Chuyên đề 3 phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: A.. Viết phương trình mặt cầu  S tâm I và cắt d tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB vuông.. Phương trình nào dưới đây là phư

ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6 CHUYÊN ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng  P : 2x6y  z 3 0 cắt trục Oz và đường

 lần lượt tại A và B.Phương trình mặt cầu đường kính AB là

A  2  2  2

C x22y12z52 36 D x22y12z52 9

Câu 2: Lập phương trình của mặt cầu  S có tâm I thuộc Oy, đi qua A1;1;3 ;  B  1;3;3

A   2  2 2

S x  y z 

C   2  2 2

Câu 3: Lập phương trình mặt cầu  S có tâm I thuộc : 2 1

3; 6; 1 ;  5; 4; 3

A  2  2 2

x  y z 

C  2  2 2

x  y z 

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi

qua ba điểm M2;3;3 ;  N2; 1; 1 ;    P 2; 1;3 và có tâm thuộc mặt phẳng:

  : 2x3y  z 2 0

A x2y22x2y2z100 B x2y2z24x2y6z 2 0

C x2y2z24x2y6z  2 0 D x2y2z22x2y2z  2 0

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A2; 4; 0 ,   B0; 0; 4 ,  C1; 0;3

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

A x2y2z22x4y4z0 B x2y2z24x3y4z0

C x2y2z26x2y4z0 D x2y2z22x4y4z0

Câu 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm A3; 2; 3 ;  B 1; 2;1 và mặt phẳng

 P :x  y z 0 Viết phương trình mặt cầu  S có tâm I thuộc  P đi qua A, B sao cho tam giác OIA vuông tại gốc tọa độ O

A   S : x52y62z12 84 B   S : x52y62z1284

C    2  2  2

S x  y  z  D    2  2  2

Câu 7: Lập phương trình mặt cầu  S tiếp xúc  P : 3x   y z 4 0 tại điểm M1; 2;3  và

đi qua A  1; 0;1

C    2  2  2

S x  y  z  D    2  2  2

Câu 8: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm

 1; 2; 1

I   và tiếp xúc với mặt phẳng  P : 2x y 2z 3 0?

A x12y22z12  3 B x12y22z12  9

C x12y22z12  3 D x12y22z12 9

Câu 9: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng   :x  y z 0 đồng thời tiếp xúc với mặt

S x y z  x y z ?

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1

x t







 



  



và hai mặt phẳng

 P :x2y2z 3 0 và  Q :x2y2z 7 0 Phương trình mặt cầu  S có I và d

tiếp xúc với cả hai mặt phẳng  P và  Q có phương trình là:

A  32  12  32 9

4

9

C  32  12  32 9

4

9

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

 P : 2x y 2z 2 0 Phương trình mặt cầu  S có tâm thuộc đường thẳng d có bán kính

nhỏ nhất, tiếp xúc với  P và đi qua điểm A1; 1;1  là:

A  2  2 2

x  y z 

C  2  2 2

x  y z 

Câu 12: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình    2  2  2

phẳng  P :x   y z 4 0 Biết mặt cầu  S cắt mặt phẳng  P theo một đường tròn  C Tính chu vi đường tròn  C

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S :x2y2z22x4y6z 2 0 Viết

phương trình mặt phẳng   chứa trục Oy và cắt mặt cầu  S theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng 8

A 3x z 0 B 3x  z 2 0 C 3x z 0 D x3z0

Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( ) :S x y z 2x4y6zm 3 0 Tìm số thực m để   : 2xy2z 8 0 cắt  S

theo một đường tròn có chu vi bằng 8

A m   4 B m   2 C m   3 D m   1

Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu tâm I2;3; 1  cắt đường

thẳng

1 2

15 2

 





  



   



tại A, B với AB 16

A  2  2  2

C  2  2  2

Câu 16: Cho đường thẳng  

1

2

z

 







  



Viết phương trình mặt cầu  S

tiếp xúc với  P tại M1;0; 2  và cắt d tại A, B sao cho AB 2 2

A 2  2  2

C 2  2  2

Câu 17: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

 và điểm I2;1;0 Viết phương trình mặt cầu  S tâm I và cắt d tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB vuông

A  2  2 2

x  y z 

C  2  2 2

x  y z 

Câu 18: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 3 1

  2 2 2

S x y z  x y Viết phương trình đường thẳng Δ qua M1; 1; 0  cắt đường

thẳng d đồng thời cắt mặt cầu  S tại A, B sao cho AB 4

A

2 3

y

 





 



  



B

1 3

y

 





 



  



C

1 3

y

 









  



D

1 3

y

 





 



  



Câu 19: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z100 và 2 đường thẳng

1

Δ :

  Viết phương trình mặt cầu  S có tâm thuộc Δ đồng thời tiếp xúc với 1 Δ và 2  P

A  

S x  y  z  

S x  y  z  

C  

S x  y  z  

S x  y  z  

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A   2; 4;5 Phương trình nào dưới đây là

phương trình của mặt cầu có tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC

vuông

A  2  2  2

C x22y42z5258 D x22y42z5290

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 1 1

 và điểm

2; 1;1

I  Viết phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I

A  2  2  2

C x22y12z12  8 D  2  2  2 80

9

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng

5 2

và

mặt phẳng  P :x3y  z 1 0 Mặt cầu  S có tâm I thuộc d, tiếp xúc với cả Δ và  P

Biết hoành độ điểm I là số nguyên Tung độ điểm I là

Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y12z12  và điểm 9 A2;3; 1 

Xét các điểm M thuộc  S sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với  S M luôn thuộc mặt phẳng

có phương trình là

A 6x8y11 0 B 3x4y20 C 3x4y  2 0 D 6x8y11 0

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm S0;0;1 Hai điểm M m ;0; 0 ; N0; ;0n 

thay đổi sao cho m n  và 1 m0;n0 Biết rằng mặt phẳng SMN luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định Bán kính mặt cầu đó bằng:

A R  2 B R 2 C R 1 D 1

2

R 

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y22z32 16 và

các điểm A1; 0; 2, B  1; 2; 2 Gọi  P là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của  P với mặt cầu  S có diện tích nhỏ nhất Khi viết phương trình  P dưới dạng

 P :axbycz 3 0 Tính T a b c 

ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6 CHUYÊN ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng  P : 2x6y  z 3 0 cắt trục Oz và đường

 lần lượt tại A và B Phương trình mặt cầu đường kính AB là

A x22y12z52 9 B x22y12z52 36

C x22y12z52 36 D x22y12z52 9

Lời giải

Ta có A Oz A0; 0;a mà A P 2.0 6.0   a 3 0a 3 A0; 0;3

5

6

 







  



 mà BdB t 5; 2 ; 6t t

Hơn nữa B P 2t56.2t6t  3 0 13t130   t 1 B4; 2;7 

Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB I2; 1;5 

2

R AB

Mà

  2  2 2    2  2  2



Câu 2: Lập phương trình của mặt cầu  S có tâm I thuộc Oy, đi qua A1;1;3 ;  B  1;3;3

A   2  2 2

S x  y z 

C  S :x2y22z2 14 D   S : x22y22z2 14

Lời giải

Câu 3: Lập phương trình mặt cầu  S có tâm I thuộc : 2 1

3; 6; 1 ;  5; 4; 3

A  2  2 2

x  y z 

C x22y12z227 D x22y12z227

Lời giải

Gọi I2t;1t; 2t là tâm mặt cầu ta có:

 2  2  2  2  2  2

 

Phương trình mặt cầu là: x22y12z227 Chọn D

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi

qua ba điểm M2;3;3 ;  N2; 1; 1 ;    P 2; 1;3 và có tâm thuộc mặt phẳng:

  : 2x3y  z 2 0

A x2y22x2y2z100 B x2y2z24x2y6z 2 0

C x2y2z24x2y6z  2 0 D x2y2z22x2y2z  2 0

Lời giải

Giả sử mặt cầu có tâm I x y z ; ; 

Ta có:

2

2

3

MN OI

z

















 

 

Phương trình mặt cầu là: x22y12z32 16 hay

x y z  x y z 

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A2; 4; 0 ,   B0; 0; 4 ,  C1; 0;3

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

A x2y2z22x4y4z0 B x2y2z24x3y4z0

C x2y2z26x2y4z0 D x2y2z22x4y4z0

Lời giải

Gọi I x y z ; ;  là tâm mặt cầu ta có:

  

  

  

2

2

2

2

2

2

OA

OI OA

OB

z

x y z OC

OC OI



















 

 

 

Phương trình mặt cầu là: x12y22z22 hay 9 2 2 2

x  y z  x y z

Câu 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm A3; 2; 3 ;  B 1; 2;1 và mặt phẳng

 P :x  y z 0 Viết phương trình mặt cầu  S có tâm I thuộc  P đi qua A, B sao cho tam giác OIA vuông tại gốc tọa độ O

A    2  2  2

S x  y  z  B    2  2  2

Lời giải

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là:  Q :x   y z 2 0

Gọi     1  ;1 ; 1

1

x t

z







  



Ta có: OI OA   0 3t 2 2t 3 0   t 5 I5; 6; 1 

Câu 7: Lập phương trình mặt cầu  S tiếp xúc  P : 3x   y z 4 0 tại điểm M1; 2;3  và

đi qua A  1; 0;1

A    2  2  2

S x  y  z  B    2  2  2

C   S : x22y32z2211 D   S : x22y32z2211

Lời giải

Do  S tiếp xúc với  P tại M1; 2;3  nên IM  P IM qua M1; 2;3  và có vectơ chỉ

phương un P 3;1;1

suy ra

1 3

3

 





  



  

 Gọi I1 3 ; 2 t  t;3t Ta có 2 2 2  2  2  2

Câu 8: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm

 1; 2; 1

I   và tiếp xúc với mặt phẳng  P : 2x y 2z 3 0?

A  2  2  2

C x12y22z12  3 D x12y22z12 9

Lời giải

4 1 4

Câu 9: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng   :x  y z 0 đồng thời tiếp xúc với mặt

S x y z  x y z ?

Lời giải

Mặt cầu có tâm I1;1;1 ;  R  3

Mặt phẳng cầm tìm có dạng  P :xy z m0 Do     P / /  m0

6 3

m

m







 



Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1

x t







 



  



và hai mặt phẳng

 P :x2y2z 3 0 và  Q :x2y2z 7 0 Phương trình mặt cầu  S có I và d

tiếp xúc với cả hai mặt phẳng  P và  Q có phương trình là:

A  32  12  32 9

4

9

C  32  12  32 9

4

9

Lời giải

Gọi I t ; 1; t  d, do  S tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng  P và  Q nên:

 

d I P d I Q R      t R

9

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

 P : 2x y 2z 2 0 Phương trình mặt cầu  S có tâm thuộc đường thẳng d có bán kính

nhỏ nhất, tiếp xúc với  P và đi qua điểm A1; 1;1  là:

A x12y12z2  1 B x12y12z2 4

C x12y12z2  1 D x12y12z2  4

Lời giải

Do Id ta gọi I1 3 ; 1 t  t t;  khi đó IAd I P ;  R

3

t





Do  S có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn

     2  2 2

Câu 12: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình   S : x32y52z724 và mặt

phẳng  P :x   y z 4 0 Biết mặt cầu  S cắt mặt phẳng  P theo một đường tròn  C Tính chu vi đường tròn  C

Lời giải

Mặt cầu  S có tâm I  3;5;7 và bán kính R 2

Khoảng cách từ tâm I đến  P là: d    3 5 7 4 3

Bán kính đường tròn  C là: 2 2

r R d    Chu vi đường tròn  C là: C2 r2 Chọn C

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S :x2y2z22x4y6z 2 0 Viết

phương trình mặt phẳng   chứa trục Oy và cắt mặt cầu  S theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng 8

A 3x z 0 B 3x  z 2 0 C 3x z 0 D x3z0

Lời giải

S x  y  z    S có tâm I1; 2;3 và bán kính R 4

2

C



    đường tròn đi qua tâm của mặt cầu  S

Vtcp của Oy là u0;1; 0

, điểm A0;1; 0Oy

Ta có: IA1;1;3nIA u;   3; 0;1

Mặt phẳng   đi qua O và nhận n

làm vtpt suy ra phương trình mặt phẳng   là:

  : 3x z 0 Chọn C

Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( ) :S x y z 2x4y6z m  3 0 Tìm số thực m để   : 2xy2z 8 0 cắt  S

theo một đường tròn có chu vi bằng 8

A m   4 B m   2 C m   3 D m   1

 S có tâm I  1; 2; 3 và bán kính R 17mm 17

Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8 nên bán kính của nó là r 4

Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến là  ,   2 2 6 82 1 2 2

dd I       

Theo công thức R2r2d2 ta có 17m16 4 m 3

Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu tâm I2;3; 1  cắt đường

thẳng

1 2

15 2

 





  



   



tại A, B với AB 16

A  2  2  2

C x22y32z12289 D x22y32z12289

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm M1; 5; 15   và có vtcp là ud 2;1; 2 ;   IM     1; 8; 14

2

d

d

u

 

Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là: x22y32z12 289

Câu 16: Cho đường thẳng  

1

2

z

 







  



Viết phương trình mặt cầu  S

tiếp xúc với  P tại M1;0; 2  và cắt d tại A, B sao cho AB 2 2

A 2  2  2

C 2  2  2

Lời giải

Đường thẳng d đi qua E1; 2; 2   và có vectơ chỉ phương u d1; 1;0 



1 : 2

 





   



2

2

AB

I t t  t d I d   R d I d  IM

2

;

d

d

d I d

u

 

3

IM  t

3t 4t  2 2 3t    t 1 I 0; 1; 3 ;  RIM  3 Phương trình mặt cầu  S là: 2  2  2

x  y  z 

Câu 17: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

 và điểm I2;1;0 Viết phương trình mặt cầu  S tâm I và cắt d tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB vuông

A  2  2 2

x  y z 

C  2  2 2

x  y z 

Lời giải

Ta có: u  d 1; 2; 1 



, gọi H là trung điểm của AB ta có: IH AB Khi đó H 1 t; 2 ;1t tIH 3 t; 2t1;1tIH u  d 0   3 t 4t   2 t 1 0

 

  

Tam giác IAB vuông cân tại I nên ta có: R 2IH  2 4 1  10

Do đó phương trình mặt cầu  S cần tìm là:  2  2 2

Câu 18: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 3 1

 S :x2y2z22x4y0 Viết phương trình đường thẳng Δ qua M1; 1; 0  cắt đường

A

2 3

y

 





 



  



B

1 3

y

 





 



  



C

1 3

y

 









  



D

1 3

y

 





 



  



Lời giải

Ta có: I1; 2;0 ,  R 5 Gọi N2t;3 2 ;1 t t Ta có: u Δ MN1t; 4 2 ;1 t t

2

2

AB

 

2

2 2

MN

 



Với

1 3

 





  



là đường thẳng cần tìm

Câu 19: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z100 và 2 đường thẳng

1

Δ :

  Viết phương trình mặt cầu  S có tâm

thuộc Δ đồng thời tiếp xúc với 1 Δ và 2  P

A  

S x  y  z  

S x  y  z  

C  

S x  y  z  

S x  y  z  

Lời giải

Gọi I2t t; ; t 1 Δ1 là tâm của mặt cầu Δ2 xác định qua M2;0; 3 ,  uΔ2 1;1; 4

Ta có: d I ; Δ2d I P ;   Khi đó  ;   2 2 2 1  10 10 3

3

1 4 4

2

2 Δ

2

Δ

3

1 1 16

u

 

 





t t

Vậy phương trình mặt cầu  

S x  y  z  

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A   2; 4;5 Phương trình nào dưới đây là

phương trình của mặt cầu có tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC

vuông

A x22y42z5240 B x22y42z5282

C  2  2  2

Lời giải