S6 CHUYÊN đề 2 CHỦ đề 5 PPĐG để tìm THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT của lũy THỪA

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 2+ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT KHÁI NIỆM: n Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a  a.a a ( n thừa số a với a  0; n  N ) QUI ƯỚC: a  ( a  0) a  a a : Bình phương a  a   a3 : Lập phương a  a   Các chữ biến số cần đưa vào mathtype CÁC PHÉP TÍNH LŨY THỪA: m n m n + Nhân hai luỹ thưa số: a a  a m n m n + Chia hai luỹ thừa số: a : a  a ( a  0; m  n) n n n + Luỹ thừa thương: (a : b)  a : b (b  0) m n m.n + Luỹ thừa luỹ thừa: (a )  a n m (m + Luỹ thừa tầng: a  a + Luỹ thừa với số mũ âm: n ) an  (a  0) an PHẦN II CÁC DẠNG BÀI I Phương pháp giải VT  x   VP Nội dung tốn: Tìm x để , ta đánh sau + Nếu x  x0  VT  x   VP + Nếu x  x0  VT  x   VP + Nếu x  x0  VT  x   VP Kết luận: x  x0 giá trị cần tìm TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN II Bài tốn Bài 1: Tìm số ngun n thỏa mãn 364  n 48  572 Phân tích: số cần tìm đóng vai trị số, phần số mũ biết ta cần phân tích lũy thừa có số mũ để so sánh phần số với Ta có: Hai lũy thừa đầu có số mũ 64, 48 chia hết cho 16 Hai lũy thừa sau có số mũ 48, 72 chia hết cho 24 Lời giải 64 48 Với n  Z , ta có:  n   n3  16   34    16  8116  n3 16  n3  81  n   1 48 72 Mặt khác, với n  Z , ta có: n   n2   24  53     n2  24  12524 24  n  125   11  n  11  n  Z   2  n   5; 6;7;8;9;10;11 Từ (1); (2)   n  11 , mà n  Z Vậy n nhận giá trị nguyên là: 5;6; 7;8;9;10;11 Bài 2: Tìm số nguyên dương n biết rằng: n a) 64   512 b) 243  3n  Phân tích: số cần tìm đóng vai trị số mũ lũy thừa, phần số biết ta cần phân tích lũy thừa có số để so sánh phần số mũ với Lời giải n a) Ta có: 64   512  26  2n  28 6n8 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN  mà n  Z  n  n b) Ta có: 243     n  32 5n2 mà n  Z   n   2;3; 4 Bài 3: Tìm số tự nhiên n, biết rằng: n a) 32   512 18 12 b)  n  20 Phân tích: Nhận xét tương tự Câu a phân tích đưa lũy thừa có số để so sánh số mũ Câu b phân tích đưa lũy thừa có số mũ để so sánh số Lời giải a) Với n  N , ta có: Từ 32  2n  25  2n   n  1 2n  512  2n  29  n   2  1   Vậy   n  , mà n    n   6;7;8 n   6; 7;8   n  318  n12  33 b) Với n  N , ta có: 6  33  n  27  n 2 2 Vì  27  , nên  n   n     20  n12  208  n3 Với n  N , ta có: 4 (1)  n3  202  n3  400 3 3 Vì  400  , nên n   n  (2)  n   6;7 Từ (1) (2) , suy  n  , mà n  N Bài 4: Tìm số tự nhiên x  thỏa mãn x 1 x a)   x x1  2268 b)  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Phân tích: Các lũy thừa có số, nên học sinh hướng tới nghĩ đến đưa số để nhóm, rút gọn đơn giản phép tính Dễ dàng thực câu a Hưỡng dấn cách đánh giá để có cách khác tìm x Câu b làm theo cách gặp phải vấn đề xuất bình phương phép tính khó thu gọn câu Hướng dẫn cách nhẩm nghiệm đánh giá so sánh để làm theo cách câu a Lời giải a) x 1  x  Cách x 1  x   4x :  4x   x  x  5  x   4x   x 1 Vậy x  giá trị cần tìm Cách Theo đề, x số tự nhiên x   x  + TH1: x  Ta có: x   x   x 1 11  4   x  4   x 1  4   x  4  4 x 1   x 4   x 1  x   x  không thỏa mãn TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x 1 x + TH2: x        VP (thỏa mãn) Vậy x  giá trị cần tìm x x1  2268 b)  Ta có: 2.4 1  2268  VT  VP (thỏa mãn) + Nếu x    x x 1 + Nếu x       2268 (không thỏa mãn) x x 1 + Nếu x     226  VP (không thỏa mãn) Vậy x  giá trị cần tìm Bài 5: Tìm số tự nhiên x  thỏa mãn x x x a)    14 x b)  x  20 c) x  46  x Phân tích: Câu a lũy thừa không số nên không thu gọn biến đôi biểu thức vế trái Nhận thấy tổng số    14 nên x  giá trị thỏa mãn Đánh giá với giá trị x  (vì x  theo đề nên loại) x  Câu b c số cần tìm xuất số mũ lũy thừa biểu thức, ta thay giá trị x từ 1, 2,3, 4, nhận xét kết Sau dựa vào kết nhận để chia trường hợp đánh giá Lời giải x x x a)    14 Ta có: 0 + Nếu x      14  x  (loại) 1 + Nếu x     14  x  (thỏa mãn) x x x 1 + Nếu x        14 (loại) Vậy x  giá trị cần tìm x b)  x  20 Ta có: + Nếu x    20 (thỏa mãn) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x + Nếu x   x    20 (loại) x + Nếu  x   x    20 (loại) Vậy x  giá trị cần tìm x c)  46  x x x Ta có:  46  3x   3x  46 + TH1: x   x  25  21 mà x  3.5  15  x  x  47  46  x  (không thỏa mãn) x + TH2:  x     16; mà x  3.4  12  x  3x  28  46 (loại) Vậy không tồn giá trị x thỏa mãn yêu cầu đề Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết 3x  3x 1  x   388 (1) Phân tích: Các lũy thừa có số khác nhau, không thực phép biến đổi biểu thức, ta thay giá trị x từ 1, 2,3, 4, nhận xét kết Sau dựa vào kết nhận để chia trường hợp đánh giá Lời giải + TH1:  x   3x  3x 1  x   34  341  24 2  3x  3x 1  x   388  VT (1)  VP(1)   x  không thỏa mãn + TH2: x   3x  3x 1  x   34  341  24  3x  3x 1  x   388  VT (1)  VP (1) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN  x  không thỏa mãn + TH3: x   3x  3x 1  x   34  341  24  3x  3x 1  x   388  VT (1)  VP(1)  x  thỏa mãn Vậy x  giá trị cần tìm Bài 7: x y z  1 Tìm x, y, z  N , biết x  y  z    156 Phân tích: Các lũy thừa có số khác nhau, khơng thực phép biến đổi biểu thức, ta nhận x y z z  z   0;1; 2;3 thấy    156   156  z  Chia trường hợp x để tìm x, y Lời giải Cách 1: x y z Ta có:    156  z  156  z 3  z   0;1; 2;3 Vì x  y  z nên ta xét trường hợp sau: VT  1  20  30  50   156 TH1: z   x  y  hay x  y  z  , thay vào (1) ta được: (loại) VT  1  156 TH2: z   x  y  , thay vào (1) ta được: (loại) VT  1  22  32  52  156 TH3: z   x  y  2, thay vào (1) ta được: (loại) x y x y TH4: z   x  y  3, thay vào (1) ta   125  156    31 (2) y Ta có  31 y  x + Nếu y  3, thay vào (2) ta   x  (thỏa mãn) + Nếu y   0,1, 2 thay vào (2) ta khơng tìm giá trị x thỏa mãn Vậy x  2; y  3; z  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Cách 2: z Ta có:  156  z  VT  1  22  32  52  156  + Nếu z   x  y  2, thay vào (1) ta được: loại trường hợp z  x y x y + Nếu z   x  y  , thay vào (1) ta được:    156    31  * x y 2 + Nếu y   x       13  31 (loại)  y   x  33  31  x   x  Vậy  x; y; z    2;3;  x Bài 8: Tìm x, y, z  N , thỏa mãn 2 2  32 y 1  5z  40 x  y  z  156 Phân tích: Các lũy thừa có số khác nhau, khơng thực phép biến đổi biểu thức, ta thấy x   x  x   32  x   25  x    x  Chia trường hợp x để tìm y, z 2 Lời giải x Với x, y, z  N , mà 2x 2 2  32 y 1  z  40 (1) , nên ta có:  32  x 2  25  x2    x2  x   x  TH1: x   1 ta có 22  32 y 1  z  40  32 y 1  5z  36 Với x  , từ  2 Ta có vế trái (2) khơng chia hết cho vế phải (2) chia hết x  loại TH2: x   1 ta có : 23  32 y 1  5z  40 Với x  , từ  32 y 1  z  32 (3) y 1  32  y    y  Ta có TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN  3 ta 27  5z  32  z  (thỏa mãn) + Nếu y   thay vào  3 ta  5z  32  5z  29 (loại) + Nếu y   thay vào Vậy x  y  z  x y z 10 Bài 9*: Tìm x, y, z  N , thỏa mãn    Phân tích: Các lũy thừa có số giống nhau, vai trị x, y, z nên khơng tính tổng qt, ta giả sử x  y  z từ đánh giá x  Tiếp tục để đánh giá y z ta biến đổi phân x tích đặt ngồi làm thừa số chung để đánh giá y  x z  x Nhận xét y  x  vơ lí nên ta có y  x , thay vào biểu thức nhận xét tìm giá trị z Từ tìm x y Lời giải Vì x, y, z có vai trị nên khơng tính tổng qt, ta giả sử x  y  z 10 Ta có:  1024 x y z x Mà x  y  z     3.2  3.2 x  210  x  Lại có: x  y  z  210    x  y  x  z  x  210   y  x  z  x  210 : x   y  x  z  x  210 x yx zx 10 x  2108 Mà x        y  x  z  x  210 x   * + Nếu y  x  y  x   y  x  1; z  x  Ta có VT(*) số lẻ VP(*) số chẵn  loại trường hợp y  x , y  x , thay vào (*) ta được:  *   20  z  x  210 x  2108  ** + Nếu z  x   VT (**)  VP (**) số chẵn nên loại  z  x 1 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN zx 10  x Do (**)      z  x 1  29 x (***) + Nếu z  x    VT (***) số lẻ VP (***) số chẵn  loại  z  x   9 x Từ (***)    x   y  8; z  Vậy x  8; y  8; z  Bài 10: Tìm số nguyên dương x cho 3x  x  5x Phân tích: Các lũy thừa có số khác nhau, khơng thực phép biến đổi biểu thức, ta thay giá trị x từ 1, 2,3, 4, nhận xét kết Sau dựa vào kết nhận đánh giá Để dễ x dàng đánh giá ta biến đổi vế không chứa x cách chia hai vế cho Lời giải x x 3  4         1 5 5 Ta có x x x 1 3 4       1 x  + Với , ta có:      x  không thỏa mãn; 2 16 25 3  4   1     25 25 25 + Với x  , ta có:      x  thỏa mãn; + Với x  , mà số <