CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA ĐS6 CHUYÊN ĐỀ - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 2-3: SO SÁNH HAI LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH TRỰC TIẾP VÀ PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc so sánh: + Ta biến đổi hai lũy thừa cần so sánh thành lũy thừa số số mũ để so sánh Nếu luỹ thừa số (lớn 1) luỹ thừa có số mũ lớn lớn a m a n a 1 m n Nếu luỹ thừa số (nhỏ 1) luỹ thừa có số mũ lớn nhỏ a m a n a 1 m n Nếu luỹ thừa số mũ (lớn 0) lũy thừa có số lớn lớn an bn n 0 a b Khi số 1, hai lũy thừa với số mũ tự nhiên + Để so sánh lũy thừa A B, ta tìm lũy thừa M cho A M B A M B Trong A M ; M B so sánh trực tiếp + Để so sánh hai lũy thừa A B , ta tìm hai lũy thừa X Y cho: A X Y B Hoặc A X Y B Trong lũy thừa A X ; X Y ; Y B so sánh trực tiếp PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Biến đổi số số mũ Bài 1: Hãy so sánh: 19 25 a 16 11 b 27 81 Lời giải: a) Phân tích: Ta nhận thấy, câu a) 16 số liên quan tới lũy thừa số 2, câu b) 27 81 liên quan tới lũy thừa số Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa các lũy thừa có số, dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA b) Lời giải: 19 19 76 25 25 75 a) Ta có 16 (2 ) ;8 (2 ) 76 75 19 25 Vì 16 b) Ta có 3 3 3 818 34 2711 11 81 27 33 32 11 Bài 2: Hãy so sánh: 24 a 128 36 24 b 11 60 50 c 32 81 500 300 d Lời giải: a) Ta có : a) Ta có : 1287 (27 )7 249 424 (22 ) 24 248 49 48 Vì 24 Nên 128 b) Ta có: 536 12512 536 1124 24 12 11 121 c) Ta có : 3260 2300 8100 3260 8150 50 200 100 81 d) Ta có: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 3500 243100 3500 7300 300 100 343 Bài 3: Hãy so sánh: 19 25 a) 16 b) 625 125 Lời giải: 19 19 76 25 25 75 a) Ta có: 16 (2 ) ;8 (2 ) 76 75 19 25 Vì 16 5 20 21 b) Ta có: 625 (5 ) ;125 (5 ) 20 21 Vì 625 125 Bài 4: Hãy so sánh: 210 350 a) 21 31 b) 10 30 c) 3.24 Lời giải: a) Ta có: 3210 27 70 2350 3270 3210 2350 b) Ta có: 231 2.230 2.810 321 3.320 3.910 321 231 c) Ta có: 430 230.230 (23 )10 (22 )15 810.415 810.315 3.2410 3.(3.8)10 810.311 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 10 15 10 11 Mà nên 810.415 810.311 hay 430 3.2410 27 63 28 Bài 5: Chứng minh Lời giải: Ta có: 527 1259 27 63 (1) 63 9 (2 ) 128 263 (29 )7 3127 63 28 (2) 28 7 (5 ) 625 27 63 28 Từ (1) (2) Bài 6: Hãy so sánh: 2n 23 n n N * a) 300 500 b) Lời giải: a) Phân tích: Ta nhận thấy, câu a) lũy thừa có chung số mũa n, câu c) lũy thừa có chung số mũ 100 Do để soa sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số số mũ, dựa vào so sánh số để so sánh chúng với b) Lời giải: a) Ta có: 32 n 32 9n n 23 n n n mà 32 23 2n 3n Vậy b) Ta có: 5300 53 100 125100 3500 33 100 243100 5300 3500 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Bài 7: Hãy so sánh: n n n1 a) n n b) 256 16 (với n N ) Lời giải: a) Ta có: 32 n ( n 2) 9n ( n 2) n 9( n 1) 9n 2 2n n 1 n n n 2n 9( n 1) 9n ( n 2) 9( n 1) 32 n ( n 2) (n N ) n 2n b) Ta có 256 16 , suy toán trở thành so sánh 2n n n 2n +) Nếu 2n n n 256 16 n 2n +) Nếu 2n n n 256 16 n 2n +) Nếu 2n n n 256 16 5 Bài 8: Hãy so sánh 3.27 243 Lời giải: Ta có: 2435 35 325 3.275 33 3.315 316 16 25 5 Vì 3.27 243 Dạng 2: Đưa tích có thừa số giống 303 202 Bài 1: Hãy so sánh 202 303 Lời giải: 303 303 303 303 303 3.101 8101.1013.101 8101.101101.1012.101 Ta có: 202 (2.101) 101 101 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 303202 (3.101) 2.101 32.101.101 2.101 9101.1012.101 202303 303202 15 Bài 2: Hãy so sánh 21 27 49 Lời giải: Ta có: 2115 315.715 275.498 315.716 Mà 15 16 Vậy 21 27 49 15 2015 2014 2016 2015 Bài 3: Hãy so sánh 2015 2015 2015 2015 Lời giải: Ta có: 20152015 20152014 20152014 (2015 1) 2014.20152014 20152016 20152015 2014.20152015 2015 20152014 Mà 2015 20152016 20152015 20152015 20152014 10 10 Bài 4: Hãy so sánh 2015 2015 2016 Lời giải: Ta có: 201510 20159 20159 (2015 1) 2016.20159 201610 2016.20169 Mà 2015 2016 201610 201510 20159 45 44 44 43 Bài 5: Hãy so sánh A 72 72 B 72 72 Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 44 44 Ta có: A 72 (72 1) 72 71 B 7243 (72 1) 7243.71 A B Mà 44 43 AB 75 50 Bài 6: Hãy so sánh 37 71 Lời giải: Ta có: 7150 7250 8.9 3775 3675 4.9 Mà 75 2150.3100 1 50 2150.3150 2150.3150 2150.3100 3 75 50 Từ (1)(2)(3) suy 37 71 Bài 7: Hãy so sánh: 23 22 a) 6.5 13 16 b) 7.2 12 c) 15 81 125 Lời giải: a) Phân tích: Ta nhận thấy số lũy thừa cần so sánh số mũ chúng đề khơng có ước chung, số chúng biểu diễn dạng chung số Do việc đưa lũy thừa lũy thừa có số (hoặc số mũ) để so sánh khơng khả quan Tuy nhiên số lũy thừa có ước chung, nên việc tách lũy thừa thành tích, để xuất thừa số chung so sánh thừa k n số riêng khả quan Để làm điều ta cần dùng phương pháp sau: Biến đổi a dạng c.d , m k n m biến đổi b dạng e.d so sánh hai số e c Từ so sánh hai số a b b) Lời giải: a) Ta có: 5.5 6.5 23 22 22 6.522 523 b) Ta có: 7.2 8.2 2 13 13 13 16 216 7.213 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 813.1253 34 53 1512.53 c) Ta có: mà 15 15 12 12 813.1255 1512 c) Nhận xét: Việc phân tích lũy thừa thành tích lũy thừa giúp nhìn thừa số chung lũy thừa, từ việc so sánh hai lũy thừa dựa vào việc so sánh thừa số riêng 20 10 Bài 8: Hãy so sánh 99 9999 Lời giải: Ta có: 9920 99 99.99 10 999910 99.101 99.99 Vì 10 10 10 99.101 10 10 Nên 99 9999 Bài 9: Hãy so sánh: a) 3.4 10 b) 10 48.50 Lời giải: 15 14 a) Ta có: 2.2 3.47 3.214 Vì 14 14 Nên 2.2 3.2 Vậy 3.4 10 10 10 10 b) Ta có: 10 2.2 48.505 3.24 25.510 3.29 510 Vì 10 10 Nên 2.2 3.2 1010 48.505 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 10 30 Bài 10: Hãy so sánh 3.24 Lời giải: Ta có: 430 22 30 2.2 30 230 230 23 22 10 15 810 415 2410 8.3 810 310.3 810 311 10 Vì 311 415 810.311 810.415 430 3.2410 10 10 Bài 11: Hãy so sánh 1990 1990 1991 Lời giải: Ta có: 199010 19909 19909 1990 1 1991.19909 199110 1991.19919 Vì 19909 19919 199010 19909 199110 12 11 11 10 Bài 12: Hãy so sánh 78 78 78 78 Lời giải: Ta có: 7812 7811 7811 78 1 7811.77 7811 7810 7810 78 1 7810 77 Vì 7811 7810 7811.77 7810.77 7812 7811 7811 7810 Dạng 3: So sánh thông qua lũy thừa trung gian I Phương pháp giải: Để so sánh lũy thừa A B , ta tìm lũy thừa M cho A M B AM B Trong A M ; M B so sánh trực tiếp II Bài toán 30 30 30 10 Bài 1: Hãy so sánh 3.24 Lời giải: Ta có: 430 22 30 2.2 30 230.230 23 2 10 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 15 810 315 810 310 8.3 2410 10 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Vậy Bài 2: Hãy so sánh: 151 225 a) b) 199 20 15 2003 36 91 c) Lời giải: a) Ta có 2{225 (23 )75 875 975 (32 )75 3150 3{151 1442443 A B M 2225 3151 b) Ta có: 19920 200 20 (8.25) 20 (23.52 )20 (23.52 ) 20 60.540 ; 200315 200015 (16.125)15 (24.53 )15 (2 4.53 )15 60.545 260.545 260.540 200315 19920 c) Ta có: 18 2{91 290 (25 )18 3218 25 536 44 4 43 14 43 A M B 291 536 Bài 3: Hãy so sánh: 20 10 30 a) 99 11 ' 42 93 b) 961 100.23 Lời giải: 20 10 10 10 30 a) Ta có 99 [(99) ] 9801 (22 ) 22 2230 (2.11) 30 230.1130 810.1130 10 30 10 30 mà 11 11 20 10 30 Nên 99 11 b) Ta có: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 96142 1000 42 10126 100.10124 100.10124 100.(104 )31 100.(233 )31 100.2393 96142 100.2393 Bài 4: Hãy so sánh: a) 107 50 75 73 39 21 b) 33 11 Lời giải: a) Ta có 10750 10850 (4.27)50 2100.3150 7375 7275 (8.9)75 2225.3150 7375 10750 b) Ta có: 339 340 (34 )10 8110 1121 1120 (112 )10 12110 1121 339 27 63 28 Bài 5: Chứng tỏ rằng: Lời giải: 27 63 63 28 Gợi ý: Hãy chứng tỏ 263 27 1289 Ta có: 527 53 1259 263 527 1 263 27 1289 Lại có: 528 54 6257 263 528 27 63 28 Từ (1)(2) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 75 50 Bài 6: Hãy so sánh 37 71 Lời giải: k n m k a) Phân tích: Biến đổi a dạng cd , biến đổi b dạng e.d so sánh hai số e c Từ so n m sánh hai số a b b) Lời giải: Ta có: 7150 7250 8.9 3775 3675 4.9 Mà 75 50 2150 3100 1 2150.3150 2150 3150 2150 3100 75 50 Từ (1)(2)(3) 37 71 Bài 7: Hãy so sánh: 20 10 a) 50 2550 10 b) 999 999999 Lời giải: 10 5020 50 250010 255010 5020 255010 a) Ta có 99910 999 9980015 9999995 99910 9999995 b) Ta có 56789 1234 Bài 8: Hãy so sánh A 1234 B 56789 Lời giải: A 123456789 100050000 10150000 1234 2000 1010000 Ta có B 56789 100000 10000 Vì 10 10150000 567891234 123456789 1979 Bài 9: Hãy so sánh 11 1320 37 Lời giải: Ta có 111979 (113 )660 1331660 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 371320 (37 ) 660 1369660 660 1331 1979 Nên 11 1369660 371320 Dạng 4: So sánh thông qua hai lũy thừa trung gian I Phương pháp giải: Để so sánh hai lũy thừa A B , ta tìm hai lũy thừa X Y cho: A X Y B Hoặc A X Y B Trong lũy thừa A X ; X Y ; Y B so sánh trực tiếp II Bài toán Bài 1: Hãy so sánh a) 17 20 b) 199 15 31 20 100 24 11 14 c) 31 17 Lời giải: a) Ta có: 20 20 80 75 15 15 17 ) 3215 31 { 16 { 14 2423 21 44(2 4 4 A B X Y b) Ta có: 1995 2005 25.1005 32.1005 (1) 1006 100.1005 (2) 1995 1006 (1995 ) (1006 ) 20 24 Từ (1) (2) 199 100 c) Ta có: 3111 3211 255 1714 164 (24 )14 256 3111 1714 Bài 2: Hãy so sánh 1979 a) 11 1321 37 b) 107 50 75 51 201 119 c) Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA a) Ta có: 111979 111980 (113 )660 1331660 371321 371320 (372 )660 1369660 1331660 1369660 111979 371321 b) Ta có: 107 201 c) Ta có: 50 15050 (3.50)50 25.5050 5025.5050 5075 5175 3200 (35 ) 40 24340 ;6119 6120 (63 ) 40 21640 3201 6119 1995 863 Bài 3: Chứng minh Lời giải: p h n q k m a) Phân tích: Xét a biến đổi dạng c d b biến đổi dạng e g k h q k p h q p Nếu c e d g c d e g b)Lời giải: 1995 1990 863 860 Ta có: 2 ;5 5 860 1990 Nhận xét: 32 125 nên cần so sánh 10 10 1720 172 860 Ta có: 1024;5 3025 1990 1720 270 1720 270 1720 172 Lại có 2 , cần so sánh 2 với số sau: 172 11 11 270 37 2187; 211 2048 37 211 ; 24 1720 270 1720 172 860 1990 860 Do 2 5 1995 863 Mà 1999 714 Bài 4: Chứng minh Lời giải: Ta có: 10 28 256 2 1025 10 10 238 238 238 2380 238 714 3.7 ; 35 28 7 343 3 243 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 3238 33 3235 33 35 47 33 28 47 25.2376 2381 3238 2381 22380 3238 714 22380 2381 7714 21999 7714 Mà: PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài Khơng tính kết biểu thức, so sánh (Trích đề thi HSG Hoa Lư) a) A 2019.2021 B 2020 102021 102022 M 2022 N 2023 10 10 b) Lời giải: a) A 2019.2021 2019.(2020 1) 2019.2020 2019 B 20202 2020.2020 2020.(2019 1) 2020.2019 2020 Vì 2019 2020 Nên A B b) 10 M 10 N Vì 10 Nên 1 10 1 10 2022 2022 2023 1 10 2023 10 2022 1 1 1 10 2023 1 Vậy M N 2021 2022 B 2021 2022 3 3 3 16 (Trích đề thi HSG thị xã Bài 2: Chứng minh Hồi Nhơn) Lời giải: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 2021 2022 B 2021 2022 3 3 3 2021 2022 3B 2020 2021 3 3 1 1 2022 B B 3B 2020 2021 3 3 1 1 A 2020 2021 3 3 Đặt 1 1 1 A 2019 2020 3 3 3 => A A 3A A 3 (2) Từ (1) (2) B 2021 B A 16 Bài 3: Cho M 1 1 101 2 2 Chứng tỏ M < Lời giải: Ta có M 1 1 1 100 2 2 M 2M M Mà M 1 2101 2101 S 1 1 1 2 50 50 S Mà 1 1 1 1 1 1 1 2 50 3 49 50 2 Vậy 2 50 S 1 1 2 50 1 A 100 Chứng minh 50 A 100 Bài 6: Cho TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 A 100 99 99 15 1 1 3 8 2 Có 99 nhóm tổng A 1 1 1 1 1 1 1 1 99 99 99 8 2 2 2 4 4 4 8 2 A A 100 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 100 100 99 10 16 2100 1 Có 99 nhóm tổng A A 1 1 1 1 1 1 1 1 100 100 100 100 4 8 8 16 16 16 2 2100 2 A 1 1 1 1 100 50 100 50 424 422 4 32 2 100 so hang 1 1 1 Bài 7: Chứng minh rằng: 16 32 64 Lời giải: n Hướng dẫn : Đưa dạng tổng S a a a a để tính tổng so sánh Đặt A 1 1 1 1 1 1 16 32 64 22 23 24 25 26 1 1 A 2 2 A A A 26 1 26 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA A A 10 28 398 98 Chứng minh B < 100 Bài 8: Cho B = 27 Lời giải: B 10 28 398 10 28 398 98 98 27 3 3 10 28 398 10 28 398 B 98 98 98 3 3 27 1 1 B 98 98 3 3 1 1 3( B 98) 97 3 3 3( B 98) ( B 98) 2( B 98) 98 97 97 97 B 98 B 98 100 98 196 196 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 ... 20 19 .20 21 B 20 20 1 020 21 1 020 22 M 20 22 N 20 23 10 10 b) Lời giải: a) A 20 19 .20 21 20 19. (20 20 1) 20 19 .20 20 20 19 B 20 2 02 20 20 .20 20 20 20. (20 19 1) 20 20 .20 19 20 20... 20 1 520 14 20 1 520 14 (20 15 1) 20 14 .20 1 520 14 20 1 520 16 20 1 520 15 20 14 .20 1 520 15 20 15 20 1 520 14 Mà 20 15 20 1 520 16 20 1 520 15 20 1 520 15 20 1 520 14 10 10 Bài 4: Hãy so sánh 20 15 20 15 20 16... 20 19 20 20 Nên A B b) 10 M 10 N Vì 10 Nên 1 10 1 10 20 22 2 022 20 23 1 10 20 23 10 20 22 1 1 1 10 20 23 1 Vậy M N 20 21 20 22 B 20 21 20 22 3 3 3 16 (Trích đề