Nhận xét: Ví dụ 4 trên gồm những bài tập tính tích phân ñơn giản mà học sinh có thể áp dụng ngay bảng công thức nguyên hàm ñể giải ñược bài toán hoặc với những phép biến ñổi ñơn giản như[r]
(1)CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI LỜI NÓI ðẦU Ngày phép tính vi tích phân chiếm vị trí quan trọng Toán học, tích phân ñược ứng dụng rộng rãi ñể tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, nó còn là ñối tượng nghiên cứu giải tích, là tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình ñạo hàm riêng Ngoài phép tính tích phân còn ñược ứng dụng rộng rãi Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học Phép tính tích phân ñược bắt ñầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12, ñược phổ biến tất các trường ðại học cho khối sinh viên năm thứ và năm thứ hai chương trình học ðại cương Hơn các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại học phép tính tích phân luôn có các ñề thi môn Toán khối A, khối B và khối D Bên cạnh ñó, phép tính tích phân là nội dung ñể thi tuyển sinh ñầu vào hệ Thạc sĩ và nghiên cứu sinh Với tầm quan trọng phép tính tích phân, chính vì mà tôi viết số kinh nghiệm giảng dạy tính tích phân khối 12 với chuyên ñề “TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ðỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦN” ñể phần nào củng cố, nâng cao cho các em học sinh khối 12 ñể các em ñạt kết cao kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại học và giúp cho các em có tảng năm học ðại cương ðại học Trong phần nội dung chuyên ñề ñây, tôi xin ñược nêu số bài tập minh họa tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số, phương pháp tích phân phần Các bài tập ñề nghị là các ñề thi Tốt nghiệp THPT và ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng các năm ñể các em học sinh rèn luyện kỹ tính tích phân và phần cuối chuyên ñề là số câu hỏi trắc nghiệm tích phân Tuy nhiên với kinh nghiệm còn hạn chế nên dù có nhiều cố gắng trình bày chuyên ñề này không tránh khỏi thiếu sót, mong ñược góp ý chân tình quý Thầy Cô Hội ựồng môn Toán Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh đồng Nai Nhân dịp này tôi xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy cô tổ Toán trường Nam Hà, các ñồng nghiệp, bạn bè ñã ñóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành chuyên ñề này Tôi xin chân thành cám ơn./ Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang (2) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI MỤC LỤC Lời nói ñầu Mục lục I Nguyên hàm: I.1 ðịnh nghĩa nguyên hàm I.2 ðịnh lý I.3 Các tính chất nguyên hàm I.4 Bảng công thức nguyên hàm và số công thức bổ sung II Tích phân: II.1 ðịnh nghĩa tích phân xác ñịnh II.2 Các tính chất tích phân II.3 Tính tích phân phương pháp phân tích Bài tập ñề nghị Tính tích phân phương pháp ñổi biến số 10 II.4 II.4.1 Phương pháp ñổi biến số loại ðịnh lý phương pháp ñổi biến số loại 13 Một số dạng khác dùng phương pháp ñổi biến số loại 14 Bài tập ñề nghị số 14 Bài tập ñề nghị số 15 Bài tập ñề nghị số 4: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 16 II.4.2 Phương pháp ñổi biến số loại 16 Bài tập ñề nghị số 21 Các ñề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông 22 Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 22 II.5 Phương pháp tích phân phần Bài tập ñề nghị số 6: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng III 10 23 28 Kiểm tra kết bài giải tính tích phân máy tính CASIO fx570-MS 29 Bài tập ñề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân 30 Phụ lục 36 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang (3) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI I NGUYÊN HÀM: I.1 ðỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM: Hàm số F(x) ñược gọi là nguyên hàm hàm số f(x) trên (a;b) với x∈(a;b): F’(x) = f(x) VD1: a) Hàm số F(x) = x3 là nguyên hàm hàm số f(x) = 3x2 trên R b) Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm hàm số f(x) = trên (0;+∞) x I.2 ðỊNH LÝ: Nếu F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên (a;b) thì: a) Với số C, F(x) + C là nguyên hàm f(x) trên khoảng ñó b) Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a;b) ñều có thể viết dạng F(x) + C với C là số Theo ñịnh lý trên, ñể tìm tất các nguyên hàm hàm số f(x) thì cần tìm nguyên hàm nào ñó nó cộng vào nó số C Tập hợp các nguyên hàm hàm số f(x) gọi là họ nguyên hàm hàm số f(x) và ñược ký hiệu: ∫ f(x)dx (hay còn gọi là tích phân bất ñịnh) Vậy: ∫ f(x)dx = F(x)+C VD2: a) ∫ 2xdx = x + C b) ∫ sinxdx = - cosx + C c) ∫ cos x dx = tgx +C I.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM: 1) ' ( ∫ f(x)dx ) = f(x) 2) ∫ a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx (a ≠ ) 3) ∫ f(x) ± g(x) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx 4) ∫ f(x)dx = F(x)+C ⇒ ∫ f (u(x) ) u'(x)dx = F (u(x) )+C VD3: a) ∫ (5x -6x + 8x )dx = x - 2x + 4x +C b) ∫6cosx.sinxdx = -6 ∫ cosx.d (cosx ) = -3cos x +C Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang (4) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI I.4 BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM: BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG GẶP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP 1/ ∫ du = u + C 1/ ∫ dx = x + C 2/ ∫ x α dx = 3/ ∫ x α +1 +C α +1 dx = ln x + C x 2/ ∫ uα du = ( α ≠ -1) 3/ ∫ (x ≠ 0) 4/ ∫ e x dx = e x + C 5/ ∫ a x dx = uα +1 +C α +1 ( α ≠ -1) du = ln u + C (u = u(x) ≠ 0) u 4/ ∫ eu du = eu + C ax +C lna ( < a ≠ 1) 5/ ∫ au du = au +C lna ( < a ≠ 1) 6/ ∫ cosx dx = sinx + C 6/ ∫ cosu du = sinu + C 7/ ∫ sinx dx = -cosx + C 7/ ∫ sinu du = - cosu + C dx π = (1+ tg2 x ) dx = tgx + C (x ≠ + k π ) cos x ∫ dx = (1+ cotg x ) dx = -cotgx + C (x ≠ k π ) 9/ ∫ sin x ∫ π du = (1+ tg2u ) du = tgu + C (u ≠ + kπ ) cos2u ∫ du 9/ ∫ = (1+ cotg2u ) du = -cotgu + C (u ≠ kπ ) sin2u ∫ 8/ ∫ 8/ ∫ CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP: 1/ ∫ dx = x + C x 2/ ∫ ( ax + b ) dx = α 1/ a m a n = a m+n (x ≠ 0) ( ax + b ) α +1 a α +1 + C (a ≠ 0) 2/ am = a m-n ; n = a -n n a a 3/ m 1 3/ ∫ dx = ln ax + b + C (a ≠ 0) ax + b a ax +b ax+b 4/ ∫ e dx = e + C (a ≠ 0) a a kx + C ( ≠ k ∈ R, < a ≠ 1) 5/ ∫ a kx dx = k.lna 6/ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C (a ≠ 0) a / ∫ sin ( ax + b ) dx = - cos ( ax + b ) + C (a ≠ 0) a / ∫ tgx dx = - ln cosx + C (x ≠ CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA: π + kπ ) 9/ ∫ cotgx dx = ln sinx + C (x ≠ k π ) a = am ; n m an = a m CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: a CÔNG THỨC HẠ BẬC: 1/ sin2 x = (1- cos2x ) 2/ cos2 x = (1+cos2x ) b CÔNG THỨC BIẾN ðỔI TÍCH THÀNH TỔNG cos ( a - b ) + cos ( a +b ) 2 2/ sina.sinb = cos ( a - b ) - cos ( a + b ) 3/ sina.cosb = sin ( a - b ) + sin ( a + b ) 1/ cosa.cosb = Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang (5) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI II TÍCH PHÂN: II.1 ðỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng K, a và b là hai phẩn tử K, F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên K Hiệu F(b) – F(a) ñược gọi là tích phân từ a ñến b f(x) Ký hiệu: b b ∫ f(x)dx = F(x) = F(b)-F(a) a a II.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN: a 1/ ∫ f (x )dx =0 a a 2/ b ∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx b b 3/ a b ∫ k.f (x )dx = k.∫ f (x )dx a b 4/ a b b ∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx a b 5/ (k ≠ 0) a c a b ∫ f(x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a a với c∈(a;b) c b / Nếu f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ a b b a a / Nếu f (x ) ≥ g (x ), ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx b / Nếu m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a;b ] thì m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) a t / t biến thiên trên [a;b ] ⇒ G (t ) = ∫ f (x )dx là nguyên hàm f (t ) và G (a ) = a II.3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: b Chú ý 1: ðể tính tích phân I = ∫ f (x )dx ta phân tích f (x ) = k1 f1(x ) + + km fm (x ) a Trong ñó: ki ≠ (i = 1,2, 3, , m ) các hàm fi (x ) (i = 1,2, 3, , m ) có bảng nguyên hàm VD4: Tính các tích phân sau: Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang Lop12.net (6) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” 2 -1 -1 1) I = ∫(3x - 4x +3)dx =(x - 2x +3x) GV: NGUYỄN DUY KHÔI = (2 - 2.2 +3.2) -((-1)3 - 2.(-1)2 +3.(-1)) = 12 Nhận xét: Câu trên ta cần áp dụng tính chất và sử dụng công thức 1/ và 2/ bảng nguyên hàm 3x -6x + 4x - 2x + 2) I = ∫ dx x Nhận xét: Câu trên ta chưa áp dụng ñược các công thức bảng nguyên hàm, trước hết tách phân số dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) áp dụng tính chất và sử dụng công thức 1/, 2/, 3/ bảng nguyên hàm 2 3x -6x + 4x - 2x + 4 ⇒ I= ∫ dx = ∫(3x -6x + - + )dx x x x 1 = (x -3x + 4x - 2ln |x |- ) = - 2ln2 x x -5x +3 3) I = ∫ dx x +1 Nhận xét: Câu trên ta chưa áp dụng ñược các công thức bảng nguyên hàm, trước hết phân tích phân số dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) áp dụng tính chất và sử dụng công thức 1/, 2/ bảng nguyên hàm và công thức 3/ bổ sung 2 x -5x +3 dx = ∫ x − + ⇒ I= ∫ dx x +1 x +1 0 x2 2 = -6x +9ln | x +1 | = -12 +9ln3 = 9ln3 -10 2 0 4) I = ∫e x (2xe -x +5 x e-x -e-x ) dx Nhận xét: Câu 4: biểu thức dấu tích phân có dạng tích ta chưa áp dụng ñược các công thức bảng nguyên hàm, trước hết nhân phân phối rút gọn áp dụng tính chất và sử dụng công thức 1/, 2/, 5/ bảng nguyên hàm 5x 1 ⇒ I = ∫e (2xe +5 e -e ) dx = ∫ (2x +5 -1 ) dx = x + -x = ln5 ln5 0 1 x -x x -x -x x π π 5) I = ∫(4cosx +2sinx - )dx =(4sinx - 2cosx - 2tgx) = 2 - - 2+2 = cos x 0 Nhận xét: Câu trên ta cần áp dụng tính chất và sử dụng công thức 6/, 7/ và 8/ bảng nguyên hàm Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang Lop12.net (7) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI π π 6) I = ∫(4sin2x - 12cos4x)dx = (-2cos2x - 3sin4x) = - -3 + = -1- Nhận xét: Câu trên ta cần áp dụng tính chất và sử dụng công thức 6/ , 7/ bảng nguyên hàm phần các công thức bổ sung π 12 7) I = ∫ sin (2x - π )dx Nhận xét: Câu học sinh có thể sai vì sử dụng nhầm công thức 2/ bảng bảng nguyên hàm cột bên phải, ñã xem u = sin 2(2x - π ) (hơi giống ñạo hàm hàm số hợp) Với câu trước hết phải hạ bậc sử dụng công thức 6/ bảng nguyên hàm phần các công thức bổ sung π ⇒ I= π 12 ∫ sin (2x - π )dx = 12 π π 12 ∫ - cos(4x - ) dx = ∫ (1 - sin4x )dx 0 π 1 1 π π = x + cos4x 12 = + cos 2 12 0 1 π 1 - 0 + cos0 = 24 - 16 π 16 8/ I = ∫ cos6x.cos2xdx Nhận xét: Ở câu 8: biểu thức dấu tích phân có dạng tích ta chưa áp dụng ñược các công thức bảng nguyên hàm, trước hết phải biến ñổi lượng giác biến ñổi tích thành tổng áp dụng tính chất và sử dụng công thức 6/ bảng nguyên hàm phần các công thức bổ sung π π 16 16 ⇒ I = ∫ cos6x.cos2xdx = = 1 ∫0 (cos8x +cos4x )dx = sin8x + sin4x π 16 1 1 2 π π 1 1+ = sin + sin − sin + sin = + 8 4 8 16 8 ( ) 9) I = ∫x -1dx -2 Nhận xét: Câu biểu thức dấu tích phân có chứa giá trị tuyệt ñối, ta hướng học sinh khử dấu giá trị tuyệt ñối cách xét dấu biểu thức x2 – trên [-2;2] và kết hợp với tính chất 5/ tích phân ñể khử giá trị tuyệt ñối Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang (8) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” ⇒ I= ∫x -1 -1dx = -2 ∫ (x GV: NGUYỄN DUY KHÔI -1 )dx − ∫ ( x - ) dx + ∫ ( x -1 )dx -2 -1 x -1 x x 2 = -x − -x + -x = 3 -2 -1 1 3 3 3x +9 dx x - 4x -5 Nhận xét: Câu 10 trên ta không thực phép chia ña thức ñược câu và 3, mặt khác biểu thức mẫu phân tích ñược thành (x -5)(x +1) nên ta tách biểu thức 3x+9 A B = + = dấu tích phân sau: (phương pháp hệ số x - 4x -5 x -5 x+1 x -5 x+1 bất ñịnh) 3 3x +9 ⇒ I= ∫ dx = ∫ dx = 4ln | x -5 |-ln |x +1 | ( ) x - 4x -5 x -5 x +1 2 10) I = ∫ = 4ln2 -ln4 - 4ln3 +ln3 = 2ln2 -3ln3 = ln Chú ý 2: ðể tính I = ∫ a'x +b' dx ax +bx + c 27 (b - 4ac ≥ 0) ta làm sau: TH1: Nếu b - 4ac = , ñó ta luôn có phân tích ax +bx + c = a(x + ⇒ I= ∫ b ) 2a b ba' ba' )+b' b' a' dx dx 2a 2a dx = 2a + ∫ ∫ b b a x+ b a a(x + )2 (x + )2 2a 2a 2a a'(x + TH2: Nếu b - 4ac >0 ⇒ ax + bx + c = a(x - x1 )(x - x ) Ta xác ñịnh A,B cho A+ B = a' a'x + b' = A(x - x1 )+ B(x - x ) , ñồng hai vế ⇒ Ax1 + Bx = -b' A(x - x1 )+ B(x - x ) A B I= ∫ dx = ∫( + )dx a (x - x1 )(x - x ) a x - x x - x1 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang (9) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI Chú ý 3: TH1: ðể tính I = ∫ P(x) dx ta làm sau: (x -a1 )(x -a2 ) (x -an ) P(x) A1 A2 An = + + + (x -a1 )(x -a2 ) (x -an ) (x -a1 ) (x -a2 ) (x -an ) TH2: ðể tính I = ∫ P(x) dx ta làm sau: (x -a1 ) (x -a2 )k (x - an )r m A1 A2 Am P(x) = + + + + m m -1 k r (x - a ) (x - a ) (x - a m ) (x -a1 ) (x -a2 ) (x -an ) P(x) dx với P(x) và Q(x) là hai ña thức: TH3: ðể tính I = ∫ Q(x) m * Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) thì lấy P(x) chia cho Q(x) * Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) thì tìm cách ñưa các dạng trên Nhận xét: Ví dụ trên gồm bài tập tính tích phân ñơn giản mà học sinh có thể áp dụng bảng công thức nguyên hàm ñể giải ñược bài toán với phép biến ñổi ñơn giản nhân phân phối, chia ña thức, ñồng hai ña thức, biến ñổi tích thành tổng Qua ví dụ này nhằm giúp các em thuộc công thức và nắm vững phép tính tích phân BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 1: Tính các tích phân sau: 2x x + x x - 3x + dx x 1) I = ∫(x x + 2x +1)dx 2) Ι = ∫ 0 3) I = 5) I = x -3x -5x +3 dx ∫-1 x -2 4) I = ∫ (x + x - ) dx -2 π π 12 ∫ (sinx + cos2x - sin3x )dx 6) I = ∫ 4sinx.sin2x.sin3xdx π 16 7) I = ∫ cos 8) I = 2xdx ∫x + 2x -3 dx -2 dx 9) I = ∫ x -5x +6 10) I = ∫ dx x +1+ x x + 2x +6 11) I = ∫ dx (x -1)(x - 2)(x - 4) x +1 12) I = ∫ dx (x -1)3 (x +3) xdx 13) I = ∫ x -6x +5 x dx 14) I = ∫ (1+ x )2 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang (10) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI II.4 TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ: II.4.1 Phương pháp ñổi biến số loại 1: b Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân ∫ f(x)dx phụ thuộc vào hàm số f(x), a cận a và b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân Tức là: b b b a a a ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = Trong số trường hợp tính tích phân mà không tính trực tiếp công thức hay qua các bước phân tích ta không giải ñược Ta xét các trường hợp sau: VD5: Tính các tích phân sau: 1) I = 2 dx -x2 ∫ Phân tích: Biểu thức dấu tích phân có chứa bậc hai, ta không khử phép biến ñổi bình phương hai vế ñược, ta thử tìm cách biến ñổi ñưa bậc hai 2 dạng A , ñó ta liên tưởng ñến công thức: 1-sin x = cos x = cosx , ñó: π π ðặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt , t ∈ - ; 2 ðổi cận: x= 2 π ⇒ 2sint = ⇒t = 2 x =0 ⇒ π ⇒ I= ∫ 2sint = ⇒ t = π π π 2cost.dt 2cost.dt π π =∫ = ∫ dt = t = ( vì t ∈ 0; ⇒ cost > ) 2 6 -2sin t 2(1-sin t) 0 Trong VD trên ta thay ñổi sau: I = ∫ ñược kết I = π Kết trên bị sai vì hàm số f (x) = dx Học sinh làm tương tự và -x2 không xác ñịnh x= 2-x2 Do ñó ñề dạng trên Giáo viên cần chú ý: hàm số f (x) xác ñịnh trên [a;b] Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang 10 (11) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 2) I = ∫ - x dx π π ðặt x = sint ⇒ dx = costdt , t ∈ - ; 2 ðổi cận: x= π 6 ⇒ 3sint = ⇒t = 2 x =0 ⇒ π ⇒I = ∫ 2sint = ⇒ t = π π π 34 3 π -3sin t 3cost.dt = ∫ 3cos t.dt = ∫ (1+cos2t ).dt = t+ sin2t = + 20 2 24 2 2 β a) Khi gặp dạng ∫ α β ∫ α a - x dx hay dx (a > 0) a2 - x π π ðặt x = a.sint ⇒dx = a.cost.dt , t ∈ - ; 2 2 2 ( ðể biến ñổi ñưa bậc hai dạng A , tức là: a -a sin x = a cos x =a cosx ) π π x = β ⇒ t = β’ ∈ - ; 2 ðổi cận: π π x = α ⇒ t = α’ ∈ - ; 2 π π π π Lưu ý: Vì t ∈ - ; ⇒ α ', β ' ∈ - ; ⇒ cost > 2 2 β ⇒ ∫ a - x dx = α β' ∫ α β' a -a sin t acostdt = ∫ a 2cost 2dt , hạ bậc cos2t 2 α' ' β hay β' β' dx a.costdt =∫ = ∫ dt a - x α ' a -a 2sin t α ' ∫ α ðến ñây, công thức nguyên hàm không phụ thuộc vào biến số nên ta tính ñược tích phân theo biến số t cách dễ dàng Ở ñây ta cần lưu ý: Biểu thức dấu tích phân này là hàm số theo biến số t ñơn ñiệu trên [α;β] Ta mở rộng tích phân dạng trên sau: β b) Khi gặp dạng ∫ α β a -u 2(x)dx hay ∫ α dx (a > 0) a - u 2(x) π π ðặt u(x) = a.sint ⇒ u'(x).dx = a.cost.dt , t ∈ - ; 2 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang 11 (12) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π π ðổi cận: x = β ⇒ t = β’ ∈ - ; 2 π π x = α ⇒ t = α’ ∈ - ; 2 2+ VD6: Tính tích phân sau: I = ∫ GV: NGUYỄN DUY KHÔI 2+ -x + 4x -1 dx Ta có: I = ∫ - (x -2 ) dx 2 π π ðặt x - = sint ⇒ dx = cost.dt , t ∈ - ; 2 ðổi cận: x = 2+ π ⇒ sint = ⇒t = 2 x = ⇒ sint = ⇒ t = π π ⇒ I= - 3sin t cost.dt = ∫ 3cos t.dt ∫ 0 π 3 = ∫ (1+ cos2t ).dt = t + sin2t 20 2 VD7: Tính tích phân sau: I = ∫ π = π + dx dx 2+x Nhận xét: Ta thấy tam thức bậc hai mẫu số vô nghiệm nên ta không sử dụng phương pháp hệ số bất ñịnh ví dụ 4.10 và không phân tích biểu thức dấu tích phân ñược chú ý và chú ý π π ðặt: x = 2tgt ⇒ dx = (1+tg 2t )dt , t ∈ - ; 2 x = ⇒ 2tgt = ⇒ t = ðổi cận: x =0 ⇒ π ⇒ I= ∫ π 2tgt = ⇒ t = π 2.(1+tg 2t )dt 2 2π = ∫ dt = t = 2+2tg t π β dx (a > 0) +x2 Nhận xét: a2 + x2 = vô nghiệm nên ta không phân tích biểu thức dấu tích phân ñược chú ý và chú ý π π ðặt x = a.tgt ⇒ dx = a (1+ tg t ) dt , t ∈ - ; c) Khi gặp dạng ∫ αa 2 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang 12 (13) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π π x = β ⇒ t = β’ ∈ - ; 2 π π x = α ⇒ t = α’ ∈ - ; ðổi cận: GV: NGUYỄN DUY KHÔI 2 Ta xét ví dụ tương tự tiếp theo: 1+ VD8: Tính tích phân sau: I = ∫ dx x -2x+3 Nhận xét: Ta thấy tam thức bậc hai mẫu số vô nghiệm nên ta phân tích mẫu số ñược thành: a2 + u2(x) 1+ Ta có: I = ∫ 1+ dx dx = 2 ∫ x -2x+3 2+ ( x -1) π π ðặt x -1= 2tgt ⇒ dx = (1+tg 2t )dt , t ∈ - ; 2 ðổi cận: π x = 1+ ⇒ tgt = ⇒ t = x = ⇒ tgt = π ⇒ I= ∫ ⇒t = π 2.(1+tg 2t )dt 2 = ∫ dt = t 2+2tg t 2 π = 2π Vậy: β dx (a > 0) +u (x ) Với tam thức bậc hai a +u (x ) vô nghiệm thì d) Khi gặp dạng ∫ αa π π ðặt u(x) = a.tgt ⇒ u'(x)dx = a.(1+tg 2t )dt , t ∈ - ; 2 π π x = β ⇒ t = β’ ∈ - ; ðổi cận: π x = α ⇒ t = α’ ∈ 2 π ; 2 Tóm lại: Phương pháp ñổi biến số dạng 1: ðịnh lý: Nếu Hàm số x = u(t) có ñạo hàm liên tục, ñơn ñiệu trên ñoạn [α;β] Hàm số hợp f [u(t)] ñược xác ñịnh trên ñoạn [α;β] Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang 13 (14) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI u(α) = a, u(β) = b β b thì ∫ f(x)dx = α∫ f [u(t)]u'(t).dt a Từ ñó ta rút quy tắc ñổi biến số dạng sau: B1: ðặt x = u(t) (với u(t) là hàm có ñạo hàm liên tục trên [α ;β ] , f(u(t)) xác ñịnh trên [α ;β ] và u(α ) = a, u( β ) = b ) và xác ñịnh α , β β β b B2: Thay vào ta có: I = ∫ f(u(t)).u'(t)dt = ∫ g(t)dt = G(t) α a α = G( β ) -G (α ) Một số dạng khác thường dùng phương pháp ñổi biến số dang 1: a * Hàm số dấu tích phân chứa a -b x hay ta thường ñặt x = sint b a -b x a ta thường ñặt x = * Hàm số dấu tích phân chứa b x - a hay bsint b2 x - a a * Hàm số dấu tích phân chứa ta thường ñặt x = tgt 2 b a +b x a * Hàm số dấu tích phân chứa x(a -bx) ta thường ñặt x = sin 2t b BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 2: Tính các tích phân sau: 1 x2 1) I = ∫ x - x dx 2) I = ∫ dx - 3x 3) I = ∫ 5) I = ∫ x + 2x - x dx 4) I = x2 - dx x ∫ 1 x +1 dx x(2 - x) dx x + x +1 6) I = ∫ Hướng dẫn: Câu 4: ðặt x = sint Câu 5: ðặt x = 2sin 2t π VD9: Chứng minh rằng: Nếu hàm số f(x) liên tục trên 0; thì 2 π π 2 0 ∫ f (sinx )dx = ∫ f (cosx )dx Áp dụng phương pháp trên ñể tính các tích phân sau : π π sin x 1) I = ∫ dx 2) I = ∫ ln(1+ tgx)dx 4 sin x + cos x 0 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang 14 (15) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI Giải π VT = ∫ f (sinx )dx ðặt x = ðổi cận x = ⇒ t = π π ;x= 2 π - t ⇒ dx = -dt ⇒t =0 π π ⇒ VT = − ∫ f sin − t dt = ∫ f (cosx )dx = VP (ñpcm) 2 π 0 Áp dụng phương pháp trên ñể tính các tích phân sau : π sin 4x dx ∫ 4 sin x + cos x 1) I = π ðặt x = - t ⇒ dx = -dt ðổi cận x = ⇒ t = sin 4( I= - ∫ π sin 4( π π π π π ;x= 2 ⇒t =0 π - t) π cos t cos 4x dt = dx ∫ ∫ 4 sin t + cos t sin x + cos x π - t)+ cos 4( dt = - t) π π sin x cos x π π dx + dx = ∫ sin 4x + cos 4x ∫ sin 4x + cos 4x ∫ dx = ⇒ I = 0 ⇒ 2I = π 2) I = ∫ ln(1+ tgx)dx ðặt x = π - t ⇒ dx = -dt ðổi cận x = ⇒ t = π ;x= π π ⇒t =0 π π 4 π 1-tgt )dt = ∫ [ln2 -ln(1+tgt)]dt = ln2 ∫ dt - I ⇒ I = - ∫ ln[1+tg( -t)]dt = ∫ ln(1+ 1+tgt π 0 0 ⇒2I = πln2 ⇒I = π.ln2 BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 3: Tính các tích phân sau: Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang 15 (16) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” 1) π π 2 n n ∫ sin xdx = ∫ cos xdx HD: ðặt x = π GV: NGUYỄN DUY KHÔI -t a 2) Cho I = ∫ f(x)dx CMR: -a a a) I = ∫ f(x)dx f(x) là hàm số chẵn b) I = f(x) là hàm số lẻ b b f(x) dx = ∫ f(x)dx 3) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là hàm số chẵn thì ∫ x -b a + 2x + Áp dụng: Tính I = ∫ x dx -2 + π ππ 20 4) Chứng minh rằng: ∫ xf(sinx)dx = π Áp dụng: Tính I = ∫ f(sinx)dx (HD: ðặt x = π - t ) xsinx ∫ 4+ sin x dx BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 4: Tính các tích phân sau: (Các ñề tuyển sinh ðại học) a) I = 2 ∫ x2 1- x dx c) I = ∫ x - x dx (ðH TCKT 1997) (ðH T.Lợi 1997) d) I = ∫ x a - x dx (ðH SPHN 2000) 1- x -1 dx ∫x g) I = ∫ (ðH Y HP 2000) 2 a e) I = (1- x ) dx b) I = ∫ dx (1+ x ) 2 (ðH TCKT 2000) f) I = ∫ (ðH N.Ngữ 2001) h) I = dx (ðH T.Lợi 2000) x + 4x +3 ∫x dx x -1 (ðH BKHN 1995) II.4.2 Phương pháp ñổi biến số loại 2: (Dạng nghịch) b Nếu tích phân có dạng ∫ f u(x) u'(x)dx a ðặt: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx ðổi cận: x = b ⇒ u2 = u(b) x = a ⇒ u1 = u(a) u2 ⇒ I = ∫ f (u )du u1 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang 16 (17) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI a) Một số dạng thường gặp ñổi biến số loại 2:(Dạng nghịch) Trong số trường hợp tính tích phân phương pháp phân tích hay tính tích phân tích phân ñổi biến số loại không ñược ta thấy biểu thức dấu tích phân có chứa: Lũy thừa thì ta thử ñặt u biểu thức bên biểu thức có chứa lũy thừa cao Căn thức thì ta thử ñặt u thức Phân số thì ta thử ñặt u mẫu số cosx.dx thì ta thử ñặt u = sinx sinx.dx thì ta thử ñặt u = cosx dx hay (1 + tg2x)dx thì ta thử ñặt u = tgx cos x dx hay (1 + cotg2x)dx thì ta thử ñặt u = cotgx sin x dx và chứa lnx thì ta thử ñặt u = lnx x VD 10: Tính các tích phân sau: a) I = ∫(x +1) x dx 2 ðặt: u = x +1 ⇒ du = 3x dx ⇒ x dx = du ðổi cận: x u 2 ⇒ I = ∫ u5 du u6 2 16 = ∫ u du = = = 31 18 18 18 π b) I = ∫(1+sinx )3 cosx.dx (Tương tự) 2 a) I = ∫ 4+3x 12x.dx ðặt: u = 4+3x ⇒ u = 4+3x Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang 17 (18) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” ⇒ 2udu = 6xdx ⇒ 12xdx = 4udu GV: NGUYỄN DUY KHÔI ðổi cận: x u 4 ⇒ I = ∫ u.4u.du = ∫ 4u du = 2 4u 3 = 4.43 4.2 224 = 3 b) I = ∫ 1+2x x dx (HD: I = ∫ x 1+2x xdx ) 0 ðặt u = 1+2x ⇒ u = 1+2x ⇒ x = ⇒ 2udu = 4xdx ⇒ xdx = udu x2 dx 1+7x c) I = ∫ u2 -1 ðặt u = 1+7x ⇒ u = 1+7x ⇒ 3u 2du = 21x 2dx ⇒ x 2dx = u 2du ðổi cận: x u 1 2 2 u 1u du = ∫ udu = 7u 71 14 ⇒I = ∫ 3.a) I = ∫ x3 = 2 12 = 14 14 14 x x dx x +1 dx Ta có: I = ∫ x u x +1 ðặt u = x + ⇒ x = u - du ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = ðổi cận: 2 u -1 12 1 du = ∫ 1- du = (u -ln |u |) = (2 -ln2 -1 ) = (1-ln2 ) 2u 1 u 2 1 ⇒ I= ∫ b) I = ∫ x2 dx x +2 (HD: ðặt u = x +2 ) Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang 18 (19) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI π 4.a) I = ∫ sin x.cosx.dx ðặt: u = sinx ⇒ du = cosx.dx ðổi cận: x u π 2 u5 ⇒ I = ∫ u du = 5 = 160 π sinx dx 1+3cosx b) I = ∫ (HD: ðặt u = 1+3cosx ) π c) I = ∫ 1+3sinx.cosxdx (HD: ðặt u = 1+3sinx ) π sin2x +sinx dx 1+3cosx 5.a) I = ∫ (ðề ðH khối A – 2005) π π sinx (2cosx +1 ) 2sinxcosx +sinx Ta có I = ∫ dx = ∫ dx 1+3cosx 1+3cosx 0 ðặt u = 1+3cosx ⇒ u = 1+3cosx ⇒ cosx = ⇒ 2udu = -3sinxdx ⇒ sinxdx = u2 -1 -2udu ðổi cận: π x u 2 u -1 -2udu +1 2 dx = ⇒I = ∫ 2 = u (2u 9∫ + )du 2 2.2 2u 2.13 34 + u = + -1 = 3 1 9 27 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang 19 (20) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI Nhận xét: ðối với bài chứa thức, học sinh có thể ñặt u biểu thức dấu căn, sau ñổi biến thì tích phân còn chứa thức nên việc tính phức tạp (tức là học sinh phải ñưa xα) Ví dụ: Cách câu π sin2x +sinx dx 1+3cosx 5.a) I = ∫ (ðề ðH khối A – 2005) π π sinx (2cosx +1 ) 2sinxcosx +sinx dx = ∫ dx 1+3cosx 1+3cosx 0 Ta có I = ∫ ðặt u = 1+3cosx ⇒ cosx = u -1 ⇒ du = -3sinxdx ⇒ sinxdx = -du ðổi cận: x u π -du u -1 +1 2 (2u+1 ) 3 ⇒I = ∫ du = ∫ du u u 4 − 12 4 14 2 + = u u + u u u + u = ∫1 u ∫1 1 3 32 34 = +4- -2 = 9 3 27 = Nhận xét: Rõ ràng cách giải ñặt u biểu thức thấy phức tạp so với cách π sin2x.cosx dx 1+cosx b) I = ∫ π 6.a) I = ∫ (tgx +1 ) dx (ðH khối B – 2005) 2 cos x ðặt: u = tgx +1 ⇒ du = ðổi cận: x u dx cos x π u3 = - = 3 1 3 ⇒ I = ∫ u 2du = Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Lop12.net Trang 20 (21)