Chuyên đề 1 phương trình mặt phẳng

Trang 1 ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6 CHUYÊN ĐỀ 1.. Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là: A.. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song son

HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 1: ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6 CHUYÊN ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 3; 1;1 và vuông góc với đường thẳng  : x 1  y  2  z  3 ? 3 2 1 A 3x  2 y  z 12  0 B 3x  2y  z  8  0 C x  2 y  3z  3  0 D 3x  2 y  z 12  0 Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A1;0; 2 ; B 1;2;4 và C 2;0;1 Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là: A 3x  2 y  3z – 3  0 B 3x  2 y  3z  3  0 C 3x  2 y  3z – 9  0 D 3x  2 y  3z  9  0 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M M 3; 1; 2 và mặt phẳng Câu 4:   : 3x  y  2z  4  0 Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với   ? A 3x  y  2z  6  0 B 3x  y  2z 14  0 C 3x  y  2z  6  0 D 3x  y  2z 14  0 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S  : x2  y2  z2  6x  4y  2z  5  0 và đường thẳng d : x  2  y  3  z 1 Viết phương trình mặt phẳng  P vuông góc với đường 1 1 5 thẳng d và đi qua tâm của mặt cầu S  A  P : 3x  2 y  z  6  0 B  P : x  y  5z  4  0 C  P : x  y  5z  4  0 D  P : 3x  2y  z  6  0 x  1 3t x 1 y  2 z  Câu 5: Cho hai đường thẳng d1  y  2  t ; d2 :   và mặt phẳng P : 2x  2 y  3z  0 2 1 2 z  2 Phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d1 và  P , đồng thời vuông góc với d2 là A 2x  y  2z  22  0 B 2x  y  2z 13  0 C 2x  y  2z 13  0 D 2x  y  2z  22  0 Câu 6: Phương trình mặt phẳng qua A1; 0; 4 và vuông góc đồng thời với cả 2 mặt phẳng  P : x  y  z  2  0 và Q : 2x  y  4z  2  0 là: A y  z  0 B x  y  2z  3  0 C 2x  y  2z  3  0 D x  2 y  z  3  0 Câu 7: Phương trình mặt phẳng qua A1; 2; 0 vuông góc với  P : x  y  0 và song song với đường thẳng d : x 1  y  z 1 là: C x  y  2z 1  0 D x  y  z 1  0 2 4 3 A x  2 y  2z  5  0 B x  y  2z 1  0 Câu 8: Phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và song song với cả 2 đường thẳng d1 : x  y 1  z 111 và d2 : x 1  y  z 1 là: 3 1 3 A x  2 y  z  0 B x  3y  2z  0 C x  y  0 D y  z  0 1 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 9: Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm A2; 4;1 và B 5;7;1 và vuông góc với mặt phẳng  P : x  3y  2z 1  0 là: A 2x  y  z 1  0 B x  2 y  z  2  0 C 2 y  3z 11  0 D x  y  z  2  0 Câu 10: Cho đường thẳng  : x 1  y  2  z và mặt phẳng P : x  y  z  3  0 Phương trình mặt 1 2 3 phẳng đi qua O, song song với  và vuông góc với mặt phẳng  P là A x  2 y  z  0 B x  2 y  z  0 C x  2 y  z  4  0 D x  2 y  z  4  0 Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 0; 1 Mặt phẳng  đi qua M và chứa trục Ox có phương trình là A x  z  0 B y  z 1  0 C y  0 D x  y  z  0 Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A0;1;1, B 2;5; 1 Tìm phương trình mặt phẳng  P qua A, B và song song với trục hoành A  P : y  z  2  0 B  P : y  2z  3  0 C P : y  3z  2  0 D  P : x  y  z  2  0 Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P : x  y  z  2  0, Q : x  3y 12  0 và đường thẳng d : x 1  y  2  z 1 Viết phương trình mặt phẳng  R 3 1 2 chứa đường thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng  P , Q A R : 5x  y  7z 1  0 B  R : x  2y  z  2  0 C R : x  2y  z  0 D  R :15x 11y 17z 10  0 Câu 14: Cho hai mặt phẳng  : x  2y  z  5  0 ;  : 4x  2 y  3  0 Lập  P vuông góc với cả hai mặt phẳng đã cho đồng thời khoảng cách từ điểm A3;1;1 đến  P bằng 8 30 A  P : x  2y  5z  2  0 hoặc  P : x  2 y  5z 18  0 B  P : x  2y  5z 1  0 hoặc  P : x  2 y  5z 18  0 C  P : x  2y  5z  2  0 hoặc  P : x  2 y  5z 15  0 D  P : x  2 y  5z  2  0 hoặc  P : x  2 y  5z 18  0 Câu 15: Lập phương trình  P đi qua A1;1;0 , B 2;1;1 sao cho khoảng cách từ M 2;1;3 đến  P bằng 2 3 A  P : 2x  y  2z 1  0 hoặc  P : 2x  y  2z  3  0 B  P : 2x  y  2z 1  0 hoặc  P : 2x  y  2z  3  0 C  P : 2x  y  2z 1  0 hoặc  P : 2x  y  2z  3  0 D  P : 2x  y  2z 1  0 hoặc  P : 2x  y  2z  3  0 2 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 16: Cho  : x  2  y 1  z ;  P : 2x  y  z  3  0 Lập Q / / ; Q   P đồng thời khoảng 1 3 1 cách từ A1; 2;0 đến  P bằng 7 30 A Q : 2x  y  5z  3  0 hoặc Q : 2x  y  5z 11  0 B Q : 2x  y  5z  3  0 hoặc Q : 2x  y  5z 11  0 C Q : 2x  y  5z  3  0 hoặc Q : 2x  y  5z 11  0 D Q : 2x  y  5z  3  0 hoặc Q : 2x  y  5z 11  0 Câu 17: Lập phương trình  P đi qua A1; 2;1 , vuông góc với mặt phẳng  xOy đồng thời khoảng cách từ điểm B 1;1;3 đến  P bằng 3 5 A  P : 2x  y  0 hoặc  P : 2x 11y  24  0 B  P : 2x  y  0 hoặc  P : 2x 11y  24  0 C  P : 2x  y  0 hoặc  P : 2x 11y  24  0 D  P : 2x  y  0 hoặc  P : 2x 11y  24  0 Câu 18: x  2t  Cho d : y  1 2t và các điểm A1;1; 2 , B 3;1; 1 Lập  P chứa d sao cho khoảng cách từ z  t A đến  P bằng hai lần khoảng cách từ B tới  P A  P : y  2z  0 hoặc  P : 4x  y  3z  17  0 2 2 B  P : y  2z  0 hoặc  P : 4x  y  3z  17  0 2 2 C  P : y  2z  0 hoặc  P : 4x  y  3z  17  0 2 2 D  P : y  2z  0 hoặc  P : 4x  y  3z  17  0 2 2 Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  :  x 12   y 12   z  22  2 và hai Câu 20: đường thẳng d : x  2  y  z 1 ,  : x  y  z 1 Phương trình nào dưới đây là phương trình 1 2 1 1 1 1 của một mặt phẳng tiếp xúc với S  , song song với d và  ? A y  z  3  0 B x  z 1  0 C x  y  z  0 D x  z 1  0  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P nhận n  3; 4; 5 là vectơ pháp tuyến và  P tiếp xúc với mặt cầu S  :  x  22   y 12   z 12  8 Phương trình mặt phẳng  P là: A 3x  4 y  5z 15  0 hoặc 3x  4 y  5z  25  0 B 3x  4 y  5z 15  0 hoặc 3x  4 y  5z  25  0 C 3x  4 y  5z 15  0 hoặc 3x  4 y  5z  25  0 D 3x  4 y  5z 15  0 hoặc 3x  4 y  5z  25  0 3 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x 1  y 1  z và mặt cầu có 2 2 1 phương trình S  : x2  y2  z2  2x  4y  2z  3  0 Viết phương trình mặt phẳng  P vuông góc với d,  P tiếp xúc với S  đồng thời  P cắt trục Oz tại điểm có cao độ dương A 2x  2 y  z  2  0 B 2x  2 y  z 16  0 C 2x  2 y  z 10  0 D 2x  2 y  z  5  0 Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  có phương trình x2  y2  z2  2x  6 y  4z  2  0 Viết phương trình mặt phẳng  P song song với đường thẳng d : x  y  3  z , vuông góc với mặt phẳng   : x  4 y  z  5  0 và tiếp xúc với S  162 A 2x  y  2z  3  0 B 2x  y  2z  21  0 C 2x  y  2z  21  0 D Cả A và B Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A1; 2;0 , A2; 0;1 và mặt phẳng  P : 2x  y  2z  3  0 Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua 2 điểm A và B và tạo với mặt phẳng  P một góc  sao cho cos  1 5 Câu 24: Cho điểm A3;0;0 và điểm M 0; 2; 1 Viết phương trình mặt phẳng  đi qua A, M sao cho  cắt các trục Oy , Oz lần lượt tại các điểm B, C sao cho VOABC  1 , với O là 2 gốc tọa độ A   : x  y  z  1 hoặc   : x  y  2z  1 311 32 B   : x  y  z  1 hoặc   : x  y  2z  1 311 32 C   : x  y  z  1 hoặc   : x  y  2z  1 311 32 D   : x  y  z  1 hoặc   : x  y  2z  1 311 32 Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho điểm H 2;1;1 Viết phương trình mặt phẳng qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC A x  y  z  0 B 2x  y  z  6  0 C 2x  y  z  6  0 D x  y  z  1 211 Câu 26: Cho hai điểm M 1;9; 4 Viết  P đi qua M và cắt các trục tọa độ theo thứ thự tại A, B, C (khác O) sao cho 8.OA  12.OB 16  37.OC , với xA  0; yB  0; zC  0 A  P : 8x  20y  37z  40  0 B  P : 8x  20 y  37z  40  0 C  P : 8x  20y  37z  40  0 D  P : 8x  20 y  37z  40  0 Câu 27: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho các điểm A2;0;0 và H 1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A, H sao cho  P cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4 6 B  P : 2x  2 y  z  4  0 A  P : x  2 y  2z  2  0 C  P : 2x  y  2z  4  0 D  P : 2x  y  z  4  0 4 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm Aa;0;0 , B 0;b;0 và C 0;0;c với 1 2 3 a, b, c  0 Biết rằng  ABC đi qua điểm M  ; ;  và tiếp xúc với mặt cầu 7 7 7 S  :  x 12   y  22   z  32  72 Tính giá trị 2 1  2 1  2 1 7 abc A 14 B 1 C 7 D 7 7 2 Câu 29: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng   đi qua M 1;1; 4 cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C phân biệt sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất Tính thể tích nhỏ nhất đó A 72 B 108 C 18 D 36 Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P qua hai điểm M (1;8; 0) , C 0; 0;3 cắt các nửa trục dương Ox , Oy lần lượt tại A , B sao cho OG nhỏ nhất ( G là trọng tâm tam giác ABC ) Biết G(a;b; c) , tính P  a  b  c A 7 B 12 C 3 D 6 5 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 1: ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6 CHUYÊN ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 3; 1;1 và vuông góc với đường thẳng  : x 1  y  2  z  3 ? 3 2 1 A 3x  2 y  z 12  0 B 3x  2y  z  8  0 C x  2 y  3z  3  0 D 3x  2 y  z 12  0 Lời giải   Gọi  P là mặt phẳng cần tìm ta có:  P    n(P)  u  3; 2;1  Phương trình mặt phẳng  P qua M 3; 1;1 và có VTPT n3;2;1 là:  P : 3 x  3 – 2 y 1 1 z 1  0 hay 3x  2 y  z –12  0 Chọn A Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A1;0; 2 ; B 1;2;4 và C 2;0;1 Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là: Câu 3: A 3x  2 y  3z – 3  0 B 3x  2 y  3z  3  0 C 3x  2 y  3z – 9  0 D 3x  2 y  3z  9  0   Lời giải Gọi  P là mặt phẳng cần tìm thì nP  BC  3; 2;3  Mặt phẳng  P qua A1; 0; 2 và có VTPT nP  (3; 2; 3)  (P) : 3x  2 y  3z  9  0 Chọn C Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M M 3; 1; 2 và mặt phẳng   : 3x  y  2z  4  0 Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với   ? A 3x  y  2z  6  0 B 3x  y  2z 14  0 C 3x  y  2z  6  0 D 3x  y  2z 14  0 Lời giải   Gọi  P là mặt phẳng cần tìm ta có:  P / /    n(P)  n()  3; 1; 2  Mặt phẳng  P qua M 3; 1; 2 và có VTPT là n(P)  (3; 1; 2) có phương trình là: 3x  y  2z  6  0 Chọn A Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S  : x2  y2  z2  6x  4y  2z  5  0 và đường thẳng d : x  2  y  3  z 1 Viết phương trình mặt phẳng  P vuông góc với đường 1 1 5 thẳng d và đi qua tâm của mặt cầu S  A  P : 3x  2 y  z  6  0 B  P : x  y  5z  4  0 C  P : x  y  5z  4  0 D  P : 3x  2y  z  6  0 Lời giải Ta có: S  :  x  32   y  22   z 12  9  S  có tâm I 3;2;1 và bán kính R  3   VTCP của d là u  1;1; 5 Mặt phẳng  P qua I và nhận u làm VTPT 6 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Phương trình  P là:  P :1(x  3) 1( y  2)  5(z 1)  0 hay  P : x  y  5z  4 Chọn C x  1 3t x 1 y  2 z  Câu 5: Cho hai đường thẳng d1  y  2  t ; d2 :   và mặt phẳng P : 2x  2 y  3z  0 2 1 2 z  2 Phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d1 và  P , đồng thời vuông góc với d2 là Câu 6: A 2x  y  2z  22  0 B 2x  y  2z 13  0 C 2x  y  2z 13  0 D 2x  y  2z  22  0 Lời giải Gọi giao điểm của d1 và  P là M 1 3t; 2  t; 2 d1 Do M  P  2  6t  4  2t  6  0  t  1  M (4; 1; 2)   Mặt phẳng Q cần tìm có: n(Q)  ud2  2; 1; 2 Do đó phương trình mặt phẳng Q là: 2x  y  2z 13  0 Chọn C Phương trình mặt phẳng qua A1; 0; 4 và vuông góc đồng thời với cả 2 mặt phẳng  P : x  y  z  2  0 và Q : 2x  y  4z  2  0 là: A y  z  0 B x  y  2z  3  0 C 2x  y  2z  3  0 D x  2 y  z  3  0   Lời giải Ta có: nP  1;1;1; nQ  2; 1; 4       P n  nP    Do      n   n P ; nQ   (3; 6; 3)  3(1; 2;1)    Q n  nQ  Khi đó  qua A1;0;4 và có VTPT (1;2;1)    : x  2y  z  3  0 ChọnD Câu 7: Phương trình mặt phẳng qua A1; 2; 0 vuông góc với  P : x  y  0 và song song với đường Câu 8: thẳng d : x 1  y  z 1 là: 2 4 3 A x  2 y  2z  5  0 B x  y  2z 1  0 C x  y  2z 1  0 D x  y  z 1  0   Lời giải Ta có: nP  1;1;0;ud  2; 4; 3       P n  nP    Do      n  n ; ud    3; 3; 6  3(1; 1; 2)   / /d n  ud P  Khi đó  qua A1; 2;0 và có VTPT 1; 1;2    : x  y  2z 1  0 ChọnB Phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và song song với cả 2 đường thẳng d1 : x  y 1  z 111 và d2 : x 1  y  z 1 là: 3 1 3 7 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC A x  2 y  z  0 B x  3y  2z  0 C x  y  0 D y  z  0     Lời giải Ta có: u1  ud1  1;1;1;u2  ud2  1; 3; 2      d1 n  u1    Do      n  u1; u2    2; 6; 4  2(1; 3; 2)   / / d2 n  u2  Khi đó  qua O0;0;0 và có VTPT 1; 3; 2    : x  3y  2z  0 Chọn B Câu 9: Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm A2; 4;1 và B 5;7;1 và vuông góc với mặt phẳng  P : x  3y  2z 1  0 là: A 2x  y  z 1  0 B x  2 y  z  2  0 C 2 y  3z 11  0 D x  y  z  2  0     Lời giải Ta có: AB  3;3; 2  n   AB; nP   0; 8; 12  4(0; 2;3)  Mặt phẳng  cần tìm đi qua A2;4;1 và có VTPT n 0; 2;3  ( ) : 2 y  3z 11  0 Chọn C Câu 10: Cho đường thẳng  : x 1  y  2  z và mặt phẳng P : x  y  z  3  0 Phương trình mặt 1 2 3 phẳng đi qua O, song song với  và vuông góc với mặt phẳng  P là A x  2 y  z  0 B x  2 y  z  0 C x  2 y  z  4  0 D x  2 y  z  4  0 Lời giải  P  Q    Gọi mặt phẳng cần tìm là Q ta có:   nQ  nP ;u   (1; 2;1) Q / /   Q : x  2y  z  0 Chọn A Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 0; 1 Mặt phẳng  đi qua M và chứa trục Ox có phương trình là A x  z  0 B y  z 1  0 C y  0 D x  y  z  0   Lời giải Mặt phẳng  n hậ n O M ; u Ox  là một VTPT    OM  1; 0;1   Mà   OM ; uOx   (0; 1; 0)   uOx  (1; 0; 0) Kết hợp với  đi qua M (1;0; 1)    :   y  0  0  y  0 Chọn C Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A0;1;1, B 2;5; 1 Tìm phương trình mặt phẳng  P qua A, B và song song với trục hoành A  P : y  z  2  0 B P : y  2z  3  0 C P : y  3z  2  0 D  P : x  y  z  2  0 8 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC  Lời giải     Ta có AB  (2; 4;2) và  1;0; 0 suy ra    0;1; 2 uOx  AB; uOx   (0; 2; 4)  n P  Phương trình mặt phẳng  P đi qua A và có nP là y 1 2(z 1)  0  y  2z  3  0 Chọn C Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P : x  y  z  2  0, Q : x  3y 12  0 và đường thẳng d : x 1  y  2  z 1 Viết phương trình mặt phẳng  R 3 1 2 chứa đường thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng  P , Q A R : 5x  y  7z 1  0 B  R : x  2y  z  2  0 C R : x  2y  z  0 D  R :15x 11y 17z 10  0  Lời giải  VTPT của mặt phẳng  P là n1  1;1;1, VTPT của mặt phẳng Q là n2  1;3;0    Gọi d '  (P) Q Khi đó vtcp của d ' là n1;  3; 2 cũng là vtcp của u  n2   1; d  d / /d ' A(1; 2; 1)  d; B(0; 4; 2)  d '     R   15;11;  Ta có: AB(1; 6; 3) VTPT của là: n   AB; u   17 Phương trình mặt phẳng  R là: (R) :15 x  0 11 y  4 17 z  2  0 hay  R :15x 11y 17z 10  0 Chọn D Câu 14: Cho hai mặt phẳng  : x  2y  z  5  0 ;  : 4x  2 y  3  0 Lập  P vuông góc với cả hai mặt phẳng đã cho đồng thời khoảng cách từ điểm A3;1;1 đến  P bằng 8 30 A  P : x  2y  5z  2  0 hoặc  P : x  2 y  5z 18  0 B  P : x  2y  5z 1  0 hoặc  P : x  2 y  5z 18  0 C  P : x  2y  5z  2  0 hoặc  P : x  2 y  5z 15  0 D  P : x  2 y  5z  2  0 hoặc  P : x  2 y  5z 18  0 Lời giải    P   nP  n        1; 2;1 ;   4; 2;0      Ta có:   nP  n   ; n   , trong đó n n  P   nP  n   nP  2; 4; 10  21; 2;5  Phương trình mặt phẳng  P có dạng: x  2y 5z  D  0 Lại có: d  A;P  8  3  2  5  D  8  D 10  8  D  2 30 1 4  25 30 D  18 Do đó  P : x  2 y  5z  2  0 hoặc  P : x  2 y  5z 18  0 9 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 15: Lập phương trình  P đi qua A1;1;0 , B 2;1;1 sao cho khoảng cách từ M 2;1;3 đến  P bằng 2 3 A  P : 2x  y  2z 1  0 hoặc  P : 2x  y  2z  3  0 B  P : 2x  y  2z 1  0 hoặc  P : 2x  y  2z  3  0 C  P : 2x  y  2z 1  0 hoặc  P : 2x  y  2z  3  0 D  P : 2x  y  2z 1  0 hoặc  P : 2x  y  2z  3  0 Lời giải  Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là nP  a;b; c , a  b  c  02 2 2    Ta có: AB 1;0; 1 , do  P chứa AB nên nP.AB  0  a  c  0  a  c Khi đó: P : a  x 1  b  y 1  az  0 Ta có: d M ;P  3a  2b  3a  2  b  1  9b2  2a2  b2  4b2  a2  a  2b 2a2  b2 3 2a2  b2 3 Với a  2b chọn b  1 a  2  c   P : 2x  y  2z 1  0 Với a  2b chọn b  1 a  2  c   P : 2x  y  2z  3  0 Câu 16: Cho  : x  2  y 1  z ;  P : 2x  y  z  3  0 Lập Q / / ; Q   P đồng thời khoảng 1 3 1 cách từ A1; 2;0 đến  P bằng 7 30 A Q : 2x  y  5z  3  0 hoặc Q : 2x  y  5z 11  0 B Q : 2x  y  5z  3  0 hoặc Q : 2x  y  5z 11  0 C Q : 2x  y  5z  3  0 hoặc Q : 2x  y  5z 11  0 D Q : 2x  y  5z  3  0 hoặc Q : 2x  y  5z 11  0   Lời giải Ta có: nP  2;1; 1 ; u  1;3; 1    Do Q / / và Q  P  n P  ; u   2;1; 5  nQ    Phương trình mặt phẳng Q có dạng: 2x  y  5z  D  0 Lại có: d  A; P  7  4  D  7  D  4  7  D  3 30 4 1 25 30 D  11 Suy ra phương trình mặt phẳng Q là: Q : 2x  y  5z  3  0 hoặc Q : 2x  y  5z 11  0 Câu 17: Lập phương trình  P đi qua A1; 2;1 , vuông góc với mặt phẳng  xOy đồng thời khoảng cách từ điểm B 1;1;3 đến  P bằng 3 5 10 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC A  P : 2x  y  0 hoặc  P : 2x 11y  24  0 B  P : 2x  y  0 hoặc  P : 2x 11y  24  0 C  P : 2x  y  0 hoặc  P : 2x 11y  24  0 D P: 2x  y  0 hoặc  P : 2x 11y  24  0 Lời giải  Giả sự mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là nP  a;b; c , a  b  c  0222   Mặt phẳng  P vuông góc với mặt phẳng  xOy  : z  0 nên nP.nxOy  0  c  0  P đi qua điểm A1; 2;1   P : a  x 1  b  y  2  0 d  B; P  2a  b  3  52a  b2  9a2  b2   11a2  20a  4b2  0  a  2b a2  b2 5 11a  2b Với a  2b chọn b  1  a  2   P : 2x  y  0 Với 11a  2b chọn a  2  b  11  P : 2x 11y  24  0 Câu 18: x  2t  Cho d : y  1 2t và các điểm A1;1; 2 , B 3;1; 1 Lập  P chứa d sao cho khoảng cách từ z  t A đến  P bằng hai lần khoảng cách từ B tới  P A  P : y  2z  0 hoặc  P : 4x  y  3z  17  0 2 2 B  P : y  2z  0 hoặc  P : 4x  y  3z  17  0 2 2 C  P : y  2z  0 hoặc  P : 4x  y  3z  17  0 2 2 D  P : y  2z  0 hoặc  P : 4x  y  3z  17  0 2 2 Lời giải  Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là nP  a;b; c , a  b  c  0222   Mặt phẳng  P chứa d nên nP.ud  0  a  2b  c  0  c  a  2b  P đi qua điểm M 2;1;0   P : a  x  2  b y 1  cz  0 Lại có: d  A; P  2d  B;P  a  2c  2 a  c  a  2c  2a  2c a2  b2  c2 a2  b2  c2 a  2c  2a  2c a  0   a  2c  2a  2c 3a  4c Với a  0 chọn b  1 c  2   P : y  2z  0 Với 3a  4c chọn a  4  c  3  b  1   P  : 4x  y  3z  17  0 2 2 2 hay  P : 8x  y  6z 17  0 11 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  :  x 12   y 12   z  22  2 và hai đường thẳng d : x  2  y  z 1 ,  : x  y  z 1 Phương trình nào dưới đây là phương trình 1 2 1 1 1 1 của một mặt phẳng tiếp xúc với S  , song song với d và  ? A y  z  3  0 B x  z 1  0 C x  y  z  0 D x  z 1  0   Lời giải Các VTCP của d và  là: u1 1; 2; 1 , u2 1;1; 1  VTPT của mặt phẳng cần tìm là:    u1;   1 11; 0;1 n  u2   1; 0;  Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là: x  z  m  0 Ta có: 1 2  m m  5  2 22 m 1 1 1 Câu 20: Chọn B  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P nhận n  3; 4; 5 là vectơ pháp tuyến và  P tiếp xúc với mặt cầu S  :  x  22   y 12   z 12  8 Phương trình mặt phẳng  P là: A 3x  4 y  5z 15  0 hoặc 3x  4 y  5z  25  0 B 3x  4 y  5z 15  0 hoặc 3x  4 y  5z  25  0 C 3x  4 y  5z 15  0 hoặc 3x  4 y  5z  25  0 D 3x  4 y  5z 15  0 hoặc 3x  4 y  5z  25  0 Lời giải Phương trình mặt phẳng  P có dạng 3x  4 y  5z  m  0 Xét mặt cầu S  :  x  22   y 12   z 12  8  I 2; 1;1 và bán kính R  2 2 Khoảng cách từ tâm I đến  P là d  m  5 mà 52 d R m5 m  15  2 2  m  5  20   52 m  25 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 3x  4 y  5z 15  0 hoặc 3x  4 y  5z  25  0 Chọn B Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x 1  y 1  z và mặt cầu có 2 2 1 phương trình S  : x2  y2  z2  2x  4y  2z  3  0 Viết phương trình mặt phẳng  P vuông góc với d,  P tiếp xúc với S  đồng thời  P cắt trục Oz tại điểm có cao độ dương A 2x  2 y  z  2  0 B 2x  2 y  z 16  0 C 2x  2 y  z 10  0 D 2x  2 y  z  5  0  Lời giải  VTCP của d là u 2; 2;1 Mặt phẳng  P nhận u làm VTPT Phương trình  P là:  P : 2x  2y  z  m  0   P Oz  0;0;m  m  0 Ta có: S  :  x 12   y  22   z 12  9   S  có tâm I 1;2;1 và bán kính R  3 12 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Vì  P tiếp xúc với S  nên d  I; P  R  2.1 2.2 1 m  3  m  2 22 m  16 2  2 12 Vì  P cắt trục Oz tại điểm có cao độ dương nên m  16   P : 2x  2 y  z 16  0 Chọn B Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  có phương trình x2  y2  z2  2x  6 y  4z  2  0 Viết phương trình mặt phẳng  P song song với đường thẳng d : x  y  3  z , vuông góc với mặt phẳng   : x  4 y  z  5  0 và tiếp xúc với S  162 A 2x  y  2z  3  0 B 2x  y  2z  21  0 C 2x  y  2z  21  0 D Cả A và B Lời giải Mặt cầu S  có tâm I 1;3;2 và bán kính R  1 9  4  2  4    VTPT của P là:    2;1; 2 mặt phẳng n P   n  ; u d  Suy ra phương trình mặt phẳng  P có dạng: 2x  y  2z  D  0 Do  P tiếp xúc với S  nên d  I; P  R  9  D  4  D  3 41 4 D  21 Do đó  P : 2x  y  2z  3  0 hoặc  P : 2x  y  2z  21  0 tuy nhiên mặt phẳng 2x  y  2z  3  0 chứa đường thẳng d nên bị loại Chọn B Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A1; 2;0 , A2; 0;1 và mặt phẳng  P : 2x  y  2z  3  0 Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua 2 điểm A và B và tạo với mặt phẳng  P một góc  sao cho cos  1 5  Lời giải  Ta có: AB  1;2;1 Gọi VTPT của mặt phẳng Q là: nQ  a;b;c a  b  c  0 2 2 2   Khi đó: AB.nQ  0  a  2b  c  0  a  2b  c 1 Phương trình mặt phẳng Q là: a  x 1  b  y  2  z  0 Ta có: cos  P;Q  2a  b  2c  1 2 Thế 1 vào 2 ta có: 9 a2  b2  c2 5 b  1  5b2  5b2  4bc  2c2  c  0  2b  c2  b2  c2 5 c  2b Với c  0 chọn b  1 a  2  Q : 2x  y  4  0 Với c  2b chọn b  1 c  2  a  0  Q : y  2z  2  0 Vậy Q : 2x  y  4  0 ; Q : y  2z  2  0 là các mặt phẳng cần tìm Câu 24: Cho điểm A3;0;0 và điểm M 0; 2; 1 Viết phương trình mặt phẳng  đi qua A, M sao cho  cắt các trục Oy , Oz lần lượt tại các điểm B, C sao cho VOABC  1 , với O là 2 13 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC gốc tọa độ A   : x  y  z  1 hoặc   : x  y  2z  1 311 32 B   : x  y  z  1 hoặc   : x  y  2z  1 311 32 C   : x  y  z  1 hoặc   : x  y  2z  1 311 32 D   : x  y  z  1 hoặc   : x  y  2z  1 311 32 Lời giải Giả sử mặt phẳng  cắt các trục Oy ; Oz lần lượt tại B 0;b;0 và C 0;0;c Phương trình mặt phẳng  ABC là: x  y  z  1 bc  0 3bc Do  đi qua điểm M 0; 2;1 nên 2  1  1 1  2 1  2  b  c  b bc cb b 2b Lại có: VOABC  1 OA.OB.OC  1 3 bc  1  bc  1 6 6 2 b b2  2  b b  1 Khi đó: b 1  2  2b b  b  2 b  2 Với b  1  c  1    : x  y  z  1 311 Với b  2  c  1    : x  y  2z  1 2 32 Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho điểm H 2;1;1 Viết phương trình mặt phẳng qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC A x  y  z  0 B 2x  y  z  6  0 C 2x  y  z  6  0 D x  y  z  1 211 Lời giải Vì tứ diện OABC đôi một vuông góc tại O và H là trực tâm tam giác ABC nên OH   ABC   Do đó OH  2;1;1 là một vectơ pháp tuyến của  ABC và H thuộc  ABC Vậy  ABC  : 2 x  2   y 1   z 1  0  2x  y  z  6  0 Đáp án : B Câu 26: Cho hai điểm M 1;9; 4 Viết  P đi qua M và cắt các trục tọa độ theo thứ thự tại A, B, C (khác O) sao cho 8.OA  12.OB 16  37.OC , với xA  0; yB  0; zC  0 A  P : 8x  20y  37z  40  0 B  P : 8x  20 y  37z  40  0 C  P : 8x  20y  37z  40  0 D  P : 8x  20 y  37z  40  0 Lời giải Gọi Aa;0;0 , B 0;b;0 và C 0;0;c với a  0;b  0; c  0 14 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Khi đó phương trình mặt phẳng  ABC là: x  y  z  1 abc Do M 1;9; 4  ABC   1  9  4  1 abc Mặt khác OA  a  a;OB  b  b;OC  c  c do a  0; b  0; c  0 Do 8.OA  12.OB 16  37.OC  8a  12b 16  37c Ta có: 8a  12b 16  37c  1  9  4  1  2 35  4a  1  a  5 a 8a 16 8 a  2a a  7 loai  a 12 37 b  2 x y 37  Với a  5   40   P :   z  1hay  P : 8x  20y  37z  40  0 c  5 2 40  37 Câu 27: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho các điểm A2;0;0 và H 1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A, H sao cho  P cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4 6 A  P : x  2 y  2z  2  0 B  P : 2x  2 y  z  4  0 C  P : 2x  y  2z  4  0 D  P : 2x  y  z  4  0 Lời giải Gọi B 0;b;0 và C 0;0;c (điều kiện b,c  0 ) suy ra  P : x  y  z  1 2bc Vì H P nên 1  1  1 bc 2 SABC  1  AB; AC    1 bc2  2c2  2b2  4 2 2 6  b2c2  4b2  4c2  384 u  b  c v  2u u  8;v  16 b  c  8 Đặt   2   bc4 v  bc v  4u  2v  384 u  6;v  12loai  bc  162 Vậy phương trình mặt phẳng  P là x  y  z  1 hay 2x  y  z  4  0 Chọn D 244 Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm Aa;0;0 , B 0;b;0 và C 0;0;c với 1 2 3 a, b, c  0 Biết rằng  ABC đi qua điểm M  ; ;  và tiếp xúc với mặt cầu 7 7 7 S  :  x 12   y  22   z  32  72 Tính giá trị 2 1  2 1  2 1 7 abc A 14 B 1 C 7 D 7 7 2 Lời giải Phương trình mặt phẳng  ABC là x  y  z  1 Vì M   ABC   1  2  3  7 abc abc Xét mặt cầu S  :  x 12   y  22   z  32  72 có tâm I 1; 2;3 , bán kính R  6 14 7 7 15 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Khoảng cách từ I  mp  ABC  là d  I; ABC   1  2  3 1 6 abc  2 1  2 1  2 1 2 1  2 1  2 1 abc abc Vì mặt cầu S  tiếp xúc với mp  ABC  mp  ABC   d I; ABC   R  2 1  2 1  2 1  7 abc 2 Chọn D Câu 29: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng   đi qua M 1;1; 4 cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C phân biệt sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất Tính thể tích nhỏ nhất đó A 72 B 108 C 18 D 36 Lời giải Đặt A  a;0;0 , B  0;b;0 , C  0;0;c với a, b, c  0 Khi đó phương trình mặt phẳng   là x  y  z  1 abc Vì   đi qua M 1;1;4 nên 1  1  4  1 abc Thể tích của tứ diện OABC là VOABC  1 OA.OB.OC  1 abc 6 6 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1  1  1  4  33 4  abc  108 a b c abc Dấu bằng xảy ra khi a  b  3 ; c  12 Vậy tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất bằng 1 108  18 6 Đáp án : C Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P qua hai điểm M (1;8; 0) , C 0; 0;3 cắt các nửa trục dương Ox , Oy lần lượt tại A , B sao cho OG nhỏ nhất ( G là trọng tâm tam giác ABC ) Biết G(a;b; c) , tính P  a  b  c A 7 B 12 C 3 D 6 Lời giải m n  21 2 2 Gọi Am;0;0, B 0;n;0 mà C 0;0;3 nên G  ; ;1 và OG  m  n  1 3 3  9  P : x  y  z  1  P qua hai điểm M (1;8; 0) nên 1  8  1 mn3 mn 1 8 1 16 1 42 Ta có 1       m  2n  25 m n m 2n m  2n Suy ra 25  m  2n  5m2  n2   m2  n2  125  OG2  134 9 1 8   1 m n m  5  5 10  Dấu bằng khi    G  ; ;1 m n n  10  3 3   1  2 16 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Đáp án : D 17 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC 18