S6 CHUYÊN đề 2 CHỦ đề 6 tìm CHỮ số tận CÙNG

ĐS6 CHUYÊN ĐỀ - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 6: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tìm chữ số tận Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận 0,1,5,6 nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi b) Các số có chữ số tận c) Các số có chữ số tận d) Các số có chữ số tận 4,9 nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận không thay đổi 3,7,9 nâng lên lũy thừa bậc 2,4,8 nâng lên lũy thừa bậc Chú ý: Muốn tìm chữ số tận số tự nhiên - Nếu chữ số tận - Nếu chữ số tận a a là 0,1,5,6 3,7,9 am =a4n+r =a4n ar Phân tích: Từ tính chất 1c x x = am chữ số tận 4n ( n Ỵ ¥ ) chữ số tận , trước hết ta xác định chữ số tận có chữ số tận 0,1,5,6 a : r = 0, 1, 2, với Þ chữ số tận - Nếu chữ số tận Từ tính chất 1d 4n ( n Ỵ ¥ ) Þ a 2,4,8 x chính chữ số tận ar : trường hợp chữ số tận x chính chữ số tận 6ar Tính chất 2: 4n +1 ( n ẻ Ơ ) Mt s t nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận không thay đổi Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng Tính chất 3: 4n + a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc có chữ số tận 7; số có chữ số tận 4n + nâng lên lũy thừa bậc có chữ số tận : 4n + b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc có chữ số tận 8; số có chữ số tận 4n + nâng lên lũy thừa bậc c) Các số có chữ số tận có chữ số tận 0,1,4,5,6,9 4n + nâng lên lũy thừa bậc không thay đổi chữ số tận Tính chất 4: ( a , 5) = aẻ Ơ Nu v thỡ a100 - chia ht cho 125 Chứng minh: Do a20 - chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 Þ a20 + a40 + a60 + a80 + a100 - = Vậy (a 20 chia hết cho ) (a 80 - chia cho 25 có số dư ) + a60 + a40 + a20 + chia hết cho 125 * Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận số ( - Giả sử ) k A k = 10q +r =10t p +r k A =10q +r Khi đó, Suy ra, chữ số cuối A bc hai chữ số cuối bcd A rk am- a0 m ba chữ số cuối A =10m.am + am- a0 =am a1a0 - Nếu r ẻ Ơ; Ê r Ê chinh l chữ số cuối số A =1000a +bcd = abcd - Nếu với n, k Ỵ N với A =100a + bc =abc - Nếu A = nk A chữ số cuối A Tìm hai chữ số tận Việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia 100 Phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên Trước hết, ta có nhận xét sau: 220 º 76 ( mod 100) x = an : x cho 320 º 01 ( mod 100) 65 º 76 ( mod 100) 74 º 01 ( mod 100) Mà: 76n º 76 ( mod 100) 5n º 25 ( mod 100) với với n³ n³ , k Î ¥* : Suy kết sau với a20k º 00 ( mod 100) a º ( mod 10) a20k º 01 ( mod 100) , a º 1; 3; 7; ( mod 10) a20k º 25 ( mod 100) , a º ( mod 10) a20k º 76 ( mod 100) , a º 2; 4; 6; ( mod 100) Vậy để tìm hai chữ số tận an ta lấy số mũ n chia cho 20 Một số trường hợp cụ thể chữ số tận 01; 25; 76 - Các số có tận - Các số 320 (hoặc 815 01; 25; 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 74; 512 ; 992 ); có tận 220; 65; 184; 242; 684; 742 - Các số - Số 26n ( n > 1) có tận có tận 76 01 76 01;25;76 - Các số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc khác hai chữ số tận khơng thay đổi (1) 320;74;910;512;815;992 - Các số có chữ số tận 410;65;184;242;684;742 - Các số có chữ số tận 01 (2) 76 (3) n 26 (n > 1) - Số có chữ số tận 76 (4) Như vậy, muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x = am , trước hết ta xác định chữ số tận a CHÚ Ý: - 410 52 có chữ số tận 25 có chữ số tận 820 910 76 có chữ số tận có chữ số tận 76 01 Tìm ba chữ số tận trở lên Việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia 1000 Giả sử n = 100k + r £ r < 100 , đó: với a º x ( mod 10) x Ỵ Giả sử: , Ta có: a100 = ( 10k + x) 100 ) { 0, 1, 2, , 9} a100 n³ chính chữ số tận x100 , ta có: 625n º 625 ( mod 1000) , 376n º 376 ( mod 1000) - Nếu - Nếu x=0 x=5 thì x100 º 000 ( mod 1000) 4 x = = 625 ( ) Þ x100 = 54 x = 1; 3; 7; - Nếu k º x100 ( mod 1000) Vậy chữ số tận Dùng quy nạp với ( an = a100k+r = a100 ar ta có tương ứng: 25 ( º 625 mod 103 ) x cho 100 x4 = 1;81; 2401; 6561 º ( mod 40) Þ x = ( 40k + 1) ) ( x, 125) = Ta có: ( º mod 103 x100 M2100 M8 x = 2;4; 6;8 - Nếu 25 ( ) x100 º mod 125 nên (Định lí Euler) x100 Giả sử chữ số tận x100 = 1000k + abc Þ abc M8 abc ta có: abc º ( mod 125) 1; 126; 376; 501; 626; 751; 876 Trong số (các số có chữ số chia cho 125 dư 1) có số chia hết cho 376 Vậy x100 º 376 ( mod 1000) Do ta có kết sau: ( ) ( ) ( ) a100k º 000 mod 103 a100k º 001 mod 103 a100k º 625 mod 103 ( a100k º 376 mod 103 ( ) a º mod 10 ( ) a º 1; 3; 7; mod 10 ( ) a º mod 10 ) ( ) a º 2; 4; 6; mod 10 Vậy để tìm ba chữ số tận an ta tìm chữ số tận số mũ n Một số trường hợp cụ thể chữ số tận 001; 376; 625 - Các số có tận - Các số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0625 nâng lên luỹ thừa (khác PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm chữ số tận Ví dụ 1.1: Tìm chữ số tận Lời giải: 187324 0 001; 376; 625 ) tận ) tận 0625 Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa bậc số có tận Các số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận Do đó: ( ) ( ) 81 187324 = (187 )81  = ….1  = …1 Vậy chữ số tận 187324 Ví dụ 1.2: Tìm chữ số tận số sau: a )1567 c )1567 + 10619 b)10619 d )1567.10619 Phân tích: - Ta biết số có chữ số tận 0,1,5,6 nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi - Để tìm chữ số tận lũy thừa ta cần tìm chữ số tận hàng đơn vị Lời giải a) 1567 có chữ số tận 10619 có chữ số tận ⇒ 1567 + 10619 c) Theo câu a) b) Chữ số tận lũy thừa : 1567.10619 ⇒ d) Theo kết câu a) b) Chữ số tận lũy thừa: 2020 Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận b) Phân tích: Để tìm chữ số tận số ta phải đưa số có tận Lời giải 54 = 625 Ta thấy phân tích Vậy số , số tận 52020 = 54.505 = 625505 52020 nâng lên bậc lũy thừa có chữ số tận có chữ số tận Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận số sau: a ) 2006 Lời giải b)8732 c) 91991 d ) 2335 e) 7430 f ) 74n −1 nên ta a ) 2006 = 72004.7 = 4.501.7 = .1.49 = .9 Vậy chữ số tận 2006 8732 b)8732 = 87 4.7 = .1 Vậy chữ số tận c) 91991 = 91988.93 = 4.497.93 = = .9 Vậy chữ số tận 91991 d ) 2335 = 2332.233 = 234.8.233 = .1 = .7 Vậy chữ số tận 2335 e) 7430 = ( 74 ) = ( 6)15 = .6 15 Vậy chữ số tận 7430 là: f ) n − = .1 − = .0 Vậy chữ số tận 74n −1 Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận số sau: b) 24 n +1 + a ) 735 − 431 Lời giải a) Ta có: 735 = 32.7 = 4.8.73 = .1.343 = .3 Vậy chữ số tận b) Ta có: 735 − 431 24 n +1 = n.2 = (24 ) n = 16 n.2 = .2 ⇒ 24 n+1 + = .2 + = .4 Vậy chữ số tận c) Ta có: 24 n+1 + 21930 = 21928.2 = 4.482.4 = .6.4 = .4 91945 = 91944.91 = 4.486.9 = .1.9 = .9 c) 21930.91945 ⇒ 21930.91945 = .4 = .6 Vậy chữ số tận 21930.91945 Ví dụ 1.6: Tìm chữ số tận phép toán sau: a )118 + 128 + 138 + 148 + 158 + 168 b)11123 + 13124 + 15125 Lời giải a) Ta có: - 18 có chữ số tận 28 có chữ số tận 38 có chữ số tận 48 có chữ số tận 58 có chữ số tận 68 có chữ số tận + + + + + = 25 Tổng chữ số bằng: Vậy 118 + 128 + 138 + 148 + 158 + 168 có chữ số tận b) Ta có: - 1123 có chữ số tận 3124 có chữ số tận 5125 có chữ số tận Vậy 11123 + 13124 + 15125 1+1+ = Tổng chữ số bằng: - 715 có chữ số tận c) Ta có: 5205 có chữ số tận có chữ số tận Tổng chữ số bằng: 5−3 = c)125205 − 23715 Vậy 125205 − 23715 có chữ số tận Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận tổng sau: S = 21  + 35  + 49  + ¼ + 20048009 Phân tích: Trong dạng ta phải tìm quy luật tổng, quy luật chính số mũ số hạng S, số mũ chia 4n + 1 dư Mà ta biết số nâng lên lũy thừa dạng có tận khơng đổi Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa S có số mũ chia cho n thuộc { 2;3;4 ;2004} n dư (các lũy thừa có dạng 4( n – 2) + , ) Theo tính chất, suy lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng: ( + +¼ + 9) + 199.( + +¼ + 9) + 1+ + + = 200( 1+ +¼ + 9) + = 9009 Vậy chữ số tận tổng S Tổng qt hóa: 4( n- 2) +1 Tìm chữ số tận tổng sau: S = 21  + 35  + 49  + ¼ + n Ví dụ 1.8: Tìm chữ số tận tổng T = 23 + 37 + 411 + + 20048011 Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa T có số mũ chia cho thuộc dư n4(n- 2)+3 n (các lũy thừa có dạng , { 2;3;4 ;2004} Theo quy tắc ) 23 411 37 có chữ số tận ; có chữ số tận ; có chữ số tận ; Như vậy, tổng T có chữ số tận chữ số tận tổng: (8 + + + + + + + 9) + 199.(1+ + + + + + + + 9) + + + + = 200.(1+ + + + + + + + + + + = 9019 Vậy chữ số tận tổng T Tương tự hóa: 4( n- 2) +3 S = 23  + 37  + 411  + ¼ + n Tìm chữ số tận Dạng 2: Tìm hai chữ số tận Ví dụ 2.1: Tìm hai chữ số tận số: a ) 22003      b) 799 Lời giải: a) Do Ta có 22003 số chẵn, ta tìm số tự nhiên n nhỏ cho ( 22003 = 23 ( 2000 − 1) + 23 = 23 ( 20 ) Vậy hai chữ số tận Ta có 210 = 1024 => 210 + = 1025M25 => 20 − = ( 210 + 1) ( 210 − 1) M25 => ( 20 − 1) M 100 Mặt khác: b) Do 2n − 1M25 799 22003 ) − + 23 = 100 k + ( k ∈ N ) 08 số lẻ, ta tìm số tự nhiên n bé cho = 2401 => 74 − 1M 100 Mặt khác : n − 1M 100 99 − ∶ => 99 = 4k + 1( k ∈ N ) 799 = k Vậy 100 +1 = ( k − 1) + = 100 q + ( q ∈ N ) Ví dụ 2.2: Tìm hai chữ số tận tận hai chữ số 07 71991 Lời giải Ta thấy: 74 = 2401, số có tận 01 nâng lên lũy thừa tận 01 ( ) 71991 = 71988.73 = 74 497 ( Do đó: Vậy 71991 ) 343 = 01 có hai chữ số tận 43 497 343 = ( 01.343 ) = 43 Ví dụ 4.5: Cho số có chữ số: *26* Điền chữ số thích hợp vào dấu (*) để số có bốn chữ số 2;3;5;9 khác chia hết cho tất bốn số: Lời giải: Số Số Số *26* *26* *26* đảm bảo chia hết cho chia hết số phải có chữ số tận số vừa chia hết cho Suy ra: Chữ số tận số Do ta có số *260 ⇒ Vậy: số cho 1260 nên số số chẳn nên số phải có tổng chữ số chia hết cho *26* Chữ số đầu số Ví dụ 4.6: Chứng tỏ hiệu 19831983 −19171917 chia hết cho 10 Lời giải: Ta có: Số 19831983 = ( 19844 ) 19834 495 19833 có chữ số tận ( 1983 ) 495 Suy Số 19833 Do đó: có tận có tận Phân tích tương tự, Do đó: Vậy: có tận 19831983 19171917 19831983 −19171917 19831983 −19171917 có tận có tận chia hết cho Ví dụ 4.7: Chứng tỏ rằng: 10 20075 + 20144 − 201313 chia hết cho 10 Lời giải: Ta có: 75 = 7 = 2401.7 tận chữ số nên số 20075 tận chữ số 44 = 256 tận chữ số 313 = ( 34 ) = 813 nên 20144 tận chữ số Suy ra: tận chữ số 20075 + 20144 − 201313 nên số 201313 tận chữ số 20075 + 20144 − 201313 Vây: số chia hết cho Ví dụ 4.8: Tìm bốn chữ số tận 10 51994 tận chữ số viết hệ thập phân Lời giải: Cách 1: 54 = 625 Ta thấy số tận 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương tận Cách 2: Tìm số dư chia Nhận xét: Ta có: Do 56 Nên: Tính ) 51994 = 54 k + = 25 ( 54 ) = 25 ( 0625 ) = 25 0625 = 5625 k Do đó: ( 0625 54 k − k 51994 chia hết cho cho 10000 = 24 54 54 −1 = ( 52 − 1) ( 52 − 1) nên chia hết cho 16 51994 = 56 ( 51988 −1) + 56 chia hết cho 56 ( 51988 − 1) 54 51988 −1 chia hết cho chia hết cho 16 (theo nhận xét trên) 10000 56 =15625 Vậy bốn chữ số tận Ví dụ 4.9: Chứng minh 51994 5625 3366 + 7755 – chia hết cho Lời giải: 3366 + 7755 – Ta chứng minh có tận sau vận dụng dấu hiệu chia hết cho 7755 3366 3366 366 = 933 = 9.92.16 3366 Thật vậy, có chữ số tận với , mà suy có tận , có 55 55 4.13 55 66 55 77 = 7 77 33 77 chữ số tận với , nên có tận Do , có chữ số tận 66 55 33 + 77 – , suy tận (đpcm) Dạng 5: Vận dụng chữ số tận vào tốn phương * Chú ý: 0;1; 4;5;6;9 - Số chính phương có chữ số tận là: - Khi phân tích thừa số nguyên tố, số chính phương chứa thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn - Số chính phương chia hết cho - Số chính phương chia hết cho - Số chính phương chia hết cho - Số chính phương tận - Số chính phương tận chia hết cho - Số chính phương chia hết cho - Số chính phương tận chia hết cho - Số chính phương chia hết cho chia cho chia hết cho - Số chính phương chia hết cho chia cho chia hết cho hoặc dư dư 1 25 16 chữ số hàng chục số chẵn chữ số hàng chục chữ số hàng chục số lẻ - Số tự nhiên A số chính phương nếu: + A có chữ số tận + A có chữ số tận 2;3; 7;8 mà chữ số hàng chục chữ số chẵn + A có chữ số hàng đơn vị khác + A có chữ số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục lẻ mà chữ số hàng chục khác + A có hai chữ số tận lẻ Ví dụ 5.1: Các số sau có phải số chính phương khơng? Vì sao? a) 102019 + ; b) Lời giải: a) Ta có: Suy ra: Do đó: 102019 có chữ số tận 102019 + 102019 + có chữ số tận khơng số chính phương 1.2.3.4 2019 + b) Ta có: Suy ra: Do đó: 1.2.3.4 2019 có chữ số tận 1.2.3.4 2019 + 1.2.3.4 2019 + Ví dụ 5.2: Cho có chữ số tận không số chính phương A = 22 + 23 + 24 + + 22020 Chứng minh A+ không số chính phương Lời giải: A = 22 + 23 + 24 + + 22020 Ta có: A = 23 + 24 + 25 + + 22021 Suy ra: A − A = 22021 − A+ = 22021 − + = 22021 Suy ra: = ( 24 ) 505 =16505 Ta có: 10505 Suy ra: Do đó: Vậy 16505 A+ A+ có chữ số tận có chữ số tận có chữ số tận 2 số chính phương Ví dụ 5.3: Cho a ∈¥ n −1 không chia hết cho Chứng minh 7n + số chính phương Lời giải: Do n −1 Ta có khơng chia hết − = 2400:10 Ta viết Vậy hai chữ số tận 03;51; 45 n = 4k + r ( r ∈{ 0, 2,3} ) n + = k + r + = r ( k −1) + r + 7n + chính hai chữ số tận Theo tính chất rõ ràng 7n + r + ( r = 0; 2;3) số chính phương n nên khơng chia hết cho Ví dụ 5.4: Cho S = 1+ 31 + 32 + 33 + + 330 Tìm chữ số tận S, từ suy S khơng phải số chính phương Lời giải: Tổng có 31 328 + 329 + 330 số hạng , nhóm số hạng từ trái sang phải, nhóm Trong nhóm, chữ số tận tổng Vậy chữ số tận tổng S chữ số tận tổng Ta có: hạng, cịn thừa ba số hạng cuối 328 + 329 + 330 329 = 328 = 1.3 = 330 = 328 32 = = Tổng S có chữ số tận + + = Số chính phương khơng có tận Ví dụ 5.5: Cho tổng Suy S số chính phương S = + + + + 2009 + 2011 a) Tính S b) Chứng tỏ S số chính phương Lời giải: a) Ta có: b)  2011 +   2011 −1  S = + + + + 2009 + 2011 =  + 1÷=1006 =1012036 ÷     S = 22 5032 = 10062 có chữ số tận nên S số chính phương Ví dụ 5.6: Tìm số chính phương có bốn chữ số, viết vởi chữ số 3;6;8;8 Lời giải: Gọi n2 số chính phương cần tìm Số chính phương khơng tận Số tận Vậy n2 86 chia hết cho phải tận phải tận , không chia hết cho 36 Suy số chính phương cần tìm là: nên n2 8836 = 942 nên không số chính phương BÀI TẬP Bài 1: Chứng tỏ 102003 + chia hết cho Lời giải: Cách 1: 102003 =10.102002 = 2.5.102002 102003 + Do đó: Cách 2: 102003 102003 + Vậy: chia hết cho chia hết cho chia hết cho có chữ số tận Do đó: chia hết cho 102003 + có chữ số tận Bài 2: Tìm chữ số tận số sau: 67 a) 2345 75 ; b) 5796 Lời giải: a) Số b) Số 243 579 có tận có tận , nâng lên luỹ thừa lẻ nên có chữ số tận , nâng lên luỹ thừa chẵn nên có tận 61995 91995 31995 21995 Bài 3: Tìm chữ số tận số sau: ; ; ; Lời giải: Ta có: 61995 91995 31995 21995 có số tận có số tận 1995 = 4.498 + có số tận ( ) có số tận Bài 4: Tìm chữ số cuối số 79 Lời giải: Ta có: Mà: 74k có chữ số cuối 99 = ( 2.4 + 1) 9 Do đó: chữ số cuối số 79 Bài 5: Tích số lẻ liên tiếp có tận Hỏi tích có thừa số? Lời giải: Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp trở lên ít có thừa số có chữ số tận 5 phải tận nên trái đề Vậy số thừa số tích nhỏ phải lớn Nếu tích có Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp tích có tận thừa số lẻ liên tiếp tích có tận Vậy tích có Bài 6: Tích 5 , tận 9 Dó tích nên trái đề nên trái đề thừa số A = 2.22 23 210 52 54 56 514 tận chữ số Lời giải: Ta có: 2.22 23 210 = 21+ + + +10 255 52 54 56 514 = 52 + + + +14 = 556 Do đó: A = 255 556 = 255 555 =1055 Vậy A có tận 55 Bài 7: Tìm số tự nhiên có số phải tìm chữ số chữ số biết số gồm năm chữ số viết theo thứ tự ngược lại bốn lần Lời giải: Gọi số phải tìm abcde ( a , b , c , d , e ∈¥ ;1 < a , e ≤ 9;0 ≤ b , c , d ≤ ) Theo đầu ta có: Vì 4.abcde Tích 4e 4.abcde = edcba (*) số có năm chữ số nên số tận , a≤2 e =3 , a lại chẵ nên e =8 a=2 Vì e chữ số đầu số tận b nên b phải số lẻ, Xét tích Vậy 4d d =2 Đó số cộng với d =7 số tận b =1 nên 4.d tận d =7 Bằng cách thử trực tiếp, ta 21978 Vậy số phải tìm , c =9 Bài 8: Hãy thay vào a, b, c, d chữ số thích hợp, biết rằng: a) abc = dad ; abc + ba = dcca b) ; c) acc = cca = aa Lời giải: abc a =1 c d =0 a) Tích số có ba chữ số, nên số tận (tức d =5 d ≠0 d =5 dad = 515 ) nên , suy Vậy: abc = 515:5 =103 Ta có phép tính 103.5 = 515 b) Ta viết lại phép tính sau: ba + abc dcca a+c=a a + c ≠ 10 + a c =0 a =9 Ta có: (vì ) nên Tổng số có bốn chữ số trường hợp Khi d =1 b + b b + b b = 0 ; số tận , phải khác khơng ta phải có , trái với b + b =10 b =5 đầu Do đó: Ta có phép tính: 950 + 59 =1009 c) Ta viết lại phép tinh bằng: aa + cca acc Nếu a + c