Đang tải... (xem toàn văn)
Biển số xe máy của bạn Hùng là một số có 4 chữ số, có đặc điểm như sau: Số đó là số chính phương, nếu lấy số đầu trừ đi 3 và số cuối cộng thêm 3 thì được một số cũng là số chính phương. [r]
(1)Chứng minh số số phương Phương pháp 1.
Nhìn chữ số tận cùng:
- Vì số phương bình phương số nên suy ra.Số phương phải có chữ số tận chữ số: 0,1,4,5,6,9 Từ ta giải toán dạng sau đây:
Bài toán 1.
Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 Khơng số chính
phương LG
- Ta thấy chữ số tận số: 20042,20032,20022,20012lần lượt 6,9,4,1.
Do n có chữ số tận Nên n số phương
Chú ý: Nhiều số cho có chữ số tận số: 0,1,4,5,6,9 khơng phải số phương, ta phải lưu ý thêm: Nếu số phương chia hết cho số ngun tố p phải chia hết cho p2
Bài tốn 2.
Chứng minh số: 1234567890 khơng phải số phương LG
- Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), khơng chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 khơng phải số phương
Chú ý:
- Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho không chia hết cho (vì hai chữ số tận 90).Nên 1234567890 khơng phải số phương
Bài toán 3.
Chứng minh xnếu số có tổng chữ số 2004 số khơng phải số phương
LG
Ta thấy tổng chữ số 2004 nên 2004 chia hết cho mà lại khơng chia hết cho Nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà không chia hết cho Do số khơng phải số phương
Phương pháp 2.
Dùng tính chất số dư Bài toán 4.
Chứng minh số có tổng chữ số 2006 khơng phải số phương
LG
- ta khơng gặp trường hợp tốn nên ta phải nghĩ đến phương pháp khác
(2)- Vì số chíng phương chia cho dư mà thơi ( kết toán mà ta dễ dàng chứng minh được)
- Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho dư Nên số khơng phải số phương
Bài tốn ( Tương tự toán 4)
Chứng minh tổng số tự nhien liên tiếp từ đến 2005 số phương
Bài tốn 6.
Chứng minh số: 20044 + 20043 + 20042 + 23 khơng phải số phương.
Phương pháp 3.
Tình chứng minh n khơng số phương n chia cho dư
VD: Bài toán
Chứng minh số: n = 44 + 444 + 4444 + 44444 + 15 khơng số phương.
Nhận xét:
- Nếu chia n cho số dư Vậy khơng giải theo cách tốn
3,4,5,6
- Nếu xét chữ số tận ta thấy chữ số tận n nên khơng giải
được theo cách tốn 1,2
Vậy ta phải dựa vào nhận xét sau (ta cm):
Một số phương chia cho số dư Lúc ta giải toán
Phương pháp
Phương pháp kẹp hai số phương liên tiếp: n2 (n+1)2.
Ta thấy: Nếu n k N thỏa mãn điều kiện: n2 < k < (n+1)2 lúc k khơng
phải số phương Bài tốn
Chứng minh số 4014025 khơng phải số phương Nhận xét:
Số có hai chữ số tận 25 nên chia cho dư chia cho dư 1, nên áp dụng cách
LG
Ta thấy: 20032 = 401209; 20042= 4016016 Nên 20032< 4014025 < 20042 Chứng
tỏ số 4014025 khơng phải số phương Bài tốn 9.
Chứng minh:
A = n(n+1)(n +2)(n+3) không số phương với nN, n0
Nhận xét: Nếu quen dạng ta thấy A+1 phải số phương ( bài tốn lớp 8) lớp 6,7 giải theo cách sau
(3)Ta có: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2+3n +1)2
Mặt khác (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A
Điều hiển nhiên vì: n > Chứng tỏ
(n2 + 3n)2 < A < A+1= (n2+3n +1)2 Suy A số phương.
Một số tốn khác. Bài 10.
Chứng tỏ số: 235+2312+232003 không số phương.
Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho chia cho Bài 11.
Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, mảnh ghi số từ đến 1001 (không có mảnh ghi khác nhau) Chứng minh khơng thể ghép tất mảnh bìa liền để số phương
Bài 12.
Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương
Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho 4
Một số tốn liên quan số phương
Bài Chứng minh tổng n số lẻ số phương. LG
Ta tính tổng n số lẻ đầu tiên:
S = + + + + + (2n - 3) + (2n - 1)
Lúc ta phải xét hai trường hợp: n chẵn n lẻ Trường hợp 1: n chẵn
S = (1 + 2n - 1) + (3 + 2n - 3)+ Có n/2 số hạng , mà số hạng có giá trị 2n
Vậy S = 2n
n = n2.
Trường hợp 2: n lẻ
Để tính S ta ghép trường hợp ta
n
số hạng, số hạng có giá trị 2n Nên tổng S = 2
1 n
.2n + n = 2 2n 2n 2n2
= n2
Vậy S = + + + + + (2n - 3) + (2n - 1) = n2 nên S số phương.
Từ tốn ta có nhận xét tổng quát:
(4)Chứng minh số số phương số ước số lẻ
Bài 3.