S6 CHUYÊN đề 6 CHỦ đề 4 DÙNG CHỮ số tận CÙNG để CHỨNG MINH một số KHÔNG PHẢI số CHÍNH PHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6-SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 4: DÙNG CHỮ SỐ TẬN CÙNG ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ KHƠNG PHẢI SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT -Số phương có chữ số tận 0,1, 4,5, 6,9 ; khơng thể có chữ số tận 2,3, 7,8 Như để chứng minh số số phương ta số có hàng đơn vị 2,3, 7,8 -Số phương tận 1; chữ số hàng chục chữ số chẵn Ví dụ : 121; 49; -Số phương tận chữ số hàng chục -Số phương tận chữ số hàng chục lẻ -Nếu số phương có chữ số tận số phương có số chẵn chữ số tận Chẳng hạn: 100, 10000, … PHẦN II CÁC BÀI TOÁN Bài 1: Chứng minh số sau khơng số phương: 11 111 1111 a) A  11  111  1111 b) B  100100  1010  10 c) C  10  17 Lời giải 11 111 1111 a) A  11  111  1111 11 Ta có: 11 có chữ số tận ; 111111 có chữ số tận ; 11111111 có chữ số tận ; Vì    Suy A có chữ số tận nên khơng số phương 100 10 b) B  100  10  100 Ta có: 100 có chữ số tận ; TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1010 có chữ số tận ; Vì     B  100100  1010  có chữ số tận nên khơng số phương 10 c) C  10  17 10 Ta có: 10 có chữ số tận ; 17 có chữ số tận ;  C  1010  17 có chữ số tận   nên khơng số phương 2 2 Bài 2: Chứng minh số tự nhiên N  2015  2014  2013  2012  2011 khơng số phương Lời giải 20153 có chữ số tận 5; 2014 có chữ số tận 6; 20132 có chữ số tận 20122 có chữ số tận 4; 20112 có chữ số tận Ta có tổng chữ số tận cùng:      23 Vì N có chữ số tận nên N khơng số phương Bài 3: Khơng tính tổng quát cho biết tổng, hiệu sau có phải số phương khơng? A  7.13.25.63.105  113 B  11.19.27.63.99  122.92 C  12.13.14.15.16  3.12.13.14.82 Lời giải A  7.13.25.63.105  113 Ta có: 7.13.25.63.105 có chữ số tận TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 113 có chữ số tận   A có chữ số tận   A khơng số phương B  11.19.27.63.99  122.92 Ta có: 11.19.27.63.99 có chữ số tận ; 122.92 có chữ số tận ;   B có chữ số tận   B khơng số phương C  12.13.14.15.16  3.12.13.14.82  12.13.14.(15.16  3.82)  12.13.14(240  246)    C khơng số phương Bài 4: Chứng minh tổng bình phương năm số tự nhiên liên tiếp khơng số phương Lời giải Gọi năm số tự nhiên liên tiếp là: n  2, n  1, n, n  1, n  ( n  ¥ , n  2) Gọi S tổng bình phương năm số tự nhiên liên tiếp 2 2 Ta có: S  (n  2)  (n  1)  n  (n  1)  (n  2)  5n  10  5(n  2) 2 Vì n số phương nên khơng thể có chữ số tận nên n  không chia hết cho    n  không chia hết cho 25 Ta thấy S chia hết cho không chia hết cho 25 Vậy S khơng số phương 2 2 Bài 5: Chứng minh số n  2004  2003  2002  2001   khơng số phương Lời giải 2 2 Vì chữ số tận số 2004 ; 2003 ; 2002 ; 2001 ; ; ; TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Do số n có chữ số tận nên n khơng số phương Bài 6: Chứng minh số 1234567890 khơng phải số phương Lời giải Cách 1: Ta có 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận ) không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90 ) Do số 1234567890 khơng phải số phương Cách 2: Ta có 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận ), không chia hết cho (vì hai chữ số tận 90 ) nên 1234567890 khơng số phương n Bài 7: Cho n  ¥ n –1 khơng chia hết cho Chứng minh  khơng thể số phương Lời giải n  4k  r  k  ¥ , r   0, 2,3  Do n  không chia hết   n 4k  r   r k   r  M Ta viết   Ta có   2400 100 n r   r  0, 2,3 Vậy hai chữ số tận  hai chữ số tận nên 03,51, 45 n Theo tính chất (1);(2);(3) rõ ràng  khơng thể số phương n  không chia hết cho 20 Bài 8: Tổng sau có số phương hay khơng A     Lời giải Ta biết số phương chia hết cho chia hết cho Mà A chia hết cho , A chia dư Do A khơng số phương Bài 9: Chứng minh tổng sau không số phương: B  11  11  11 Lời giải Ta có: 11 có chữ số tận ; 112 có chữ số tận ; 113 có chữ số tận ; TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  B có chữ số tận    1   B khơng số phương 33 Bài 10: Cho A       Hỏi A có số phương khơng? Vì sao? Lời giải Ta có A     22  23  24  25     230  231  232  233    22    22  23    230    2  23    2.30   229.30      229  3.10 Ta thấy A có chữ số tận Mà số phương khơng có chữ số tận Do A khơng số phương 2012 2011 2010 2009 Bài 11: Cho A  10  10  10  10  Chứng minh A khơng phải số phương Lời giải Ta có số : 10 2012 ;10 2011;10 2010 ;10 2009 có chữ số tận 2012 2011 2010 2009 Nên A  10  10  10  10  có chữ số tận Vậy A số phương (Vì số phương có chữ số tận 1; 4;5; 6;9 ) 2010 2011 Bài 12: Cho A        Hỏi A  có phải số phương khơng? Lời giải A     22  23   22010  22011   22012    22012  2012 Ta có: có chữ số tận ;  A có chữ số tận   13 Vì số phương khơng có tận , nên A  khơng phải số phương Bài 13: Chứng minh số sau không số phương: 12 12 12 a) A  12  13  14 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 100 b) B   161 100 c) C  100   Lời giải a) A có chữ số tận nên khơng số phương B  7100  161     161  125      mod10  25 b)  B có chữ số tận nên khơng số phương 100 c) C  100   100 Ta có: 100 có chữ số tận ; 98 có chữ số tận ;  C có chữ số tận       C có chữ số tận nên khơng số phương Bài 14: Cho N  1.3.5 2015 Chứng minh N  khơng số phương Lời giải Ta có N chia hết cho N lẻ nên chữ số tận N N  có chữ số tận nên khơng phải số phương Bài 15: Các tổng sau có phải số phương khơng ? Vì ? 20 21 22 a) B  11  11  11 10 10 b) C  10  117 Lời giải 20 21 22 a) Tổng B  11  11  11 có chữ số tận nên khơng số phương 10 10 b) Tổng C  10  117 có chữ số tận nên khơng số phương Bài 16: Cho chữ số 0, 2, 3, Tìm số phương có chữ số gồm chữ số Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Gọi A số phương có bốn chữ số cần tìm A khơng có tận nên chữ số tận A +) Nếu chữ số tận A chữ số hàng chục , không thỏa mãn yêu cầu +) Nếu chữ số tận A chữ số hàng chục chẵn nên chữ số hàng chục A là: 3204, 2304,3024 2 2 Ta có: 56  3204  57 ; 2304  48 ;54  3204  55 Vậy số cần tìm 2304 Bài 17: Ta ký hiệu n ! tích n số nguyên dương Cụ thể n !  1.2 n Tìm số tự nhiên n cho: 1! 2! 3!  n! số phương Lời giải S  1! 2! 3!  n ! 10  n ! có chữ số tận * Với n   n !  1.2.3.4.5 nM +) Với n  S  1!   +) Với n  S  1! 2!  (loại) +) Với n  S  1! 2! 3!   +) Với n  S  1! 2! 3! 4!  33 (loại) +) Với n  S  1! 2! 3! 4! 5!  n ! Ta thấy 1! 2! 3! 4! =33 có chữ số tận 3; 5!  n ! có tận  S có tận nên S khơng số phương Vậy n  n  1! 2! 3!  n! số phương 2 11 Bài 18: Chứng minh số tự nhiên N  114  113  112  111  2015 khơng số phương Lời giải 1142 có chữ số tận ; TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1132 có chữ số tận 9; 1122 có chữ số tận ; 11111 có chữ số tận 2015 có chữ số tận ; Ta có      23 Vậy N có chữ số tận  N khơng số phương 2014 2019 Bài 19: Cho P  2014  2019  Chứng minh P khơng phải số phương Lời giải 2014 Chữ số tận 2014 ; 2019 Chữ số tận 2019 ; Chữ số tận ; 2014 2019 34      17 Chữ số tận P  2014  2019  chữ số tận tổng Vậy P số phương PHẦN III BÀI TỐN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HỌC SINH GIỎI 98 Bài 1: Cho S       Chứng tỏ S khơng phải số phương (Trích Đề thi HSG lớp huyện Cẩm Giàng năm 2018 -2019) Hướng dẫn 98 Gọi M        S  2M Ta có: M  2M  M   22  23    299     22  23   298   299  99 24  S      8.16 24 Vì 16 24 có chữ số tận  S có chữ số tận TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vậy S khơng số phương 98 Cách 2: Gọi M        S  2 M Ta có M  2M  M   22  23    299     2  23   298   299   S  299 Ta thấy thừa số nguyên tố có số mũ lẻ Vậy S khơng số phương 80 Bài 2: Cho biểu thức M      Chứng tỏ M số phương (Trích Đề thi HSG lớp trường THCS Quỳnh Giang năm 2015 -2016) Hướng dẫn 80 Ta thấy M      chia hết cho số nguyên tố 80 2 Mặt khác    chia hết cho (Vì số hạng chia hết cho )  M khơng chia hết cho 52 (Vì tổng M có số hạng không chia hết cho 52 )  M chia hết cho không chia hết cho 52 Vậy M khơng phải số phương 61 62 Bài 3: Chứng minh tổng sau: P        khơng số phương (Trích Đề thi HSG lớp trường THCS Nguyễn Thị Lợi năm 2009 -2010) Lời giải P     32  33    34  35  36  37     356  357  358  359   360  361  362   40  34 40   356 40   360  361  362  40  40   Ta thấy: 360   32   930 40  56 có chữ số tận 30 Số có chữ số tận 61 60 Số  3.3 có chữ số tận TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 62 60 Số  9.3 có chữ số tận Vậy tổng P có chữ số tận   P khơng số phương Bài 4: Cho A  10 2012  102011  102010  102009  Chứng minh A số phương (Trích Đề thi HSG lớp trường THCS Nơng Trang - TP Việt Trì năm 2014 - 2015) Lời giải Ta có số : 10 2012 ;10 2011;102010 ;102009 có chữ số tận 2012 2011 2010 2009 Nên A  10  10  10  10  có chữ số tận Vậy A số phương 1414 Bài 5: Cho P  14  99  23 Chứng minh P khơng phải số phương (Trích Đề thi HSG lớp huyện Lý Nhân năm 2018 -2019) Lời giải 1414   142   6k   mod10  k  ¥ 1414 Vì , nên chữ số tận 14 14 k 9 Chữ số tận ( lẻ ) Chữ số tận 34 2 34  281   24   620.2  6.2   mod10  20  1414 99 34     Chữ số tận P  14   chữ số tận tổng Vậy P khơng phải số phương TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 ... mod10  k  ¥ 141 4 Vì , nên chữ số tận 14 14 k 9 Chữ số tận ( lẻ ) Chữ số tận 34 2 34  281   24   62 0.2  6. 2   mod10  20  141 4 99 34     Chữ số tận P  14   chữ số tận tổng Vậy... 36  37     3 56  357  358  359   360  361  362   40  34 40   3 56 40   360  361  362  40  40   Ta thấy: 360   32   930 40  56 có chữ số tận 30 Số có chữ số tận. .. số tận 61 60 Số  3.3 có chữ số tận TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 62 60 Số  9.3 có chữ số tận Vậy tổng P có chữ số tận   P khơng số phương Bài 4: Cho