Qua thực tế nhiều năm dạy lớp 5 của bản thân và qua tìm hiểu một số giáo viên dạy bồi dưỡng, qua theo dõi các đợt thi học sinh giỏi thì khi gặp bài toán tính nhanh về phân số học sinh là[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ:
HƯỚNG PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TỐN TỪ MỘT BÀI TỐN CƠ BẢN “TÍNH NHANH VỀ PHÂN SỐ” LỚP 5.
Qua thực tế nhiều năm dạy lớp thân qua tìm hiểu số giáo viên dạy bồi dưỡng, qua theo dõi đợt thi học sinh giỏi gặp tốn tính nhanh phân số học sinh làm hạn chế, chưa biết cách suy làm chặt chẽ đặc biệt chưa nắm vững phương pháp làm thích hợp Vậy làm để gặp dạng toán học sinh làm tốt, chắn có tính sáng tạo, tơi làm sau
1 Giúp học sinh nắm vững tốn bản.
Bài tốn tính nhanh tổng sau:
1 2X +
1 3X +
1
3 4X + …
1 99 100X Giải
1 2X =
2 1 2X
=
2 2X -
1
1 2X = -
1
1 99 100x =
100 99 99 100x
=
100 99 100x -
1 99 100x =
1 99 -
1 100
Vậy:
1 2x +
1 3x +
1
3 4x + …+
1
99 100x = 1-
1 2+
1 2-
1 3+…-
1 99 +
1 199 -
1 100
= 1-
1 100 =
100 100 -
1 100 =
100 100
=
99 100
2 Cho học sinh xét tổng trên:
- Các phân số có tổng số
- MS tích số, số sau lặp lại số mẫu số trước
(2)Khi phân số cho tử số mẫu số tích số tự nhiên cách có khoảng cách tử số, số trước lặp lại số sau
Hay: Hiệu mẫu số phân số tử số ta đưa dạng a
bxc =
1
b -
1
c (c- b = a)
Sau rút gọn phân số giống nhau, ví dụ:
1 2 -
1 2 = 0
Từ cách tính học sinh dễ dàng làm tốn tính nhanh
II Phát triển thêm số toán từ tốn trên. Bài tốn: Tính S =
3 4x +
3
4 7x + …+
3 97 100x
Khi nắm vững toán số học sinh giải sau: Giải:
Ta có:
3 1 -
3
4 ;
3 4 -
3
7 ; ; 97 -
3 100
S=
3 1 -
3 4 +
3 4 -
3
7 +… + 97 -
3 100
S= 3-
3 100 =
297 100
Sau học sinh giải kết cho em nhận xét:
3 1 -
3 4 =
9
4 cho kết là:
4 sai?, vì: 4x =
3
Hiệu mẫu số phân số bao nhiêu? (4 – = 3) Tử số ? (3)
Vậy hiệu mẫu số tử số ta đưa dạng nào? ( a bxc =
1
b -
1
c) Vậy cách giải chưa? (sai)
Từ em hiểu cách giải sau:
(3)Ta có:
3
1 4x = 1-
1 4 ;
3 7x =
1 4 -
1 7 ; ;
3 97 100x =
1 97 -
1 100
S= -
1 4 +
1 4 -
1
7 +…+ 97 -
1 100
S= -
1 100 =
99 100
Giáo viên kết luận: Tử số mà hiệu mẫu số ta đưa dạng tốn để tính
Bài tốn 2: Tính nhanh
S= -
1 3x +
1 5x +
1
5 7x +…+
1 99 101x
Nhận xét: Bài toán có điểm khác với tốn bản? (Hiệu mẫu số lớn tử số - = lần)
- Ta làm để đưa dạng bản? (Làm xuất số tử số phân số)
Nhân vế với ta có: S x =
2 3x +
2 5x +
2
5 7x +…+
2 99 101x
Giải ta có: S x2 = -
1 101 =
100 101
S=
100
101 : = 50 101
Giáo viên kết luận: Khi gặp toán mà hiệu mẫu số gấp lần tử số ta phải nhân vế với số lần mà hiệu mẫu số gấp tử số, để tử số hiệu mẫu số đưa dạng toán
Hoặc: S =
1 (
2 3x +
2 5x +
2
5 7x +…+
2 99 101x ) Giải ta có: S =
1
2 (1 -
1 101) =
1
100 101 =
(4)S=
3 2x +
3 3x +
3
3 4x +…+
3 999 100x
Nhận xét: So với ví dụ tốn có điểm khác tử số lớn hiệu mẫu số 3> 2-1 = ( lần)
Ta làm phép chia vế cho nhân với
Giải:
Chia vế cho ta có: S:3 =
1 2x +
1 3x +
1
3 4x +…+
1 99 100x Tương tự tốn ta có:
S:3 = 1-
1 100 =
99 100
S=
99
100 x = 297 100 =
97 100
Kết luận: Hai hiệu mẫu số bé tổng số ta chia vế cho số lần bé đưa dạng nhân tổng với số lần thừa (Tử số gấp mẫu số lần ta nhân với 3)
Bài tốn 4: Tính nhanh
S=
3 3x +
3
3 5x +…+
1 99 101x
Giải:
S =
3
2( - 3 +
1 3 -
1
5 + + 99 -
1 101)
S =
3
2( - 101)
S =
150 101
Rút cách tính chung:
Nếu tử số mẫu số ta phải nhân với số để đưa dạng ban đầu
(5)Bài toán 5: Chứng tỏ M =
1 2x +
1
2 3x +…
1
99 100x <1
Bài toán xuất phát từ toán cơ ta dễ dàng rút M =
99
100 nhỏ 99 < 100 Bài tốn 6: Tính nhanh
S =
1 4 +
1 28 +
1
70 +…+ 10300
Nhận xét: HS thường phương hướng gặp tốn khơng tìm quy luật mẫu số
- Ta đưa dạng ban đầu cách phân tích
= x ; 28 = x7; ; 10300 = 100 x 103 Ta có S =
1 4 +
1 7 +
1
7 10 + + 100 103
S =
1
3 (1 -
1 4 +
1 4 -
1
7 + + 100 -
1 103)
S =
1
3 (1 -
1 103) =
1
102 103 =
34 103
Tươn tự gặp tốn:
Bài tốn 7: Tính 2 +
5 6 +
11 12 +
19 20 +
29 30 +
41 42 +
55 56 +
71 72 +
89 90
- HS khó tìm dạng để tính
- Nhiều HS quy đồng mẫu số cách làm dài kết không xác - Giúp HS nhận từ mẫu số:
2 = x ; 6= x ; 90 = x 10
Giải: Nhận xét:
1
2 = -
2; 6 = 1-
1
6 ; 89
(6)Ta có:
1 2 +
5 6 +
11
12 +… + 89 90 = 1-
1
2 + -
6 +… + - 90
= + ….+ – (
1 2 +
1
6 + … + 90)
= 9- (
1 2x +
1
2 3x +… +
1 10x ) = 9-
9 10 =
81 10 Bài tốn 8: Tính nhanh
1 3x +
2 5x +
3 8x +
4
8 12x +…
10 47 57x ` Nhận xét:
1 3x =
1 2 -
1 3;
2 5x =
1 3 -
1 5;
3 8x =
1 5 -
1 8; ;
10 47 57x =
1 47 -
1 57
Vậy:
1 3x +
2 5x +
3
5 8x + …+
10 47 57x
=
1 2 -
1 3 +
1 3 -
1 5 +
1 5 -
1
8 + …+ 47 -
1 57
=
1 2 -
1 57 =
55 114
Kết luận: Khi gặp tốn khơng giống trình tự, khoảng cách cách
toán hiệu mẫu số tử số ta đưa dạng a bxc =
1
b-
1
c rồi Làm tương tự toán
Bài toán 9: Chứng minh
A =
3 4x +
3 5x +
3 6x +
3 7x +
3
5 8x +…
3
100 103x < 3
Hướng dẫn: Tử số mẫu số không theo quy luật tốn ta phải nhóm cho phù hợp quy luật để tính
A = (
3 4x +
3
4 7x +…
3
100 103x ) + (
3 5x +
3
5 8x +…
(7)+ (
3 6x +
3
6 9x + …
3 96 99x ) Đưa dạng
Tính kết sau: A= (1-
1
103) + (1-
101) + (1- 99) < 3
1-
1
103 < => A < 3 Bài toán 10: Chứng minh
B =
1 3 +
1 7 +
1 13 +
1
21 +…+ 91 <1
Nhận xét: HS khó tìm phương hướng để giải Hướng dẫn HS làm trội: Ta có
1 3<
1 2,
1 7<
1 ,
1 13<
1 12…
1 91 <
1 90
B<
1 2 +
1 +
1 12+…
1 90
B<
1 2x +
1 3x +
1 4x +
1 10x
B< 1-
1
10 => B<
10 => B<1
Như ta phải sử dụng phân số cho với phân số khác cho phân số đưa dạng để tính sử dụng cách nhanh chóng
Bài toán 11: C/M A=
1 2x +
1 3x +
1
4 4x +…+
1
100 100x < 1 Tương tự:
1 2x <
1 2x ;
1 3x <
1 3x ; …
1 100 100x <
1 99 100x (Vì tử số nhau, mẫu số bé phân số lớn hơn) Như vậy: A<
1 2x +
1
2 3x + …+
1 99 100x
A< 1-
1 100 =
99
(8)Bài toán 12: C =
1 3x x +
1 4x x +
1
2 3x + …+
1 10x x
Ta có:
1 3x x =
1 2 x (
1 2x -
1 3x )
1 4x x =
1 2x (
1 3x -
1 4x )
1 10x x =
1 2 x (
1 9x -
1 10x ) C=
1 2x (
1 2x -
1 3x -
1 3x +
1
3 4x +…+
1 9x -
1 10x ) =
1 2x (
1 2x -
1 10x ) =
1 2x (
45 90 ) = 11 45
Hướng dẫn: Ta phải đưa phần chung (phân số
1
2) để từ đưa dạng ban đầu,
bài phức tạp mẫu số có đến tích
III Một số tốn để học sinh luyện tập. Tính nhanh:
1
2 3x +
2 5x +
2
5 7x + …+
2 99 100x
2
1 5x +
1 9x +
1
9 13x + …+
1 101 105x
3
6 3x +
6 5x +
6
5 7x + …+
6 99 101x
4
4 3x +
4
3 5x + …+
4 2003 2005x
5
5 14 +
5 84 +
5
204+ …+ 2964
6
2 3x +
2 4x +
2 5x +
2 6x +
2
5 7x …+
2 19 21x
7
1 2x +
2 4x +
3 7x +
4
7 11x + …+
(9)Sơn Kim 2, ngày 27 tháng 02 năm 2012 NGƯỜI THỰC HIỆN