S6 CHUYÊN đề 1 CHỦ đề 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI các bài TOÁN đếm

TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT *) Nhận xét: Đối với “Bài tốn đếm số” khơng có phương pháp chung cho toán dạng Mà gặp tốn có liên quan tới việc đếm số, đếm chữ số đòi hỏi tư duy, tố chất thông minh kết hợp với kiến thức học tập hợp số tự nhiên để giải toán Qua tốn cụ thể, học sinh tích lũy phương pháp giải, giúp hỗ trợ cho việc giải toán khác dạng tốt *) Đếm số tự nhiên lập từ m số cho trước lấy từ tập hợp số { 0;1; ;9} ta làm sau: + Chọn m số làm chữ số hàng cao nhất, lập sơ đồ hình cây, sau đếm số lập + Ví dụ: Từ số 3, 6, lập số có chữ số khác nhau? Bước 1: Chọn chữ số làm hàng trăm, ta có số 369 396 Bước 2: Từ sơ đồ, ta thấy từ chữ số cho ta lập số có chữ số khác mà chữ số hàng trăm Tương tự, ta lập số có chữ số khác mà chữ số hàng trăm 6, lập số có chữ số khác mà có chữ số hàng trăm Bước 3: Vậy từ chữ số cho ta lập 3.2 = (số) *) Để tìm số tự nhiên chưa biết, ta vận dụng hai phương pháp sau: - Phân tích cấu tạo số số tự nhiên Ta có: ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c = 10ab + c = 100a + bc abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 10abc + d = 100ab + cd = 1000a + 10bc + d - Từ đặc điểm số cần tìm kiện tốn ta lập luận, nhận xét để lựa chọn chữ số (thường nhận xét để chữ số hàng đơn vị chữ số hàng cao nhất) PHẦN II BÀI TẬP: I.Phương pháp giải - Liệt kê: Các phần tử thỏa mãn điều kiện cho trước ⇒ dùng phương pháp đếm (ít phần tử) - Dựa vào quy luật hình thành phần tử để đếm (chia hết cho 2, 3, … thỏa mãn điều kiện đó) TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN II.Bài toán Dạng 1: Đếm số chữ số dãy số Bài 1: Viết dãy số tự nhiên từ đến 999 ta số tự nhiên A a) Số A có chữ số? b) Tính tổng chữ số số A ? c) Chữ số viết lần? d) Chữ số viết lần? Phân tích: a) Cần đếm số chữ số dãy số sau: Dãy số tự nhiên có chữ số, dãy số tự nhiên có chữ số, dãy số tự nhiên có chữ số Sau cộng kết lại với b) Viết số B số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số viết chữ số), tổng chữ số B tổng chữ số có mặt 300 lần A Số B có: 3.1000 = 3000 chữ số mà chữ số từ đến Lời giải: a) Số A có chữ số? Từ đến có số gồm: (chữ số) Từ 10 đến 99 số có 90 số gồm: 90.2 = 180 Từ 100 đến 999 có 900 số gồm: Số A có: 900.3 = 2700 +180 + 2700 = 2889 b) Tính tổng chữ số số Giả sử ta viết số chữ số có mặt: B B (chữ số) A (chữ số) (chữ số) ? số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số viết chữ số), tổng tổng chữ số A.B có: 3000 :100 = 300 Tổng chữ số B (lần) (cũng A ): TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 3.1000 = 3000 chữ số, chữ số từ đến TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN (0 +1 + + + 9).300 = 45.300 =13500 (chữ số) c) Chữ số viết lần? Cần đếm số chữ số 11 dãy: ( 1) 1, 2,3, ,999 ( 2) 000, 001, 002, ,999 Ta xét dãy: ( 2) Số chữ số hai dãy Ở dãy có 1000 số, số gồm chữ số, số lượng chữ số từ đến Mỗi chữ số (từ đến 9) có mặt 3.1000 :10 = 300 ( 1) Vậy (lần) chữ số viết 300 lần d) Chữ số viết lần? ( 2) Ở dãy chữ số có mặt 300 lần So với dãy ( 1) dãy ( 2) ta viết thêm chữ số 0: - Vào hàng trăm 100 lần (chữ số hàng trăm số từ 000 đến 099); -Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục số từ 000 đến 009); -Vào hàng đơn vị lần (chữ số hàng đơn vị 000) Vậy chữ số dãy ( 1) viết là: 300 - 111 = 189 (lần) Bài 2: Viết dãy số tự nhiên từ đến 999 ta số tự nhiên a) Số A có chữ số? b) Tính tổng chữ số số A ? c) Chữ số viết lần? d) Chữ số viết lần? Phân tích: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang A TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN a) Cần đếm số chữ số dãy số sau: Dãy số tự nhiên có chữ số, dãy số tự nhiên có chữ số, dãy số tự nhiên có chữ số Sau cộng kết lại với B b) Viết số số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số viết chữ số), tổng chữ số B tổng chữ số có mặt 300 lần A B Số có: 3.1000 = 3000 chữ số mà chữ số từ đến Lời giải: a) Số A có chữ số? Từ đến có số gồm: (chữ số) Từ 10 đến 99 số có 90 số gồm: 90.2 = 180 Từ 100 đến 999 có 900 số gồm: Số A có: 900.3 = 2700 +180 + 2700 = 2889 b) Tính tổng chữ số số Giả sử ta viết số chữ số B có mặt: B (chữ số) A (chữ số) ? số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số viết chữ số), tổng tổng chữ số 3000 :100 = 300 Tổng chữ số (chữ số) B A Số B có: 3.1000 = 3000 chữ số, chữ số từ đến (lần) (cũng A ): (0 +1 + + + 9).300 = 45.300 =13500 (chữ số) c) Chữ số viết lần? Cần đếm số chữ số 11 dãy: Ta xét dãy: ( 1) 1, 2,3, ,999 ( 2) 000, 001, 002, ,999 ( 2) Số chữ số hai dãy Ở dãy có 1000 số, số gồm chữ số, số lượng chữ số từ đến Mỗi chữ số (từ đến 9) có mặt 3.1000 :10 = 300 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang (lần) TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN ( 1) Vậy chữ số viết 300 lần d) Chữ số viết lần? Ở dãy ( 2) chữ số có mặt 300 lần So với dãy ( 1) dãy ( 2) ta viết thêm chữ số 0: - Vào hàng trăm 100 lần (chữ số hàng trăm số từ 000 đến 099); -Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục số từ 000 đến 009); -Vào hàng đơn vị lần (chữ số hàng đơn vị 000) Vậy chữ số dãy ( 1) viết là: 300 - 111 = 189 (lần) Bài 3: Để đánh số trang sách, người ta viết dãy số tự nhiên 1và phải dùng tất 1998 chữ số a) Hỏi sách có trang? b) Chữ số thứ 1010 chữ số nào? Phân tích: Để đếm số trang sách ta cần phân số trang sách theo loại Loại 1: Số trang sách mà số có chữ số Loại 2: Số trang sách mà số có chữ số Loại 3: Số trang sách mà số có chữ số Từ tính số chữ cịn lại để đánh dấu trang có chữ số, tính số trang sách b) Nhận thấy số 100 số thứ có chữ số Bằng việc dùng phép chia dư ta cần tìm xem chữ số thứ 1010 thuộc số thứ có chữ số Lời giải a) Hỏi sách có trang? Ta có: Từ trang đến trang phải dùng chữ số (viết tắt chữ số) Từ trang 10 đến trang 99 cần (99 - 10) +1 = 90 số có chữ số, phải dùng 180 (chữ số) Vì cịn trang gồm số có chữ số Þ Cịn lại: 1998 - (180 + 9) = 1809 (chữ số) đánh dấu trang có chữ số TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Þ Þ Có: 1809 : = 603 Cuốn sách có: số có chữ số 603 + 99 = 702 (vì trang ® 99 có 99 trang) Cuốn sách có 702 trang b) Vì 1010 >180 + nên chữ số thứ 1010 nằm số có chữ số 1010 - ( 180 + 9) = 821 Ta có: (chữ số) đánh dấu trang có chữ số tính từ trang 100 (số thứ có chữ số) nên có 821: 273 dư Số thứ 274 có chữ số 374 Þ Þ Chữ số thứ 1010 nằm số thứ 274 có chữ số Chữ số thứ 1010 chữ số 374 Bài 4: Bạn Tâm đánh số trang có 110 trang cách viết dãy số tự nhiên 1, 2,3, ,110 Bạn Tâm phải viết tất chữ số? Lời giải: Ta có: Từ trang đến trang có trang, phải dùng chữ số Từ trang 10 đến trang 99 có ( 99 − 10) + = 90 Từ trang 100 đến trang 110 có Vậy bạn Tâm phải viết tất cả: (trang), phải dùng 180 (chữ số) ( 110 − 100 ) + = 11 +180 + 33 = 222 (trang), phải dùng 11.3 = 33 (chữ số) (chữ số) Bài 5: Một cô nhân viên đánh máy liên tục dãy số chẵn 2: 2000 chữ số Tìm chữ số cuối mà cô đánh 2, 4, 6,8,10,12, Cô phải đánh tất Lời giải: Đánh từ số đến số cần ( − 2) : + = Đánh từ số 10 đến số 98 cần số chẵn có chữ số, phải đánh (chữ số) (98 - 10) : +1 = 45 Đánh từ số 100 đến số 998 cần (chữ số) số chẵn có chữ số, phải đánh (998 - 100) : +1 = 450 số chẵn có chữ số, phải đánh Vì cịn số chẵn phải đánh gồm số chẵn có chữ số TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 45.2 = 90 (chữ số) 450.3 = 1350 TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Þ Cịn lại: 556 : Có: 2000 − (1350 + 90 + 4) = 556 139 Þ chữ số thứ Số chẵn thứ 139 có chữ số là: Þ 2000 chữ số đánh số chẵn có chữ số nằm số chẵn thứ 139 có chữ số (139 - 1).2 +1000 = 1276 Chữ số thứ 2000 chữ số số 1276 1;3;5; ;245 Bài 6: Bạn Mai viết dãy số lẻ a) Bạn Mai phải viết tất chữ số? b) Nếu chữ số viết giây viết đến số 245 giây? Sau phút, bạn Mai viết đến chữ số nào? Lời giải: ( − 1) : + = a) Viết từ số đến số cần số lẻ có chữ số, phải viết chữ số (99 - 11) : +1 = 45 Viết từ số 11 đến số 99 cần Viết từ số 101 đến số 245 cần Vậy bạn Mai phải viết tất cả: số lẻ có chữ số, phải viết (245 - 101) : +1 = 73 + 90 + 219 = 314 45.2 = 90 số lẻ có chữ số, phải viết chữ số 73.3 = 219 chữ số (chữ số) b) Nếu chữ số viết hết giây viết đến số 245 314 giây Đổi: phút = 300 giây Sau phút, bạn Mai viết đến chữ số thứ 300 Vì 300 > 90 + nên chữ số thứ 300 nằm số lẻ có chữ số 300 - ( 90 + 5) = 205 Ta có: số) mà có Þ chữ số để viết số lẻ có chữ số tính từ số 101 (số lẻ thứ có chữ 205 : 68 dư Chữ số thứ 300 nằm số lẻ thứ 69 có chữ số Số lẻ thứ 69 có chữ số (69 - 1).2 +101 = 237 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Þ Chữ số thứ 300 chữ số số 237 Dạng 2: Đếm số thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: Có số tự nhiên chia hết cho gồm bốn chữ số, chữ số tận 2? Phân tích: Đây tốn đếm số tự nhiên có liên quan tới dấu hiệu chia hết cho Trước hết ta cần viết số tự nhiên cầ n tìm dạng abc { 0,1, ,9} , sau đếm số cách chọn chữ số tập hợp a , b, c Việc thực số cách chọn chữ số cách chọn, chữ số b có n cách chọn, chữ số thỏa mãn toán Việc chọn chữ số c có dang buộc lẫn Do chữ số c có k cách chọn ta có m.n.k phải thỏa mãn điều kiện chi chia hết cho a có m số có bốn chữ số c 2M4 Lời giải: Các số phải đếm có dạng: Chữ số a có cách chọn Với cách chọn Với cách chọn chia hết cho Tất có: abc (a ≠ 0, ≤ a, b, c ≤ 9) a , chữ số a, b 9.10.5 = 450 b có 10 cách chọn chữ số c có cách chọn (1,3,5, 7,9) để tạo với chữ số tận làm thành số (số) Bài 2: Có số tự nhiên có ba chữ số có chữ số 5? Phân tích: Số tự nhiên có ba chữ số có chữ số 5, ta cần hiểu chữ số chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng chục, chữ số hàng trăm nên ta cần chia ba loại số có chữ số thỏa mãn là: 5ab; a5b; ab5 Ở loại số ta thực đếm số cách chọn chữ số từ tập hợp { 0,1, 2,3, 4, 6, 7,8,9} giống Lời giải: Ta chia loại số: Số đếm có dạng 5ab (0 ≤ a, b ≤ 9, a ≠ 5, b ≠ 5) số thuộc loại có: 9.9 = 81 : chữ số a có cách chọn, chữ số b có cách chọn (số) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Số đếm có dạng a5b (0 ≤ a, b ≤ 9, a ≠ 5, b ≠ 5, a ≠ 0) chọn, số thuộc loại có: Số đếm có dạng 8.9 = 72 : chữ số a có cách chọn, chữ số b có cách (số) ab5 (0 ≤ a, b ≤ 9, a ≠ 5, b ≠ 5, a ≠ 0) : số thuộc loại có: Vậy số tự nhiên có ba chữ số có chữ số Bài 3: Trong số tự nhiên có ba chữ số, có số: a) Chứa chữ số 4? b) Chứa hai chữ số 4? c) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5? d) Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3? Lời giải: a) Chứa chữ số 4? Các số phải đếm có dạng: - Dạng - Dạng - Dạng 4bc (0 ≤ c, b ≤ 9, c ≠ 4, b ≠ 4) có 9.9 = 81 a 4c (0 ≤ a, c ≤ 9, a ≠ 4, c ≠ 4, a ≠ 0) ab (0 ≤ a, b ≤ 9, a ≠ 4, b ≠ 4, a ≠ 0) Tất có: 81 + 72 + 72 = 225 có có (số) 8.9 = 72 8.9 = 72 (số) b) Chứa hai chữ số 4? Các số phải đếm gồm dạng: - Dạng - Dạng - Dạng 44c (0 ≤ c ≤ 9, c ≠ 4) có (số) a 44 (0 ≤ a ≤ 9, a ≠ 4, a ≠ 0) 4b (0 ≤ b ≤ 9, b ≠ 4) Tất có: + + = 26 có (số) có (số) (số) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang (số) (số) 8.9 = 72 81 + 72 + 72 = 225 (số) (số) TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN c) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5? Số có ba chữ số, chia hết cho gồm 180 số, số khơng chứa chữ số có dạng abc (0 ≤ a, b, c ≤ 9, a ≠ 5, b ≠ 5, c ≠ 5, a ≠ 0) a c b , có cách chọn, có cách chọn, có cách chọn (là 0) gồm 8.9 = 72 Vậy có (số) 180 - 72 = 108 (số) phải đếm d) Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3? Số phải tìm có dạng có cách chọn (nếu c = 1; 4;7 ) có abc (0 ≤ a, b, c ≤ 9, a ≠ 3, b ≠ 3, c ≠ 3, a ≠ 0) a + b = 3k 8.9.3 = 216 c = 0;6;9 , , a có cách chọn, b có cách chọn, c a + b = 3k +1 c = 2;5;8 , a + b = 3k + (số) Bài 4: Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho có tận 5? Phân tích: Những số có tận cách 10 đơn vị, nhiên tốn địi hỏi số tự nhiên có chữ số chia hết cho Do ta cần xác định: Số nhỏ có chữ số chia hết cho có tận Khoảng cách dãy 30 Từ vận dụng công thức “Số số hạng = (số cuối – số đầu): Khoảng cách + 1” Lời giải: Số lớn có chữ số chia hết cho có tận 9975 Số nhỏ có chữ số chia hết cho có tận 1005 Ta có dãy số: 1005; 1035; 1065; ; 9975 Khoảng cách dãy 30 ⇒ Số số tự nhiên có chữ số chia hết cho có tận là: Vậy có 300 số thỏa mãn yêu cầu toán Bài 5: Trong số tự nhiên từ đến 100, có số: a) Chia hết cho mà không chia hết cho 3? b) Chia hết cho hai số 3? c) Không chia hết cho không chia hết cho 3? Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 ( 9975 − 1005 ) : 30 + = 300 TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN a) Chia hết cho mà không chia hết cho 3? Các số chia hết cho là: 2; 4; 6; ;100 Số số chia hết cho là: ( 100 − ) + = 50 (số) Các số chia hết cho 3: 6;12;18; 24; ;96 Số số chia hết cho là: ( 96 − ) + = 16 (số) Vậy từ đến 100 có 50 − 16 = 34 số chia hết cho mà không chia hết cho b) Chia hết cho hai số 3? Các số chia hết cho là: 3; 6;9;12;15; ;99 Số số chia hết cho là: ( 99 − 3) + = 33 (số) Vậy số chia cho hai số là: 50 + 33 − 16 = 67 (số) c) Không chia hết cho không chia hết cho 3? Số số không chia hết cho cho là: 100 − 67 = 33 (số) Bài 6: Trong số tự nhiên từ đến 1000, có số: a) Chia hết cho số 2, 3, 5? b) Không chia hết cho tất số tự nhiên từ đến 5? Lời giải: a) Chia hết cho số 2, 3, 5? TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 11 TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN A, B, C , D, E , G, H Gọi tập hợp số từ đến 1000 mà theo thứ tự chia hết cho 2, chia hết cho 3, chia hết cho 5, chia hết cho 3, chia hết cho 5, chia hết cho 5, chia hết cho số Số phần tử tập hợp theo thứ tự Ta có: S1 , S2 , S3 , S , S5 , S6 , S7 S1 = 1000 : = 500; S = [ 1000 : 3] = 333; S3 = 1000 : = 200; S = [ 1000 : 6] = 166 S5 = 1000 :10 = 100; S6 = [ 1000 :15] = 66; S7 = [ 1000 : 30 ] = 33 S1 + S + S3 − S − S5 − S6 + S7 = 734 Số số phải tìm gồm: (số) b) Khơng chia hết cho tất số tự nhiên từ đến 5? Còn lại 1000 − 734 = 266 Bài 7: Có số Lời giải: Điều kiện: (số) abcd mà ab < cd ? ≤ a ≤ 9, ≤ b ≤ Xét trường hợp sau: Nếu Nếu ab = 10 ab = 11 thì cd (0 ≤ c, d ≤ 9) cd (0 ≤ c, d ≤ 9) bằng: bằng: 11, 12, , 99 12, , 99 , có 89 số , có 88 số Nếu ab = 98 Nếu ab = 98 Vậy có tất cả: cd (0 ≤ c, d ≤ 9) cd (0 ≤ c, d ≤ 9) bằng: 98, 99 , có số bằng: 99, có số + + +   + 89 = 4005 (số) Bài 8: Có số tự nhiên có bốn chữ số abcd , Lời giải: Chữ số a (0 ≤ a ≤ 9, a ≠ 0) có cách chọn ( 1, 2, ,8) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 12 b − a =1 ; d − c =1 ? TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Chữ số b Chữ số c Chữ số d (0 ≤ b ≤ 9) (0 ≤ c ≤ 9) (0 ≤ d ≤ 9) Tất có: có cách chọn có cách chọn có cách chọn 8.1.9.1 = 72 (b = a + 1) ( 0,1, 2, ,8 ) (d = c + 1) (số) Bài 9: Có số chứa chữ số số tự nhiên: a) Có ba chữ số b) Từ đến 999 Lời giải: a) Ta đếm số tự nhiên có ba chữ số bớt số có ba chữ số khơng chứa chữ số Số có ba chữ số là: 100,101, ,999 , có 900 số (1) abc (0 ≤ a, b, c ≤ 9, a ≠ 0, a ≠ 1, b ≠ 1, c ≠ 1) Trong số trên, số không chứa chữ số có dạng a có cách chọn (từ đến 9), b có cách chọn (từ đến khác 1), c có cách chọn (từ đến khác 1), có: Từ ( 1) ( 2) 8.9.9 = 648 (số) (2) ⇒ Số số phải đếm là: b) Ta thêm chữ số vào dãy 900 − 648 = 252 1, 2, ,999 thành dãy (số) 000, 001, , 999 để đếm số dễ dàng Trước hết, ta đếm số không chứa chữ số dãy này: số có dạng (0 ≤ a, b, c ≤ 9, a ≠ 1, b ≠ 1, c ≠ 1) a , b, c abc chữ số có cách chọn (từ đến khác 1), tất có: 9.9.9 = 729 (số) Vậy số lượng số từ đến 999 khơng chứa chữ số có: 729 − = 728 (số) Số lượng số từ đến 999 có chứa chữ số là: 999 − 728 = 271 (số) Bài 10: Tìm số lượng số tự nhiên có bốn chữ số mà: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN a) Số tạo hai chữ số đầu (theo thứ tự ấy) cộng với số tạo hai chữ số cuối (theo thứ tự ấy) nhỏ 100 b) Số tạo hai chữ số đầu (theo thứ tự ấy) lớn số tạo hai chữ số cuối (theo thứ tự ấy)? Lời giải: a) Các số cần tìm có dạng: abcd (0 ≤ a, b, c, d ≤ 9, a ≠ 0) đó: ab + cd < 100 Ta có số sau thỏa mãn đề bài: +) +) 1000; 1001; 1002; ; 1089 ⇒ Gồm: 1100; 1101; 1102; ; 1188 ⇒ Gồm: 1090 − 1000 + = 90 (số) 1188 − 1100 + = 89 (số) …………………………………… +) +) 9700; 9701; 9702 9800; 9801 ⇒ gồm: (số) ⇒ gồm: (số) +) 9900 ⇒gồm: (số) Vậy có tất cả: 90 + 89 + + + + = ( 90 + 1) 90 : = 4095 b) Các số cần tìm có dạng: abcd (0 ≤ a, b, c, d ≤ 9, a ≠ 0) (số) đó: Ta có số sau thỏa đề bài: +) +) 1000; 1001; 1002 ; 1009 ⇒ gồm: 1100; 1101; 1102; ; 1110 1009 − 1000 + = 10 ⇒ gồm: (số) 1110 − 1100 + = 11 (số) ………………………………… +) +) +) 9700; 9701; …; 9796 ⇒ gồm: 9800; 9801; …; 9897 9900; 9901; ; 9998 ⇒ gồm: ⇒ gồm Số số thỏa đề là: 9796 − 9700 + = 97 9897 − 9800 + = 98 9998 − 9900 + = 99 (số) (số) 10 + 11 + + 97 + 98 + 99 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 (số) ab > cd TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Tổng gồm 99 − 10 + = 90 Vậy số số thỏa đề (số) : ( 99 + 10 ) 90 : = 4905 (số) Bài 11: Trong số tự nhiên từ đến 252, xoá số chia hết cho không chia hết cho 5, xố số chia hết cho khơng chia hết cho Còn lại số? Lời giải: Các số phải xóa có tận lại: 5.25 = 125 Xét số 2; 4;6;8;5 Mỗi chục xóa số, cịn lại số Từ đến 250 có 25 chục, (số) 251; 252, số 251 giữ lại Vậy cịn lại 126 số Bài 12: Có số tự nhiên có ba chữ số mà: a) Các chữ số đểu chẵn? b) Chữ số hàng chục chữ số lẻ? Lời giải: a) Các số phải đếm có dạng abc (0 ≤ a, b, c ≤ 9, a ≠ 0) , đó: ( 2, 4,6,8) Chữ số a có cách chọn ( 0, 2, 4, 6,8) Với cách chọn a, chữ số b có cách chọn Với cách chọn Tất có: a, b 4.5.5 = 100 ( 0, 2, 4, 6,8) chữ số c có cách chọn (số) b) Các số phải đếm có dạng abc (0 ≤ a, b, c, d ≤ 9, a ≠ 0) , đó: ( 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9) Chữ số a có cách chọn ( 1,3,5,7,9) Với cách chọn a, chữ số b có cách chọn TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Với cách chọn Tất có: a, b 9.5.10 = 450 ( 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9) chữ số c có 10 cách chọn (số) Bài 13: Có số tự nhiên có bốn chữ số đó: a) Mỗi chữ số chẵn? b) Tổng chữ số số chẵn? Lời giải: a) Các số phải đếm có dạng abcd (0 ≤ a, b, c, d ≤ 9, a ≠ 0) , đó: ( 2, 4,6,8) Chữ số a có cách chọn ( 0, 2, 4, 6,8) Với cách chọn a, chữ số b có cách chọn Với cách chọn Với cách chọn Tất có: a, b ( 0, 2, 4, 6,8) chữ số c có cách chọn a, b, c 4.5.5.5 = 500 ( 0, 2, 4, 6,8) chữ số d có cách chọn (số) b) Các số phải đếm có dạng abcd (0 ≤ a, b, c, d ≤ 9, a ≠ 0) , đó: ( 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9) Chữ số a có cách chọn ( 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9) Với cách chọn a, chữ số b có 10 cách chọn Với cách chọn Với cách chọn + Nếu + Nếu a+b+c a+b+c a, b ( 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9) chữ số c có 10 cách chọn a, b, c lẻ chữ số d có cách chọn: d = 1,3, 5, 7,9 chẵn d = 0, 2, 4, 6,8 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Tất có: 9.10.10.5 = 4500 (số) Bài 14: Có số tự nhiên có ba chữ số, biết cộng với số gồm ba chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 5? Lời giải: Các số phải đếm có dạng Theo đề bài, ta có : Với cách chọn abc (0 ≤ a, b, c ≤ 9, a ≠ 0) abc + cba M5 ab (từ 10 đến 99) c có cách chọn phụ thuộc vào a : Nếu a = 5k c Nếu a = 5k + c Nếu a = 5k + c Nếu a = 5k + c Nếu a = 5k + c Vậy có: 90.2 = 180 (số) Bài 15: Có số chẵn có ba chữ số, chữ số khác nhau? Lời giải: Các số phải đếm có dạng Nếu Nếu c=0 a có cách chọn (từ đến 9), b có cách chọn (từ đến 9, khác a) c = 2, 4, 6,8 Vậy có: abc (0 ≤ a, b, c ≤ 9, a ≠ 0) a có cách chọn (từ đến 9, khác c), b có cách chọn (từ đến 9, khác a c) 9.8 + 8.8.4 = 328 (số) Bài 16: Có số tự nhiên có ba chữ số có hai chữ số nhau? Lời giải: Ta đếm số tự nhiên có ba chữ số bớt số ba chữ số khác Số có ba chữ số là: 100,101, ,999 , có 900 số TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 ( 1) TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN abc (0 ≤ a, b, c ≤ 9, a ≠ 0) Trong số trên, số có chữ số khác dạng , a có cách chọn (từ đến 9), b có cách chọn (từ đến khác a), c có cách chọn (từ đến khác a b),có: Từ ( 1) 9.9.8 = 648 ( 2) ( 2) (số) ⇒ Số lượng số phải đếm là: 900 − 648 = 252 (số) Bài 17: Trong số tự nhiên có bốn chữ số, có số có ba chữ số nhau? Lời giải: Các số phải đếm gồm bốn dạng: baaa (0 ≤ a, b ≤ 9, b ≠ 0) Dạng đến khác b) Có: : Chữ số b có cách chọn (từ đến 9), chữ số a có cách chọn (từ 9.9 = 81 abaa (0 ≤ a, b ≤ 9, a ≠ 0) Dạng (số) , dạng aaba (0 ≤ a, b ≤ 9, a ≠ 0) , dạng aaab (0 ≤ a, b ≤ 9, a ≠ 0) dạng này, chữ số a có cách chọn, chữ số b có cách chọn (khác a) Mỗi dạng có: Tất có: 81.4 = 324 9.9 = 81 : (số) (số) Bài 18: Trong số tự nhiên có ba chữ số, có số chứa chữ số 4? Lời giải: Ta đếm số tự nhiên có ba chữ số bớt số ba chữ số không chứa chữ số Số có ba chữ số là: 100,101, ,999 ( 1) , có 900 số Trong số trên, số có chữ số khơng chứa chữ số dạng Trong 4), b (0 ≤ a, b, c ≤ 9, a ≠ 0, a ≠ 4, b ≠ 4, c ≠ 4) có cách chọn (từ đến khác 4), 8.9.9 = 648 Từ , ( 1) (số) ( 2) c a ⇒ Số lượng số phải đếm là: 900 − 648 = 252 TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC có cách chọn (từ đến khác có cách chọn (từ đến khác 4), có: ( 2) Bài 19: Trong số tự nhiên từ đến 10000 Trang 18 abc (số) TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN a) Có số chứa chữ số 0? b) Số chứa chữ số hay số khơng chứa chữ số có nhiều hơn? Lời giải: a) Ta đếm số tự nhiên từ đến 10000 bớt số không chứa chữ số Các số tự nhiên từ đến 10000 có 10000 số Ta đếm số khơng chứa chữ số 0: + Từ đến có (số) + Từ 10 đến 99 có 9.9 = 81 + Từ 100 đến 999 có (số) 9.9.9 = 729 + Từ 1000 đến 9999 có (số) 9.9.9.9 = 6561 Vậy số lượng số phải đếm là: (số) 10000 − (9 + 81 + 729 + 6561) = 2620 (số) có chứa chữ số b) Các số tự nhiên từ đến 10000 có 10000 số Ta đếm số không chứa chữ số 1: + Từ đến có số + Từ 10 đến 99 có 8.9 = 72 + Từ 100 đến 999 có 8.9.9 = 648 + Từ 1000 đến 9999 có ⇒Có tất cả: Còn lại: số số 8.9.9.9 = 5832 8+72+648+5832 = 6560 10000 − 6560 = 3440 số (số) không chứa chữ số (số) có chứa chữ số Vậy số khơng chứa chữ số có nhiều số chứa c số Bài 20: Có số tự nhiên từ 10 đến 24 chia hết cho hai số 3? Lời giải: Trong số tự nhiên từ 10 đến 24: Các số tự nhiên chia hết cho là: 10,12,14, , 24 , gồm: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 ( 24 − 10 ) : + = (số) TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Các số chia hết cho là: 12,15,18, 21, 24 , gồm số Có số có mặt hai dãy trên, bội : Vậy có: + − = 10 12,18, 24 , gồm số (số) chia hết cho hai số Bài 21: Có số tự nhiên chia hết cho 5, có bốn chữ số, có chữ số 5? Lời giải: Các số phải đếm có dạng: 5ab0 (0 ≤ a, b ≤ 9) có 9.9 = 81 a5b0 (0 ≤ a, b ≤ 9, a ≠ 0) ab50 (0 ≤ a, b ≤ 9, a ≠ 0) có Tất có: 8.9 = 72 có abc5 (0 ≤ a, b, c ≤ 9, a ≠ 0) (số) (số) 8.9 = 72 có (số) 8.9.9 = 648 81 + 72 + 72 + 648 = 873 (số) (số) Bài 22: Trong số tự nhiên từ đến 200, có số: a Chia hết cho mà không chia hết cho 3? b Chia hết cho hai số 3? c Không chia hết cho không chia hết cho 3? Lời giải: a) Chia hết cho mà không chia hết cho 3? Các số chia hết cho : 2; 4;…; 200 Số số chia hết cho là: ( 200 − ) + = 100 Các số chia hết cho là: (số) 6;12;18; 24; ;198 Số số chia hểt cho là: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN ( 198 − ) : + = 34 Vậy từ đến 200 có (số) 100 – 34 = 66 b) Các số chia hết cho là: số chia hết cho mà không chia hết cho 3; 6;9; …;198 Số số chia hết cho là: ( 198 − 3) : + = 66 (số) Vậy số chia hết cho hai số là: 100 + 66 − 34 = 132 (số) c) Không chia hết cho cho là: 200 – 132 = 68 (số) Bài 23: Tuấn muốn đến nhà bạn, không nhớ số nhà, biết số nhà bạn só chia hết cho có hai chữ số Biết số nhà cuối dãy phố 135 Hỏi Tuấn phải gõ cửa nhiều số nhà? (các số nhà không đánh số a, b, ) Lời giải: Dãy số lẻ chia hết cho có hai chữ số là: 15, 21, 27, ,99 gồm ( 99 − 15 ) : + = 15 (số) Vậy Tuấn phải gõ cửa nhiều 15 số nhà Bài 24: Có biển số xe máy khác nhau, số xe lập hai chữ đứng đầu ba chữ số đứng sau? (bảng chữ có 25 chữ, khơng có biển số 000) Lời giải: Vì bảng chữ có 25 chữ số nên có 25.25 = 625 cách lập kí hiệu đứng đầu gồm chữ Ta có: 999 cách lập số từ 001 đến 999 ⇒ có tất cả: 25.25.999 = 624375 (biển số xe) Dạng 3: Dạng khác Bài 1: Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích học Tốn, 60 học sinh thích Văn a) Nếu có học sinh khơng thích Tốn lẫn Văn có học sinh thích hai mơn Văn Tốn? TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN b) Có nhiều học sinh thích hai mơn Văn Tốn? c) Có học sinh khơng thích hai mơn Văn Tốn? Lời giải: Gọi số học sinh thích hai mơn Văn Tốn x thích Văn 75 − x ( < x ≤ 75, x ∈ N ) , số học sinh thích Tốn mà k a) Nếu có học sinh khơng thích Tốn lẫn Văn có học sinh thích hai mơn Văn Tốn? Ta có: 75 − x + 60 + = 100 ⇔ x = 40 Vậy có 40 học sinh thích hai mơn a) Vì 100 học sinh có 75 học sinh thích tốn 60 học sinh thích văn nên số học sinh nhiều thích tốn văn khơng thể vượt 60 học sinh Vậy số học sinh thích mơn nhiều 60 học sinh b) Ta có: 75 − x + 60 ≤ 100 ⇒ x ≥ 35 Có 35 học sinh thích hai mơn Văn Toán Bài 2: Kết điều tra lớp học cho thấy: có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyển,14 học sinh thích bóng đá bơi,13 học sinh thích bơi bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền,10 học sinh thích ba mơn,12 học sinh khơng thích mơn Tính xem lớp học có học sinh? Lời giải: Số học sinh thích 2mơn bóng đá bơi: 14 –10 = (học sinh) Số học sinh thích hai mơn bơi bóng chuyền: 13 –10 = (học sinh) Số học sinh thích hai mơn bóng đá bóng chuyền: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN 15 –10 = (học sinh) Số học sinh thích bóng đá: 20 – ( + 10 + ) = (học sinh) Số học sinh thích bơi: 17 – ( + 10 + 3) = (học sinh) Số học sinh thích bóng chuyền: 36 – ( + 10 + 3) = 18 (học sinh) Số học sinh lớp là: + + 18 + 10 + + + 12 = 53 (học sinh) Vậy số học sinh lớp học 53 học sinh Bài 3: Tổng kết đợt thi đua "100 điểm 10 dâng tặng thầy cơ", lớp 6A có 43 bạn từ điểm 10 trở lên, 39 bạn từ điểm 10 trở lên, 14 bạn từ điểm 10 trở lên, bạn điểm 10, khơng có điểm 10 Tính xem đợt thi đua đó, lớp 6A có điểm 10? Lời giải: Số học sinh đạt điểm 10 là: Só học sinh đạt điểm 10 là: Số học sinh đạt điểm 10 là: 43 − 39 = (học sinh) 39 − 14 = 25 14 − = (học sinh) (học sinh) Số điểm 10 lớp 6A đạt là: 1.4 + 2.25 + 3.9 + 4.5 = 101 (điểm 10) Bài 4: Trong số 200 học sinh có 150 học sinh thích học Tốn, 120 học sinh thích Văn a) Nếu có học sinh khơng thích Tốn lẫn Văn có học sinh thích hai mơn Văn Tốn? b) Có nhiều học sinh thích hai mơn Văn Tốn? c) Có học sinh thích hai môn Văn Tốn? TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 23 TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Lời giải: Gọi số học sinh thích hai mơn Văn Tốn x khơng thích Văn a) Ta có: 150 − x ( < x ≤ 150, x ∈ N ) 150 − x + 120 + = 200 ⇒ x = 75 Vậy có 75 học sinh thích hai mơn b) Có nhiều 120 học sinh ( tất số thích văn thích tốn) c) Ta có: 150 − x + 120 ≤ 200 ⇒ x ≥ 70 Có 70 học sinh thích hai mơn Văn Tốn TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 24 , số học sinh thích Tốn mà ... b) Các số cần tìm có dạng: abcd (0 ≤ a, b, c, d ≤ 9, a ≠ 0) (số) đó: Ta có số sau thỏa đề bài: +) +) 10 00; 10 01; 10 02 ; 10 09 ⇒ gồm: 11 00; 11 01; 11 02; ; 11 10 10 09 − 10 00 + = 10 ⇒ gồm: (số) 11 10... Lời giải: a) Các số cần tìm có dạng: abcd (0 ≤ a, b, c, d ≤ 9, a ≠ 0) đó: ab + cd < 10 0 Ta có số sau thỏa mãn đề bài: +) +) 10 00; 10 01; 10 02; ; 10 89 ⇒ Gồm: 11 00; 11 01; 11 02; ; 11 88 ⇒ Gồm: 10 90... DỤC Trang 19 ( 24 − 10 ) : + = (số) TÊN CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Các số chia hết cho là: 12 ,15 ,18 , 21 , 24 , gồm số Có số có mặt hai dãy trên, bội : Vậy có: + − = 10 12 ,18 , 24 , gồm số