Chuyên đề 3 phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: A.. Viết phương trình mặt cầu  S tâm I và cắt d tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB vuông.. Phương trình nào dưới đây là phư

HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6 CHUYÊN ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng  P : 2x  6 y  z  3  0 cắt trục Oz và đường Câu 2: Câu 3: thẳng d : x  5  y  z  6 lần lượt tại A và B Phương trình mặt cầu đường kính AB là 1 2 1 A  x  22   y 12   z  52  9 B  x  22   y 12   z  52  36 C  x  22   y 12   z  52  36 D  x  22   y 12   z  52  9 Lập phương trình của mặt cầu S  có tâm I thuộc Oy, đi qua A1;1;3; B 1;3;3 A S  : x2   y  22  z2  14 B S  : x2   y  22  z2  14 C S  : x2   y  22  z2  14 D S  :  x  22   y  22  z2  14 Lập phương trình mặt cầu S  có tâm I thuộc d : x  2  y 1  z và đi qua 1 1 2 A3;6;1; B 5;4;3 A  x  22   y 12  z2  3 3 B  x  22   y 12  z2  27 C  x  22   y 12  z2  27 D  x  22   y 12  z2  27 Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi Câu 5: Câu 6: qua ba điểm M 2;3;3; N 2;1; 1; P 2; 1;3 và có tâm thuộc mặt phẳng:   : 2x  3y  z  2  0 A x2  y2  2x  2 y  2z 10  0 B x2  y2  z2  4x  2 y  6z  2  0 C x2  y2  z2  4x  2 y  6z  2  0 D x2  y2  z2  2x  2 y  2z  2  0 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A2; 4;0, B 0;0;4, C 1;0;3 Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: A x2  y2  z2  2x  4 y  4z  0 B x2  y2  z2  4x  3y  4z  0 C x2  y2  z2  6x  2 y  4z  0 D x2  y2  z2  2x  4y  4z  0 Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm A3; 2; 3; B 1; 2;1 và mặt phẳng  P : x  y  z  0 Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I thuộc  P đi qua A, B sao cho tam giác OIA vuông tại gốc tọa độ O A S  :  x  52   y  62   z 12  84 B S  :  x  52   y  62   z 12  84 C S  :  x  52   y  62   z 12  42 D S  :  x  52   y  62   z 12  42 Câu 7: Lập phương trình mặt cầu S  tiếp xúc  P : 3x  y  z  4  0 tại điểm M 1; 2;3 và đi qua A1;0;1 A S  :  x  22   y  32   z  22  11 B S  :  x  22   y  32   z  22  11 C S  :  x  22   y  32   z  22  11 D S  :  x  22   y  32   z  22  11 1 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 8: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm I 1;2;1 và tiếp xúc với mặt phẳng  P : 2x  y  2z  3  0 ? A  x 12   y  22   z 12  3 B  x 12   y  22   z 12  9 C  x 12   y  22   z 12  3 D  x 12   y  22   z 12  9 Câu 9: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng   : x  y  z  0 đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S  : x2  y2  z2  2x  2 y  2z  0 ? A 1 B 0 C Vô số D 2 Câu 10: x  t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  1 và hai mặt phẳng z  t  P : x  2 y  2z  3  0 và Q : x  2 y  2z  7  0 Phương trình mặt cầu S  có I  d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng  P và Q có phương trình là: A  x  32   y 12   z  32  9 B  x  32   y 12   z  32  4 4 9 C  x  32   y 12   z  32  9 D  x  32   y 12   z  32  4 4 9 Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1  y 1  z và mặt phẳng 3 11  P : 2x  y  2z  2  0 Phương trình mặt cầu S  có tâm thuộc đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với  P và đi qua điểm A1;1;1 là: A  x 12   y 12  z2  1 B  x 12   y 12  z2  4 C  x 12   y 12  z2  1 D  x 12   y 12  z2  4 Câu 12: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình S  :  x  32   y  52   z  72  4 và mặt phẳng P : x  y  z  4  0 Biết mặt cầu S  cắt mặt phẳng  P theo một đường tròn C  Tính chu vi đường tròn C A 8 B 4 C 2 D 4 2 Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S  : x2  y2  z2  2x  4y  6z  2  0 Viết phương trình mặt phẳng   chứa trục Oy và cắt mặt cầu S  theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng 8 A 3x  z  0 B 3x  z  2  0 C 3x  z  0 D x  3z  0 Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  4y  6z  m  3  0 Tìm số thực m để   : 2x  y  2z  8  0 cắt  S  theo một đường tròn có chu vi bằng 8 A m  4 B m  2 C m  3 D m  1 2 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu tâm I 2;3; 1 cắt đường x  1 2t tại A, B với AB  16  thẳng d :  y  5  t  z  15  2t  A  x  22   y  32   z 12  289 B  x  22   y  32   z 12  2892 C  x  22   y  32   z 12  289 D  x  22   y  32   z 12  289 Câu 16: x 1t  Cho đường thẳng d :  y  2  t , P : x  y  z 1  0 Viết phương trình mặt cầu S   z  2  tiếp xúc với  P tại M 1;0; 2 và cắt d tại A, B sao cho AB  2 2 A x2   y 12   z  32  3 B x2   y 12   z  32  3 C x2   y 12   z  32  9 D x2   y 12   z  32  3 Câu 17: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1  y  z 1 và điểm I 2;1;0 Viết 1 2 1 phương trình mặt cầu S  tâm I và cắt d tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB vuông A  x  22   y 12  z2  10 B  x  22   y 12  z2  10 C  x  22   y 12  z2  10 D  x  22   y 12  z2  10 Câu 18: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x  2  y  3  z 1 và mặt cầu 1 2 1 S  : x2  y2  z2  2x  4 y  0 Viết phương trình đường thẳng Δ qua M 1; 1; 0 cắt đường thẳng d đồng thời cắt mặt cầu S  tại A, B sao cho AB  4 x  2  3t x  1 3t x  1 3t x  1 3t     A Δ: y  1 B Δ: y  1 C Δ: y  1 D Δ: y  1 z  t z  t z  t z  t Câu 19: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : x  2y  2z 10  0 và 2 đường thẳng Δ1 : x  2  y  z 1 và Δ2 : x  2  y  z  3 Viết phương trình mặt cầu S  có tâm 1 11 114 thuộc Δ1 đồng thời tiếp xúc với Δ2 và  P  13 2  7 2  10 2  13 2  7 2  10 2 A S  :  x     y     z    1 B S  :  x     y     z    1  3   3  3   3   3  3   13 2  7 2  10 2  13 2  7 2  10 2 C S  :  x     y     z    2 D S  :  x     y     z    1  3   3  3   3   3  3  3 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2; 4;5 Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông A  x  22   y  42   z  52  40 B  x  22   y  42   z  52  82 C  x  22   y  42   z  52  58 D  x  22   y  42   z  52  90 Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x  2  y 1  z 1 và điểm 2 2 1 I 2; 1;1 Viết phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I A  x  22   y 12   z 12  9 B  x  22   y 12   z 12  9 C  x  22   y 12   z 12  8 D  x  22   y 12   z 12  80 9 x  t x  5  2t   Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng d :  y  6  t ; Δ :  y  1 t và Câu 23:  z  2  t  z  1  t   mặt phẳng  P : x  3y  z 1  0 Mặt cầu S  có tâm I thuộc d, tiếp xúc với cả Δ và  P Biết hoành độ điểm I là số nguyên Tung độ điểm I là A 2 B 0 C 4 D 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S  :  x 12   y 12   z 12  9 và điểm A2;3; 1 Xét các điểm M thuộc S  sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với S  M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là B 3x  4 y  2  0 C 3x  4 y  2  0 D 6x  8 y 11  0 A 6x  8 y 11  0 Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm S 0;0;1 Hai điểm M m;0;0; N 0;n;0 thay đổi sao cho m  n  1 và m  0; n  0 Biết rằng mặt phẳng SMN  luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định Bán kính mặt cầu đó bằng: A R  2 B R  2 C R  1 D R  1 2 Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  :  x 12   y  22   z  32  16 và các điểm A 1;0; 2 , B 1; 2; 2 Gọi  P là mặt phẳng đi qua hai điểm A , B sao cho thiết diện của  P  với mặt cầu  S  có diện tích nhỏ nhất Khi viết phương trình  P  dưới dạng  P  : ax  by  cz  3  0 Tính T  a  b  c A 3 B 3 C 0 D 2 4 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6 CHUYÊN ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng  P : 2x  6 y  z  3  0 cắt trục Oz và đường Câu 2: thẳng d : x  5  y  z  6 lần lượt tại A và B Phương trình mặt cầu đường kính AB là Câu 3: 1 2 1 A  x  22   y 12   z  52  9 B  x  22   y 12   z  52  36 C  x  22   y 12   z  52  36 D  x  22   y 12   z  52  9 Lời giải Ta có AOz  A0;0;a mà A P  2.0  6.0  a  3  0  a  3  A0;0;3 x  5t  Lại có d :  y  2t t   mà B  d  B t  5; 2t;6  t  z  6  t Hơn nữa B  P  2t  5  6.2t  6  t   3  0  13t 13  0  t  1  B 4;2;7 Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB  I 2;1;5 Mặt cầu đường kính AB có bán kính R  1 AB 2 Mà AB   4; 2; 4  AB  42  22  42  6  R  3  S  :  x  22   y 12   z  52  9 Chọn A Lập phương trình của mặt cầu S  có tâm I thuộc Oy, đi qua A1;1;3; B 1;3;3 A S  : x2   y  22  z2  14 B S  : x2   y  22  z2  14 C S  : x2   y  22  z2  14 D S  :  x  22   y  22  z2  14 Lời giải Gọi I 0; y;0 ta có: IA2  IB2  1  y 12  9  1  y  32  9  y  2  R  IA  14 Suy ra S  : x2   y  22  z2  14 Chọn A Lập phương trình mặt cầu S  có tâm I thuộc d : x  2  y 1  z và đi qua 1 1 2 A3;6;1; B 5;4;3 A  x  22   y 12  z2  3 3 B  x  22   y 12  z2  27 C  x  22   y 12  z2  27 D  x  22   y 12  z2  27 Lời giải Gọi I 2  t;1 t; 2t  là tâm mặt cầu ta có: IA2  IB2  t 12  t  52  2t 12  t  32  t  32  2t  32  16t  0  t  0  I 2;1;0  R  3 3 Phương trình mặt cầu là:  x  22   y 12  z2  27 Chọn D 5 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm M 2;3;3; N 2;1; 1; P 2; 1;3 và có tâm thuộc mặt phẳng:   : 2x  3y  z  2  0 A x2  y2  2x  2 y  2z 10  0 B x2  y2  z2  4x  2 y  6z  2  0 C x2  y2  z2  4x  2 y  6z  2  0 D x2  y2  z2  2x  2 y  2z  2  0 Lời giải Giả sử mặt cầu có tâm I  x; y; z   ON 2  OM 2 MN.OI  2   OP2  OM 2  0;4;4 x; y; z  8 x  2  Ta có: MP.OI   4; 4; 0 x; y; z  4   y  1 2 2x  y  z  2    z  3  2x  3y  z  2  0   Phương trình mặt cầu là:  x  22   y 12   z  32  16 hay x2  y2  z2  4x  2y  6z  2  0 Chọn B Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A2; 4;0, B 0;0;4, C 1;0;3 Câu 6: Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: A x2  y2  z2  2x  4 y  4z  0 B x2  y2  z2  4x  3y  4z  0 C x2  y2  z2  6x  2 y  4z  0 D x2  y2  z2  2x  4y  4z  0 Lời giải   OA2 OI.OA  2 2; 4; 0 x; y; z  10 x  1   OB2   Gọi I  x; y; z  là tâm mặt cầu ta có: OI.OI   0;0; 4 x; y; z  8   y  2 2    z  2   OC2  1;0;3 x; y; z  5 OC.OI   2 Phương trình mặt cầu là:  x 12   y  22   z  22  9 hay x2  y2  z2  2x  4 y  4z  0 Chọn D Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm A3; 2; 3; B 1; 2;1 và mặt phẳng  P : x  y  z  0 Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I thuộc  P đi qua A, B sao cho tam giác OIA vuông tại gốc tọa độ O B S  :  x  52   y  62   z 12  84 A S  :  x  52   y  62   z 12  84 C S  :  x  52   y  62   z 12  42 D S  :  x  52   y  62   z 12  42 Lời giải Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là: Q : x  y  z  2  0 6 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC x  t  Gọi d   P  Q  d  y  1 t  I t;1 t;1    z  1  Ta có: OI.OA  0  3t  2  2t  3  0  t  5  I 5; 6;1 Vậy PT mặt cầu S  :  x  52   y  62   z 12  84 Chọn A Câu 7: Lập phương trình mặt cầu S  tiếp xúc  P : 3x  y  z  4  0 tại điểm M 1; 2;3 và đi qua A1;0;1 A S  :  x  22   y  32   z  22  11 B S  :  x  22   y  32   z  22  11 C S  :  x  22   y  32   z  22  11 D S  :  x  22   y  32   z  22  11 Lời giải Do S  tiếp xúc với  P tại M 1; 2;3 nên IM   P  IM qua M 1; 2;3 và có vectơ chỉ   x  1 3t  phương u  nP  3;1;1 suy ra IM :  y  2  t   z  3  t Gọi I 1 3t; 2  t;3  t  Ta có IM 2  IA2  11t2  3t  22  t  22  t  22  12t 12  0  t  1 Suy ra I 2; 3; 2; R  IA  11  S  :  x  22   y  32   z  22  11 Câu 8: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm Câu 9: I 1;2;1 và tiếp xúc với mặt phẳng  P : 2x  y  2z  3  0 ? A  x 12   y  22   z 12  3 B  x 12   y  22   z 12  9 C  x 12   y  22   z 12  3 D  x 12   y  22   z 12  9 Lời giải Bán kính mặt cầu tâm I là: R  d I; P  2.1  2  2  3  3 41 4 Do đó phương trình mặt cầu là:  x 12   y  22   z 12  9 Chọn D Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng   : x  y  z  0 đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S  : x2  y2  z2  2x  2 y  2z  0 ? A 1 B 0 C Vô số D 2 Lời giải Mặt cầu có tâm I 1;1;1; R  3 Mặt phẳng cầm tìm có dạng  P : x  y  z  m  0 Do  P / /    m  0 Điều kiện tiếp xúc: d  I; P  R  m  3  3  m  0 loai Chọn A 3 m  6 7 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 10: x  t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  1 và hai mặt phẳng z  t  P : x  2 y  2z  3  0 và Q : x  2 y  2z  7  0 Phương trình mặt cầu S  có I  d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng  P và Q có phương trình là: A  x  32   y 12   z  32  9 B  x  32   y 12   z  32  4 4 9 C  x  32   y 12   z  32  9 D  x  32   y 12   z  32  4 4 9 Lời giải Gọi I t;1; t  d , do S  tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng  P và Q nên: d I;P  d I;Q  R  1t  5t  t  3 R  2 3 3 3 Phương trình mặt cầu cần tìm là:  x  32   y 12   z  32  4 Chọn B 9 Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1  y 1  z và mặt phẳng 3 11  P : 2x  y  2z  2  0 Phương trình mặt cầu S  có tâm thuộc đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với  P và đi qua điểm A1; 1;1 là: A  x 12   y 12  z2  1 B  x 12   y 12  z2  4 C  x 12   y 12  z2  1 D  x 12   y 12  z2  4 Lời giải Do I d ta gọi I 1 3t; 1 t;t khi đó IA  d  I; P  R  11t 2  2t 1  5t  3  R  911t2  2t  t   5t  32  t  0  R  1 24 77 3 t   R   37 37 Do S  có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn t  0; R  1  I 1; 1;1  S  :  x 12   y 12  z2  1 Chọn A Câu 12: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình S  :  x  32   y  52   z  72  4 và mặt phẳng P : x  y  z  4  0 Biết mặt cầu S  cắt mặt phẳng  P theo một đường tròn C  Tính chu vi đường tròn C A 8 B 4 C 2 D 4 2 Lời giải Mặt cầu S  có tâm I 3;5;7 và bán kính R  2 Khoảng cách từ tâm I đến  P là: d  3  5  7  4  3 3 8 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Bán kính đường tròn C là: r  R2  d 2  4  3  1 Chu vi đường tròn C là: C  2 r  2 Chọn C Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S  : x2  y2  z2  2x  4y  6z  2  0 Viết phương trình mặt phẳng   chứa trục Oy và cắt mặt cầu S  theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng 8 A 3x  z  0 B 3x  z  2  0 C 3x  z  0 D x  3z  0 Lời giải Ta có: S  :  x 12   y  22   z  22  16  S  có tâm I 1; 2;3 và bán kính R  4 Bán kính của đường tròn là: r  C  4  R  đường tròn đi qua tâm của mặt cầu S   2 Vtcp của Oy là u 0;1;0 , điểm A0;1;0 Oy     Ta có: IA  1;1;3  n  IA;u  3;0;1   Mặt phẳng   đi qua O và nhận n làm vtpt suy ra phương trình mặt phẳng   là:   : 3x  z  0 Chọn C Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  4y  6z  m  3  0 Tìm số thực m để   : 2x  y  2z  8  0 cắt  S  theo một đường tròn có chu vi bằng 8 A m  4 B m  2 C m  3 D m  1 S  có tâm I 1; 2;3 và bán kính R  17  m m  17 Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8 nên bán kính của nó là r  4 Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến là d  d  I,   2  2  6 8  2 21 2 2 1  2 Theo công thức R2  r2  d 2 ta có 17  m  16  4  m  3 Đáp án: C Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu tâm I 2;3; 1 cắt đường x  1 2t tại A, B với AB  16  thẳng d :  y  5  t  z  15  2t  A  x  22   y  32   z 12  289 B  x  22   y  32   z 12  2892 C  x  22   y  32   z 12  289 D  x  22   y  32   z 12  289 Lời giải   Đường thẳng d đi qua điểm M 1; 5;15 và có vtcp là ud  2;1; 2; IM  1;8;14      IM ; ud  30; 30; 15 2 Khi đó d  I; d     2 2 2  AB   15  R  d     15  8  17 ud 2;1; 2 2 9 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là:  x  22   y  32   z 12  289 Câu 16: x 1t  Cho đường thẳng d :  y  2  t , P : x  y  z 1  0 Viết phương trình mặt cầu S   z  2  tiếp xúc với  P tại M 1;0; 2 và cắt d tại A, B sao cho AB  2 2 A x2   y 12   z  32  3 B x2   y 12   z  32  3 C x2   y 12   z  32  9 D x2   y 12   z  32  3 Lời giải  Đường thẳng d đi qua E 1; 2; 2 và có vectơ chỉ phương ud 1; 1;0 x 1t  Gọi I là tâm mặt cầu suy ra đường thẳng IM   P  IM :  y  t  z  2  t   AB  2 Khi đó gọi I 1 t;t; 2  t   d 2  I; d      R  d  I; d   2  IM22 2   2  IE; ud  t; t;2t  2 6t2  8t  4 Trong đó d  I; d      2 2  và IM  3t 2 2 ud Suy ra 3t2  4t  2  2  3t2  t  1  I 0; 1;3; R  IM  3 Phương trình mặt cầu S  là: x2   y 12   z  32  3 Câu 17: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1  y  z 1 và điểm I 2;1;0 Viết 1 2 1 phương trình mặt cầu S  tâm I và cắt d tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB vuông A  x  22   y 12  z2  10 B  x  22   y 12  z2  10 C  x  22   y 12  z2  10 D  x  22   y 12  z2  10  Lời giải Ta có: ud  1; 2; 1 , gọi H là trung điểm của AB ta có: IH  AB    Khi đó H 1 t; 2t;1 t   IH 3  t; 2t 1;1 t   IH ud  0  3  t  4t  2  t 1  0  t  1 H 0; 2;0 Tam giác IAB vuông cân tại I nên ta có: R  2IH  2 4 1  10 Do đó phương trình mặt cầu S  cần tìm là:  x  22   y 12  z2  10 Câu 18: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x  2  y  3  z 1 và mặt cầu 1 2 1 S  : x2  y2  z2  2x  4 y  0 Viết phương trình đường thẳng Δ qua M 1; 1; 0 cắt đường thẳng d đồng thời cắt mặt cầu S  tại A, B sao cho AB  4 10 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC x  2  3t x  1 3t x  1 3t x  1 3t     A Δ: y  1 B Δ: y  1 C Δ: y  1 D Δ: y  1 z  t z  t z  t z  t Lời giải   Ta có: I 1;2;0, R  5 Gọi N 2  t;3  2t;1 t  Ta có: uΔ  MN 1 t;4  2t;1 t  2  AB  2 Mặt khác    d I; Δ  R  d  I;Δ  12 2   IM ; MN  d  I; Δ     2t2  2  1  4t2 16t 16  0  t  2 2 MN 6t 16t 18 x  1 3t  Với t  2  Δ: y  1 là đường thẳng cần tìm  z  t  Câu 19: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : x  2y  2z 10  0 và 2 đường thẳng Δ1 : x  2  y  z 1 và Δ2 : x  2  y  z  3 Viết phương trình mặt cầu S  có tâm 1 11 114 thuộc Δ1 đồng thời tiếp xúc với Δ2 và  P  13 2  7 2  10 2  13 2  7 2  10 2 A S  :  x     y     z    1 B S  :  x     y     z    1  3   3  3   3   3  3   13 2  7 2  10 2  13 2  7 2  10 2 C S  :  x     y     z    2 D S  :  x     y     z    1  3   3  3   3   3  3  Lời giải  Gọi I 2  t;t; t1  Δ1 là tâm của mặt cầu Δ2 xác định qua M 2;0; 3,uΔ2  1;1; 4 Ta có: d  I;Δ2   d  I; P Khi đó d  I;P  2  t  2t  21 t  10  10  3t 1 4 4 3      23t  42 3t  4  IM ; uΔ2  IM t; t; 4  t   d I; Δ2     1  1  16  3 uΔ2 10  3t 3t  4 7  13 7 10  Cho  t I ; ;  3 3 3 3 3 3  13 2  7 2  10 2 Vậy phương trình mặt cầu S  :  x     y     z    1  3   3  3  Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2; 4;5 Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông A  x  22   y  42   z  52  40 B  x  22   y  42   z  52  82 C  x  22   y  42   z  52  58 D  x  22   y  42   z  52  90 Lời giải 11 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Gọi H 0; 0;5 là hình chiếu vuông góc của A xuống trục Oz 2  2 10 Khi đó tam giác OHB vuông cân tại H suy ra OH  R  R  OH 2 Suy ra S  :  x  22   y  42   z  52  40 Chọn A Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x  2  y 1  z 1 và điểm 2 2 1 I 2; 1;1 Viết phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I A  x  22   y 12   z 12  9 B  x  22   y 12   z 12  9 C  x  22   y 12   z 12  8 D  x  22   y 12   z 12  80 9 Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d  H 2t  2; 2t 1; t 1 Đường thẳng  d có vecto pháp tuyến ud  2; 2; 1 Sử dụng   2 2 1 1 IH.ud  0  t    H  ;  ;    IH  2 3 3 3 3      IM 0 ; ud  Hoặc ta có IH  d  I; d     2 ud Tam giác IAB vuông cân tại I nên R  IA  2.IH  2 2 Suy ra phương trình mặt cầu là:  x  22   y 12   z 12  8 Chọn C x  t x  5  2t   Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng d :  y  6  t ; Δ :  y  1 t và  z  2  t  z  1  t   mặt phẳng  P : x  3y  z 1  0 Mặt cầu S  có tâm I thuộc d, tiếp xúc với cả Δ và  P Biết hoành độ điểm I là số nguyên Tung độ điểm I là A 2 B 0 C 4 D 2 Lời giải Gọi I t; 6  t; 2  t  là tâm của mặt cầu và R là bán kính của mặt cầu S  Ta có R  d  I; P  t  36  t   2  t 1  5t  21 1 1  3  122 2 11  Điểm A5;1;1 Δ  AI  t  5;t  7;3  t  suy ra VTCP của Δ là u  2;1; 1   u; AI   2t2  20t  98 Mặt khác R  d  I;Δ     2 u 6 Từ (1), (2) ta được 5t  21 2t2  20t  98  t  2  xI  2  yI  4 Chọn C  11 6 12 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S  :  x 12   y 12   z 12  9 và điểm A2;3; 1 Xét các điểm M thuộc S  sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với S  M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là A 6x  8 y 11  0 B 3x  4 y  2  0 C 3x  4 y  2  0 D 6x  8 y 11  0 Lời giải Mặt cầu S  có tâm là I 1;1;1 , bán kính R  3  Ta có: IA  3; 4; 0  IA  5 Vì AM là tiếp tuyến của mặt cầu nên ta có: AM  IM  AM  IA2  IM 2  4 Gọi S là mặt cầu tâm A, bán kính R  4 Ta có phương trình mặt cầu S :  x  22   y  32   z 12  16 Vì AM  4 nên điểm M luôn thuộc mặt cầu S  Vậy M S   S  tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 2 2 2  x 1   y 1   z 1  9 1 12   6x  8y 11  7 hay M   P : 3x  4 y  2  0  x  2   y  3   z 1  16 2222 Chọn C Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm S 0;0;1 Hai điểm M m;0;0; N 0;n;0 thay đổi sao cho m  n 1 và m  0; n  0 Biết rằng mặt phẳng SMN  luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định Bán kính mặt cầu đó bằng: A R  2 B R  2 C R  1 D R  1 2 Lời giải Phương trình mặt phẳng SMN  theo đoạn chắn là: x  y  z  1 Gọi P  x0; y0; z0  mn Ta có: d  d  P; SMN   x0  y0  z0 1 mn 2 1  2 1 1 mn 11  1 1 2 2  m  n 2 2  1 2 2  1 2 Lại có 2  2 1      1     1     1   1 mn  m n  mn  mn  mn  mn  mn  mn  x0  y0  z0 1 x0  1 m  n 1 mn  mn d Ta chọn  y0  1  d   1 với mọi m  0; n  0 1 1 1 1 z  0 mn  0 mn Do đó mặt cầu cần tìm là mặt cầu tâm P0 1;1;0 bán kính R  1 Chọn C Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  :  x 12   y  22   z  32  16 và các điểm A 1;0; 2 , B 1; 2; 2 Gọi  P là mặt phẳng đi qua hai điểm A , B sao cho thiết 13 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC diện của  P  với mặt cầu  S  có diện tích nhỏ nhất Khi viết phương trình  P  dưới dạng P  : ax  by  cz  3  0 Tính T  a  b  c A 3 B 3 C 0 D 2 I H B A K Mặt cầu có tâm I 1; 2;3 bán kính là R  4 Ta có A , B nằm trong mặt cầu Gọi K là hình chiếu của I trên AB và H là hình chiếu của I lên thiết diện Ta có diện tích thiết diện bằng S   r2    R2  IH 2  Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhất khi IH lớn nhất Mà IH  IK suy ra  P  qua A, B và vuông góc với IK  Ta có IA  IB  5 suy ra K là trung điểm của AB Vậy K 0;1; 2 và KI  1;1;1 Vậy P  :  x 1  y   z  2  0  x  y  z  3  0 Vậy T  3 Đáp án: B 14