x thoả mãn Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết 3x + 3x +1 + 3x + + 3x + = 1080 a) 5x + 5x +1 + 5x + + x +3 = + + + 87 + 88 − b) Lời giải: a) 3x + 3x +1 + 3x + + 3x +3 = 1080 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ⇔ 3x (1 + + + 27) = 1080 ⇔ 3x = 27 ⇔ x = Vậy x=3 giá trị cần tìm 5x + 5x +1 + 5x + + x +3 = + + + 87 + 88 − b) ⇔ x ( + + 25 + 125 ) = ( + 88 ) 88 : − 16 ⇔ x.156 = 3916 − 16 ⇔ 5x.156 = 3900 ⇔ x = 25 ⇔x=2 x=2 Vậy m, n Bài 6: Tìm hai số tự nhiên biết 2m + n = 2m+ n Lời giải: 2m + 2n = 2m + n ⇔ m + n − m − 2n = ⇔ 2m.2n − 2m − 2n + = ⇔ 2m (2 n − 1) − (2 n − 1) = ⇔ (2m − 1)(2n − 1) = TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 9b = 182 ⇒ b∉¥ Nếu a =1 31 + 9b = 138 ta có 9b = 180 b = 20 Nếu a≥2 3a ta có chia hết cho 9, + 9b = 183 cho Vô lý 9b chia hết cho ⇒ 3a + 9b chia hết cho 183 không chia hết a a = 1, b = 20 Vậy Bài 16 Tìm số tự nhiên a b, biết: 10a + 168 = b Lời giải: Nếu a=0 ta có b = 100 + 168 b = 169 b = 132 ⇒ b = 13 Nếu a≠0 ta có 31 + 9b = 138 9b = 180 b = 20 Nếu a≥2 3a ta có chia hết cho 9, + 9b = 183 cho Vô lý 9b chia hết cho ⇒ 3a + 9b chia hết cho 183 không chia hết a TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 29 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN a = 1, b = 20 Vậy Bài 17 Tổng bình phương ba số tự nhiên 2596 Biết tỉ số số thứ số thứ hai số thứ hai số thứ ba Tìm ba số Lời giải: a b = ; = ⇒ a = b; c = b b c Gọi a, b, c ba số tự nhiên phải tìm, ta có: 2 36 b + b + b = 5296 2 a + b + c = 2596 25 Có nên 649 b = 2596 ⇒ b = 900 225 Hay 6 ⇒ b = 30, a = 30 = 20, c = b = 30 = 36 5 , Vậy ba số cần tìm 20, 30, 36 2 ( x − ) + ( y – 3) < y x Bài 18 Tìm số tự nhiên , biết: Ta có ( x − ) ≥ 0, ∀x 2 ⇒ ( x − ) + ( y – 3) ≥   ( y – 3) ≥ 0, ∀y ( x − 2) + ( y – 3) < Mà ≤ ( x − ) + ( y – 3) < 2 ( y – 3) mà số chẵn nên ta có trường hợp: Xét trường hợp TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 30 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ( x − ) = x − = x = ⇔ ⇔  y – = y = 2 ( y – 3) = Xét trường hợp ( x − ) = x =  x − = ⇔ ⇔   2  ( y – 3) = ( y – 3) =  y = x = 2, y = Vậy x = 3, y = PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG ( Khoảng 15 ) Bài 1: ĐỀ THI HUYỆN HOA LƯ 32 x = 81 Tìm x biết: Lời giải: 32 x = 81 ⇒ 32 x = 34 ⇒ 2x = ⇒x=2 Bài 2: ĐỀ THI HUYỆN PHÙ CÁT Tìm số tự nhiên x , biết: (7x − 11)3 = 25.52 + 2.102 a) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 31 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x + x +1 + x + + + x + 2021 = 22026 − 16 b) Lời giải:   ( x - 11) = 25.52  +2.52. 22 a) Ta có ( x -11) = 23.52 ( 2 + 1) ( x -11) = 23.53 ( x -11) = 103 7x - 11 = 10 x = 21 x=3 Vậy x = b)2 x + x +1 + x + + + x +2021 = 22026 − 16 Đặt A = x + x +1 + x + + + x + 2021 ⇒ 2A = x +1 + x + + + x + 2022 ⇒ 2A − A = x + 2022 − x TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 32 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ⇒ A = x + 2022 − x = x ( 22022 − 1) Từ (1): ⇒ x ( 2022 -1) = ( 22022 -1) ⇒ x = 24 x = x = Vậy Bài 3: ĐỀ THI HUYỆN TP NINH BÌNH Tìm số nguyên x biết: ( x − 11) = ( −3) 15 + 208 Lời giải: ( x − 11) = ( −3 ) 15 + 208 ( x − 11) = 9.15 + 208 ( x − 11) = 73 x − 11 = TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 33 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x= 18 Bài 4: ĐỀ THI HUYỆN TIÊN DU Tìm số tự nhiên x biết: 2.3x + 5.3x+1 = 153 Lời giải: 2.3x + 5.3x+1 = 153 (2 + 15).3x = 153 17.3x = 153 3x = x=2 Vậy x=2 Bài 5: ĐỀ THI HUYỆN CHƯ SÊ Tìm x∈¥ x + x+ = , biết: 200  1 1   + + + + ÷ 19  1.2 2.3 3.4 19.20  Lời giải: Ta có: 200  1 1  200    + + + + ÷= 1 − ÷ = 10 19  1.2 2.3 3.4 19.20  19  20  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 34 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ⇒ x + x+ = 10 ⇒ x ( + ) = 10 ⇒ 2x = ⇒ x = Bài 6: ĐỀ THI HƯNG HÀ 15 5x 5x +1.5x + = 1000 3.0 : 15 ch÷sè a Tìm số tự nhiên x biết: Lời giải: 15 5x 5x +1.5x + = 1000 14 430 : 15 ch÷sè 53x + = 1015 : 215 53x + = 515 Suy ra: 3x + = 15 3x = 12 x =4 Vậy x = Bài 7: ĐỀ THI HUYỆN CHƯƠNG MỸ Tìm số nguyên x thỏa mãn: 52 x−3 + 7.52 = 12.52 Lời giải: 52 x−3 + 7.52 = 12.52 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 35 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 52 x−3 = 12.52 − 7.52 52 x− = (12 − 7).52 52 x−3 = 53 2x − = 2x = x=3 Vậy x=3 Bài 8: ĐỀ THI HUYỆN KIẾN XƯƠNG 26 − ( x − 3) = −7 2 Tìm x biết: Lời giải: 26 − ( x − 3) = −7 2 26 − ( x − 3) = −49 ( x − 3) = 75 ( x − 3) = 25 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 36 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ⇒ 2x − = ⇒x=4 Vậy x=4 hoặc x − = −5 x = −1 x = −1 Bài 9: ĐỀ THI KỲ ANH ( 3x − 7) Tìm = 23.32 + 53 biết: Lời giải: ( 3x − 7) = 23.32 + 53 ( 3x− 7) = 8.9 + 53 ( 3x − 7) = 125 ( 3x− 7) = 53 3x− = 3x = 12 x= 12: x= Bài 10: ĐỀ THI HUYỆN THANH TRÌ x Tìm số tự nhiên , biết: x + ( x + 1) + ( x + ) + ( x + 3) + + ( x + 20 ) = 420 a) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 37 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN b) x + x +1 + x +2 + x +3 + + x +2020 = 22023 − Lời giải x + ( x + 1) + ( x + ) + ( x + 3) + + ( x + 20 ) = 420 a) x + x + + x + + x + + + x + 20 = 420 ( x + x + + x ) + ( + + + + 20 ) = 420 21.20 = 420 21x + 21x + 210 = 420 21x = 420 − 210 21x = 210 x = 10 Vậy b) x = 10 x + x +1 + x +2 + x +3 + + x +2020 = 22023 − x ( + + 22 + 23 + + 2020 ) = 2 ( 2021 − 1) (1) Đặt A = + + 22 + 23 + + 22020 ⇒ A = + 2 + 23 + + + 22021 ⇒ A − A = 22021 − ⇒ A = 22021 − ⇒ x ( 22021 − 1) = 22 ( 2021 − 1) Từ (1) ⇒ x = 22 ⇒ x = TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 38 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Vậy x=2 Bài 11: ĐỀ THI YÊN ĐỊNH x x −1 + x + x +1 = 112 Tìm biết Lời giải Ta có: x −1 + x + x +1 = 112 x −1 + x −1.2 + x −1.22 = 112 x−1 ( + + 22 ) = 112 x−1.7 = 112 x−1 = 112 : x−1 = 16 x−1 = 24 x −1 = x=5 Bài 12: ĐỀ THI THANH BA ( x − ) = 243 y + y+ = 272 x y Cho , số tự nhiên thỏa mãn hệ thức ; Khẳng định sau đúng? x+ y =9 A x − y = −1 B x − y = −9 x + y = 40 C D Lời giải ( x − 2) = 243 = 35 Ta có x−2 =3 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 39 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x=5 y + y+ = 272 Ta có y ( + ) = 272 y.17 = 272 y = 272 :17 = 16 y = 16 = 24 y=4 x+ y =9 Vậy Bài 13 ĐỀ THI THỊ XÃ HOÀI NHƠN A = 31 + 32 + 33 + + 32019 Cho Tìm x để A + = 3x Lời giải A = 31 + 32 + 33 + + 32019 A = 32 + 33 + + 32020 ⇒ A − A = ( 32 + 33 + + 32020 ) − ( 31 + 32 + 33 + + 32019 ) ⇒ A = 32020 − ⇒ A + = 32020 Mà A + = 3x TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 40 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ⇒ x = 2020 Vậy x = 2020 A + = 3x Bài 14 ĐỀ THI KIẾN XƯƠNG Tìm x biết: 1  16  + + + +  ÷.x = 73.76  19  4.7 7.10 10.13 Lời giải 1  16  + + + +  ÷.x = 73.76  19  4.7 7.10 10.13 11 1 1  16  − + − + − ÷.x = 3 7 73 76  19 16 x = 38 19 x = 36 x = ±6 Vậy x = ±6 Bài 14 ĐỀ THI HUYỆN ĐƠNG HƯNG Tìm x biết: a) ( ) x − − = 70 (2 x − 1) = 25 b) Lời giải (2 x − 1) = 25 a) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 41 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ( −5 ) 25 = 52 ⇒ (2 x − 1)2 = 52 Ta có: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Vậy x=3 ( x − = −5 ⇒ x = −4 ⇒ x = −2 2x −1 = ⇒ 2x = + ⇒ x = x = −2 ) x − − = 70 b, ( ) ( ) 5x − − = 70 x − = 72 x − = 24 5x = 25 x=2 Vậy x=2 Bài 15 ĐỀ THI HUYỆN HƯNG HÀ Tìm số tự nhiên x biết: x + x +1 + x + + + x + 2017 = 2020 − Lời giải Tìm số tự nhiên x biết: x + x +1 + x + + + x + 2017 = 2020 − TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 42 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x + x +1 + x + + + x + 2017 = 2020 − ( ) x + + 2 + + 22017 = 22020 − ( ) x 22018 − = 2020 − 2x = = x 22020 − 22018 − ( ) 22 2018 − 2018 −1 x = 22 Vậy x=2 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 43 ... Trang 26 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ( 53 ) 75 − ( 25 .7 ) :  : 20 2 120 22 = x 20 22   59.75 − 25 5.75 : 5 : 20 2 120 22 = x 20 22 59.75 − 510.75 : 5 : 20 2 120 22 = x 20 22 59.75... 42 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x + x +1 + x + + + x + 20 17 = 20 20 − ( ) x + + 2 + + 22 017 = 22 020 − ( ) x 22 018 − = 20 20 − 2x = = x 22 020 − 22 018 − ( ) 22 20 18 − 20 18 −1 x = 22 ... 22 + 23 + + 20 20 ) = 2 ( 20 21 − 1) (1) Đặt A = + + 22 + 23 + + 22 020 ⇒ A = + 2 + 23 + + + 22 021 ⇒ A − A = 22 021 − ⇒ A = 22 021 − ⇒ x ( 22 021 − 1) = 22 ( 20 21 − 1) Từ (1) ⇒ x = 22 ⇒ x = TÀI LIỆU