CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6-SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 4: DÙNG CHỮ SỐ TẬN CÙNG ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ KHƠNG PHẢI SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT -Số phương có chữ số tận 0,1, 4,5, 6,9 ; khơng thể có chữ số tận 2,3, 7,8 Như để chứng minh số số phương ta số có hàng đơn vị 2,3, 7,8 -Số phương tận 1; chữ số hàng chục chữ số chẵn Ví dụ : 121; 49; -Số phương tận chữ số hàng chục -Số phương tận chữ số hàng chục lẻ -Nếu số phương có chữ số tận số phương có số chẵn chữ số tận Chẳng hạn: 100, 10000, … PHẦN II CÁC BÀI TOÁN Bài 1: Chứng minh số sau khơng số phương: 11 111 1111 a) A 11 111 1111 b) B 100100 1010 10 c) C 10 17 Lời giải 11 111 1111 a) A 11 111 1111 11 Ta có: 11 có chữ số tận ; 111111 có chữ số tận ; 11111111 có chữ số tận ; Vì Suy A có chữ số tận nên khơng số phương 100 10 b) B 100 10 100 Ta có: 100 có chữ số tận ; TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1010 có chữ số tận ; Vì B 100100 1010 có chữ số tận nên khơng số phương 10 c) C 10 17 10 Ta có: 10 có chữ số tận ; 17 có chữ số tận ; C 1010 17 có chữ số tận nên khơng số phương 2 2 Bài 2: Chứng minh số tự nhiên N 2015 2014 2013 2012 2011 khơng số phương Lời giải 20153 có chữ số tận 5; 2014 có chữ số tận 6; 20132 có chữ số tận 20122 có chữ số tận 4; 20112 có chữ số tận Ta có tổng chữ số tận cùng: 23 Vì N có chữ số tận nên N khơng số phương Bài 3: Khơng tính tổng quát cho biết tổng, hiệu sau có phải số phương khơng? A 7.13.25.63.105 113 B 11.19.27.63.99 122.92 C 12.13.14.15.16 3.12.13.14.82 Lời giải A 7.13.25.63.105 113 Ta có: 7.13.25.63.105 có chữ số tận TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 113 có chữ số tận A có chữ số tận A khơng số phương B 11.19.27.63.99 122.92 Ta có: 11.19.27.63.99 có chữ số tận ; 122.92 có chữ số tận ; B có chữ số tận B khơng số phương C 12.13.14.15.16 3.12.13.14.82 12.13.14.(15.16 3.82) 12.13.14(240 246) C khơng số phương Bài 4: Chứng minh tổng bình phương năm số tự nhiên liên tiếp khơng số phương Lời giải Gọi năm số tự nhiên liên tiếp là: n 2, n 1, n, n 1, n ( n ¥ , n 2) Gọi S tổng bình phương năm số tự nhiên liên tiếp 2 2 Ta có: S (n 2) (n 1) n (n 1) (n 2) 5n 10 5(n 2) 2 Vì n số phương nên khơng thể có chữ số tận nên n không chia hết cho n không chia hết cho 25 Ta thấy S chia hết cho không chia hết cho 25 Vậy S khơng số phương 2 2 Bài 5: Chứng minh số n 2004 2003 2002 2001 khơng số phương Lời giải 2 2 Vì chữ số tận số 2004 ; 2003 ; 2002 ; 2001 ; ; ; TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Do số n có chữ số tận nên n khơng số phương Bài 6: Chứng minh số 1234567890 khơng phải số phương Lời giải Cách 1: Ta có 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận ) không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90 ) Do số 1234567890 khơng phải số phương Cách 2: Ta có 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận ), không chia hết cho (vì hai chữ số tận 90 ) nên 1234567890 khơng số phương n Bài 7: Cho n ¥ n –1 khơng chia hết cho Chứng minh khơng thể số phương Lời giải n 4k r k ¥ , r 0, 2,3 Do n không chia hết n 4k r r k r M Ta viết Ta có 2400 100 n r r 0, 2,3 Vậy hai chữ số tận hai chữ số tận nên 03,51, 45 n Theo tính chất (1);(2);(3) rõ ràng khơng thể số phương n không chia hết cho 20 Bài 8: Tổng sau có số phương hay khơng A Lời giải Ta biết số phương chia hết cho chia hết cho Mà A chia hết cho , A chia dư Do A khơng số phương Bài 9: Chứng minh tổng sau không số phương: B 11 11 11 Lời giải Ta có: 11 có chữ số tận ; 112 có chữ số tận ; 113 có chữ số tận ; TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG B có chữ số tận 1 B khơng số phương 33 Bài 10: Cho A Hỏi A có số phương khơng? Vì sao? Lời giải Ta có A 22 23 24 25 230 231 232 233 22 22 23 230 2 23 2.30 229.30 229 3.10 Ta thấy A có chữ số tận Mà số phương khơng có chữ số tận Do A khơng số phương 2012 2011 2010 2009 Bài 11: Cho A 10 10 10 10 Chứng minh A khơng phải số phương Lời giải Ta có số : 10 2012 ;10 2011;10 2010 ;10 2009 có chữ số tận 2012 2011 2010 2009 Nên A 10 10 10 10 có chữ số tận Vậy A số phương (Vì số phương có chữ số tận 1; 4;5; 6;9 ) 2010 2011 Bài 12: Cho A Hỏi A có phải số phương khơng? Lời giải A 22 23 22010 22011 22012 22012 2012 Ta có: có chữ số tận ; A có chữ số tận 13 Vì số phương khơng có tận , nên A khơng phải số phương Bài 13: Chứng minh số sau không số phương: 12 12 12 a) A 12 13 14 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 100 b) B 161 100 c) C 100 Lời giải a) A có chữ số tận nên khơng số phương B 7100 161 161 125 mod10 25 b) B có chữ số tận nên khơng số phương 100 c) C 100 100 Ta có: 100 có chữ số tận ; 98 có chữ số tận ; C có chữ số tận C có chữ số tận nên khơng số phương Bài 14: Cho N 1.3.5 2015 Chứng minh N khơng số phương Lời giải Ta có N chia hết cho N lẻ nên chữ số tận N N có chữ số tận nên khơng phải số phương Bài 15: Các tổng sau có phải số phương khơng ? Vì ? 20 21 22 a) B 11 11 11 10 10 b) C 10 117 Lời giải 20 21 22 a) Tổng B 11 11 11 có chữ số tận nên khơng số phương 10 10 b) Tổng C 10 117 có chữ số tận nên khơng số phương Bài 16: Cho chữ số 0, 2, 3, Tìm số phương có chữ số gồm chữ số Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Gọi A số phương có bốn chữ số cần tìm A khơng có tận nên chữ số tận A +) Nếu chữ số tận A chữ số hàng chục , không thỏa mãn yêu cầu +) Nếu chữ số tận A chữ số hàng chục chẵn nên chữ số hàng chục A là: 3204, 2304,3024 2 2 Ta có: 56 3204 57 ; 2304 48 ;54 3204 55 Vậy số cần tìm 2304 Bài 17: Ta ký hiệu n ! tích n số nguyên dương Cụ thể n ! 1.2 n Tìm số tự nhiên n cho: 1! 2! 3! n! số phương Lời giải S 1! 2! 3! n ! 10 n ! có chữ số tận * Với n n ! 1.2.3.4.5 nM +) Với n S 1! +) Với n S 1! 2! (loại) +) Với n S 1! 2! 3! +) Với n S 1! 2! 3! 4! 33 (loại) +) Với n S 1! 2! 3! 4! 5! n ! Ta thấy 1! 2! 3! 4! =33 có chữ số tận 3; 5! n ! có tận S có tận nên S khơng số phương Vậy n n 1! 2! 3! n! số phương 2 11 Bài 18: Chứng minh số tự nhiên N 114 113 112 111 2015 khơng số phương Lời giải 1142 có chữ số tận ; TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1132 có chữ số tận 9; 1122 có chữ số tận ; 11111 có chữ số tận 2015 có chữ số tận ; Ta có 23 Vậy N có chữ số tận N khơng số phương 2014 2019 Bài 19: Cho P 2014 2019 Chứng minh P khơng phải số phương Lời giải 2014 Chữ số tận 2014 ; 2019 Chữ số tận 2019 ; Chữ số tận ; 2014 2019 34 17 Chữ số tận P 2014 2019 chữ số tận tổng Vậy P số phương PHẦN III BÀI TỐN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HỌC SINH GIỎI 98 Bài 1: Cho S Chứng tỏ S khơng phải số phương (Trích Đề thi HSG lớp huyện Cẩm Giàng năm 2018 -2019) Hướng dẫn 98 Gọi M S 2M Ta có: M 2M M 22 23 299 22 23 298 299 99 24 S 8.16 24 Vì 16 24 có chữ số tận S có chữ số tận TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vậy S khơng số phương 98 Cách 2: Gọi M S 2 M Ta có M 2M M 22 23 299 2 23 298 299 S 299 Ta thấy thừa số nguyên tố có số mũ lẻ Vậy S khơng số phương 80 Bài 2: Cho biểu thức M Chứng tỏ M số phương (Trích Đề thi HSG lớp trường THCS Quỳnh Giang năm 2015 -2016) Hướng dẫn 80 Ta thấy M chia hết cho số nguyên tố 80 2 Mặt khác chia hết cho (Vì số hạng chia hết cho ) M khơng chia hết cho 52 (Vì tổng M có số hạng không chia hết cho 52 ) M chia hết cho không chia hết cho 52 Vậy M khơng phải số phương 61 62 Bài 3: Chứng minh tổng sau: P khơng số phương (Trích Đề thi HSG lớp trường THCS Nguyễn Thị Lợi năm 2009 -2010) Lời giải P 32 33 34 35 36 37 356 357 358 359 360 361 362 40 34 40 356 40 360 361 362 40 40 Ta thấy: 360 32 930 40 56 có chữ số tận 30 Số có chữ số tận 61 60 Số 3.3 có chữ số tận TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 62 60 Số 9.3 có chữ số tận Vậy tổng P có chữ số tận P khơng số phương Bài 4: Cho A 10 2012 102011 102010 102009 Chứng minh A số phương (Trích Đề thi HSG lớp trường THCS Nơng Trang - TP Việt Trì năm 2014 - 2015) Lời giải Ta có số : 10 2012 ;10 2011;102010 ;102009 có chữ số tận 2012 2011 2010 2009 Nên A 10 10 10 10 có chữ số tận Vậy A số phương 1414 Bài 5: Cho P 14 99 23 Chứng minh P khơng phải số phương (Trích Đề thi HSG lớp huyện Lý Nhân năm 2018 -2019) Lời giải 1414 142 6k mod10 k ¥ 1414 Vì , nên chữ số tận 14 14 k 9 Chữ số tận ( lẻ ) Chữ số tận 34 2 34 281 24 620.2 6.2 mod10 20 1414 99 34 Chữ số tận P 14 chữ số tận tổng Vậy P khơng phải số phương TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 ... mod10 k ¥ 141 4 Vì , nên chữ số tận 14 14 k 9 Chữ số tận ( lẻ ) Chữ số tận 34 2 34 281 24 62 0.2 6. 2 mod10 20 141 4 99 34 Chữ số tận P 14 chữ số tận tổng Vậy... 36 37 3 56 357 358 359 360 361 362 40 34 40 3 56 40 360 361 362 40 40 Ta thấy: 360 32 930 40 56 có chữ số tận 30 Số có chữ số tận. .. số tận 61 60 Số 3.3 có chữ số tận TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 62 60 Số 9.3 có chữ số tận Vậy tổng P có chữ số tận P khơng số phương Bài 4: Cho