TIẾP TỤC CHƯƠNG 1 CỦA MÔN TOÁN RỜI RẠC MÌNH SẼ GỬI DẾN D CÁC BẠN SLIDE BÀI GIẢNG CHƯƠNG 2.2 MÔN TOÁN RỜI RẠC CỦA TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT MONG RẰNG VỚI CÁC SLIDE NÀY SẼ GIÚP CÁC BẠN DỄ DÀNG CHINH PHỤC ĐƯỢC MÔN TOÁN RỜI RẠC NÀY
CHƢƠNG 2: LÝ THUYẾT TỔ HỢP Gv: Đặng Hữu Nghị NỘI DUNG 2.1 Sơ lƣợc tổ hợp 2.2 Bài toán đếm 2.3 Bài toán tồn 2.4 Bài toán liệt kê 2.5 Bài toán tối ƣu 2.2 BÀI TỐN ĐẾM 2.2.1 Giới thiệu tốn 2.2.2 Ngun lý bù trừ 2.2.3 Quy toán đơn giản 2.2.4 Công thức truy hồi 2.2.1 GIỚI THIỆU BÀI TỐN Bài tốn lý thuyết tổ hợp đếm xem có cấu hình tổ hợp thỏa mãn đƣợc tạo qui tắc Để đếm cấu hình cho, ngƣời ta tìm cách đƣa cấu hình quen thuộc cách thiết lập tƣơmg quan 1-1 chúng Thơng thƣờng, lời giải tốn đếm phụ thuộc vào số tham số ban đầu ngƣời ta cố gắng biều diễn phụ thuộc cơng thức tốn học 2.2.1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Phƣơng pháp chung để giải toán đếm: Sử dụng nguyên lý đếm bản: nguyên lý cộng, nguyên lý nhân, nguyên lý bù trừ, nguyên lý Dirichlet Qui tốn con: Phân tích lời giải toán đếm phức tạp thành toán Trong đó, tốn giải đƣợc nguyên lý đếm Sử dụng hệ thức truy hồi: Xây dựng cơng thức tính số nghiệm tổng quát dựa vào biểu diễn số hạng biết trƣớc Sử dụng số phƣơng pháp đặc biệt khác: Phƣơng pháp hàm sinh, phƣơng pháp hệ đại diện phân biệt… 2.2.1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Ứng dụng tốn đếm khoa học máy tính: Ƣớc lƣợng số phép toán thực thuật tốn, chƣơng trình Đánh giá độ phức tạp thời gian, khơng gian thuật tốn 2.2.1 GIỚI THIỆU BÀI TỐN Ví dụ 1: Có cách xếp ngƣời đứng thành hàng ngang cho A không đứng cạnh B ? Giải: Để đếm số cách xếp này, ta đếm phần lại: số cách xếp mà A đứng cạnh B Xem A vồ B nhƣ chỗ, ta có 4! = 24 cách xếp Số cần đƣợc nhân A đứng bên trái nhƣ bên phải B Nhƣ có tất 48 cách xếp A đứng cạnh B Toàn có 5! = 120 cách xếp Từ nhận đƣợc số cách xếp mà A không đứng cạnh B 120- 48 = 72 cách 2.2.1 GIỚI THIỆU BÀI TỐN Ví dụ 2: Một đợt phát hành xổ số với sô' vé gồm phần: phần đầu gồm chữ lấy từ A đến Z (26 phần tử) phần sau gồm chữ số lấy từ đến (10 phần tử) Hỏi xác suất để trúng giải độc đắc ? Giải: Trƣớc hết ta đếm số vé đƣợc phát hành Mỗi vé gồm phần: phần chữ phần số Phần chữ có 262 khả năng, phần số có 104 khả Theo nguyên lý nhân, số vé đƣợc phát hành 262x104 = 6760000 Từ nhận đƣợc xác suất đế trúng giải độc đắc 1/6760000 1,48 x 10-7 2.2.1 GIỚI THIỆU BÀI TỐN Ví dụ 3: Cho lƣới gồm ô vuông Các nút đƣợc đánh số từ đến n theo chiều từ trái sang phải từ đến m theo chiều từ dƣới lên (xem hình vẽ) Hỏi có đƣờng khác từ nút (0, 0) đến nút {n, m} cho phép cạnh ô vuông theo chiều sang phải lên ? 2.2.1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Giải Một đƣờng nhƣ đƣợc xem gồm n+m đoạn (mỗi đoạn cạnh ô vuông) Tại đoạn đƣợc chọn giá trị; lên (mà ta mã 1) hay sang phải (mà ta mã 0) Số đoạn lên m sơ' đoạn sang phải n Bài tốn dẫn việc tìm xem có dãy nhị phân độ dài n+ m có m thành phần Đây số tập m phần tử tập n + m 𝑚 phần tử, số đƣờng cần đếm 𝐶𝑛+𝑚 10 2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ Từ ta có hệ thức truy hồi cho số xâu nhị phân có độ dài n khơng chứa hai số liên tiếp an = an-1 + an-2 Điều kiện đầu a1 =2 có hai xâu “0”, “1”có độ dài 1; a2 = có xâu độ dài không chứa hai số liên tiếp (01, 10, 11) Từ ta có a3 = 5, a4 = 8, a5 = 13 dãy số Fibonaci 60 2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ Ví dụ 6: Tính số từ mã Một hệ máy tính coi xâu chữ số hệ thập phân từ mã hợp lệ chứa số chẵn chữ số Ví dụ từ 1230407 hợp lệ, từ 1020304 không hợp lệ Hãy tìm hệ thức truy hồi cho từ mã hợp lệ có độ dài n? Giải Gọi số từ mã độ dài n an Dễ dàng nhận thấy a1 = 9, có số khơng hợp lệ Bây ta tìm cách biểu diễn dãy từ mã độ dài n ≥ Xâu hợp lệ có n chữ số đƣợc tổ hợp từ xâu hợp lệ n-1 chữ số hai cách: 61 2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ Cách thứ nhất: từ xâu hợp lệ n-1 chữ số ta thêm chữ số khác vào cuối Theo nguyên lý nhân, ta có 9an-1 xâu hợp lệ Cách thứ 2: xâu hợp lệ n chữ số đƣợc hợp lệ hóa từ xâu khơng hợp lệ có n-1 chữ số cách thêm số vào cuối Số xâu không hợp lệ 10n-1 – an-1, có 10n-1 xâu có độ dài n-1, có an-1 xâu hợp lệ Từ ta có hệ thức truy hồi từ mã hợp lệ độ dài n an = 9an-1 + (10n-1 – an-1) = 8an-1 +10n-1, với n ≥2 a1 =9 62 2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Định nghĩa Một hệ thức truy hồi tuyến tính bậc k với hệ số số hệ thức truy hồi có dạng: an = c1an -1 + c2an -2 + + ckan –k (1) Trong đó, c1, c2, ,ck số ck≠0 Theo nguyên lý thứ qui nạp tốn học hệ thức truy hồi tuyến tính bậc k thỏa mãn k điều kiện đầu: a0 = C0, a1 = C1, , ak-1 = Ck-1 63 2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Một số dạng hệ thức truy hồi Hệ thức truy hồi Pn = (1 11 ) Pn-1 hệ thức truy hồi tuyến tính bậc Hệ thức truy hồi fn = fn-1 + fn-2 hệ thức truy hồi tuyến tính bậc Hệ thức truy hồi an = an-5 hệ thức truy hồi tuyến tính bậc Hệ thức truy hồi an = an-1 + (an-2)2 khơng tuyến tính Hệ thức truy hồi Hn = 2Hn-1+ không Hệ thức Bn = nBn-1 khơng có hệ số số 64 2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Phƣơng pháp chung để giải hệ thức truy hồi tuyến tính nhẩt tìm nghiệm dƣới dạng an = rn, r số Chú ý rằng, an = rn nghiệm hệ thức truy hồi rn = c1rn-1 + c2rn-2 + … + ckrn-k (2) rk - c1rk-1 - c2rk-2 + … + ck = (3) Phƣơng trình (3) cịn gọi phƣơng trình đặc trƣng hệ thức truy hồi (1) Dƣới số định lý áp dụng cho hệ thức truy hồi tuyến tính bậc 2, sau mở rộng cho hệ thức truy hồi tuyến tính bậc k 65 2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Định lý Cho c1, c2 hai số thực Giải phƣơng trình đặc trƣng r2 – c1r – c2 =0 có hai nghiệm phân biệt r1, r2 Khi đó, dãy {an} nghiệm hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 Khi 𝑎𝑛 = 𝛼1 𝑟1𝑛 + 𝛼2 𝑟2𝑛 với n = 0, 1, 2… α1, α2 số 66 2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Ví dụ 1: Tìm nghiệm hệ thức truy hồi an = an-1+ 2an-2 với a0 = 2, a1 = Giải Bƣớc 1: Tìm nghiệm phương trình đặc trưng 𝑟1 = 2 𝑟 −𝑟−2=0⟺ 𝑟2 = −1 Bƣớc Xây dựng công thức tổng quát cho an 𝑎𝑛 = 𝛼1 𝑟1𝑛 + 𝛼2 𝑟2𝑛 = 𝛼1 2𝑛 + 𝛼2 (−1)𝑛 67 2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Bƣớc Xác định số thông qua điều kiện đầu: a0 =2, a1 =7 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼1 = ⟺ 2𝛼1 − 𝛼2 = 𝛼2 = −1 Bƣớc Hoàn chỉnh nghiệm hệ thức truy hồi 𝑎𝑛 = 𝛼1 𝑟1𝑛 + 𝛼2 𝑟2𝑛 = 3.2𝑛 − (−1)𝑛 68 2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Ví dụ 2: Tìm nghiệm hệ thức truy hồi Fn = Fn -1 + Fn - , với F0=0, F1=1 Bước Tìm nghiệm phương trình đặc trưng r - r – = 0, 𝑟1 = ( 1+ 5) , 𝑟2 = ( 1− 5) Bước Xây dựng công thức tổng quát cho an 𝑛 𝑛 ( + 5) ( − 5) 𝑎𝑛 = + = 𝛼1 + 𝛼2 2 Bước Xác định số thông qua điều kiện đầu: a0 =0, a1 =1 𝛼1 𝑟1𝑛 𝛼2 𝑟2𝑛 69 2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Bước Hoàn chỉnh nghiệm hệ thức truy hồi 70 2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Định lý 2: Cho c1, c2 hai số thực Giải phƣơng trình đặc trƣng r2 – c1r – c2 =0 có nghiệm kép r0=r1= r2 Khi đó, dãy {an} nghiệm hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 Khi 𝑎𝑛 = 𝛼1 𝑟0𝑛 + 𝛼2 𝑛𝑟0𝑛 với n = 0, 1, 2… α1, α2 số 71 2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Ví dụ Tìm nghiệm hệ thức truy hồi an = 6an-1 - 9an -2 ,với a0=1, a1=6 Giải Bước Tìm nghiệm phƣơng trình đặc trƣng 𝑟 − 6𝑟 + = ⟺ 𝑟0 = 𝑟1 = 𝑟2 = Bước Xây dựng công thức tổng quát cho an 𝑎𝑛 = 𝛼1 𝑟0𝑛 + 𝛼2 𝑛𝑟0𝑛 = 𝛼1 3𝑛 + 𝛼2 𝑛(3)𝑛 Bước Xác định số thông qua điều kiện đầu: a0 =1, a1 =6 𝛼1 = 𝛼1 = ⟺ 3𝛼1 + 3𝛼2 = 𝛼2 = Bước Hoàn chỉnh nghiệm hệ thức truy hồi 𝑎𝑛 = 𝛼1 𝑟0𝑛 + 𝛼2 𝑛𝑟0𝑛 = 3𝑛 + 𝑛(3)𝑛 72 2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Định lý Cho c1, c2 hai số thực Giải phƣơng trình đặc trƣng rk – c1rk-1- …- r – ck =0 có k nghiệm phân biệt r1, r2, …, rk Khi đó, dãy {an} nghiệm hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2+…+ ckan-k Khi 𝑎𝑛 = 𝛼1 𝑟1𝑛 + 𝛼2 𝑟2𝑛 + … + 𝛼𝑘 𝑟𝑘𝑛 với n = 0, 1, 2… α1, α2 … α2 số 73 2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Ví dụ Tìm nghiệm hệ an = 6an-1 - 11an -2 + 6an-3 ,với a0= 2, a1= 5, a2= 15 Giải Bước Tìm nghiệm phƣơng trình đặc trƣng r3 - 6r2 + 11r – = r1 = 1, r2 = 2, r3 = Bước Xây dựng công thức tổng quát cho an 𝑎𝑛 = 𝛼1 𝑟1𝑛 + 𝛼2 𝑟2𝑛 + 𝛼3 𝑟3𝑛 = 𝛼1 1𝑛 + 𝛼2 2𝑛 + 𝛼3 3𝑛 Bước Xác định số thông qua điều kiện đầu: a0 =2, a1 =5, a2=15 α1 + α2 + α3 = α1 = α1 + 2α2 + 3α3 = ⇔ α2 = −1 α3 = α1 + 4α2 + 9α3 = 15 Bước 4: Hoàn chỉnh nghiệm hệ thức truy hồi 𝑎𝑛 = 𝛼1 𝑟1𝑛 + 𝛼2 𝑟2𝑛 + 𝛼3 𝑟3𝑛 = 1𝑛 − 2𝑛 + 3𝑛 74 ... hợp 2.2 Bài toán đếm 2.3 Bài toán tồn 2.4 Bài toán liệt kê 2.5 Bài toán tối ƣu 2.2 BÀI TỐN ĐẾM 2.2. 1 Giới thiệu tốn 2.2. 2 Ngun lý bù trừ 2.2. 3 Quy toán đơn giản 2.2. 4 Công thức truy hồi 2.2. 1... ∩ A2 ∩ … ∩ Ak) 16 2.2. 2 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ Ví dụ với k=3 ta có cơng thức dƣới đây: N(A ∪ B ∪ C) = N(A) + N(B) + N(C) – N(A ∩ B) N(A ∩ C) - N(B ∩ C) + N(A ∩ B ∩ C) 17 2.2. 2 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ... 23 2.2. 2 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ Một điều lý thú xác suất dẩn đến e-1 (nghĩa lớn 1/3) n lớn Số