S6 CHUYÊN đề 6 CHỦ đề 3 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG GIẢI bài TOÁN số CHÍNH PHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ĐS6.CHUYÊN ĐỀ - SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG GIẢI BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA Số phương số tự nhiên viết dạng bình phương số nguyên = 22 16 = Ví dụ: ; SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHẴN, SỐ CHÍNH PHƯƠNG LE Một số phương gọi số phương chẵn bình phương số chẵn, số phương lẻ bình phương số lẻ (Nói cách khác, bình phương số chẵn số chẵn, bình phương số lẻ số lẻ) CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG a) Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, có chữ số tận 2, 3, 7, Như để chứng minh số số phương ta số có hàng đơn vị 2; 3; b) Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa TSNT với số mũ chẵn, không chứa TSNT với số mũ lẻ 3600 = 602 = 24.32.52 Ví dụ: ⇒ Để chứng minh số khơng phải SCP ta số phân tích TSNT tồn thừa số nguyên tố chứa số mũ lẻ c) Số phương có dạng có dạng * 3n + ( n ∈ ¥ ) có dạng 3n + 1( a ≡ 0,1( mod 3) ) hoặc d) Số phương có dạng 4n + 3n 4n , SCP 4n + 1( a ≡ 0,1( mod ) ) hoặc , khơng có SCP 4n + ( n ∈ ¥ ) hoặc e) Số ước số số phương số lẻ, ngược lại số có số lượng ước lẻ số phương TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG p2 p f) Nếu số phương chia hết cho chia hết cho g)  Số phương tận hoặc chữ số hàng chục chữ số chẵn (121, 49,     …) Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chẵn Số phương tận chữ số hàng chục lẻ Nếu SCP có chữ số tận SCP có số chẵn chữ số tận : 100, 10000, … h) Cơng thức để tính hiệu hai số phương: a2 - b2 = (a+b).(a-b) i) Tất số phương viết thành dãy tổng số lẻ tăng dần từ 1, ví dụ: 1, + 3, + + 5, + + +7, + + +7 + 9, … HỆ QUẢ - Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 16 p n +1 p2n+2 p n∈¥ Số phương chia hết cho chia hết cho ( số nguyên tố, ) PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Chứng minh biểu thức khơng số phương I Phương pháp giải: - A Đề chứng minh biểu thức khơng số phương A Giả sử biểu thức số phương Sử dụng tính chất để tìm điều vơ lí hay mâu thuẫn A Vậy biểu thức khơng số phương II Bài toán Bài 1: Chứng minh với ∀n ∈ ¥ 3n + khơng số phương Lời giải: - Với - Với n = ⇒ 3n + = n = ⇒ 3n + = khơng số phương khơng số phương TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG - Với n≥2 Giả sử số phương ⇒ 3n + = m ( m ∈ ¥ , m > 3) ⇔ m − = 3n ⇔ ( m − ) ( m + ) = 3n k  m − = ⇒ q  m + = ( k, q ∈ ¥ ; k + q = n) ⇒ ( m + ) − ( m + ) = 3q − 3k ⇔ = 3q − 3k ( *) Ta thấy Vậy /3 4 M  q k ( − ) M3 3n + ( *) điều mâu thuẫn với so với đẳng thức khơng số phương với số tự nhiên Bài 2: Chứng minh với số nguyên dương n n n2 + khơng số phương Lời giải: Giả sử n2 + Khi đặt số phương * n + = m2 ( m ∈ ¥ ) ⇔ m − n2 = ( 1) ⇔ ( m + n ) ( m − n ) = ( 1) Như vậy, hai số m+n m−n ( 2) phải có số chẵn TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Mặt khác m + n + m − n = 2m Suy hai số ( 2) Từ m+n m−n ( 3) suy chẵn m+n ( 3) tính chẵn lẻ m−n hai số chẵn ( m + n ) M2 ⇒ ( m + n ) M2 ⇒ ( m + n ) ( m − n )  M4 ⇒ ( m − n ) M4 mà /4 2M ( 1) , so sánh điều với n Vậy với số nguyên dương n2 + , ta thấy điều vô lý khơng số phương Bài 3: Chứng minh tích bốn số ngun dương liên tiếp khơng số phương Lời giải: * n n +1 n + n + n + ( n ∈ ¥ ) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp , , , ( n∈¥ ) S = n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) * Đặt Ta chứng minh Giả sử S khơng số phương * S = m > ( m ∈ ¥ ) ( 1) ⇒ n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) = m ⇔ ( n + 3n ) ( n2 + 3n + ) = m2 Đặt * n + 3n = a ( a ∈ N ) ⇒ a ( a + 2) = m2 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ⇔ a + 2a = m ⇔ a + 2a + = m + ⇔ ( a + 1) = m2 + ⇔ ( a + + m) ( a + − m) = a + − m = ⇔ a + + m = ⇒ m = ( 2) ( 2) Ta thấy Vậy ( 1) mâu thuẫn với S khơng số phương hay tích bốn số ngun dương liên tiếp khơng số phương Bài 4: Chứng minh với tổng abc + bca + cab khơng số phương Lời giải: S = abc + bca + cab = 111( a + b + c ) = 3.37 ( a + b + c ) Đặt ( a, b, c ∈ ¥ ; a, b, c ≤ ) * Giả sử S ⇒ SM 37 số phương ⇒ S M37 ⇒ ( a + b + c ) M37 ( a + b + c ) ≤ 37 Mà Đây điều vơ lý TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vậy S khơng số phương Bài 5: Chứng minh với n lẻ ∀n ∈ ¢ + n + 24 khơng số phương Lời giải: Đặt Khi * n + 24 = a ( a ∈ ¥ ) n lẻ: Đặt n = 2k + ⇒ n + 24 = 2k +1 + 24 = k.71 + 24 = ( ) + 24 = 49 k.7 + 24 = a k Có 49 chia dư Vậy với n lẻ ⇒ 49k chia dư 1; ∀n ∈ ¢ + n + 24 7.49k chia dư ⇒ a2 chia dư (vô lý) khơng số phương Bài 6: Chứng minh số tự nhiên abc số nguyên tố b − 4ac khơng số phương Lời giải: Giả sử b − 4ac số phương m2 ( m ∈ ¥ ) Xét 4a.abc = 4a ( 100a + 10b + c ) = ( 20a + b ) − ( b − 4ac ) = ( 20a + b ) − m = ( 20a + b + m ) ( 20a + b − m ) 2 Tồn hai thừa số 20a + b + m 20a + b − m , chia hết cho số ngun tố Điều khơng xảy hai thừa số nhỏ Thật vậy, Nên m2 Giả sử Mà : 2n − 2n − khơng số phương số phương 2n − = ( 2k + 1) ⇒ 2n − = 4k + 4k + số lẻ nên ⇒ n = k + k + ( *) Vì n≥2 nên 2n M4 ( 1) 4k + 4k = 4k ( k + 1) M4 Mà Nên / ( 2) 4k + k + M ( 1) So sánh ( 2) ( *) với Vậy với số tự nhiên , ta thấy mâu thuẫn với n≥2 2n − khơng số phương Bài 8: Chứng minh với số tự nhiên n ≥1 A = n + 2n + 2n + 2n + không số phương Lời giải: Với n ≥1 Giả sử A : số phương ⇒ A = k ⇒ n + 2n + 2n + 2n + = k TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ⇒ n (n + 2n + 1) + (n + 2n + 1) = k ⇒ n (n + 1) + (n + 1) = k ⇒ ( n + 1)( n + 1) = k ⇒ (n + 1) số phương với Vậy với số tự nhiên n ≥1 n ≥1 (vơ lí) A = n + 2n + 2n + 2n + Bài 9: Chứng minh với số tự nhiên khơng số phương B = n3 − n + khơng số phương Lời giải: Với n = B = n3 − n + = Giả sử với số tự nhiên khơng số phương n ≥1 B , số phương * ⇒ B = k ⇒ n3 − n + = k ( k ∈ ¥ ) ⇒ n(n − 1) + = k ⇒ n(n − 1)(n + 1) + = k ( *) n(n − 1)(n + 1)M3 ⇒ n( n − 1)( n + 1) + = k Mà chia dư ( *) Nên mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy Vậy với số tự nhiên B = n3 − n + khơng số phương Bài 10: Chứng minh với số tự nhiên n C = 2n + 2n + khơng số phương Lời giải: Nếu n=0 C = 2n + 2n + = khơng số phương TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Giả sử với số tự nhiên n ≥1 C , số phương ⇒ C = k ⇒ 2n + 2n + = k ⇒ 2n(n + 1) + = k (*) n(n + 1) M2 Mà 2n(n + 1) M4 nên ( *) Nên mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy Vậy với số tự nhiên n C = 2n + n + không số phương Bài 11: Chứng minh với số tự nhiên n ≥1 D = n − n + 2n + 2n không số phương Lời giải: Nếu n=0 Giả sử D D = n − n + n + 2n = số phương số phương ⇒ D = k ⇒ n − n + 2n + 2n = k ⇒ n ( n − n2 + 2n + ) = k ⇒ n  n ( n − 1) ( n + 1) + ( n + 1)  = k ⇒ n ( n + 1) ( n3 − n + )  = k ⇒ n ( n + 1) ( n3 + 1) − ( n − 1)  = k TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ⇒ n ( n + 1) (n − 2n + ) = k ⇒ ( n − 2n + ) số phương Đây điều khơng xảy hay vơ lí Vì với n ∈ ¥* n − n + = ( n − 1) + > ( n − 1) n − 2n + = n − ( n − 1) < n 2 ⇒ ( n − 1) < n − 2n + < n ⇒ n2 − 2n + 2 Vậy với số tự nhiên n ≥1 khơng số phương D = n − n + 2n3 + 2n Bài 12: Chứng minh với số tự nhiên n ≥1 khơng số phương E = n2 + n + không số phương Lời giải: Giả sử Khi đó: E số phương * E = k ⇒ n2 + n + = k ( k ∈ ¥ ) n < n + n + < (n + 1)2 ⇒ n < k < ( n + 1) Mà ⇒ n < k < n +1 (vơ lí) Vậy với số tự nhiên n ≥1 E = n2 + n + khơng số phương (n ≥ 1) Bài 13: Chứng minh với số tự nhiên n lẻ F = n3 + khơng số phương Lời giải: Giả sử Khi đó: F số phương F = k ( k ∈ ¥ , k > 1) ⇒ n3 + = k TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ⇒ n3 = k − ⇒ n = (k − 1)(k + 1) n Vì số tự nhiên lẻ nên nguyên tố nên k + = a  k −1 = b n3 số lẻ ⇒ k − 1, k + hai số tự nhiên lẻ liên tiếp chúng với a, b lẻ a>b ⇒ = a − b3 = (a − b)( a + ab + b ) ≥ (*) Vì a −b ≥ a + ab + b ≥ Vậy với số tự nhiên n ≥1 nên (*) vơ lí Bài 14: Chứng minh tổng E = n2 + n + S +2 với không số phương S = + 22 + 23 + + 20 khơng số phương Lời giải: Giả sử S +2 ⇒ S + = k2 Ta có: số phương S = + 22 + 23 + + 20 ⇒ S = 22 + 23 + + 220 + 221 ⇒ S − S = (22 + 23 + + 220 + 221 ) − (2 + 22 + 23 + + 20 ) ⇒ S = 21 − ⇒ S + = 221 Vậy tổng hay S +2 ⇒ k = 221 với (vơ lí) S = + 22 + 23 + + 20 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC khơng số phương Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 15: Chứng minh tổng bình phương bốn số nguyên dương liên tiếp khơng số phương Lời giải: n − 1, n, n + 1, n + Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp Giả sử tổng bình phương bốn số nguyên dương liên tiếp số phương, tức (n − 1) + n2 + (n + 1) + ( n + 2) là số phương N = ( n − 1) + n + (n + 1) + ( n + 2) Đặt N = ( n − 1) + n + ( n + 1) + (n + 2) = 4n + 4n + = 4(n + n) + (*) Ta có: 4( n + n) + Do đó, số chẵn N số phương nên N M4 [4(n + n) + 6] M4 Mà (*) Nên không xảy hay vô lý Vậy tổng bình phương bốn số nguyên dương liên tiếp khơng số phương Bài 16: Chứng minh tổng bình phương năm số ngun dương liên tiếp khơng số phương Lời giải: n − 2, n − 1, n, n + 1, n + Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp Giả sử tổng bình phương năm số nguyên dương liên tiếp số phương, tức ( n − 2) + ( n − 1) + n2 + ( n + 1) + ( n + 2) là số phương M = (n − 2)2 + ( n − 1) + n + (n + 1)2 + (n + 2)2 Đặt M = (n − 2)2 + (n − 1)2 + n2 + ( n + 1) + (n + 2) = 5n + 10 = 5( n + 2) Ta có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG (n + 2)M5 ⇒ n + M Do đó, số phương nên hoặc (vơ lí) có số tận hoặc ⇒ n2 có số tận Vậy tổng bình phương năm số nguyên dương liên tiếp không số phương Bài 17: Cho n số nguyên dương d ước nguyên dương 2n Chứng minh n2 + d số phương Lời giải: n2 + d Giả sử số phương 2n = kd k ∈ ¥ * Đặt , k (n + d ) = n k + k d = n k + 2n k = n (k + 2k ) Ta có: số phương ⇒ k + 2k số phương (*) k < k + 2k < (k + 1) Mà nên (*) vơ lí n Vậy với số ngun dương phương d ước nguyên dương 2n n2 + d khơng phải số Bài 18: Chứng minh tổng bình phương hai số tự nhiên lẻ khơng phải số phương Lời giải: Gọi a b , số tự nhiên lẻ Giả sử tổng bình phương hai số Vì a b lẻ nên đặt a b số phương, tức a2 + b2 ( 1) số phương a = m + b = 2n + , ⇒ a + b = (2m + 1) + (2n + 1) = [4( m + n + m + n) + 2]M2 ( ) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2 ( ) ⇒ ( a + b ) M4 ( 3) ( 1) Từ / ( 4) a + b = 4(m + n + m + n) + M Mà ( 3) ( 4) mâu thuẫn với Vậy tổng bình phương hai số tự nhiên lẻ khơng phải số phương n Bài 19: Chứng minh với số tự nhiên n + 2002 khơng phải số phương Lời giải: Giả sử n + 2002 ⇒ n + 2002 = k số phương ⇒ n − k = 2002 ⇒ ( n − k )(n + k ) = 2002 (*) Mà  2002 = (2.7.11.13)M2  /4 2002 = (2.7.11.13) M nên ( n − k )(n + k ) M2 ⇒ n − k , n + k (n + k ) − ( n − k ) = 2k Hơn nữa, nên hai số n − k, n + k chia hết cho chia hết cho ⇒ (n − k )(n + k )M4 (*) Nên điều mâu thuẫn hay không bao giờ xảy hay vô lý Vậy với số tự nhiên n n + 2002 khơng phải số phương Bài 20: Chứng minh với số tự nhiên n ( n + 1) + n4 + khơng phải số phương Lời giải: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ( n + 1) + n4 + Giả sử số phương ( n + 1) + n + = n + n3 + 6n + n + Ta có = ( n + 2n3 + 3n + 2n + 1) = ( n + n + 1) (n n + n + = n ( n + 1) + Do + n + 1) số lẻ nên số lẻ ⇒ ( n + 1) + n + chia hết cho khơng chia hết cho (vơ lí) ( n + 1) + n4 + Vậy khơng số phương Bài 21: Chứng minh với số tự nhiên n n5 − n + khơng phải số phương Lời giải: Giả sử n5 − n + số phương n5 − n + = (n5 − n) + = n( n − 1) + = n(n − 1)(n + 1)(n + 1) + (*) Ta có: n(n − 1)(n + 1)(n + 1) + Vì số chẵn nên n5 − n + số chẵn Mà n5 − n + số phương nên (n5 − n + 2)M4 n( n − 1)(n + 1)(n + 1) + M4 Mặt khác : (*) Nên Vậy điều mâu thuẫn hay không bao giờ xảy hay vô lý n5 − n + khơng số phương Bài 22: Chứng minh với số nguyên dương n A = 20124 n + 20134 n + 2014 n + 20154 n khơng phải số phương TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải: A Giả sử số phương Ta có: 20124 n = (4.503) n M4, ∀n ∈ ¥ * 20144 n = (2.19.53) n = 42 n.(19.53) n M4, ∀n ∈ ¥ * 20134 n = 20134 n − + = ( 20134 n − 1) + chia dư 20154 n = 20154 n − ( −1) 4n +1 chia cho dư Do đó, Ta có Vậy A = 20124 n + 20134 n + 20144 n + 20154 n A A số chẵn A phương nên A chia cho dư chia hết cho 22 (vơ lí) khơng số phương Bài 23: Chứng minh A = + + 22 + 23 + K + 233 khơng phải số phương Lời giải: A Giả sử số phương A = + + ( 2 + 23 + 24 + 25 ) + K + ( 230 + 231 + 232 + 233 ) Ta có = + 22 ( + + 22 + 23 ) + K + 230 ( + + 22 + 23 ) = + 2.30 + K + 229.30 = + ( + K + 29 ) 3.10 Ta thấy Vậy A A có chữ số tận (vơ lí) khơng số phương TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 24: Chứng minh A = n 2004 + số phương n lẻ Lời giải: Giả sử n 2004 + số phương với n số lẻ Ta có: ( a∈¥ ) * n 2004 + = a ⇔ a − ( n1002 ) = ⇔ ( a − n1002 ) ( a + n1002 ) = ⇒ 1M( a + n1002 ) ⇒ ( a + n1002 ) = (a+n ) > 1002 điều vơ lí n 2004 + Vậy khơng số phương với n p Bài 25: Chứng minh tích với n số lẻ số lẻ n p −1 số ngun tố p +1 khơng thể số phương Lời giải: p Vì tích n / ( 1) pM pM2 số nguyên tố nên p +1 *Giả sử số phương p + = m2 ( m ∈ ¥ ) Đặt p +1 Vì p chẵn nên Đặt lẻ, suy m = 2k + ( k ∈ ¥ ) m2 lẻ, suy m lẻ TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Ta có m = 4k + 4k + ⇒ p + = 4k + k + ⇒ p = 4k + 4k = 4k ( k + 1) M ( 1) , điều mâu thuẫn với p +1 Suy khơng số phương p +1 * Giả sử số phương p = 2.3.5 số chia hết cho p −1 Suy ra, có dạng 3k + Khơng có số phương có dạng 3k + p +1 , điều mâu thuẫn với số phương p −1 Suy khơng số phương p Vậy tích n p −1 số nguyên tố p +1 khơng thể số phương Dạng 2: Chứng minh khơng tồn điều kiện biến để biểu thức A số phương I Phương pháp giải: - Đề yêu cầu chứng minh không tồn điều kiện biến để biểu thức A số phương Giả sử biểu thức A số phương Sử dụng tính chất để tìm điều vơ lí hay mâu thuẫn Vậy khơng tồn điều kiện biến để biểu thức A số phương II Bài tốn Bài 26: Chứng minh khơng tồn số tự nhiên n để 2006 + n số phương Lời giải: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Giả sử 2006 + n 2006 + n = m ( m ∈ N ) số phương ⇒ m − n = 2006 ⇔ ( m + n ) ( m − n ) = 2006 ( 1) Như vậy, hai số m+n m−n ( 2) phải có số chẵn Mặt khác m + n + m – n = 2m chẵn Suy hai số ( 2) Từ m+n ( 3) m−n m+n suy ( 3) tính chẵn lẻ m−n hai số chẵn (  m + n ) ( m − n ) M4 Suy ( 1) 2006 không chia hết cho 4, so sánh với , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên để 2006 + n số phương Bài 27: Chứng minh khơng tồn số tự nhiên n để 2010 + n số phương Lời giải: Giả sử 2010 + n 2010 + n = m ( m ∈ N ) số phương ⇒ m − n = 2010 ⇔ ( m + n ) ( m − n ) = 2010 ( 1) Như vậy, hai số m+n m−n ( 2) phải có số chẵn Mặt khác m + n + m – n = 2m Suy hai số ( 2) Từ m+n ( 3) suy m−n m+n ( 3) tính chẵn lẻ m−n hai số chẵn TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG (  m + n ) ( m − n ) M4 Suy ( 1) 2010 không chia hết cho 4, so sánh với , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên để 2010 + n số phương Bài 28: Chứng minh khơng tồn số tự nhiên n để 2014 + n số phương Lời giải: Giả sử 2014 + n 2014 + n = m ( m ∈ N ) số phương ⇒ m − n = 2014 ⇔ ( m + n ) ( m − n ) = 2014 ( 1) Như vậy, hai số Mặt khác m + n + m − n = 2m Suy hai số ( 2) Từ m+n m+n ( 3) suy m−n m+n m−n ( 2) phải có số chẵn ( 3) tính chẵn lẻ m−n hai số chẵn (  m + n ) ( m − n ) M4 Suy ( 1) 2014 không chia hết cho 4, so sánh với , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên để 2014 + n số phương Bài 29: Chứng minh không tồn số tự nhiên n để 2018 + n số phương Lời giải: Giả sử 2018 + n 2018 + n = m ( m ∈ N ) số phương ⇒ m − n = 2018 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ⇔ ( m + n ) ( m − n ) = 2018 ( 1) Như vậy, hai số Mặt khác m + n + m − n = 2m Suy hai số ( 2) Từ m+n m+n ( 3) suy m+n ( 2) phải có số chẵn m−n m−n ( 3) tính chẵn lẻ m−n hai số chẵn (  m + n ) ( m − n ) M4 Suy ( 1) 2018 không chia hết cho 4, so sánh với , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên để 2018 + n số phương Bài 30: Chứng minh khơng tồn số tự nhiên n với k chẵn / ( k ∈¥) kM để k + n2 số phương Lời giải: Giả sử k + n2 k + n = m2 ( m ∈ N ) số phương ⇒ m2 − n2 = k ⇔ ( m + n ) ( m − n ) = k ( 1) Như vậy, Mặt khác, k m + n + m − n = 2.m Suy ra, hai số ( 2) Từ chẵn nên hai số m+n ( 3) suy m−n m+n m+n m−n ( 2) phải có số chẵn ( 3) tính chẵn lẻ m−n hai số chẵn TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG (  m + n ) ( m − n ) M4 Suy k ( 1) không chia hết cho , so sánh với , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với n Vậy không tồn số tự nhiên với / 4( k ∈ N ) kM k chẵn Bài 31: Chứng minh không tồn số tự nhiên để n để 2018 + n 13n + số phương số phương Lời giải: Đặt Nếu 13n = m ( *) n chẵn (lẻ) m m, n chẵn (lẻ) nên m, n +) Nếu số lẻ 13n + tính chất chẵn (lẻ) chia dư (vì 13n chia dư 1) nên không tồn m2 m2 chia dư m, n +) Nếu chẵn 13n chia dư Vậy không tồn số tự nhiên n cho m M4 vô lý 13n + số phương Bài 32: Chứng minh số chẵn bất kỳ không chia hết cho khơng phân tích thành hiệu hai số phương Lời giải: Giả sử n = 4k + ( k∈N) (chẵn chia dư không chia hết cho 4); n = a − b ⇒ 4k + = a − b = (a − b)(a + b) tính chẵn lẻ ( a − b ) M2 ⇒ ⇒ ( a − b ) ( a + b ) M4 ⇒ ( 4k + ) M4 ( a + b ) M2 Điều trái với gia thiết ban đầu Vậy số chẵn khơng chia hết cho khơng phân tích thành hiệu hai số phương  HẾT  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 23 ... 2n + Bài 9: Chứng minh với số tự nhiên khơng số phương B = n3 − n + không số phương Lời giải: Với n = B = n3 − n + = Giả sử với số tự nhiên khơng số phương n ≥1 B , số phương * ⇒ B = k ⇒ n3 −...CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG p2 p f) Nếu số phương chia hết cho chia hết cho g)  Số phương tận hoặc chữ số hàng chục chữ số chẵn (121, 49,     …) Số phương tận chữ số hàng chục Số phương. .. 20 134 n + 20144 n + 20154 n A A số chẵn A phương nên A chia cho dư chia hết cho 22 (vơ lí) khơng số phương Bài 23: Chứng minh A = + + 22 + 23 + K + 233 khơng phải số phương Lời giải: A Giả sử số