S6 CHUYÊN đề 9 CHỦ đề 4 tìm PHÂN số x

CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ ĐS6.CHUYÊN ĐỀ – PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 4: TÌM PHÂN SỐ X PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Hai phân số a c = ⇒ a.d = bc b d ( với a, b,c, d ∈ Z, b ≠ 0, d ≠ 0) *Các phép toán phân số a Cộng, trừ phân số mẫu: a b a+b + = (m ¹ 0) m m m a b a-b = (m ¹ 0, a ³ b) m m m b Cộng, trừ phân số không mẫu: - Quy đồng mẫu phân số - Cộng tử phân số quy đồng giữ nguyên mẫu chung a c a.c = c Nhân phân số: b d b.d (b,d ¹ 0) a c a d a.d : = = b.c (b,c,d ¹ 0) d Chia phân số: b d b c *Tính chất phép cộng nhân phân số: a Tính chất giao hốn: a c c a + = + - Phép cộng: b d d b (b,d ¹ 0) a c c a = - Phép nhân: b d d b (b,d ¹ 0) b Tính chất kết hợp : ỉ m a ổc m a cữ ữ ỗ ữ ữ + + = +ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ỗd + n ứ ữ ữ(b,d,n 0) b n b ố è ø - Phép cộng : ỉa c ÷ m a ổc m ữ ỗ ỗ ữ = ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗb d ữ ỗd n ữ ứn b ố ứ(b,d,n 0) - Phép nhân: è c Tính chất phân phối phép nhân phép cộng (trừ): æa c ữ ửm a m c m ỗ ữ + ỗ ÷ n = b n + d n ỗ ốb d ữ ứ (b,d, n 0) ổa c m a m c m ỗ ữ = ỗ - ữ ữ ữ ỗ ốb d ø n b n d n TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng Tìm x sử dụng tính chất hai phân số I.Phương pháp giải a c = ⇒ a.d = bc - Sử dụng tính chất hai phân số b d ( với a, b,c, d ∈ Z, b ≠ 0, d ≠ 0) để tìm x II.Bài tốn Bài Tìm x biết : x −5 = a) 18 −35 = b) x Lời giải x −5 = ⇒ x.6 = 18.( −5) a) 18 x.6 = −90 x = −90:6 x = −15 Vậy x = −15 −35 = ⇒ −35.3 = 7x b) x −105 = 7x x = −105: x = −15 Vậy x = −15 Bài Tìm x biết : x− −2 = a) x+ x− = b) Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ x − −2 = ⇒ ( x − 1) = 3.( −2) a) ( x− 1) = −6 5x− = −6 5x = −1 Vậy x= −1 x= −1 x+ x− = ⇒ ( x + 5) = 4( x − 3) b) 5x + 25 = 4x − 12 5x − 4x = −12 − 25 x = −37 Vậy x = −37 Bài Tìm x biết : 23+ x = a) 40 + x x + 10 x = b) 27 Lời giải 23+ x = ⇒ 4( 23+ x) = 3( 40+ x) 40 + x a) 92 + 4x = 120 + 3x TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 4x − 3x = 120 − 92 x = 28 Vậy x = 28 x + 10 x = ⇒ 9( x + 10) = 27x b) 27 9x + 90 = 27x 9x − 27x = −90 −18x = −90 x = ( −90) : ( −18) = Vậy x = Bài Tìm x biết : −7 −21 = a) x x − 34 x+ = b) 3x Lời giải −7 −21 = ⇒ −7( x − 34) = −21x x x − 34 a) −7x + 238 = −21x −7x + 21x = −238 14x = −238 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ x = −238:14 = −17 Vậy x = −17 x+ = ⇒ 3x = 2( x + 1) b) 3x 3x = 2x + 3x − 2x = x= Vậy x = Bài Tìm x biết : −4 x = b) x −9 x 27 = a) x Lời giải x 27 = ⇒ x.x = 3.27 a) x x2 = 81 x2 = 92 ⇒ x = x = −9 Vậy x = x = −9 −4 x = ⇒ ( −4) ( −9) = x.x x −9 b) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ x2 = 36 x2 = 62 ⇒ x = x = −6 Vậy x = x = −6 Bài Tìm x biết : x−1 = x−1 a) −3 x− = b) x − −27 Lời giải x−1 = ⇒ ( x − 1) ( x − 1) = 2.8 x−1 a) ( x− 1) = 16 ( x− 1) = 42 ⇒ x − 1= x− 1= −4 ⇒ x = x = −3 Vậy x = x = −3 −3 x− = ⇒ ( −3) ( −27) = ( x − 2) x − −27 b) ( x− 2) = 81 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ ( x− 2) = 92 ⇒ x − = x− = −9 ⇒ x = 11 x = −7 Vậy x = 11 x = −7 Bài Tìm x biết : −5 − x = −5 a) − x −7 3− x = b) x − Lời giải −5 − x = ⇒ ( −5) ( −5) = ( − x) −5 a) − x ( 4− x) ( 4− x) = 25 = 52 ⇒ − x = − x = −5 ⇒ x = −1 x = Vậy x = −1 x = −7 − x = ⇒ −7.7 = ( x − 3) ( 3− x) b) x − ( x− 3) ( x− 3) = 49 = 72 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ ⇒ x − = x− = −7 ⇒ x = 10 x = −4 Vậy x = 10 x = −4 Bài Tìm x, y biết : y −25 = = b) x 15 75 y 28 = = a) x 21 49 Lời giải 28 = ⇒ 4.49 = x.28 Ta có x 49 a) 28x = 196 x = 196:28 = y 28 = ⇒ 49y = 21.28 21 49 49y = 588 y = 588: 49 = 12 Vậy x = y = 12 −25 = ⇒ 2.75 = −25x b) Ta có x 75 150 = −25x TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ x = 150: ( −25) = −6 y −25 = ⇒ 75y = −25.15 15 75 75y = −375 y = −375: 75 = −5 Vậy x = −6 y = −5 Bài Tìm x, y biết : −5 y −18 = = a) x 16 72 y −10 = = b) x 21 15 Lời giải −5 −18 = ⇒ −5.72 = −18x 72 a) Ta có x −360 = −18x x = −360: ( −18) = y −18 = ⇒ 72y = −18.16 16 72 72y = −288 y = −288: 72 = −4 Vậy x = y = −4 −3 y − −12 = = 16 Bài Tìm x, y biết : x − Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ −3 −12 = ⇒ −3.16 = −12( x − 1) x − 16 Ta có −48 = −12( x − 1) x− 1= −48: ( −12) x− 1= x = 4+ 1= y − −12 = ⇒ ( y − 2) 16 = −12.8 16 ( y− 2) 16 = −96 y− = −96:16 y− = −6 y = −6+ = −4 Vậy x = y = −4 x + y − −15 = = 14 35 Bài 10 Tìm x, y biết : Lời giải Ta có x + −15 = ⇒ ( x + 2) 35 = −15.7 35 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ  3980  1 − ÷=  x +  1991 1− 1990 = x + 1991 1990 = 1− x +1 1991 1 = x + 1991 ⇒ x + = 1991 x = 1991 − x = 1990 Vậy x = 1990 Bài Tìm x biết : 12 32 16 + + + + = 3.5 5.9 9.15 x ( x + 16 ) 25 Lời giải 12 32 16 + + + + = 3.5 5.9 9.15 x ( x + 16 ) 25   16 16 2 + + + + = 3.4 5.9 9.15 x x + 16 ( )   25 1  16 1 1 1  − + − + − + + − ÷= x x + 16  25  9 15  16 1 2 − ÷=  x + 16  25 1 − = x + 16 25 1 = − = x + 16 25 75 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 42 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ x + 16 = 75 x = 75 − 16 = 59 Vậy x = 59 1 1 x : + x : + x : + + x : = 511 512 Bài Tìm x biết : Lời giải 1 1 x : + x : + x : + + x : = 511 512 x + x + x + + 512 x = 511 x ( + + + 16 + + 512 ) = 511 Đặt A = + + + 16 + + 512 ⇒ A = + + 16 + + 1024 ⇒ A − A = 1024 − = 1022 xA = 511 ⇒ x.1022 = 511 Khi ta có: x= Vậy ⇒x= 511 = 1022 ⇒x= 2 1 + + + + = x + 3x Bài Tìm x biết : 14 35 65 Lời giải 1 + + + + = 14 35 65 x + 3x 2 2 + + + + = 28 70 130 x ( x + 3) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 43 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 2 2 + + + + = 4.7 7.10 10.13 x ( x + 3) 2 3  + + +  =  4.7 7.10 x ( x + 3)  21   − ÷= 3 x+3 1 − = x +3 1 − = x+3 1 = 12 x + ⇒ x + = 12 x=9 Vậy x = 2 2 + + + + = x( x + 2) 35 Bài Tìm x biết : 35 63 99 Lời giải 2 2 + + + + = 5.7 7.9 9.11 x ( x + ) 35 1 1 1 1 − + − + − + + − = 7 9 11 x x + 35 1 − = x + 35 1 = − x + 35 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 44 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 = x + 35 x + = 35 x = 35 − x = 33 Vậy x = 33 (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99).x = 12 : 26950 Bài 10 Tìm x biết : Lời giải Đặt : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99 Tính A ta : A = 1.2 ( − ) + 2.3 ( − 1) + 3.4 ( − ) + + 98.99 ( 100 − 97 ) A = ( 1.2.3 − 0.1.2 ) + ( 2.3.4 − 1.2.3 ) + + ( 98.99.100 − 97.98.99 ) = 98.99.100 A= 98.99.100 98.99.100.x = 12 : Thay vào ta có : 3.26950 12 x = Vậy x= 60 ⇒x= 7 7 13 21 31 43 57 73 91 x + + + + + + + + = 10 12 20 31 42 56 72 90 Bài 11 Tìm x biết : Lời giải Ta có : 13 21 31 43 57 73 91 x + + + + + + + + = 10 12 20 31 42 56 72 90 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 45 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1     1   x + 1 + ÷+ 1 + ÷+ 1 + ÷ + +  + ÷ = 10   12   20  90    2x + + 1 1 + + + + = 10 2.3 3.4 4.5 9.10 1 x + + − = 10 10 Vậy 2x = x= x= 1 49   + + +  ÷x = 98.99.100  200 Bài 12 Tìm x biết :  1.2.3 2.3.4 Lời giải 1 49   + + +  ÷x = 98.99.100  200 Ta có :  1.2.3 2.3.4 1 2 2 49  + + + +  ÷.x =  1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100  200  1   1   49  − − −  ÷+  ÷+ +  ÷ x =   1.2 2.3   2.3 3.4  200  98.99 99.100   1 1  49 −  ÷.x =  1.2 99.100  200 x= Vậy x= 99 101 99 101 1  2012 2012 2012  + + + + + +  ÷x = 99.100  51 52 100 Bài 13 Tìm x biết :  1.2 3.4 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 46 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Lời giải 1 1 1 1 + + + = − + − + + − 99.100 99 100 Ta có : 1.2 3.4 1   1 1 1 1 +  + + + + + ÷−  + + + + ÷ 99 100  100  2 =1  1 1  1 1 1 1 + + + +  + + + + ÷−  + + + ÷ = 100   50  51 52 53 100 =1 1  1     + + + ÷.x = 2012  + + + + ÷ 100  100   51 52 53 Khi :  51 52 ⇒ x = 2012 Vậy x = 2012 x + 2) ( x + 4) Bài 14 Tìm x biết : ( + + = x ( x + ) ( x + ) ( x + 8) ( x + 14 ) ( x + ) ( x + 14 ) Lời giải + + = x ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + 14 ) ( x + ) ( x + 14 )   1   1  x  − − −  ÷+  ÷+  ÷=  x + x +   x + x +   x + x + 14  ( x + ) ( x + 14 ) 1 x − = x + x + 14 ( x + ) ( x + 14 ) 12 x = ( x + ) ( x + 14 ) ( x + ) ( x + 14 ) ⇒ 12 = x Vậy x = 12 1 1 + + + + 200 = ( x − 20 ) 21 24 199 2000 + + + 199 198 Bài 15 Tìm x biết : Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 47 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 1 + + + + 200 A= 199 + + + 199 198 Đặt 200 200 200 200      198  A:  + 1÷+  + 1÷+ +  + 1÷+ = + + + + 199 198 200  199   198    Ta có mẫu 1 1 + + + + 200 = A=  200 1 200  + + + ÷ 200  2 Khi ( x − 20 ) 1 = 200 2000 Như ta có: x − 20 = x= x= Vậy x= 10 + 20 10 201 10 201 10 PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG 1 1 2018 ( + + + + ).x = 2018.2019 2019 Bài 1: Tìm x , biết: 1.2 2.3 3.4 ( HSG huyện Nông Cống – Năm 2020 – 2021) Lời giải 1 1 2018 ( + + + + ).x = 1.2 2.3 3.4 2018.2019 2019 1 1 1 2018 (1 − + − + − + + − ).x = 2 3 2018 2019 2019 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 48 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ (1 − 2018 ).x = 2019 2019 2018 2018 x = 2019 2019 ⇒ x =1 Vậy x = Bài 2: Tìm x , biết: x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 + + + + + = 224 12 20 30 42 56 72 ( HSG huyện Hoa Lư – Năm 2020 – 2021) Lời giải x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 + + + + + = 224 12 20 30 42 56 72 ( x − 1)  1 1 1  + + + + + ÷ = 224  12 20 30 42 56 72  ( x − 1)  1 1 1  + + + + + ÷ = 224  3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9  ( x − 1)  1 − ÷ = 224 3 9 ( x − 1) = 224 x − = 1008 x = 1009 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 49 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Vậy x = 1009 Bài 3: Tìm x , biết: 1 5 (x − ) : + = 7 ( HSG huyện Thanh Ba – Năm 2020 – 2021) Lời giải 1 5   x − ÷: + = 2 7  1 5   x − ÷: = − 2 7  1   x − ÷: = 2  x− =3 x= Vậy: x= 7 Bài 4: Tìm x , biết: 2 −1   x − x + x÷: = −4  a)  x−1 x− x− x− + = + b) 2019 2020 2021 2022 ( HSG huyện Ngọc Lạc – Năm 2020 – 2021) Lời giải 2 −1  x÷: = −4  x− x+   a) 2 −1  − 1+ ÷x : = −4 2 3 −5 x : = −4 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 50 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ −5 x = −4 −5 −8 x= x= −8 −5 : x= Vậy x= 16 16 x−1 x− x− x− + = + b) 2019 2020 2021 2022 x−1 x− x− x− + 1+ + 1= + 1+ +1 2019 2020 2021 2022 x + 2018 x + 2018 x + 2018 x + 2018 + = + 2019 2020 2021 2022     1 1 + − − ( x + 2018)  2019 ÷= 2020 2021 2022 1 1 + − − >0 ⇒ x + 2018 = Vì 2019 2020 2021 2022 x = −2018 Vậy x = −2018 Bài 5: Cho phân số A= n+8 n - Tìm n ∈ Z để A có giá trị nguyên ( HSG huyện Kiến Xương – Năm 2020 – 2021) Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 51 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Ta có: A= n + n - +11 11 = = 1+ n-3 n-3 n-3 11 Để A nhận giá trị nguyên n - nhận giá trị nguyên 11 11 M( n - 3) Vì n ∈ Z nên n - nhận giá trị nguyên ⇒ n - ∈ Ư(11) = { -11; -1; 1; 11} Xét trường hợp : Trường hợp 1: n - = -11 ⇒ n = -8 Trường hợp 2: n - = -1 ⇒ n=2 Trường hợp 3: n - = ⇒n=4 Trường hợp 4: n - = 11 ⇒ n = 14 Vậy n ∈ { -8; 2; 4; 14} TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 52 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Bài 6: Tìm x biết: 2 2 101 + + + + = 5.8 8.11 11.14 x ( x + 3) 770 ( HSG huyện Phú Xuyên – Năm 2020 – 2021) Lời giải 2 2 101 + + + + = 5.8 8.11 11.14 x ( x + 3) 770  3 3  + + + +  5.8 8.11 11.14 x ( x + 3)   303 = ÷ ÷ 770  1  303 1 1 1  − + − + − + + − ÷= x x +  770  8 11 11 14  303 1  − ÷=  x +  770 1 303 − = x + 1540 1 303 = − x + 1540 1 = x + 308 ⇒ x + = 308 x = 305 Vậy: x = 305 x + 19 x + 18 x + 17 x +1 + + + + = 19 2001 Bài 7: Tìm x biết: 2019 2018 2017 ( HSG huyện Lương Tài – Năm 2020 – 2021) Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 53 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ x + 19 x + 18 x + 17 x +1 + + + + = 19 2019 2018 2017 2001  x + 19   x + 18   x + 17   x +1  − ÷+  − 1÷+  − 1÷+ +  − 1÷ =   2019   2018   2017   2001  x − 2000 x − 2000 x − 2000 x − 2000 + + + + =0 2019 2018 2017 2001 1   ( x − 2000)  + + + + ÷= 2001   2019 2018 2017 1 1   ⇒ x − 2000 =  Do + + + + >0 ÷ 2019 2018 2017 2001   x = 2000 Vậy x = 2000 Bài 8: Tìm x biết:  2 + +  17 101 ÷ 16 + ÷x = 5+ + ÷  17 101  ( HSG huyện Ninh Bình – Năm 2020 – 2021) Lời giải  2 + +  17 101 ÷ 16 + ÷x = 5+ + ÷  17 101   1 1   + + ÷  16 17 101  ÷   ÷x = + ÷  1   + 17 + 101 ÷ ÷    TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 54 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 16 + x= 5 16 x= − 5 x= 5 x=4 Vậy x = Bài 9: Tìm x biết: 2 0, + −   11 x :  − ÷=  2  1, + − 11 ( HSG huyện Cưm’Gar – Năm 2020 – 2021) Lời giải 2 0, + −  3 11 x :  − ÷= 2   1, + − 11 ⇒ x :8 = 2 0, + − 11 ⇒ x :8 = 2   0, + − ÷ 11   ⇒ x = Vậy x =    1 1 213 − x × + + + + 2020 ÷: 1 − 2020 ÷ = 13 2    2 Bài 10: Tìm x biết: ( HSG huyện Gia Bình – Năm 2020 – 2021) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 55 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Lời giải Đặt S= 1 1 + + + + 2020 2 2 1 ⇒ 2S = + + + + 2019 2  1 1   1 ⇒ S − S = 1 + + + + 2019 ÷−  + + + + 2020 ÷  2 2  2  ⇒ S = 1− 2020    1 1 213 − x × + + + + 2020 ÷: 1 − 2020 ÷ = 13    2 2     ⇒ 213 x ì 2020 ữ: − 2020 ÷ = 13     ⇒ 213 − x = 13 ⇒ x = 200 Vậy x = 200 ******************** ********************** TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 56 ... Trong phân số có mẫu nguyên dương, phân số lớn tử số lớn Trong phân số có tử nguyên dương, phân số lớn mẫu số nhỏ - Cách tìm x nguyên để A có giá trị nguyên: Viết A số nguyên cộng với phân số có... CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Dạng Tìm x, y nguyên I.Phương pháp giải x - Cách tìm phân thức : Quy đồng mẫu số đưa tích hai số số nguyên, dựa vào cách tìm ước số để tìm x - Cách tìm x áp dụng so sánh phân số. .. I.Phương pháp giải - Đưa số suy số mũ a m = a n ⇒ m = n ( a ≠ 1) - Đưa số mũ suy số số mũ lẻ, số đối số mũ chẵn a m = b m ⇒ a = b mlà số lẻ a m = b m ⇒ a = b a = −b mlà số chẵn II.Bài tốn Bài Tìm