S6 CHUYÊN đề 9 CHỦ đề 2 PHÂN số tối GIẢN

CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 9-PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 2:PHÂN SỐ TỐI GIẢN PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT -Phân số tối giản hay gọi phân số rút gọn phân số mà tử mẫu có ước chung -1 -Giả sử ta có phân số - Nếu phân số a a Phân số gọi phân số tối giản ÖCLN  a, b  b b a b phân số tối giản phân số phân số tối giản b a - Tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản -Tính chất:  aMm  a  bMm +  bMm + aMm a.kMm -Thuật tốn Ơclit tìm ƯCLN(a;b): Ta tìm UCLN(a ;b) cách dùng thuật tốn Euclide sau : a = bq0 + r1 với < r1 < b b = r1 q1 + r2 với 0< r2 < r1 rn-1 = rnqn Thuật toán phải kết thúc với số dư Do ta có: (a; b) = (b; r1) = (r1; r2) = =(rn-1; rn) = rn PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1:Chứng minh phân số với tham số n phân số tối giản I.Phương pháp giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ a phân số tối giản, ta cần chứng minh ÖCLN  a, b  1, dùng b thuật toán Euclide tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản Chứng minh phân số II.Bài toán Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n khác phân số sau phân số tối giản a n b n n c n n Lời giải a n Vì ƯCLN  1, n  1nên b phân số tối giản n n n *Cách 1: Theo thuật tốn Euclide: ƯCLN  n  1, n  ƯCLN  n;1  n phân số tối giản n *Cách 2: Giả sử ÖCLN  n  1, n  d (n  1)Md  nMd  n  1 nMd  1Md  d  Vậy n phân số tối giản n *Cách 3: Ta có: n 1 n phân số tối giản  1 mà phân số tối giản nên phân số n n n n TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Bài 2: Chứng minh với n  Z phân số sau tối giản a n 2n e 3n  5n  b f 7n 7n  14n  c g n n 2n  3n  10 d h n 1 2n  2n  4n  Lời giải a n 2n Giả sử ÖCLN  n,2n  1  d  nMd 2nMd   2n  1Md 2n  1Md  (2n  1)  2n Md  2n  1 2n Md  1Md  d  Vậy phân số b n phân số tối giản 2n 1 7n Vì ƯCLN  1,7n 1  1nên c phân số tối giản 7n n n Giả sử ÖCLN  n  5, n  6  d n  5Md  n  6Md TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ  (n  6)  (n  5) Md  n  6 n  Md  1Md  d  Vậy phân số d n phân số tối giản n n 1 2n  Giả sử ÖCLN  n  1,2n  3  d n  1Md 2n  2Md   2n  3Md 2n  3Md  (2n  3)  (2n  2) Md  2n  3 2n Md  1Md  d  Vậy phân số e n 1 phân số tối giản 2n  3n  5n  Giả sử ÖCLN  3n  2,5n  3  d 3n  2Md 5(3n  2)Md 15n  10Md    5n  3Md 3(5n  3)Md 15n  9Md  (15n 10)  (10n  9) Md  15n  10  15n  Md  1Md  d  Vậy phân số 3n  phân số tối giản 5n  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ f 7n  14n  Giả sử ÖCLN  7n  1,14n  3  d 7n  1Md 2(7n  1)Md 14n  2Md    14n  3Md 14n  3Md 14n  3Md  (14n  3)  (14n  2) Md  14n  3 14n 2Md  1Md  d  Vậy phân số g 7n  phân số tối giản 14n  2n  3n  10 Giả sử ÖCLN  2n  7,3n  10  d 2n  7Md 3(2n  7)Md 6n 21Md    3n  10Md 2(3n  10)Md 6n  20Md  (6n  21)  (6n  20) Md  6n  21 6n  20 Md  1Md  d  Vậy phân số h 2n  phân số tối giản 3n  10 2n  4n  Giả sử ÖCLN  2n  3,4n  4  d TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 2n  3Md 2(2n  3)Md 4n  6Md    4n  4Md 4n  4Md 4n  4Md  (4n 6)  (4n  4) Md  4n   4n  Md  2Md Vì 2n 3là số lẻ, 4n số chẵn nên suy d  Vậy phân số 2n  phân số tối giản 4n  Bài 3: Chứng minh phân số sau tối giản: a n2  n b n n 1 c 7n  7n2  n  d n n 1 e 2n2  n  n Lời giải a n2  n     Ta có: Theo thuật tốn Euclide: ƯCLN n  1, n  ƯCLN n;1  Do đó: phân số b n n 1 Vì phân số c n2  phân số tối giản n n n2  phân số tối giản nên phân số phân số tối giản n 1 n 7n  7n2  n      Ta có: Theo thuật tốn Euclide: ÖCLN 7n  n  1,7n   ÖCLN 7n  1;1  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 7n2  n  Do đó: phân số phân số tối giản 7n  Vì phân số d 7n  7n2  n  phân số tối giản nên phân số phân số tối giản 7n  n  7n  n n 1     Ta có: Theo thuật tốn Euclide: ƯCLN n  1, n  ƯCLN n;1  Do đó: phân số Vì phân số n3  phân số tối giản n n n3  phân số tối giản nên phân số phân số tối giản n 1 n 2n2  n  e n     Ta có: Theo thuật tốn Euclide: ÖCLN 2n  n  1, n  ÖCLN n;1  Do đó: phân số 2n2  n  phân số tối giản n Bài 4: Cho a số tự nhiên chia dư Phân số a có phân số tối giản khơng? a Lời giải Giả sử ÖCLN  a, a  2  d aMd  a  2Md  (a  2)  a Md  a   a Md  2Md TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Vì a số tự nhiên chia dư nên a số lẻ Suy ra: d  Vậy phân số a phân số tối giản a Bài 5: Chứng minh a số nguyên khác -1 giá trị biểu thức A  a3  2a2  phân a3  2a2  2a  số tối giản Lời giải      a  1 a2  a  a2  a  a3  2a2    Ta có: A  a  2a2  2a   a  1 a2  a  a2  a  Gọi d  ÖCLN(a2  a  1, a2  a  1) a2  a  1Md  a  a  1Md     a2  a  1 a2  a   Md    2Md Mà a2  a  1 a(a  1)  số lẻ nên d lẻ  d  Vậy với a khác -1 giá trị A phân số tối giản Bài 6: Chứng minh với số nguyên n khác khơng phân số 2n  phân số tối giản 2n(n  1) Lời giải   Giả sử d  ÖCLN  2n  1,2n n   2n  1Md  2n(n  1)Md TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 2n  1Md  n(2n  2)Md Mà ÖCLN  2n  1,2n  2  1nên 2n  1Md 2n  1Md   nMd 2nMd  2n  1 2nMd  1Md  d  Vậy phân số 2n  phân số tối giản 2n(n  1) Dạng 2:Tìm tham số n để phân số tối giản I.Phương pháp giải - Bước 1: Giả sử d ước chung tử mẫu  Tử mẫu chia hết cho d -Bước 2: Vận dụng tính chất quan hệ chia hết để tìm giá trị d - Bước 3: Xác định giá trị khác -1 d  tử mẫu không chia hết cho giá trị  từ tìm điều kiện ẩn Hoặc biến đổi phân số thành tổng hiệu số nguyên với phân số tối giản II.Bài tốn Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số sau phân số tối giản a 2n  4n  b 3n  7n  c 2n  5n  Lời giải a 2n  4n  Giả sử d  ÖC  2n  3,4n  1 2n  3Md 2(2n  3)Md 4n  6Md    4n  1Md 4n  1Md 4n  1Md  (4n  6)  (4n  1)Md  4n   4n  1Md TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ  5Md  d   1; 5 Để phân số 2n  phân số tối giản d  5 4n  Hay 2n khơng chia hết cho Ta có: 2n   5k  2n  3  5k (k  Z)  2(n  1)  5k  n  1 5k  n  5k  Vậy: với n  5k  1thì phân số b 2n  phân số tối giản 4n  3n  7n  Giả sử d  ÖC  3n  2,7n  1 3n  2Md 7(3n  2)Md 21n 14Md    7n  1Md 3(7n  1)Md 21n  3Md  (21n  14)  (21n  3)Md  21n  14  21n  3Md  11Md  d   1; 11 Để phân số 3n  phân số tối giản d  11 7n  Hay 7n không chia hết cho 11 Ta có: 7n  1 11k  7n 1 22  11k (k  Z)  7(n  3)  11k  n   11k  n  11k  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ  55b  36b  19b Md  b Md 19Md + Nếu b Md ta có 18a  5bMd   3  18a  5b  Md   54a  15b Md      11a  2b Md 55a  10b Md 5  11a  2b  Md  a  5bMd mà b Md nên  5bMd  a Md Mặt khác a tối giản nên d   1 b + Nếu 19Md d  19 d    Từ (1) (2) suy 11a  2b tối giản rút gọn cho 19 18a  5b Bài 4: Tìm số tự nhiên m nhỏ khác để phân số 15 28 ; tối giản m m Lời giải Xét phân số 15 , có 15  3.5 m Nên phân số 15  tối giản m  3k ; m  5k  k  ¢  m Xét phân số 28 , có 28  22.7 m Nên phân số 28  tối giản m  2k ; m  7k  k  ¢  m Vậy phân số 15 28  ; tối giản m  3k ; m  5k ; m  2k ; m  k  k  ¢  m m Mặt khác, m số tự nhiên nhỏ khác nên ta chọn m  11 Vậy m  11 phân số 15 28 ; tối giản m m Bài 5: Tìm số nguyên b  21  b  31 cho phân số TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 10 11 ; ; phân số tối giản b b b Trang 22 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Lời giải Ta có 10  2.5 nên để phân số 10 11 ; ; phân số tối giản b b b b  2k ; b  5k ; b  7k ; b  11k  k  ¢   Vì b  ¢ , 21  b  31 nên ta chọn b   23; 27; 29;31 Vậy b   23; 27; 29;31 phân số 10 11 ; ; phân số tối giản b b b Bài 6: Tìm số tự nhiên m nhỏ để phân số 31 ; ; ; tối giản m  m  10 m  33 Lời giải Ta có 7  m    m  2 8  m  10   m   31 31  m  33 31   m   Các phân số có dạng a a   m  2 Để phân số tối giản a m  hai số nguyên tố nhau( chúng khơng hai số ngun tố chúng chia hết cho số d  suy phân số rút gọn cho d ) Ta cần tìm số tự nhiên m cho m  nhỏ nguyên tố với số 7;8; ;31 Như m  phải số nguyên tố nhỏ mà lớn 31 số 37 m   37  m  35 Vậy với m  35 phân số 31 ; ; ; tối giản m  m  10 m  33 Bài 7: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số 17 ; ; ; tối giản n 8 n 9 n  20 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 23 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Ta có 5  n    n  3 6  n    n  3 17 17  n  20 17   n  3 Các phân số có dạng a a   n  3 Để phân số tối giản a n  hai số nguyên tố nhau( chúng khơng hai số ngun tố chúng chia hết cho số d  suy phân số rút gọn cho d ) Ta cần tìm số tự nhiên n cho n  nhỏ nguyên tố với số 5; 6; ;17 Như n  phải số nguyên tố nhỏ mà lớn 17 số 19 n   19  n  16 Vậy với n  16 phân số 17 ; ; ; tối giản n 8 n 9 n  20 Bài 8: Tìm n  ¥ , n  để phân số n7 tối giản n2 Lời giải Ta có phân số n7 tối giản nên UCLN  n  7, n    n2 Mà  n     n    nên UCLN  n  2;9   3 Do n  M Đặt n   3a  a  ¥  Vậy n   3a  a  ¥  n n Bài 9: Chứng minh 5n  1 M6 , với n  ¥ ; phân số tối giản Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 24 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Vì với n  ¥ 5n  1M6  n lẻ  n lẻ n không chia hết cho n n ; phân số tối giản a Bài 10: Chứng tỏ phân số tối giản thì: b Vậy a) Phân số ab 246913579 phân số tối giản, suy tối giản 123456790 b b) Phân số a b ba phân số tối giản b b Lời giải a) Vì phân số a phân số tối giản nên UCLN  a, b   b mà UCLN  a, b   UCLN  a  b, b   Do phân số Suy Mà Vậy ab phân số tối giản b 246913579 123456789  1 123456790 123456790 123456789 phân số tối giản 123456790 246913579 phân số tối giản 123456790 b) Ta có phân số a phân số tối giản nên UCLN  a, b   b mà UCLN  a, b   UCLN  a  b, b   UCLN  b  a, b   nên phân số a b ba phân số tối giản b b TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 25 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Bài 11: CMR  a –1; b  1   A  3a  5b  phân số tối giản 5a  8b  Lời giải Gọi d  UCLN  3a  5b  2; 5a  8b  3   3a  5b     5a  8b  3 Md  b  1Md  1 Và  3a  5b   –  5a  8b  3 Md  a –1Md   Từ  1    d  UC  a – 1; b  1 Mà UCLN  a –1; b  1   d  1 3a  5b  Vậy  a –1; b  1   A  phân số tối giản 5a  8b  Dạng 5:Tìm phân số tối giản thỏa mãn điều kiện cho trước I.Phương pháp giải Dùng định nghĩa hai phân số a c   ad  bc b d II.Bài tốn Bài 1: Tìm phân số tối giản a ( b 0) mà giá trị khơng đổi cộng thêm tử với , mẫu với 10 b Lời giải Với b 0, ta có: Khi cộng thêm tử với , mẫu với 10 vào phân số Lúc ta có: a a4 ta phân số b b  10 a a4 = b b  10 Từ tính chất hai phân số học ta có a  b  10   b  a   Suy 10a  4b nên Vậy phân số cần tìm a   b 10 a  b TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 26 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Bài 2: Tìm phân số tối giản biết cộng mẫu vào tử cộng mẫu vào mẫu giá trị phân số tăng lên gấp lần Lời giải Gọi phân số cần tìm a a  b 2a a  b 2a (b  0) , theo đề ta có:   hay b bb b 2b b suy ab  bb   4ab  hay 3ab  bb suy ab a  hay  (vì b  ) bb b Vậy phân số cần tìm a  b Bài 3: Tìm phân số dương tối giản a (b  0) nhỏ cho nhân phân số với phân số b 14 12 ; kết số nguyên dương 25 Lời giải Ta có a 14 14a  ¥ b 5b Mà UCLN  a, b   nên a bội b ước 14  1 Lại có a 12 12a  ¥ b 25 25b Mà UC  a b   nên a bội 25 b ước 12   Từ  1   suy a  BCNN (5; 25)  25; b  UCLN (14;12)  Vậy phân số cần tìm a 25  b Bài 4: Tìm phân số tối giản phân số a (b  N * ) biết lấy tử cộng với , lấy mẫu cộng với 14 b TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 27 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Lời giải Ta có a6  b  14 Suy  a     b  14  a  42  3b  42 a  3b  a  b Vậy phân số cần tìm a  b Bài 5: Tìm phân số tối giản a (b  N * ) biết lấy tử cộng với , lấy mẫu cộng với 20 giá trị b phân số khơng đổi Lời giải Ta có a7 a  b  20 b Suy b  a    a  b  20  ab  7b  ab  20a 7b  20 a  a  b 20 a  b 20 Bài 6: Tìm phân số tối giản biết cộng mẫu vào tử để có tử lấy mẫu trừ tử để có mẫu Vậy phân số cần tìm số phương chẵn bé Lời giải Gọi phân số cần tìm a ab (b  N * , a  b) , theo đề ta có: 4 b ba suy a  b   4b  4a hay 5a  3b TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 28 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ suy a  b Vậy phân số cần tìm a  b Bài 7: Tìm phân số tối giản có mẫu 11 , biết cộng tử với 18 , nhân mẫu với phân số phân số ban đầu Lời giải Gọi phân số cần tìm x  x  ¢  Theo đề ta có: 11 x x   18   11 11.7  x   18  7x   x  x  18 11.7 11.7  x  18  x  3 Vậy phân số cần tìm 3 11 Bài 8: Tìm phân số chưa tối giản có tổng tử mẫu 1100 , sau rút gọn Tìm phân số ban đầu Lời giải Phân số ban đầu cần tìm 3n 3n  n  1100  n  ¥ * 7n Hay 10n  1100  n  110 Vậy phân số ban đầu 330 770 Bài 9: a) Với a số nguyên tố phân số b) Với b số nguyên tố phân số a phân số tối giản 74 b phân số tối giản 225 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 29 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ a) Ta có a a  phân số tối giản a số nguyên tố khác 37 74 2.37 b) Ta có b b  2 phân số tối giản b số nguyên tố khác 225 Bài 10: Tìm n  ¥ để n3  5n  255  n  6n  n  1083 Lời giải     * Gọi UCLN n  5n  1; n  6n  n   d d  ¥ suy  n3  5n  1Md     n  6n  n    n  n3  5n  1  Md   n  6n  n  5Md Hay n  5Md Do  n  5n  1  n  n  5  Md hay 1Md  d  Ta có 255 85  1083 361 n3  5n  85 n  5n  85 tối giản ;  2 n  6n  n  361 n  6n  n  361 Vì dạng tối giản phân số nên  n3  5n   85 n  5n   85   2  n  6n  n   361 n  n  5n  1  n   361  n  85n  356  n  4n  89n  365  n  n    89  n     n    n  89    n   (vì n  89  ) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 30 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ n4 Vậy với n  n3  5n  255  n  6n  n  1083 PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài 1: (HUYỆN HOA LƯ NĂM 2020-2021) Cho A  2n  Chứng tỏ A phân số tối giản n3 Lời giải ĐK: n  Gọi UCLN (n  3, 2n  5)Md   n  3 Md ;  2n   Md   n   Md ;  2n   Md   2n     2n    Md  1Md  d 1 Vậy A phân số tối giản Bài 2: (HUYỆN PHÙ CÁT NĂM 2020-2021) Tìm n  ¢ để phân số n 1 phân số tối giản 3n  Lời giải Gọi UCLN  n  1,3n  1  d n  1Md 3n  3Md   3n  1Md 3n  1Md   3n  3   3n  1 Md  4Md  d   1;2;4 n 1 phân số tối giản d   2;4 3n  n  M2    n  M2 n  M   Để TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 31 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ  n   k  k  ¥ *  n  2k  Vậy n  2k  1 k  ¥ * phân số n 1 phân số tối giản 3n  Bài 3: (HUYỆN THANH BA NĂM 2020-2021) Chứng minh phân số sau phân số tối giản với số tự nhiên n : 12n  30n  Lời giải Gọi UCLN  12n  1,30n    d 5  12n  1 Md 12n  1Md   30n  2Md 2  30n   Md   60n     60n   Md  1Md  d 1 Vậy phân số 12n  phân số tối giản với số tự nhiên n 30n  Bài 4: (HUYỆN CHƯƠNG MỸ NĂM 2020-2021) 3n  (n  N ) n2 a) Chứng tỏ phân số P tối giản b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé biểu thức P Lời giải Cho phân số P  Cho phân số P  3n  (n  N ) n2 a) Gọi UCLN (3n  5, n  2)  d  3n  5Md n  2Md  3.( n  2)  (3n  5) Md  1Md  d  1  d  Suy phân số P  3n  (n  ¢ ) tối giản n2 TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 32 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 3n  (n  ¢ ) n2 3( n  2)  P n2 P  3 n2 b) Ta có: P  Để P đạt giá trị lớn đạt giá trị âm nhỏ nhất, mà n  ¢ nên n  đạt giá trị nguyên âm lớn n2 n  3 Khi giá trị lớn P là: P   Để P đạt giá trị nhỏ  3  đạt giá trị dương lớn nhất; mà n  ¢ nên n  đạt giá trị nguyên n2 dương nhỏ n  1  1  Vậy giá trị lớp P , đạt n  3 Giá trị nhỏ P , đạt n  1 Bài 5: (HSG SƠN TỊNH NĂM 2020-2021) Khi giá trị nhỏ P là: P   Chứng tỏ với số tự nhiên n , phân số 12n  phân số tối giản 15n  Lời giải Gọi UCLN  12n  5,15n    d 12n  5Md 5  12n   Md   15n  6Md 4  15n   Md   60n  25    60n  24  Md  1Md  d 1 Vậy phân số 12n  phân số tối giản 15n  Bài 6: (HUYỆN NHO QUAN NĂM 2020-2021) 14n  Chứng tỏ với n số nguyên dương phân số tối giản 24n  Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 33 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Gọi d  ÖCLN  14n  3;24n  5 14n  3Md 12.(14n  3)Md 168n  36Md    24n  5Md 7.(24n  5)Md 168n  35Md  (168n  36)  (168n  35)Md  168n  36  168n  35Md  1Md  d  Vậy: phân số phân số 14n  phân số tối giản với n N 24n  Bài 7: (HUYỆN TRIỆU SƠN NĂM 2020-2021) 1 3n Tìm số tự nhiên n để phân số phân số tối giản 2n  Lời giải Gọi d  ÖC  1 3n;2n  3 1 3nMd  2n  3Md 2.(1 3n)Md  3.(2n  3)Md 2  6nMd  6n  9Md  (2  6n)  (6n 9)Md   6n  6n  9Md  7Md  d   1; 7 Để phân số 1 3n phân số tối giản d  7 2n  Hay 2n không chia hết cho  2n   7k  2n  3  7k  2n  10  7k TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 34 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ  n   7k  n  7k  Vậy: với n  7k  phân số 1 3n phân số tối giản 2n  Bài 8: (THỊ XÃ THÁI HÒA NĂM 2020-2021) Chứng minh phân số 4n  phân số tối giản với số tự nhiên n 6n  Lời giải Gọi d  ÖCLN  4n  1;6n  1  4n  1Md 3.(4n  1)Md 12n  3Md    6n  1Md 2.(6n  1)Md 12n  2Md  (12n  3)  (12n 2)Md  12n  3 12n  2Md  1Md  d  Vậy phân số phân số 4n  phân số tối giản với n N 6n  Bài 9: (HUYỆN ANH SƠN NĂM 2020-2021) 3n  Chứng minh với số nguyên n phân số tối giản 5n  Lời giải Gọi d  ÖCLN  3n  2;5n  3 3n  2Md 5.(3n  2)Md 15n  10Md    5n  3Md 3.(5n  3)Md 15n  9Md  (15n  10)  (15n  9)Md TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 35 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ  15n  10  15n  9Md  1Md  d  Vậy phân số phân số 3n  phân số tối giản với n Z 5n  Bài 10: (HUYỆN PHÚ LƯƠNG NĂM 2020-2021) Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau phân số tối giản: 100 ; ; ; ; n  n  10 n  11 n  102 Lời giải Ta có phân số cho có dạng x với x  7;8;9; ;100 x  (n  2) Do để phân số tối giản x n phải nguyên tố Suy n phải nhỏ nguyên tố với số 7;8;9; ;100  n  số nguyên tố nhỏ lớn 100  n   101  n  99 HẾT TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 36 ... :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 7n2  n  Do đó: phân số phân số tối giản 7n  Vì phân số d 7n  7n2  n  phân số tối giản nên phân số phân số tối giản 7n  n  7n  n n 1  ...  (k  Z) phân số 3n2  2n  phân số tối giản 2n  Dạng 3: Tìm tham số n để phân số khơng tối giản I.Phương pháp giải Để phân số không tối giản tử số mẫu số phải có ước chung số nguyên tố II.Bài... Chứng tỏ phân số tối giản thì: b Vậy a) Phân số ab 246913579 phân số tối giản, suy tối giản 123456790 b b) Phân số a b ba phân số tối giản b b Lời giải a) Vì phân số a phân số tối giản nên UCLN